Plan Spis tre±ci 1 Problemy liniowe 1 2 Zadania I 3 3 Formy biliniowe 3 3.1 Odwzorowania wieloliniowe..................... 3 3.2 Formy biliniowe............................ 4 4 Formy kwadratowe 4 1 Problemy liniowe MACIERZ UKŠADU RÓWNA Denicje A x = b Macierz A: macierz problemów liniowych (IIII); Macierz rozszerzona problemów liniowych (IIII): a 11 a 1m b 1 B = a n1 a nm b n rz A rz B min(n, m + 1) [L. KroneckerA. Capelli] Rozwi zanie istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy rz A = rz B. ROZWI ZALNO PROBLEMÓW LINIOWYCH n = 2 < 3 = m; rozwi zanie istnieje (niejednoznaczne) n = m = 3; rozwi zanie nie istnieje x + y + z = 1 2x + z = 1 rz A = 2 = rz B x + y + z = 1 2x + z = 1 3x + y + 2z = 1 rz A = 2 < 3 = rz B n = m = 3; rozwi zanie niejednoznaczne x + y + z = 1 2x + z = 1 3x + y + 2z = 2 rz A = 2 = rz B; det A = 0
ROZWI ZANIE JEDNOZNACZNE [G. Cramer] Problemy liniowe IIII maj jednoznaczne rozwi zanie wtedy i tylko wtedy, gdy n = m oraz det A 0 (problemy kramerowskie). Rozwi zania te dane s tzw. wzorami Cramera: x k = det A k det A ; x = A 1 b. A k : kolumna K k zast piona wektorem (kolumnowym) b. Je»eli n < m (równa«jest mniej ni» niewiadomych) oraz b = 0, to ukªad ma zawsze rozwi zanie niezerowe (istnieje x k 0). WNIOSEK Wniosek 1 Jedynym rozwi zaniem kramerowskiego problemu jednorodnego (tzn. b = 0) jest x = 0. Wniosek 2 Wektory K 1, K 2,..., K n tworz baz w przestrzeni F n, gdy To samo dla wierszy. WYKORZYSTANIE Przykªad: pierwszy ukªad po tw. K-C det ( K 1 K 2... K n ) 0. rz A = rz B = k m; rz A = rz B = 2 < 3 Pomijamy n k równa«zale»nych od pozostaªych. 2 2 = 0 k zmiennych nale»y do minora o niezerowym wyznaczniku. x, z Wyrazy z pozostaªymi zmiennymi (y) przenosimy na praw stron ; te zmienne traktujemy jako parametry. 2x + z = 1 x + z = 1 y det A = 1, det A x = 1 1 1 y 1 = y; det A z = 2 1 1 y 1 = 1 2y [x, y, z] = [y, y, 1 2y]: przestrze«jednowymiarowa (m k). 2
2 Zadania I ZADANIA (do problemów liniowych) Wyznacz rz d macierzy 1 1 0 1 1 1 2 1 0 0 2 1 1 0 3 0 2 2 1 2 Uwaga: Je»eli znajdziemy chocia» jeden minor stopnia k o niezerowym wyznaczniku, to wystarczy pó¹niej rozpatrywa te minory stopnia (k + 1), które zawieraj znaleziony minor jako podminor. Potraktuj powy»sz macierz jako rozszerzon macierz ukªadu równa«(tzn. ostatnia kolumna zawiera wyrazy b 1,..., b 4 ) dla zmiennych x, y, z, t. Rozwi» ten ukªad korzystaj c z tw. Cramera.. 3 Formy biliniowe 3.1 Odwzorowania wieloliniowe ODZWOROWANIA (WIELO)LINIOWE Odwzorowanie wieloliniowe Dla V = V 1 V 2 V n okre±lamy odwzorowanie F : V W. Je»eli F jest liniowe dla ka»dego 1 j n, to nazywamy je odwzorowaniem wieloliniowym. (V j oraz W nad ciaªem F.) Uwagi 1. Liniowo± dla ka»dego j oznacza co nast puje: wybieramy dowolne wektory v k, k j; badamy liniowo± odwzorowania F j : V W okre±lonego dla v V j jako F j ( v) = F ( v 1, v 2,..., v j 1, v, v j+1,..., v n ). 2. Przestrze«odwzorowa«biliniowych F : V V W oznaczamy L 2 (V ; W ). 3. Przestrze«L 1 (V ; W ) Hom(V, W ) zawiera odwzorowania (jedno)liniowe homomorzmy przestrzeni wektorowych. FORMY (WIELO)LINIOWE Przypomnienie Ciaªo F mo»emy rozpatrywa jako przestrze«f 1 : F α [α] F 1. Formy Odwzorowania F : V 1 V n F nazywamy formami wieloliniowymi (nliniowymi), je»eli s liniowe ze wzgl du na ka»dy z czynników V j, 1 j n. Teraz F j ( v) F. 3
