Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę): 3 3 3 ( ) 1 4 2 5 8 3 100 3 2 4 1 3 4 2 4 9 1 3 3 9 3. 5 2. Rozwiązać równania i nierówności: 4 2x+1 = 8 5x 2 (b) 7 3 x+1 5 x+2 = 3 x+4 5 x+3 2 x 4 2x 8 3x = 128 (d) (3 x ) 2x (81 ( ) x 1 1 x ) x = 9 x2 +4 (e) 5 x 25 5 x = 24 (f) = 9 2x 3 (g) 2 x+2 2 x+1 2 x 2 2 x 1 (h) 4 x +8 < 6 2 x (i) 3 2x 1 3 x 1 2. 3. Obliczyć lub uprościć: log 1 36 log 6 2 8 log5 9 log 3 5 log 5 125 log 4 3 27 64 log ( ) 1 e ln 2 3 2 log 6 2+log 6 18 log 3 2 log 9 2 ln 2+log 2 e log 1 3+log 2 4 3+log 8 3. 4. Jaki dochód przyniesie po 4 latach lokata w wysokości 1000 zł oprocentowana w wysokości 6% rocznie jeżeli odsetki dopisywane są raz w roku? O ile zmieni się dochód jeżeli kapitalizacja jest miesięczna? 5. Nominalne oprocentowanie lokaty wynosi 6% w stosunku rocznym. Jakie jest oprocentowanie efektywne jeżeli odsetki dopisywane są co miesiąc? 6. Wpłacasz do banku 100 zł w formie lokaty długoterminowej ze stałym oprocentowaniem 6% w stosunku rocznym. Po jakim czasie wartość lokaty przekroczy 1000 zł gdy odsetki dopisywane są: raz w roku (b) co miesiąc. 7. Oprocentowanie lokaty wynosi r 100% w stosunku rocznym. Wyznaczyć efektywne oprocentowanie lokaty rocznej przy kapitalizacji: miesięcznej (b) dziennej n razy w roku w równych odstępach czasu. 8. Rozwiązać równania: log 3 (x+1) = 2 (b) ln 2 x+3 ln x = 4 log 2 x+log 8 x = 12 (d) log 5 x + log 5 (x + 5) = 2 + log 5 2 (e) log x 2 log 4 x + 7 6 = 0. 9. Rozwiązać nierówności: log 3 x < 1 3 (b) log 1 x 2 log 2 2 x log 2 x 2 (d) log 1 3 x 1 x + 2 log 1 (x 1) log 1 6 (e) log 9 3 2 log 3 x + 1 > 0.
Matematyka Lista 1 2 10. Rozwiązać układy: { 2 log3 x log 3 y = 2 10 y x = 1 100 { { xy = 36 x (b) x log 3 y = 16 y = 9 y = log 3 x + 1. 11. Naszkicować wykresy funkcji: y = 3 x 3 (b) y = 2 x y = log 2 (2x) (d) y = ln x. Wskazówki i odpowiedzi do zadań 2. a) 5/8 b) 1 c) 1/2 d) 2 2 e) 2 f) 1/5 g) h) (1 2) i) [1 ). 4. 1000 (1.06) 4 1000 (1.005) 48. 5. [(1.005) 12 1] 100%. 6. a) l: 100 (1.06) l > 1000 b) m: 100 (1.005) m > 1000. 7. a) (1 + r/12) 12 1 b) (1 + r/365) 365 1 c) (1 + r/n) n 1. 8. a) 8 b) e 4 e c) 2 9 d) 5 e) 8 1/ 3 4. 9. a) x (0 1/ 3 3) b) x 1/4 c) x (0 1) d) x 3 e) x < 1. 10. a) x = 3 y = 1 lub x = 6 y = 4 b) x = 9 y = 4 lub x = 4 y = 9 c) x = 3 y = 2 lub x = 1/9 y = 1.
