Kogruecje kwadratowe symbole Legedre a i Jacobiego Kogruecje Wykład 4
Defiicja 1 Kogruecję w ostaci x a (mod m), gdzie a m, azywamy kogruecją kwadratową; jej bardziej ogóla ostać ax + bx + c może zostać zredukowaa do tej rostszej jeżeli: a m i b jest liczbą iearzystą, albo dla iearzystego m. Stwierdzeie α Dla modułu złożoego m 1 α 1 α... r r kogruecja x a (mod m) jest rówoważa układowi kogruecji x a (mod αi i ) i 1,,..., r. Defiicja Jeżeli kogruecja x a (mod m), a m ma rozwiązaie, to liczbę a azywamy resztą kwadratową modulo m; jeżeli kogruecja rozwiązaia ie ma, to liczbę a azywamy ieresztą kwadratową modulo m. (określeie reszta kwadratowa moża w sosób aturaly rozszerzyć a reszty stoia k-tego dla kogruecji x k a (mod m))
Kogruecje kwadratowe dla modułu Twierdzeie Dla modułu będącego iearzystą liczbą ierwszą i dla a m kogruecja x a (mod ) ma dwa rozwiązaia modulo albo w ogóle ie ma rozwiązań. Dowód: jeżeli x i y są dwoma rozwiązaiami aszej kogruecji to x y (mod ) (x + y)(x y). Ozacza to, że (x + y) lub (x y), a stąd x ±y (mod ). Jeżeli kogruecja ma rozwiązaia, to są to dwa rozwiązaia, różiące się zakiem.
Reszty i iereszty kwadratowe dla modułów dla modułu 5...... resztami kwadratowymi są liczby 1 i 4; iereszty to liczby i 3: 1 4 1 (mod 5), 3 4 (mod 5). dla modułu 7...... resztami kwadratowymi są liczby 1, i 4; iereszty to 3, 5 i 6: 1 6 1 (mod 7), 5 4 (mod 7), 3 4 (mod 7)...... dla modułu 11 kwadratowymi...... resztami są liczby 1, 3, 4, 5 i 9; iereszty to liczby, 6, 7, 8 i 10: 1 10 1 (mod 11), 9 4 (mod 11), 3 8 9 (mod 11), 4 7 5 (mod 11), 5 6 3 (mod 11)... i wreszcie dla modułu 3 kwadratowymi...... resztami są liczby 1,, 3, 4, 6, 8, 9, 1, 13, 16 i 18; ozostałe liczby(z zakresu 5 ) są ieresztami. (srawdź wszystkie kogruecje modulo 3!)
Reszty i iereszty kwadratowe dla modułu złożoego Dla złożoego modułu, a rzykład dla m 15, kogruecje kwadratowe mają ostacie 1 4 11 14 1 (mod 15) 7 8 13 4 (mod 15) Tak więc resztami kwadratowymi są tylko liczby 1 i 4! Wszystkie ozostałe reszty z rzedziału 13 są ieresztami kwadratowymi.
Reszty i iereszty kwadratowe ile ich jest?... twierdzeie Kogruecja kwadratowa z modułem > ma dokładie 1 kwadratowych i taką samą liczbę iereszt kwadratowych. reszt dowód: wystarczy rozważyć 1 kogruecji: x 1 (mod ), x (mod ),..., x 1 (mod ). Każda z ich albo ie ma rozwiązaia, albo ma dwa rozwiązaia: są to liczby 1 (mod ), (mod ),..., ( ) 1 (mod )..... i jeszcze jedo twierdzeie Kogruecja kwadratowa z modułem > ma N() ar (kolejych liczb) będących resztami kwadratowymi. N() 1 4 ( 4 ( 1) ( 1)/).
Reszty i iereszty kwadratowe weryfikacja dla modułu 3 kwadratowymi...... resztami są liczby 1,, 3, 4, 6, 8, 9, 1, 13, 16 i 18; ozostałe liczby 5, 7, 10, 11, 14, 15, 17, 19, 0, 1 i są ieresztami. Jedych i drugich jest (3 1)/ 11. Wartość N(3) 5; te 5 kolejych reszt kwadratowych to dwójki: (1,), (,3), (3,4), (8,9) i (1,13). Kryterium Eulera Dla > liczba a jest resztą kwadratową modulo wtedy i tylko wtedy gdy a ( 1)/ 1 (mod ). (Dowód odamy rzy małym twierdzeiu Fermata.)
