9 Przekształcenia liniowe

9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2 F ϕ(a 1 v 1 + a 2 v 2 ) = a 1 ϕ(v 1 ) + a 2 ϕ(v 2 ) Przekształcenie liniowe ϕ : V W nazywamy: monomorfizmem, gdy ϕ jest różnowartościowe, epimorfizmem, gdy ϕ jest przekształceniem na, izomorfizmem, gdy ϕ jest bijekcją, endomorfizmem, gdy V = W. Stwierdzenie 9.2. Jeżeli V i W są przestrzeniami liniowymi nad ciałem F oraz ϕ jest funkcją z V do W, to następujące warunki są równoważne: 1. ϕ jest przekształceniem liniowym, 2. ϕ zachowuje dowolna kombinację liniową, to znaczy dla dowolnej kombinacji liniowej a i v i wektorów z przestrzeni V spełniony jest warunek ϕ a i v i = a i ϕ(v i ), 3. ϕ spełnia warunki (LM1) v1,v 2 V ϕ(v 1 + v 2 ) = ϕ(v 1 ) + ϕ(v 2 ) (addytywność) (LM2) v V a F ϕ(a v) = a ϕ(v) (jednorodność). Dowód: Wynikanie (2) (1) jest oczywiste. Dowód implikacji odwrotnej dla skończonego układu (v i ) jest indukcyjny i korzysta z łączności dodawania wektorów. Jeżeli układ (v i ) jest nieskończony, to jego kombinacja liniowa o współczynnikach (a i ) ma tylko skończoną liczbę współczynników różnych od 0; niech będą to a i1,..., a in. Wówczas dzięki zachowywaniu skończonej kombinacji liniowej otrzymujemy ϕ a i v i = ϕ (a i1 v i1 +... + a in v in ) = a i1 ϕ (v i1 ) +... + a in ϕ (v in ) = a i ϕ(v i ). Implikację (1) (3) otrzymujemy podstawiając a 1 = a 2 = 1 i korzystając z (V8) dla (LM1) oraz podstawiając a 1 = a, a 2 = 0, v 1 = v i korzystając ze stw. 5.4(1). Dowód implikacji (3) (1) polega na użyciu warunku (LM1), a następnie dwukrotnie warunku (LM2): ϕ(a 1 v 1 + a 2 v 2 ) = ϕ(a 1 v 1 ) + ϕ(a 2 v 2 ) = a 1 ϕ(v 1 ) + a 2 ϕ(v 2 ). 1

Stwierdzenie 9.3. Jeżeli ϕ : V W jest przekształceniem liniowym, to 1. ϕ(θ V ) = θ W, 2. v V ϕ(v) = ϕ(v). Dowód: 1. Wystarczy przyjąć w warunku (LM1) v 1 = v 2 = θ V i skorzystać z prawa skreśleń (stw. 2.7). 2. Biorąc w warunku (LM1) v 1 = v, v 2 = v i korzystając z (1) dostajemy ϕ( v) + ϕ(v) = θ. Przykład 9.4. 1. Przekształcenie zerowe Θ przypisujące każdemu wektorowi z V wektor zerowy z przestrzeni W jest przekształceniem liniowym. 2. Przekształcenie tożsamościowe id V jest liniowe. 3. Przekształcenie liniowe V F nazywamy funkcjonałem liniowym. 4. Pochodna jako przekształcenie C 1 (I) C(I), jako funkcjonał f f(x 0 ), a także jako przekształcenie wielomianów R[x] n R[x] n jest przekształceniem liniowym. 