Matematyka Lista 2 3 Matematyka Lista 2 1. Wykonać podane działania (wynik zapisać w postaci algebraicznej). a) (1 3i) + (4 5i) b) ( 1 + 2i ) ( 3 6i ) c) ( 7 3i ) ( 7 + 3i ) d) 2 + 3i 1 + i e) z w z 2 w z w z + w Re z + i Im w dla z = 5 2i w = 3 + 4i. z + w 2. Znaleźć liczby rzeczywiste x y spełniające podane równania: a) x (2 + 3i) + y (5 2i) = 8 + 7i b) (2 + yi) (x 3i) = 7 i c) 1 + yi x 2i = 3i 1 x + yi d) x yi = 9 2i 9 + 2i. 3. W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać podane równania: a) z 2 = 4 z b) z 2 4z + 13 = 0 c) (z + 2) 2 = ( z + 2) 2 d) (1 + i) z + 3 (z i) = 0 e) 1 + i z = 2 3i z f) z 3 = 1. 4. Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory liczb z spełniających podane warunki: a) 4 = z z b) Re (iz + 2) 0 c) (z i) = z 1 d) Im z 2 < 0 e) Im 1 + iz = 1 1 iz f) z z + (5 + i) z + (5 i) z + 1 = 0. 5. Obliczyć moduły podanych liczb zespolonych: a) 3i b) 6 8i c) 4 2 + 4 3i d) 1 + 3i 3 4i. 6. Korzystając z interpretacji geometrycznej modułu różnicy liczb zespolonych narysować zbiory liczb zespolonych z spełniających podane warunki: a) z 3 + 4i = 1 b) 2 iz 5 < 3 c) z 1 + 3i 5 d) z 2i z + 1 = 1 e) z + i z 2 + 1 1 f) z + 1 2i 3 oraz z 3 < 4. 7. Obliczyć iloczyny podanych par wielomianów: a) P (x) = x 4 3x 3 + x 1 Q (x) = x 2 x + 4 x R b) W (z) = z 3 + 5z 2 iz + 3 V (z) = (1 + i) z 2 z C. 8. Obliczyć ilorazy oraz reszty z dzieleń wielomianów P przez wielomiany Q jeżeli: a) P (x) = 2x 4 3x 3 + 4x 2 5x + 6 Q (x) = x 2 3x + 1
Matematyka Lista 2 4 b) P (x) = x 16 16 Q (x) = x 4 + 2 c) P (z) = z 5 z 3 + 1 Q (z) = (z i) 3. 9. Znaleźć wszystkie pierwiastki całkowite podanych wielomianów: a) x 3 + x 2 4x 4 b) 3x 3 7x 2 + 4x 4 c) x 5 2x 4 4x 3 + 4x 2 5x + 6 d) x 4 + 3x 3 x 2 + 17x + 99. 10. Znaleźć pierwiastki podanych równań kwadratowych i dwukwadratowych: a) z 2 4z + 13 = 0 b) z 2 (3 2i) z + (5 5i) = 0 c) z 4 + 8z 2 + 15 = 0 d) z 4 3iz 2 + 4 = 0. 11. Znając niektóre pierwiastki podanych wielomianów rzeczywistych znaleźć ich pozostałe pierwiastki. a) W (x) = x 3 3 2x 2 + 7x 3 2 x 1 = 2 + i b) W (x) = x 4 2x 3 + 7x 2 + 6x 30 x 1 = 1 3i c) W (x) = x 6 2x 5 + 5x 4 6x 3 + 8x 2 4x + 4 x 1 = i x 2 = 2i d) W (x) = x 6 6x 5 + 18x 4 28x 3 + 31x 2 22x + 14 x 1 = 1 i x 2 = 2 3i. 12. Podane wielomiany rzeczywiste przedstawić w postaci iloczynu nierozkładalnych czynników rzeczywistych: a) x 6 + 8 b) x 4 + x 2 + 1 c) x 4 x 2 + 1 d) 4x 5 4x 4 13x 3 + 13x 2 + 9x 9. 13. Podane funkcje wymierne rozłożyć na sumy wielomianów oraz funkcji wymiernych właściwych: a) x5 3x 2 + x x 3 + 4x 2 + 1 b) x5 + 3 x 5 + 4 c) x4 + 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5 x 3 + 2x 2 + 3x + 4 14. Zaproponować rozkłady podanych rzeczywistych funkcji wymiernych właściwych na rzeczywiste ułamki proste (nie obliczać nieznanych współczynników): a) c) x 2 + 2x 7 x 3 (x 1) (x + 5) 2 b) x 3 8x 4 (x 2 + 4) (x 2 + x + 3) 3 x 4 + x 3 (x + 3) 2 (x 2 4x + 5) 2. 15. Podane rzeczywiste funkcje wymierne właściwe rozłożyć na rzeczywiste ułamki proste: a) d) 12 (x 1) (x 2) (x 3) b) x 2 x 4 1 c) 4x (x + 1) (x 2 + 1) 2 x 2 + 2x (x 2 + 2x + 2) 2 e) 1 x 3 + x f) x 2 + 1 x 3 (x + 1) 2.
Matematyka Lista 3 5 Matematyka Lista 3 Zapoznać się z przykładami i zadaniami ze skryptu T. Jurlewicz i Z. Skoczylas Algebra liniowa 1 Przykłady i zadania 1. Dla następujących macierzy: A = [ 2 0 1 0 1 1 ] [ B = 1 2 1 1 0 1 ] C = 0 1 2 2 1 1 wykonać te z działania A + B A C 2A 3B A B + C AC CA A T C T A C T C T B T (A T + C) T (C B T )A ABC ACB CA T B które są poprawne. 2. Obliczyć wyznaczniki: 3 2 8 5 (b) 1 1 1 1 2 3 1 3 6 2 1 0 1 0 0 2 1 2. 3. Stosując rozwinięcie Laplace a obliczyć wyznaczniki: 3 2 0 5 3 2 0 0 0 2 1 2 2 0 3 2 0 0 0 2 5 0 (b) 0 0 3 2 0 5 0 3 4 0 0 0 3 2 2 0 0 0 3 2 7 1 3 2 0 0 1 0 1 2 0 7 0 2 3 2 4 5 3 1 0 0 0 1 4. Stosując operacje elementarne na wierszach i kolumnach obliczyć: 1 1 0 4 2 1 1 1 0 1 1 2 3 5 4 0 6 (b) 1 1 0 2 3 0 1 3 2 1 1 2 1 2 1 3 2 2 0 3 3 1 4 0 (d) 1 2 1 0 3 2 4 5 1 6 1 2 3 0 2 2 2 1 1 1 2 4 2 0 3 (e) 2 7 1 3 2 0 2 1 3 1 2 4 7 2 2 3 2 4 5 3 1 2 0 1 1.. 5. Znaleźć macierze odwrotne do podanych: [ ] 2 7 3 2 3 (b) 3 9 4 1 2 1 5 3 2 1 0 1 0 0 2 1 2. Sprawdzić poprawność obliczeń(czy AA 1 = I).