Symbol Legedre a i symbol Jacobiego defiicja Legedre Dla będącego liczbą ierwszą iearzystą i a Z, a wrowadzamy symbol Legedre a: ( ) { a 1, gdy a jest resztą kwadratową modulo, 1, gdy a jest ieresztą kwadratową modulo. (Używa się też otacji a Q reszta; a Q iereszta.) rzykład Legedre Dla 11 resztami kwadratowymi są liczby 1, 3, 4, 5, 9; ieresztami, 6, 7, 8, 10. Dlatego ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 4 5 9 1 11 11 11 11 11 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 7 8 10 1 11 11 11 11 11
Własości symbolu Legedre a Dla będącego liczbą ierwszą iearzystą oraz a, b Z, a, b zachodzi 1 a b (mod ) ( ) a 1 a rzykład ( ) a ( ) b. ( ) 1 1. 3 ( ) a a ( 1)/ (mod ) (kryterium Eulera). 4 ( ) ab ( a )( ) b. 5 ( ) 1 ( 1) ( 1)/.
Własości symbolu Legedre a, c.d. Pierwsze trzy własości są oczywiste i bardzo łatwe do wykazaia. Piąta rówież jest to kryterium Eulera dla a 1. Dla udowodieia własości (4) też korzystamy z kryterium Eulera: ( ab ) (ab) ( 1)/ (mod ) a ( 1)/ b ( 1)/ (mod ) ( a )( b Wartości wszystkich symbolów to ±1, stąd z kogruecji wyika zwykła rówość. Z własości tych wyika waży raktyczy...... wiosek: Dla będącego liczbą ierwszą iearzystą zachodzi ( ) { 1 1, gdy 1 (mod 4), 1, gdy 3 (mod 4). Dowód korzysta zowu z kryterium Eulera. Na rzykład, ierwsza część alteratywy: 4 + 1 ( 1) ( 1)/ ( 1) 1 i aalogiczie dla 4 + 3. ) (mod ).
Obliczaie symbolu Legedre a a rzykład czy kogruecja x 63 (mod 11) ma rozwiązaie? ( ) ( ) ( )( ) ( ) 63 (1) 8 (4) () Obliczamy: 1 1, gdzie 11 11 11 11 11 ostatie rzejście wymaga rzeaalizowaia układu reszt modulo 11. Kogruecja ie ma rozwiązaia. Metoda (lemat) Gaussa obliczaia symbolu Legedre a Dla { będącego liczbą ierwszą iearzystą i liczby a, a tworzymy zbiór a, a,..., 1 } a i srawdzamy dla ilu z tych liczb ajmiejsza (co do wartości bezwzględej) reszta z dzieleia rzez jest ujema. Liczbę tych ujemych reszt ozaczamy ω. Mamy: ( ) a ( 1) ω.. Dowód ozostawiamy jako zadaie do rozwiązaie (or.ya).
Obliczaie symbolu Legedre a rzykład jeszcze raz kogruecja x 63 (mod 11). ( ) ( ) 63 (1) 8 Dla obliczeia symbolu tworzymy układ reszt modulo 11 11 11 układ ięciu (( 1)/ 5) liczb: {1 8, 8, 3 8, 4 8, 5 8}. Obliczamy te i rzekształcamy je w reszty ajmiejsze, tz. reszty kogruete do ich modulo 11, ale zawarte w rzedziale [ 5, +5]. mamy: {8, 16, 4, 3, 40} (mod 11) {8, 5,, 10, 7} (mod 11) { 3, 5,, 1, 4} (mod 11). ( ) 63 ω 3 a więc jeszcze raz wykazaliśmy, że 1 11 kwadratowa kogruecja ie ma rozwiązań.