5. Przekształceniem liniowym C(I) R jest całka oznaczona po przedziale I. 6. Jeżeli V 1 i V 2 są przestrzeniami liniowymi. Funkcja π 1 : V 1 V 2 V 1 dana wzorem π 1 (v 1, v 2 ) = v 1 dla (v 1, v 2 ) V 1 V 2 (rzut na pierwszy składnik iloczynu kartezjańskiego) jest przekształceniem liniowym. Stwierdzenie 9.5. Przekształcenie liniowego jest jednoznacznie określone przez swoje wartości na bazie (dziedziny tego przekształcenia). Dowód: Niech ϕ : V W będzie przekształceniem liniowym, a (v i ) bazą przestrzeni V. Niech ϕ(v i ) = w i dla i I. Dowolny wektor z V jest kombinacją liniową wektorów (v i ), skąd na mocy stw. 9.2(2) otrzymujemy wzór przekształcenia ϕ ϕ a i v i = a i w i. Gdyby przekształcenie liniowe ψ : V W spełniało również warunki ψ(v i ) = w i dla i I, to dla dowolnego wektora z V mamy ze stw. 9.2(2) i powyższego ψ a i v i = a i w i = ϕ a i v i czyli ψ = ϕ. Stwierdzenie 9.6. liniowym. 1. Złożenie przekształceń liniowych jest przekształceniem 2

2. Złożenie izomorfizmów jest izomorfizmem. 3. Funkcja odwrotna do izomorfizmu jest izomorfizmem. Dowód: 1. Jeżeli ϕ : V W oraz ψ : U V są przekształceniami liniowymi, to dla u 1, u 2 U oraz a 1, a 2 F mamy (ϕ ψ)(a 1 u 1 + a 2 u 2 ) = (ϕ(ψ(a 1 u 1 + a 2 u 2 )) (LM) = ϕ(a 1 ψ(u 1 ) + a 2 ψ(u 2 )) (LM) = a 1 ϕ(ψ(u 1 )) + a 2 ϕ(ψ(u 2 )) = a 1 (ϕ ψ)(u 1 ) + a 2 (ϕ ψ)(u 2 ), zatem funkcja ϕ ψ jest przekształceniem liniowym. 2. wynika z (1) i faktu, że złożenie bijekcji jest bijekcją. 3. Niech ϕ 1 będzie funkcją odwrotną do izomorfizmu ϕ : V W. Funkcja taka istnieje i jest bijekcją, bo ϕ jest bijekcją. Jeżeli w 1, w 2 W, to istnieją takie v 1, v 2 V, że w 1 = ϕ(v 1 ) oraz w 2 = ϕ(v 2 ). Zatem dla a 1, a 2 F otrzymujemy, że ϕ 1 (a 1 w 1 + a 2 w 2 ) = ϕ 1 (a 1 ϕ(v 1 ) + a 2 ϕ(v 2 )) czyli ϕ 1 jest izomorfizmem. (LM) = ϕ 1 (ϕ(a 1 v 1 + a 2 v 2 )) = a 1 v 1 + a 2 v 2 = a 1 ϕ 1 (w 1 ) + a 2 ϕ 1 (w 2 ), Definicja 9.7. Mówimy, że przestrzeń liniowa V jest izomorficzna z przestrzenią liniową W i piszemy V W, gdy istnieje izomorfizm przestrzeni V na przestrzeń W. Wniosek 9.8. Relacja izomorficzności przestrzeni liniowych jest relacją równoważności Dowód: Ponieważ id V jest izomorfizmem, więc relacja jest zwrotna. Symetria wynika z punktu (3), a przechodniość z punktu (2) stw. 9.6. Twierdzenie 9.9. Każde dwie przestrzenie liniowe tego samego wymiaru skończonego nad tym samym ciałem są izomorficzne. Dowód: Dowolna przestrzeń zerowymiarowa jest jednoelementowa, więc teza dla wymiaru 0 jest oczywista. Zgodnie z wnioskiem 9.8 wystarczy pokazać, że dowolna przestrzeń liniowa wymiaru n N nad ciałem F jest izomorficzna z F n. Niech B = (v 1,..., v n ) będzie bazą przestrzeni V. Określmy funkcję Φ : V F n wzorem Φ(v) = C B (v) dla v V 3