Matematyka Lista 3 6 6. Rozwiązać równania macierzowe: [ ] [ ] 1 1 2 1 X = (b) 3 4 3 4 ([ 0 3 5 2 ] 1 + 4X) = [ 1 2 3 4 [ 3 1 2 1 ] [ (d) 3X+ ] [ 1 3 X 1 2 1 3 2 1 ] = ] = [ 3 3 2 2 [ 5 6 7 8 ] ] X. 7. Dla jakich wartości parametru p są układami Cramera: { px + 3y + pz = 0 (p + 1)x py = 1 2x + (p 1)y = 3p (b) px + 2z = 3 x + 2y + pz = p. 8. Korzystając ze wzorów Cramera rozwiązać układ x + 2y + 3z = 1 2x + 3y + z = 3 3x + y + 2z = 2 (b) x + 2y + 3z = 14 4x + 3y z = 7 x y + z = 2. 9. Stosując wzór Cramera obliczyć niewiadomą y z układu: 3x + 7y + 2z + 4t = 2y + z = 5x + 3y + 2z = x + 4y + z 1 = 0 (b) x+2y 4 = 3y+4z 6 = 5z+6s = 7s+8t = x+y+z+s+t 2 = 0. 10. Rozwiązać układy metodą macierzy odwrotnej: 2x y = 3 3x + y = 2 (b) x + 2y = 0 2x y = 5 x + y + z = 5 2x + 2y + z = 3 3x + 2y + z = 1 (d) x + y + z = 4 2x 3y + 5z = 5 x + 2y z = 2. 11. Rozwiązać układy równań liniowych metodą eliminacji Gaussa. 3x + 4y + z + 2t = 3 6x + 8y + 2z + 5t = 7 (e) (b) (d) 9x + 12y + 3z + 10t = 13 3x 5y + 2z + 4t = 2 7x 4y + z + 3t = 5 5x + 7y 4z 6t = 3 3x 2y + 5z + 4t = 2 6x 4y + 4z + 3t = 3 9x 6y + 3z + 2t = 4 3x + 2y + 2z + 2t = 2 2x + 3y + 2z + 5t = 3 9x + y + 4z 5t = 1 2x + 2y + 3z + 4t = 5 7x + y + 6z t = 7 2x y + z + 2t + 3u = 2 6x 3y + 2z + 4t + 5u = 3 6x 3y + 4z + 8t + 13u = 9 4x 2y + z + t + 2u = 1
Matematyka Lista 3 7 12. Wyznaczyć wierzchołek D równoległoboku ABCD o trzech kolejnych wierzchołkach A = (2 1 3) B = (2 2 3) C = (0 3 1). Obliczyć długości boków. Wyznaczyć przekątne tego równoległoboku (wektory) i ich długości. Wyrazić środkowe trójkąta ABC przez boki tego trójkąta. 13. Znaleźć wersor u który tworzy jednakowe kąty z wektorami a = (0 3 4) b = (8 6 0) i jest położony w płaszczyźnie wyznaczonej przez te wektory. 14. Korzystając z iloczynu skalarnego obliczyć kąty: między wektorami a = ( 3 0 4) b = (3 1 0); (b) między przekątnymi równoległoboku ABCD z zad. 12; w trójkącie ABD z zad. 12. 15. Wyznaczyć rzut prostopadły wektora a = (3 4 1) na prostą tworzącą jednakowe kąty z dodatnimi osiami układu współrzędnych. 16. Obliczyć iloczyny wektorowe wektorów: a = ( 3 2 0) b = (1 5 2) (b) u = 2 i 3 k v = i + j 4 k. Sprawdzić czy odpowiednie wektory są prostopadłe. 17. Obliczyć pole powierzchni: równoległoboku z zad. 12; (b) trójkąta ABC : A = (1 1 3) B = (0 2 3) C = (2 2 1). 18. Sprawdzić czy współpłaszczyznowe są: wektory a = ( 1 3 5) b = (1 1 1) c = (4 2 0); (b) punkty P = (0 0 0) Q = ( 1 2 3) R = (2 3 4) S = (2 1 5). 19. Wyznaczyć równanie ogólne płaszczyzny która przechodzi przez: punkt P = (1 2 0) i jest prostopadła do n = (0 3 2); (b) punkty P 1 = (0 0 0) P 2 = (1 2 3) P 3 = ( 1 3 5); P 1 = (1 3 4) P 2 = (2 0 1) i jest prostopadła do π : xoz; (d) P = (1 1 3) i jest równoległa do a = (1 1 0) i b = (0 1 1). 20. Napisać równanie parametryczne i kierunkowe prostej która: przechodzi przez punkt P = ( 3 5 2) i jest równoległa do wektora v = (2 1 3); (b) przechodzi przez punkty P = (1 0 6) i Q = ( 2 2 4); jest wspólną krawędzią dwóch płaszczyzn: π 1 : 2x + y z + 3 = 0 i π 2 : x 2y + z 5 = 0. 21. Wyznaczyć kąt między: x 3 prostą l : = y 1 = z + 2 i płaszczyzną π : x z = 0; 2 0 3 (b) plaszczyznami π 1 : x 2y + 3z 5 = 0 π 2 : 2x + y z + 3 = 0. 22. Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu P = (2 3 1) względem: punktu S = (1 1 2); (b) płaszczyzny π : 2x y + z 6 = 0.