Symbol Legedre a dla a Z lematu Gaussa wyika koleje...... twierdzeie: Dla będącego liczbą ierwszą iearzystą ( ) { ( 1) ( 1)/8 1, gdy ±1 (mod 8), 1, gdy ±3 (mod 8). Dowód ozostawiamy jako zadaie do rozwiązaie (or.ya). rzykład czy kogruecja x (mod 7) ma rozwiązaie? ( ) ( ) wystarczy obliczyć. Poieważ 7 1 (mod 8) to 1 7 7 kogruecja ma rozwiązaie zresztą widać go jak a dłoi - ±3.
Prawo wzajemości reszt kwadratowych Matematyka to królowa auk, a teoria liczb to królowa Matematyki. Osiągięciem, z którego Gauss był ajbardziej dumy jest właśie...... twierdzeie o wzajemości reszt kwadratowych Dla i q będących różymi iearzystymi liczbami ierwszymi zachodzi alteratywa ( ) ( ) q q ( ) ( ) q q jeżeli 1 (mod 4) lub q 1 (mod 4); jeżeli 3 (mod 4) i q 3 (mod 4). Alteratywe bardziej komakte sformułowaie to: ( )( ) q ( 1) ( 1)(q 1)/4. q Prawo to ozwala szybko obliczać wartości symbolu Legedre a oczywiście dla modułów będących liczbami ierwszymi...
Symbol Jacobiego defiicja Jacobi Dla będącego liczbą złożoą i iearzystą o rozkładzie kaoiczym 1 α 1 α... r α r oraz liczby a Z wrowadzamy symbol Jacobiego: ( ( ) α1 ( ) α ( ) αr a a a a..., ) 1 ( ) a gdzie ozacza symbol Legedre a. i Symbol Jacobiego jest rozszerzeiem symbolu Legedre a a rzyadek modułów złożoych; oczywiście dla symbol J to ic iego jak symbol L. r
Własości symbolu Jacobiego Dla m i będących iearzystymi liczbami całkowitymi oraz a, b Z, a, b zachodzi 1 a b (mod ) ( a ) ( ) ab ( a ) ( ) b. 3 dla m ( ) b. ( a ) ( a )( a m m ) 4 ( ) 1 ( 1) ( 1)/.
Własości symbolu Jacobiego ciąg dalszy Dla m i będących iearzystymi liczbami całkowitymi oraz a, b Z, a, b zachodzi 5 ( ) 1 1. 6 ( ) ( 1) ( 1)/8. 7 dla m ( m ) 8 ( a1 a... a ) r 9 ( ) ab ( 1) (m 1)( 1)/4( ). m ( a1 )( a )... ( ar ) ( a ) ; dla a, b!
Własości symbolu Jacobiego Przykład ( ) 6 35 ( 6 5 )( ) 6 7 ( 1 5 liczba 6 jest ieresztą kwadratową modulo 6 )( ) 1 1 7 mieliśmy Legedre ( ) { a 1, gdy a jest resztą kwadatową modulo, 1, gdy a jest ieresztą kwadatową modulo. Mamy Jacobi { ( a 1, gdy a jest lub ie jest resztą kwadatową modulo, ) 1, gdy a jest ieresztą kwadatową modulo.
Własości symbolu Jacobiego A więc symbol Jacobiego, obliczay odobie jak symbol Legedre a dostarcza jedozaczej iformacji o iemożości rozwiązaia kwadratowej kogruecji x a (mod ) kiedy jego wartość jest rówa 1; atomiast dla wartości rówej +1 srawa ozostaje otwarta...... a rzykład ( ) 1009 307 (J7) ( ) ( ) ( ) 307 (J1) 89 (J) 17 (J9) 1. 1009 1009 1009 w raktyce symbol J jest wykorzystyway do obliczeń ( a skróty ) symbolu L: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 335 (J7) 999 (J1) 16 (J) 1 4 (J9) 1 1. 999 335 335 335 335 Poieważ moduł (wyjściowy!) był liczbą ierwszą obliczoa wartość (według reguł dla s. J.) okrywa się z wartością symbolu L.)