(wektorowi v przypisujemy jego współrzędne w bazie B). Funkcja Φ jest różnowartościowa, bo jeżeli wektory v, v V mają te same współrzędne w bazie B, to są równe. Surjektywność funkcji Φ wynika z faktu, że dla dowolnego wektora x = (x 1,..., x n ) F n wektor x 1 v 1 +... + x n v n V jest przekształcany za pomocą Φ na x. Liniowość Φ wykażemy bezpośrednim rachunkiem. Niech v = a 1 v 1 +... a n v n V, v = a 1v 1 +... a nv n V oraz a, a F. Wówczas C B (v) = (a 1,..., a n ) oraz C B (v ) = (a 1,..., a n) i w konsekwencji Φ(av + a v ) = Φ ((aa 1 + a a 1)v 1 +... + (aa n + a a n)v n ) = (aa 1 + a a 1,..., aa n + a a n) = a(a 1,..., a n ) + a (a 1,..., a n) = ac B (v) + a C B (v ) = aφ(v) + a Φ(v ). Definicja 9.10. Dla danego przekształcenia liniowego ϕ : V W zbiór ker ϕ = ϕ 1 ({θ W }) = {v V ; ϕ(v) = θ W } nazywamy jądrem przekształcenia ϕ, a zbiór obrazem przekształcenia ϕ. im ϕ = ϕ (V ) = {w W ; v V ϕ(v) = w} Stwierdzenie 9.11. Jeżeli ϕ : V W jest przekształceniem liniowym, to 1. ker ϕ jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V, 2. im ϕ jest podprzestrzenią liniową przestrzeni W. Dowód: 1. Jeżeli v 1, v 2 ker ϕ oraz a 1, a 2 F, to z warunku (LM) wynika, że ϕ(a 1 v 1 + a 2 v 2 ) = a 1 ϕ(v 1 ) + a 2 ϕ(v 2 ) = a 1 θ + a 2 θ = θ, czyli a 1 v 1 + a 2 v 2 ker ϕ. 2. Jeżeli w 1, w 2 im ϕ oraz a 1, a 2 F, to istnieją takie v 1, v 2 V, że w 1 = ϕ(v 1 ), w 2 = ϕ(v 2 ). Wówczas na mocy warunku (LM) mamy, że a 1 w 1 + a 2 w 2 = a 1 ϕ(v 1 ) + a 2 ϕ(v 2 ) = ϕ(a 1 v 1 + a 2 v 2 ), skąd a 1 w 1 + a 2 w 2 im ϕ. Przykład 9.12. 1. Przekształcenie zerowe Θ : V W ma jądro będące całą przestrzenią V, a obrazem ϕ jest {θ W }. 2. ker id V = {θ}, im id V = V. 3. Rozpatrując pochodną wielomianów : R[x] n R[x] n otrzymujemy, że jej jądrem jest zbiór wielomianów stałych R[x] 0, a obrazem przestrzeń R[x] n 1 4

Stwierdzenie 9.13. Przekształcenie liniowe ϕ jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy ker ϕ = {θ}. Dowód: ) Jeżeli ϕ jest monomorfizmem, to z różnowartościowości i stw. 9.3(1) wynika, że warunek ϕ(v) = θ = ϕ(θ) pociąga za sobą v = θ, co oznacza trywialność jądra. ) Jeżeli jądro przekształcenia liniowego ϕ jest trywialne, to dla dowolnych v, v W równość ϕ(v) = ϕ(v ) wraz z warunkiem (LM) pociąga za sobą ϕ(v v ) = θ. Założenie ker ϕ = {θ} implikuje teraz v v = θ, czyli v = v. Twierdzenie 9.14. Jeżeli ϕ : V W jest przekształceniem liniowym oraz wymiar przestrzeni V jest skończony, to dim V = dim ker ϕ + dim im ϕ. Dowód: Gdyby dim V = 0, to ϕ = Θ i dim ker ϕ = 0 = dim im ϕ. Załóżmy, że dim V = n N. Jeżeli jądro ma wymiar 0, to ze stw. 9.11 przekształcenie liniowe ϕ jest monomorfizmem. Dla dowolnej bazy (t 1,..., t n ) przestrzeni V wektory ϕ(t 1 ),..., ϕ(t n ) rozpinają podprzestrzeń ϕ(v ) = im ϕ, są także liniowo niezależne. Istotnie, jeżeli c 1 ϕ(t 1 )+...