J. Szantyr Wyład nr Podstawy gazodynamii I Model łyn ściśliwego załada, że na dodatni rzyrost ciśnienia łyn odowiada dodatnim rzyrostem gęstości, czyli: a W łynie nieściśliwym jest: Gazodynamia zajmje się rzeływami w tórych zjawiso ściśliwości łyn wływa na charater rzeływ. W orównani z rzeływem łynów nieściśliwych liczba równań niezbędnych do ois rzeływ wzrasta z dwóch do co najmniej czterech: Równanie zachowania masy Równanie zachowania ęd Równanie zachowania energii Równanie stan Równania dodane w gazodynamice
Równanie stan W rostych analizach gazodynamicznych wyorzystje się model gaz idealnego i dosonałego ze stałymi wartościami cieła właściwego, oisany równaniem Claeyrona: gdzie: RT R c c v 834 m R 87 m 8,97 s K const c c v dla owietrza const m m c 78 c s K 5, 4 s K cv c v Przy stałych wartościach cieła właściwego wyznaczenie zmian energii wewnętrznej e i entalii h gaz jest roste: e e c T v h h c T T Benoit Claeyron 799-864 T
Równanie zachowania energii Pntem wyjścia jest równanie Bernolliego wyrowadzone dla rzeływów łyn ściśliwego rzy założeni rzemiany adiabatycznej: C gz W rzeływach gaz zwyle omija się człon otencjalny. Trzeci wyraz równania może być rzeształcony rzy wyorzystani równania stan do ostaci: C T c h Z owyższego wynia, że rzy schłodzeni łynącego gaz do zera bezwzględnego (T=) osiągnie on rędość masymalną ograniczoną do wartości: C max
Proagacja małych zabrzeń w gazie idealnym. Rozatrjemy niestalony rzeływ jednowymiarowy, w tórym wystęją zabrzenia ciśnienia i gęstości o amlitdach małych w stosn do wartości średnich tych arametrów, czyli : t, x x, t
Równania zachowania dla tego rzyad mają ostać: równanie zachowania masy: równanie zachowania ęd (Eler): t x t x x Aby zamnąć ład onieczne jest dołączenie równania adiabaty Poissona: c const gdzie: - wyładni adiabaty cv Poissona Teraz mamy trzy równania i trzy niewiadome:,, ρ Linearyzacja ład równań i szereg rzeształceń rowadzi do równań falowych: dla gęstości: t a x
dla ciśnienia: t a x dla rędości: a t t Rozwiązania równania falowego n. dla ciśnienia mają ostać: x, t f x a t rzedstawia ono falę o oczątowym rofil x, f x, rozrzestrzeniającą w dodatnim iern osi x, oraz: x, t g x a t Przedstawia ono falę o oczątowym rofil x, g x, rozrzestrzeniającą się jemnym iern osi x. Niezmienność rofil rozchodzącej się fali jest onsewencją założenia małych zabrzeń (czyli liniowości równań).
Z liniowego równania falowego wynia, że małe zabrzenia roagją się w gazie ze stałą rędością. Ponieważ fale dźwięowe są również małymi zabrzeniami, to rędość ich roagacji można interretować jao rędość dźwię: a Loalna rędość dźwię: a R T Z owyższej zależności wynia, że rędość dźwię jest tym więsza im mniej ściśliwy jest ośrode. W owietrz na oziomie morza rędość dźwię jest rzęd 34 [m/s], a w wodzie rzęd 5 [m/s]. Kryterim odobieństwa dla szybich rzeływów w gazach jest liczba Macha: redosc _ rzelyw Ma a redosc _ dzwie Ernst Mach 838-96
Za względ na wartość liczby Macha rzeływy możemy odzielić na: - nisie oddźwięowe Ma<,3 (efety ściśliwości są omijalne) - oddźwięowe,3<ma<, - oołodźwięowe ( w ograniczonych obszarach Ma>,) - naddźwięowe,<ma<3, - hierdźwięowe Ma>3,
Przyładowe wartości rędości w różnych materiałach rzy ciśnieni bar i temeratrze 5 stoni Celsjsza Materiał Prędość dźwię [m/s] Wodór 94 Hel Powietrze 34 Dwtlene węgla 66 Metan 85 Gliceryna 86 Woda 49 Rtęć 45 Alohol etylowy Alminim 55 Stal 56 Drewno 4 Lód 3