Matematyka Lista 3 8 Matematyka wskazówki i odpowiedzi 2. a) 1; b) 1; c) 2. 3. a) 289; b) 275; c) 123. 4. a) 50; b) 13; c) 44; d) 12 e) 178. 7. a) p 1 2 p 1 + 2; c) p R. 9. a) 5/11; b) 2. 11. a) z = 1 3x 4y t = 1; b) sprzeczny; c) z = 6 15x + 10y t = 7 + 18x 12y; d) x = ( 6 + 8t)/7 y = (1 13t)/7 z = (15 6t)/7; e) z = 1 8x + 4y t = 0 u = 1 + 2x y. 13. u = ±(1/ 17)( 2 3 2). 15. u = ( a b/ b 2 ) b = (2 2 2) gdzie b = (1 1 1). 18. użyć iloczynu wektorowego. 19. a) 3y 2z + 6 = 0; b) 19x 8y z = 0; c) 5x + z 9 = 0; d) x y + z 5 = 0. 20. a) (x + 3)/2 = (y 5)/( 1) = (z 2)/3; b) (x 1)/( 1) = y/2 = (z 6)/( 2). 21. a) cos α = 1/ 26; b) cos α = 3/2 21. 22. a) (0 5 5); b) (6 1 1).
Matematyka lista 4 9 Matematyka Lista 4 1. Zbadać monotoniczność ciągu: a n = 2n + 7 (b) b n = ( 1) n n c n = 1 2/n. 2. Podać wyraz a 3 a n+1 a 2n gdy: a n = n2 n + 1 (b) a n = ( 1) n+1 ( ) n 2 a n = 1 3 n + 1 1 + + n + 1 2n. 3. Wyznaczyć wyraz ogólny ciągu arytmetycznego oraz sumę S 20 dwudziestu początkowych wyrazów gdy: a 3 = 3 a 12 = 21 (b) a 1 + a 2 + a 3 = 18 a 2 1 + a 2 2 + a 2 3 = 116. 4. Obliczyć sumę wszystkich liczb trzycyfrowych podzielnych przez 3. 5. Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Długość najkrótszego boku jest równa p. Obliczyć pole tego trójkąta pole koła opisanego na tym trójkącie oraz pole koła wpisanego w ten trójkąt. 6. Wyznaczyć wyraz ogólny ciągu geometrycznego oraz sumę S 20 dwudziestu początkowych wyrazów gdy: a 3 = 54 a 6 = 2 (b) iloraz q = 1 2 oraz S 7 = 127 16. 7. Zamienić na ułamek zwykły 1.888... (b) 0.313131.... 8. Rozwiązać równanie x 2 x 3 + x 4 = 1 2. 9. W okrąg o promieniu r wpisujemy kwadrat. W ten kwadrat wpisujemy okrąg. Powtarzamy tę operację uzyskując nieskończony ciąg okręgów i kwadratów. Obliczyć sumę pól tych kwadratów. 10. Obliczyć granice ciągów: a n = 2n2 n + 1 3n n 2 + 2 (b) b n = n6 n 2 n 7 + 3 c n = n4 n + 2 2n 3 + 3 (d) d n = 3 n 2 + 1 3 n 2 1 (f) f n = 3n + 2 n 3 n 2 n (g) g n = (e) e n = n( n 2 + 2 n) ( 1 1 n ( 1 + 2 n) n (h) h n = (i) i n = 1 + 2 + + n 1 + 2 + + 2n (j) j n = 1 n 2 + 1 + 2 + + n n 2 + 1 n 2 + 1 (k) k n = n 3 n + 2 n (l) l n = 1 n 2 + 1 + 1 n 2 + 2 + + 1 n 2 + n. 11. Oprocentowanie lokaty wynosi r 100% w stosunku rocznym. Wyznaczyć efektywne oprocentowanie lokaty rocznej przy kapitalizacji ciągłej (graniczny przypadek kapitalizacji n razy w roku w równych odstępach czasu gdy n ). Jakie jest efektywne oprocentowanie po czasie t lat (t 0) przy kapitalizacji ciągłej?