+c n ϕ(t n ) = θ, to z liniowości (stw. 9.2(2)) mamy, że ϕ(c 1 t 1 +... c n t n ) = θ. Zatem z założenia o jądrze c 1 t 1 +... + c n t n = θ, co wraz z liniową niezależnością układu (t 1,..., t n ) daje zerowanie się współczynników c 1,..., c n i tym samym liniową niezależność układu (ϕ(t 1 ),..., ϕ(t n )). Ostatecznie w przypadku dim ker ϕ = 0 mamy dim im ϕ = n = n 0 = dim V dim ker ϕ Gdyby dim ker ϕ = n, to przestrzeń V miałaby bazę złożoną tylko z wektorów jądra, więc ϕ = Θ i dim im ϕ = 0. Załóżmy teraz, że dim ker ϕ = k, przy czym 0 < k < n (wn.8.15) i że A = (u 1,..., u k ) jest bazą podprzestrzeni ker ϕ. Zgodnie ze stw. 8.14 rozszerzamy ten układ do bazy B = (u 1,..., u k, v 1,..., v n k ) przestrzeni V. Wykażemy, że układ C = (ϕ(v 1 ),..., ϕ(v n )) jest bazą podprzestrzeni im ϕ. Przypuśćmy, że kombinacja liniowa układu C o współczynnikach a 1,..., a n k F jest wektorem zerowym. Wówczas z liniowości (stw. 9.2(2)) mamy, że wektor v = a 1 v 1 +... a n k v n k ker ϕ. Istnieją więc skalary b 1,..., b k takie, że v = b 1 u 1 +... b k u k. Wówczas jednak ( b 1 )u 1 +... + ( b k )u k + a 1 v 1 +... a n k v n k = θ, co wraz liniową niezależnością układu B daje w szczególności a 1 =... = a n k = 0. Układ C jest zatem liniowo niezależny. Jeżeli w im ϕ, to istnieje v V takie, że w = ϕ(v). Wektor v jest kombinacją liniową bazy B, a z liniowości jego obraz w jest kombinacją liniową układu C, gdyż wektory z układu A jako wektory jądra przechodzą na wektor zerowy. Zatem im ϕ = lin (C ) i także w tym przypadku dim im ϕ = n k = dim V dim ker ϕ. 5

Stwierdzenie 9.15. Jeżeli przestrzeni liniowe V i W są tego samego skończonego wymiaru, a ϕ : V W jest przekształceniem liniowym, to następujace warunki są równoważne: 1. ϕ jest izomorfizmem, 2. ϕ jest epimorfizmem, 3. ϕ jest monomorfizmem. Dowód: Implikacje (1) (2) i (1) (3) są oczywiste. Dla przestrzeni 0 wymiarowych równoważność jest oczywista. Załóżmy, że dim V = dim W = n N. (2) (1) Jeżeli ϕ jest epimorfizmem, to dim im ϕ = dim W, co wraz z założeniem i tw. 9.14 daje dim ker ϕ = 0, a więc zgodnie zze stw. 9.13 monomorficzność ϕ. (3) (1) Jeżeli ϕ jest monomorfizmem, to ze stw. 9.13 i tw. 9.14 mamy dim im ϕ = dim V = dim W. Zatem im ϕ jest podprzestrzenią liniową (stw. 9.11(2)) przestrzeni W tego samego wymiaru co przestrzeń W. Zgodnie więc z wn. 8.16 mamy im ϕ = W. Ostatecznie ϕ jako jednocześnie monomorfizm i epimorfizm jest izomorfizmem. Definicja 9.16. Niech V i W będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem F. Zbiór wszystkich przekształceń liniowych