Parametry siętrzenia Jeżeli gaz oływa ciało stałe, to nt w tórym linia rąd dochodzi rostoadle do owierzchni ciała nazywamy ntem siętrzenia, w tórym rędość gaz wynosi zero. Parametry gaz w tym ncie nazywamy arametrami siętrzenia wyróżniamy je indesem. Jeżeli gaz łynie z rędością to mamy: Entalia siętrzenia: h c T c T Temeratra siętrzenia: T T c T Nagłem zahamowani rzeływ towarzyszy adiabatyczne srężanie gaz, co rowadzi do zależności: T T Ma
Wyorzystjąc równanie adiabaty Poissona można zysać zależności omiędzy ciśnieniem i gęstością w rzeływie a ciśnieniem i gęstością siętrzenia: Ma Ma Uwzględniając związe omiędzy rędością dźwię a temeratrą można wyrowadzić odobną do owyższych relację dla rędości dźwię: Ma a a
Przy adiabatycznej esansji gaz odczas rzeływ rzez zbieżną część dyszy nastęje obniżenie temeratry i towarzyszące m obniżenie loalnej rędości dźwię. Jednocześnie rośnie rędość rzeływ. Zrównanie się tych rędości oreśla tzw. rytyczne arametry rzeływ tradycyjnie oisywane symbolami z gwiazdą. Przerój dyszy w tórym zostały osiągnięte arametry rytyczne nazywa się rzerojem rytycznym. Parametry rytyczne
Stosne rędości rzeływ do rędości rytycznej jest nazywany liczbą Lavala: T R Można wyrowadzić nastęjące zależności omiędzy arametrami rytycznymi a arametrami siętrzenia rzeływ gaz (wartości liczbowe dla owietrza =,4): gdzie:,83 T T T T,636,58
Można również wyznaczyć strmień masy rzeływ rzez dyszę: Q Q Doói ciśnienie na wylocie z dyszy (czyli tzw. rzeciwciśnienie) jest więsze od ciśnienia rytycznego strmień masy wzrasta ze zmniejszaniem rzeciwciśnienia. Gdy rzeciwciśnienie obniży się oniżej rytycznego, nastęje zadławienie dyszy - masowe natężenie rzeływ osiąga wartość masymalną i dalej jż nie rośnie: S Q max
Przeływ rzez dyszę de Lavala Gstaf de Laval 845-93 Dysza de Lavala jest rządzeniem możliwiającym rozędzenie rzeływ gaz do rędości naddźwięowych. Orócz innych zastosowań jest ona częścią silniów raietowych.
Jednowymiarowy stalony rzeływ łyn ściśliwego równanie zachowania masy: xxsx const o zróżniczowani: d d ds S S dx dx dx o odzieleni rzez ρs: d d ds dx dx S dx onadto mamy: d d a czyli: d dx Dysza słada się z onfzora (część zbieżna), gardzieli (czyli najwęższego rzeroj) oraz dyfzora (część rozbieżna). d d d dx a d dx
Gradient ciśnienia może być odstawiony z jednowymiarowego równania Elera dla rzeływ stalonego: czyli: d dx d dx d d d ds dx a dx dx S dx Ma Ma Wynia z tego, że charater rzeływ gaz w dyszy de Lavala zależy od wartości liczby Macha: d ds S Przeływ oddźwięowy rędość odwrotnie roorcjonalna do zmiany ola rzeroj dyszy. Przeływ naddźwięowy rędość rośnie ze wzrostem ola rzeroj dyszy.
Przy rędości oddźwięowej zwięszenie rzeroj dyszy rowadzi do zmniejszenia rędości a zmniejszenie rzeroj do wzrost rędości odwrotnie rzy rędości naddźwięowej. Wniose: dysza de Lavala możliwia rozędzenie rzeływ gaz do rędości naddźwięowej od warniem osiągnięcia rędości dźwię w najwęższym rzeroj. Istnieje masymalne możliwe masowe natężenie rzeływ rzez dyszę de Lavala, wyrażające się nastęjącą zależnością: m max Masymalne masowe natężenie rzeływ odowiada osiągnięci w najwęższym rzeroj dyszy rędości dźwię oraz ciśnienia rytycznego: c gdzie: c v
Możliwe rzyadi rzeływ rzez dyszę de Lavala rzeływ oddźwięowy można ich zrealizować niesończenie wiele w zależności od wartości ciśnienia na wylocie (czyli tzw. rzeciwciśnienia). w onfzorze rzeływ oddźwięowy, w gardzieli rędość dźwię, w dyfzorze rzeływ nad- lb oddźwięowy zależnie od wartości rzeciwciśnienia. 3 gaz wływa do dyszy jż z rędością naddźwięową, w onfzorze jest leo rzyhamowany, ale w gardzieli jest nadal rędość naddźwięowa. W dyfzorze rzeływ nadal rzysiesza, czyli w całej dyszy mamy rzeływ naddźwięowy.