Matematyka lista 4 10 12. Obliczyć granice przy x + oraz przy x dla funkcji f(x): x 7 x 4 +x (b) x 2 + 2 x 3 x + 3 3 x 1 (d) (e) x x + 1 x 3 2 (x 2 + 1)(x + 3) (f) x 2 x + 1 x + 2 (g) x 3 3x 2 4 x2 3x + 2. 13. Obliczyć (gdy istnieją) granice: x 2 9 lim x 3 x + 3 x 3 1 (b) lim x 1 x 2 1 x 1 lim x 1 x 1 (d) lim x 0 x + 1. x 14. Na stożku o promieniu podstawy r i wysokości x opisano kulę. Niech R(x) oznacza jej promień. Obliczyć granicę lim x 0+ R(x) lim x R(x). Czy można podać te granice nie wyznaczając funkcji R(x)? 15. Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji: y = 2x3 + 2 x 3 + x 2 (b) y = x2 1 x 2 2 y = x3 + 8 x 2 4 (d) y = 16. Dobrać parametry a b R tak aby podana funkcja f(x) była ciągła: 1 1 x. f(x) = { bx + 3 : x < 1 2x 2 + x + a : x 1 (b) f(x) = { x : x 1 x 2 + ax + b : x > 1. 17. Wykazać że każde z poniższych równań ma pierwiastek: x 3 + x = 3 (b) x 3 + x = 3 (dokładnie jeden) x + 3 = x 2 + x 2 (d) x 3 + 3x 2 = 3 (dokładnie trzy). 18. Uzasadnić że równanie x 4 + x = 5 ma dokładnie jeden pierwiastek dodatni. Obliczyć na kalkulatorze ten pierwiastek z dokładnością 0.05. 19. Znaleźć przyrost y funkcji y = x 2 /2 przy x = 2 zakładając przyrost x zmiennej niezależnej x równy 0.5 (b) 0.2. Wykonać odpowiedni rysunek. 20. Wyznaczyć przyrost y i iloraz różnicowy y/ x odpowiadające przyrostowi x argumentu x dla funkcji: y = ax+b (b) y = 1/(2x+1). Wyznaczyć pochodną funkcji y = y(x) jako granicę ilorazu różnicowego. 21. Obliczyć pochodne funkcji: y = ax 3 + b x + c (b) y = 9x7 + 3x 5 3x 11 y = 3 3x 2 (d) y = 5 x 2 (e) y = x + 1 x 1 (f) y = x 2 4 (g) y = 3 x 1 3 x (h) (x 2) ln x (i) y = x 3 e x (j) 3 x(ln x e x ) (k) x2 ln x e x + x ( (l) v = (4z 2 5z+13) 5 (m) s = 2 7t 2 4 ) 6 t + 6 (n) y = 5e 2x
Matematyka lista 4 11 (o) y = 5 x + 2 x (p) y = 3 x x 3 (r) y = ln ln x (s) y = ln (t) s = ln 5 x 2 1 + t 1 t (u) y = arctg(3x) (w) y = arctg(x x 2 + 1). 22. W jakim punkcie styczna do linii y = (x 8)/(x + 1) tworzy z osią Ox kąt równy połowie kąta prostego? (b) Znaleźć na linii y = e x punkt w którym styczna jest równoległa do prostej x y + 7 = 0. Jaki związek powinien zachodzić pomiędzy współczynnikami równania paraboli y = x 2 + px + q aby ta parabola była styczna do osi odciętych? (d) W jakim punkcie krzywej logarytmicznej y = ln x styczna jest równoległa do prostej y = 2x? 23. Korzystając z różniczki obliczyć przybliżoną wartość: 3 63 (b) e 0.07 1 3.98 (d) ln 0.9993. 24. Wykazać prawdziwość nierówności: x > ln(1+x) x > 0 (b) e x x+1 2x arctg x ln(1+x 2 ). 25. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji: y = x(3 2 x) (b) y = x/(1 + x 2 ) y = 2x 3 12x + 5. 26. Wyznaczyć przedziały wypukłości wklęsłości oraz punkty przegięcia funkcji: y = x 3 3x 2 (b) y = x/(1+x 2 ) y = arctg x (d) y = x+1/x. 27. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji: y = x 3 + 12x 2 + 36x 50 (b) y = x 1 x y = x 2 + 1 x 2. 28. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale: y = x 4 2x 2 +5 w [ 2 2] (b) y = 1 24x+15x 2 2x 3 w [1 3]. 29. Zbadać przebieg zmienności funkcji: y = x 3 + 3x 2 9x 2 (b) y = x2 3 x 2 ln x y =. x 30. Liczbę 20 rozłożyć na sumę takich dwóch składników dodatnich których suma kwadratów jest najmniejsza. 31. W kulę o promieniu R wpisano walec. Obliczyć przy jakiej wartosci promienia r podstawy walca pole jego powierzchni bocznej S będzie największe.