z przestrzeni V w przestrzeń W oznaczamy przez L(V ; W ) i nazywamy przestrzenią przekształceń liniowych z V w W. Zbiór V = L(V ; F ) wszystkich funkcjonałów liniowych określonych na V nazywamy przestrzenią dualną do V. Stwierdzenie 9.17. Dla przestrzeni liniowych V i W nad ciałem F zbiór L(V ; W ), z działaniami dodawania przekształceń liniowych i mnożenia przekształcenia liniowego przez skalar danymi wzorami (ϕ + ψ)(v) = ϕ(v) + ψ(v), v V, dla ϕ, ψ L(V ; W ) (a ϕ)(v) = a ϕ(v), v V, dla ϕ L(V ; W ), a F, jest przestrzenią liniową nad ciałem F. Stwierdzenie 9.18. Dla przestrzeni V i W skończonego wymiaru nad ciałem F zachodzi dim L(V ; W ) = dim V dim W. Jeżeli (v 1,..., v n ) i (w 1,..., w m ) są odpowiednio bazami V i W, to układ przekształceń liniowych (ϕ ij ) 1 i m,1 j n, określonych wzorami { wi dla k = j ϕ ij (v k ) = θ dla k j i = 1,..., m, j = 1,..., n, jest bazą przestrzeni L(V ; W ). Dowód: Przypuśćmy, że dla pewnych a ij F, i = 1,..., m, j = 1,..., n przekształcenie liniowe a ij ϕ ij (i,j) {1,...,m} {1,...,n} 6

jest przekształceniem zerowym Θ. Wówczas zgodnie z określeniem przekształceń ϕ ij otrzymujemy dla k = 1,..., n: θ = Θ(v k ) = a ik ϕ ik (v k ) = a ik w i. Liniowa niezależność układu (w 1,..., w m ) implikuje a 1k =... = a mk = 0, k = 1,..., n. Zatem układ (ϕ ij ) jest liniowo niezależny. Dla dowodu generowania L(V ; W ) przez ten układ weźmy dowolne ψ L(V ; W ) i określmy skalary b ij, i = 1,..., m, j = 1,..., n następująco: b ij jest i tą współrzędną wektora ψ(v j ) w bazie (w 1,..., w m ). Pokażemy, że ψ = (i,j) {1,...,m} {1,...,n} b ij ϕ ij. Zgodnie ze stw. 9.5 wystarczy pokazać równość tych przekształceń na wektorach bazy (v 1,..., v n ). Tak istotnie jest, gdyż przekształcenie określone przez prawą stronę równości na wektorze v k, k = 1,..., n, przyjmuje wartość b ik ϕ ik (v k ) = b ik w i = ψ(v k ). Wniosek 9.19. Jeżeli przestrzeń V nad ciałem F ma skończony wymiar, to dim V = dim V. Jeżeli (v 1,..., v n ) jest bazą V, to układ funkcjonałów liniowych (vj ) 1 j n, określonych wzorami v j (v k ) = { 1 dla k = j 0 dla k j j = 1,..., n, jest bazą przestrzeni V. Dowód: Wystarczy w stw. 9.18 za bazę przestrzeni F nad ciałem F przyjąć układ (1). Uwaga 1. Wniosek 9.19 gwarantuje izomorficzność przestrzeni V i V, gdy dim V <. Izomorfizm określony wzorami v j v j, j = 1,... n nie jest jednak kanoniczny zależy od wyboru bazy w przestrzeni V. W przypadku nieskończonego wymiaru V V. Uwaga 2. Jeżeli dim V <, to przestrzeń V jest kanonicznie izomorficzna ze swoją przestrzenią bidualną V = (V ). Izomorfizm ten jest dany wzorem v (V ϕ ϕ(v) F ). 7