Przestrze«dualna Przestrze«L 1 (V, F) V nazywamy przestrzeni dualn. Dla przestrzeni unitarnej V = {φ v }: φ v ( w) = v w. det(a) nie jest form liniow, bo det(αa) = α n det A. Form liniow jest ±lad (ang. trace) macierzy: Tr A = n j=1 a jj. 3.2 Formy biliniowe SYMTRYZACJA FORMY BILINIOWEJ F ( v 1, v 2 ) = F ( v 2, v 1 ), a antysyme- Odwzorownie symetryczne F L 2 (V ; W ) jest symetryczne, je»eli tryczne, gdy F ( v 1, v 2 ) = F ( v 2, v 1 ). Dla ka»dego F mo»na skonsturowa odwzorowanie symetryczne (antysymetryczne) F s (F a ): F s ( v 1, v 2 ) = 1 ( F ( v1, v 2 ) + F ( v 2, v 1 ) ) 2 F a ( v 1, v 2 ) = 1 ( F ( v1, v 2 ) F ( v 2, v 1 ) ) 2 F ( v 1, v 2 ) = F s ( v 1, v 2 ) + F a ( v 1, v 2 ) Analogicznie dla form biliniowych. 4 Formy kwadratowe FORMA KWADRATOWA Denicja Funkcj Q: V F nazywamy form kwadratow, gdy Q(α v) = α 2 Q( v) Form dwuliniow jest B Q ( v 1, v 2 ) = 1 2 [ Q( v1 + v 2 ) Q( v 1 ) Q( v 2 ) ] Iloczyn skalarny w R n Q( v) = v 2. Co wi cej B Q ( v 1, v 2 ) = v 1 v 2. 4
PODSTAWOWE WŠASNO CI Twierdzenia Ka»da forma biliniowa Φ(V, F) wyznacza form kwadratow Q Φ ( v) = Φ( v, v). Forma B Q jest jedyn symetryczn form biliniow, która wyznacza form kwadratow Q. Je»eli dla ka»dego v 0 Q( v) 0, to forma Q jest niezdegenerowana. Uwaga Denicja formy niezdegenerowanej jest nieco ogólniejsza i nie wyklucza przypadku Q( v) = 0 dla v 0, np. Q[x, y] = x 2 y 2. MACIERZ FORMY Przypomnienie Je»eli B = { e j } jest baz p.w. V, to x [x 1,..., x n ] Macierz formy kwadratowej Ka»d form kwadratow mo»na zapisa w postaci n Q( x) = a jk x j x k, a jk = a kj, j,k=1 gdzie x j s wspóªrz dnymi wektora x w bazie B. Wtedy n B Q ( x, y) = a jk x j y k. j,k=1 Symetryczn macierz A Q = (a jk ) nazywamy macierz formy Q. POSTA KANONICZNA Rz dem formy Q nazywamy rz A Q. rz Q nie zale»y od wybory bazy. [Joseph Louis Compte de Lagrange] Ka»da forma kwadratowa ma baz kanoniczn. W tej bazie forma Q ma posta kanoniczn, tzn. jej macierz A Q ma niezerowe elementy wyª cznie na gªównej przek tnej. Je»eli F = C, to istnieje baza, w której Q = r j=1 x2 j, gdzie r = rz Q. [James Joseph Sylvester] Je»eli F = R, to istnieje taka baza kanoniczna,»e p q Q( x) = x 2 j x 2 p+j, p + q = rz Q. j=1 j=1 Par (p, q) nazywamy sygnatur formy Q. 5
FORMY DODATNIE (UJEMNE) Denicja Forma Q jest dodatnia (ujemna), gdy dla ka»dego v 0 Q( v) > 0 (odp. Q(v) < 0). Je»eli Q jest dodatnia, to Q jest ujemna i vice versa. Forma Q jest dodatnia, je»eli ka»dy minor gªówny A (k) ma dodatni wyznacznik. Minor gªówny A (k) otrzymujemy wykre±laj c wiersze oraz kolumny o indeksach wi kszych od k: a 11 a 1k A (k) = a k1 a kk WARUNEK DLA FORMY UJEMNEJ Korzystamy z dodatnio±ci formy Q. Stwierdzenie Forma Q jest ujemna, gdy sgn ( det A (k)) = ( 1) k Dowód Minor gªówny formy Q ma posta a 11 a 1k A (k) Q = a k1 a kk det A (k) Q = ( 1)k det A (k) Q det A (k) Q > 0, zatem det A(k) Q musi zmienia znak jak ( 1)k. ZASTOSOWANIE Ekstrema funkcji wielu zmiennych f(x 1,..., x n ) Ró»niczka drugiego rz du funkcji f( x) ma posta d 2 f = jk x 2 f x j x k dx j dx k Dla porz dnej funkcji i dowolnego przyrostu d x = [dx 1,..., dx n ] jest to forma kwadratowa. Je»eli dla pewnego punktu x 0 = (x 0 1,..., x 0 n) jest ona dodatnia (ujemna) dla ka»dego d x, to w tym punkcie mamy minimum (odp. maksimum). 6