Matematyka lista 4 12 32. Napisać wielomian Maclaurina z resztą R n dla podanych funkcji: e rx (b) 1 e x2 (d) ln(1 + x) (e) x + 1. 1 + x Wskazówki i odpowiedzi 1. a) b) nie monoton. c). 3. a) a 1 = 1 r = 2 b) r = 2 a 1 = 4 lub r = 2 a 1 = 8. 4. S 300 = ((102 + 999)/2)300 = 165150. 5. 2p 2 /3 5p/6 p/3. 6. a) a 1 = 486 q = 1/3 b) a 1 = 4. 7. a) 17/9 b) 31/99. 8. x = 1/2. 9. 4r 2 10. a) 2 b) 0 c) + d) 0 e) 1 f) 1 g) e 2 h) 1/e i) 1/4 j) 1/2 k) 3 l) 0. 11. e r 1; e rt 1. 12. a) + b) 0 + c) 0 0 d) 1 1 e) 1 1 f) 1 1 g) 2/9 2/9. 13. a) 6 b) 3/2 c) 1/2 d) nie istnieje. 14.. 15. a) y = 2 w ± x = 0 b) y = 1 w ± x = 2 x = 2 c) y = x w ± x = 2 d) y = 1 w ± x = 0 lewostr. 16. a) b = a b) a = 1 b = 1. 21. a) 3ax 2 b/x 2 b) 63x 6 15x 6 +33x 12 c) 9/(3x 2) 2 d) 2/(5 5 x 3 ) e) 2/(x 1) 2 f) x/ x 2 4 g) 1/(3( 3 x) 2 (1 3 x) 2 ) h) (x 1)/x + ln x i) x 2 (x + 3)e x j) (ln x e x )/(3 3 x 2 ) + 3 x(1/x e x ) k) ((2x 1/x)(e x + x) (x 2 ln x)(e x + 1))/(e x + x) 2 l) 5(4z 2 5z + 13)(8z 5) m) 12(7t 2 4/t + 6) 5 (14t + 4/t 2 ) n) 10e 2t o) 5 x ln 5 + 2 x ln 2 p) (3 x ln 3) x 3 + 3 x 3x 2 r) (1/ ln x) (1/x) s) 1/(x 2) t) 1/(1 t 2 ) u) 3/(1 + 9x 2 ) w) 1/2(x 2 + 1). 22. a) ( 4 4) lub (2 2) b) (0 1) c) y = 0 y = 0: p 2 + 4q = 2 d) (2 ln 2). 23. a) 4 1/48 b) 1 0.07 c) 1/2 + 1/800 d) 0.0007. 24. a) Niech f(x) = x ln(1 + x) dla x [0 ); f (x) = x/(1 + x) > 0 dla x > 0 czyli f(x) rosnąca na [0 ); f(0) = 0 więc f(x) > 0 dla x > 0. b) Niech f(x) = e x (x + 1) dla x R; f (x) = e x 1 stąd f(x) malejąca na ( 0] i rosnąca na [0 ); f min = f(0) = 0 więc f(x) 0 dla x R. c) jak b). 25. a) : x [0 1] : x > 1 b) : x [ 1 1] : na x < 1 i na x > 1 c) : na ( 2 i na ( 2 ) : x [ 2 2]. 26. a) : (1 ) : ( 1) pp: x = 1 b) : ( 0) : (0 ) pp: x = 0 c) : (0 ) : ( 0) pp: x = 0. 27. a) y max = y( 6) y min = y( 2) b) y max = y(2/3) c) y min = y( 1) y min = y(1). 28. a) max: y( 2) = y(2) = 13 min: y( 1) = y(1) = 4 b) max: y(3) = 10 min: y(1) = 10. 30. 10 + 10; wyznaczyć jako wartość największą odpowiedniej funkcji. 31. S = 4πr R 2 r 2 osiąga max dla r = R/ 2. 32. a) e t dla t = rx b) por. 1/(1 + x) = 1/(1 ( x)) i wzór na sumę ciągu geometr. c) e t dla t = x 2.
Matematyka lista 5 13 Matematyka Lista 5 1. Obliczyć całki nieoznaczone: (3x 3 +2 x 1)dx (b) x(x 1)(x 2)dx 2 3 x 3 x 2 + 2 x 3 + 8 (d) dx (e) dx (f) x x 2 + 1 x 2 x (h) (9x 2 x + 1) 2 2 x dx (i) 3 dx (j) x 2. Obliczyć całki całkując przez części: xe 3x dx (b) ln x dx (e) ln x x dx (f) x2 ln x dx (g) x 2 e x dx dx (g) x + 3 dx x 2 x 2 x 3 + 8 dx e x 2 x 5 x dx. (d) arctg x dx (h) x ln x dx (ln x) 2 dx. 3. Obliczyć całki całkując przez podstawienie: x a x 2 + 1 dx (b) (5 3x) 10 dx + bx dx (d) xe x2 dx (e) 4. Obliczyć całki: dx x 2 + 2x + 8 (d) x dx x 3 + 1 (e) 5. Obliczyć całki oznaczone: x x 4 + 1 dx (b) (f) x(x + 2) dx x 2 + 2x + 2 dx x 3 4x ln 2 x x dx (f) (g) ln x x x 2 dx x 2 + 2x + 5 2x 4 + 5x 2 2 2x 3 x 1 dx. dx. 2 0 3x 1 3x + 1 dx (b) 1 1 (x 3 x + 1)dx 2 1 x dx. 6. Wyznaczyć wzór na prędkość v(t) i drogę s(t) w ruchu prostoliniowym ze stałym przyspieszeniem a(t) = a gdy v(0) = v 0 i s(0) = s 0. 7. Obliczyć całki stosując podstawienie: 4 0 dx 1 + x x = t2 (b) 1 0 e x e 2x + 1 dx 2 3 dx x 2 + 2x + 1. 8. Obliczyć całkując przez części: 2 0 xe x dx (b) 1 0 x 2 arctg xdx e 1 ( ) 2 ln x dx. x
Matematyka lista 5 14 9. Obliczyć pole obszaru ograniczonego parabolami y = x 2 y 2 = x (b) parabolą y = 2x x 2 i prostą x + y = 0 krzywą y = ln x osią 0x i prostą x = e (d) krzywą y = (1 x 2 )5 i osiami układu. 10. Punkt materialny o masie m porusza się po linii prostej z prędkością v = (12t t 2 ) m/s. Jaką drogę przebędzie ten punkt od chwili początkowej do chwili zatrzymania się? 11. Obliczyć długość krzywej: 9y 2 = 2x 3 0 x 2 (b) y = ln(1 x 2 ) 0 x 1 2. 12. Obliczyć pole powierzchni powstałej z obrotu łuku paraboli y 2 = 4x dla 0 x 3 dokoła osi Ox oraz objętość bryły ograniczonej tą powierzchnią i płaszczyzną x = 3. 13. Posługując się całką oznaczoną wyprowadzić wzór na objętość kuli i pole powierzchni sfery o promieniu r. 14. Zbadać przekroje wykresów funkcji z = z(x y) i na tej podstawie naszkicować te wykresy: 3x + 2y + z 6 = 0 (b) z 2 = x 2 + y 2 z = x 2 + y 2 (d) z = xy. 15. Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego i drugiego funkcji: z = xy (b) z = xe xy z = x 2 y + ln(xy). 16. Znaleźć ekstrema funkcji z = z(x y): z = x 2 + xy + y 2 2x y (b) z = x 3 y 2 (6 x y). 17. Znaleźć najmniejsze i największe wartości funkcji z = z(x y) w podanym obszarze: z = x 2 + 2xy 4x + 8y w obszarze D : 0 x 1 0 y 2 (b) z = x 3 + y 2 3x 2y 1 w obszarze D : x 0 y 0 x + y 1 z = x 2 xy + y 2 w obszarze D : x + y 1. 18. Wyznaczyć odległość punktu A = (0 3 0) od powierzchni y = zx. 19. Liczbę dodatnią a przedstawić w postaci sumy takich trzech liczb dodatnich aby ich iloczyn był największy. 20. Prostopadłościenny magazyn ma mieć objętość V = 64 m 3. Do budowy ścian magazynu używane są płyty w cenie 30 zł/m 2 do budowy podłogi w cenie 40 zł/m 2 a sufitu 20 zł/m 2. Znaleźć długość a szerokość b i wysokość c magazynu którego koszt budowy będzie najmniejszy. 21. Znaleźć ekstrema funkcji uwikłanej y = f(x) określonej równaniem: x 2 + y 2 8x 4y + 19 = 0 (b) y 3 + 2xy + x 2 = 0 x 2 + y 4 = 0. 22. Znaleźć ekstrema funkcji uwikłanej z = f(x y) określonej równaniem: x 2 + y 2 + z 2 2x 2y 2z + 2 = 0 (b) z 2 + xyx zy 2 x 3 = 0.
Matematyka lista 5 15 23. Metodą mnożników Lagrange a wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji f(x y) przy danym warunku g(x y) = 0: f(x y) = x 2 + y 2 g(x y) = xy 1 (b) f(x y) = x 3 + y 3 g(x y) = x + y 2 x 0 y 0 f(x y) = 1/x + 1/y g(x y) = 1/x 2 + 1/y 2 1 x 0 y 0. Wskazówki i odpowiedzi 1. a) (3/4)x 4 + (4/3)x x x + c b) x 4 /4 x 3 + x 2 + c c) ln x 3/x + c d) 6 3 x 3 ln x + c; e) x arctg x + c g) (1/3) ln(x 3 + 8) + c h) 81/5x 5 18/4x 4 + 19/3x 3 x 2 + x + c i) 3/8 3 x 8 6/7 6 x 7. 2. a) e 3x (3x + 1)/3 + c b) x ln x x + c c) x 2 (2 ln x 1)/4 + c d) (1 + ln x)/x + c e) x arctg x (1/2) ln(x 2 + 1) + c f) x(ln x) 2 2x ln x + 2x + c. 3. a) e x2 /2 + c b) (5 3x) 11 /33 + c c) ( x 2 + 1) 3 /3 + c d) (ln x) 2 /2 + c e) (1/2)arctg(x 2 )+c f) 2( a + bx) 3 /3b+c. 4. a) (1/ 7)arctg((x+1)/ 7)+c b) x 2arctg(x + 1) + c c) x ln(x 2 + 2x + 5) (3/2)arctg((x + 1)/2) + c d) (1/6) ln((x 3 + 1)/(x + 1) 3 ) + (1/ 3)arctg((2x 1)/ 3) + c e) (1/8) ln((x 2 4)/x 2 ) + c f) x 2 /2 + ln 2x 3 x 1 + arctg(2x + 1) + c. 5. a) 2 (2 ln 7)/3 b) 2 c) 5/2. 6. v(t) = at + v 0 s(t) = at 2 /2 + v 0 t + s 0. 7. a) 4 2 ln 3 b) artctg e π/4 c) 1/2. 8. a) 1 3/e 2 b) π/12 (1 ln 2)/6 c) 2 5/e. 9. a) 1/3 b) 9/2 c) 1 d) 1/3. 10. s = 12 (12t 0 t2 )dt = 288 m. 11. a) 8(2 2 1)/3 b) ln 3 1/2. 12. D = 56π/3 V = 18π. 14. a) płaszczyzna; b) stożek; c) paraboloida obrotowa; d) siodło. 15. a) z x = y z y = x z xy = z yx = 1 z xx = z yy = 0; b) z x = (xy + 1)e xy z y = x 2 e xy z xy = z yx = (2x + x 2 y)e xy z xx = (2y + xy 2 )e xy z yy = x 3 e xy ; c) z x = 2xy+1/x z y = x 2 +1/y z xy = z yx = 2x z xx = 2y 1/x 2 z yy = 1/y 2. 16. a) z min = z(1 0) = 1; b) z max = z(3 2) = 72. 17. a) 3 17; b) 4 1; c) 0 1. 18. 5. 19. a/3 + a/3 + a/3. 20. a = b = c = 4. 21. a) dla x = 4 min y = 1 i max y = 3; b) max y = 1 w x = 1. 22. a) z 1 w (1 1) min z = 1 i max z = 2 na dwóch gałęziach; b) w ( 6 6 3) min z = 12 3 i w ( 6 6 3) max z = 12 3. 23. a) w (1 1) i w ( 1 1) min = 2; b) w (1 1) min = 2; c) w ( 2 2) min = 2 w ( 2 2) max = 2.
Matematyka lista 6 16 Matematyka Lista 6 1. Rozwiązać równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych: dy dx = 2y x dy (b) 2x2 dx = y dy dx = 2xy2 x 2 dy dx. 2. Znaleźć rozwiązanie r.r. spełniające warunek początkowy y(1) = 0: (1 + x 2 )xy dy dx = 1 + y2 (b) dy dx = 2xb (y 2 + 1) b R. 3. W pewnym ruchu stosunek prędkości do przebytej drogi jest wielkością stałą i wynosi 2. W chwili t = 0 przebyta droga wynosiła x = 2 cm. Obliczyć przebytą drogę do chwili t = 5 sek. 4. Wyznaczyć równanie linii przechodzącej przez punkt A(2 3) takiej że każdy odcinek stycznej do tej linii zawarty między osiami układu jest dzielony na połowy przez punkt styczności. 5. Rozwiązać równanie różniczkowe liniowe: dy dx = 3y x + x dy (b) dx + 2y = e3x x dy dx + x2 + xy = y. 6. Znaleźć całki szczególne spełniające dane warunki początkowe: y y = e x y(0) = 1 (b) (1 x 2 )y + xy = 1 y(0) = 1. 7. W chwili t = 0 skoczek spadochronowy o masie m wyskakuje z samolotu i opada swobodnie na ziemię (z zamkniętym spadochronem). Na ciało skoczka działają jedynie siła grawitacji (F g = mg) i skierowana przeciwnie do kierunku ruchu siła oporu powietrza proporcjonalna do prędkości skoczka (tzn. F o = kv gdzie k > 0 jest stałą proporcjonalności). Znaleźć wzór na prędkość opadania skoczka w chwili t > 0. (b) Jaką maksymalną prędkość może osiągnąć skoczek? 8. W chwili t = 0 agencja rządowa ma 6000 pracowników wśród których 25% to kobiety. Średnio w ciągu tygodnia agencję opuszcza 100 osób przy czym udział kobiet wśród odchodzących jest taki sam jak wśród dotychczas zatrudnionych. Średnio w ciągu tygodnia do pracy przyjmowanych jest 50 nowych pracowników z których połowę stanowią kobiety. Ilu pracowników będzie miała agencja w 40 tygodniu? (b) Jaki będzie udział kobiet wśród osób pracujących w agencji w 40 tygodniu?
Matematyka lista 6 17 Wskazówki i odpowiedzi 1. a) y = Cx 2 b) y = C e 1/2x c) C(1+x 2 ). 2. a) 1+y 2 = Cx 2 /(1+x 2 ) C = 2 b) y = tg(2x b+1 /(b+1)+c) i C = 2/(b+1) gdy b 1; y = tg ln(cx 2 ) i C = 1 gdy b = 1. 3. v(t) = dx(t)/dt v(t)/x(t) = 2; stąd x(t) = Ce 2t z C = 2. 4. RR: xy (x) = y(x); y = C/x z C = 6. 5. a) y = cx 3 x 2 b) y = ce 2x + e 3x /5 c) y = cxe x x. 6. a) y = e x (x + 1) b) y = x + 1 x 2. 7. a) v(t) = mg k (1 e k m t ) b) v max = mg k. 8. Niech W (t) oznacza liczbę kobiet pracujących w agencji w chwili t. Wówczas: a) W (t) = (6000 50t) 2 ; b) 24000 W (40) 6000 40 50 6000 50t 2 2000 2000/3 100% = 100% = 1 4000 3 100%.