Projekt dyplomowy in»ynierski

Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Katedra: Analizy Matematycznej i Numerycznej Kierunek: Matematyka Specjalno± : Matematyka Finansowa Rodzaj studiów: stacjonarne Aleksandra Kantowska Nr albumu: 1201666 Projekt dyplomowy in»ynierski Temat projektu: Analiza ryzyka portfela: inwestycje w srebro i zªoto. Zakres projektu: Przedstawienie miar ryzyka Value-at-Risk oraz expected shortfall. Przedstawienie podstawowych poj dotycz cych teorii kopuª. Wykorzystanie teorii kopuª do analizy ryzyka portfela inwestycyjnego zªo»onego z inwestycji w srebro i w zªoto przy pomocy programu R. Potwierdzenie przyj cia projektu: Opiekun projektu: Kierownik Katedry: dr hab. Karol Dziedziul dr hab. Karol Dziedziul Gdansk, 22.12.2011

Spis tre±ci Wst p 3 1 Miary ryzyka 5 1.1 Koherentne miary ryzyka............................ 5 1.2 Uogólniona funkcja odwrotna......................... 7 1.3 Warto± zagro»ona - Value-at-Risk (V ar α ).................. 9 1.4 Zagro»ona warto± oczekiwana - Expected Shortfall (ES α )......... 11 2 Surowce 15 2.1 Podstawowe informacje............................. 15 2.2 Notowania.................................... 17 2.3 Analiza rozkªadu................................ 20 2.4 Value at Risk.................................. 23 2.5 Expeted Shortfall................................ 24 3 Ryzyko portfela z wykorzystaniem funkcji kopuªa 27 3.1 Funkcja kopuªa................................. 27 3.2 Kopuªy dla portfela............................... 31 3.3 Value at Risk.................................. 34 3.4 Expected Shortfall............................... 38 Podsumowanie 42 Zaª czniki 43 Zaª cznik 1....................................... 43 Zaª cznik 2....................................... 45 Zaª cznik 3....................................... 46 Bibliograa 51 1

Wst p Ryzyko, jest poj ciem nie obcym»adnemu czªowiekowi. Mo»emy si z nim spotka w ró»nych sytuacjach, zarówno w»yciu codziennym jak i w nansach. W zwi zku z tym,»e istnieje ryzyko, istniej tak»e sposoby jego obliczania i zabezpieczania si przed nim. W pracy tej postaram si przybli»y metody jego wyliczania. W pracy skupi si na wyznaczeniu ryzyka inwestycji za pomoc dwóch miar: warto- ±ci zagro»onej oraz expected shortfall. Pierwsza z nich jest jedn z najpopularniejszych miar ryzyka. Jest stosowana przez banki, instytucje nansowe czy towarzystwa ubezpieczeniowe. Od roku 2012, zgodnie z dyrektyw Unii Europejskiej Solvency II (pol. Wypªacalno± II), wszystkie rmy ubezpieczeniowe b d musiaªy oblicza ryzyko oraz poziom rezerw za pomoc warto±ci zagro»onej. W pracy zajm si analiz ryzyka straty, jak mo»e ponie± inwestor w przypadku, gdy zainwestuje 1 mln dolarów na okres jednego miesi ca. Dokonam porównania ryzyka trzech ró»nych inwestycji. Pierwsz z nich b dzie zainwestowanie 1 miliona dolarów w srebro, drug b dzie inwestycja 1 miliona dolarów w zªoto, a trzeci zainwestowanie w portfel zªo»ony z inwestycji 500 000 dolarów w srebro i 500 000 dolarów w zªoto. We wszystkich trzech przypadkach za poziom ufno±ci przyjm α = 0, 95. Praca skªada si z trzech rozdziaªów, a ka»dy z nich zostaª podzielony na podrozdziaªy. W rozdziale pierwszym wprowadzone zostanie poj cie koherentnej miary ryzyka, oraz przykªady miar: Valu-at-Risk (V ar α ) oraz expected shortfall (ES α ). Zostanie równie» wprowadzona denicja uogólnionej funkcji odwrotnej oraz jej wªasno±ci. W drugim rozdziale zostan przedstawione podstawowe informacje o dwóch surowcach - srebrze i zªocie. Nast pnie na postawie historycznych notowa«z ostatniego dnia miesi ca na przestrzeni 5 lat i warto±ci stóp strat obliczonych z tych danych zostanie sprawdzone, czy stopy strat maj rozkªad normalny. Po sprawdzeniu rozkªadów i wyznaczeniu kwantyla rozkªadu zajmiemy si wyznaczeniem warto±ci miar V ar oraz ES dla dwóch inwestycji, w zªoto i srebro. Ka»da z tych inwestycji b dzie to inwestycja 1 miliona dolarów na okres 1 miesi ca. W rozdziale trzecim zostanie wprowadzona teoria dotycz ca funkji kopuªy. Nast pnie wykorzystuj c funkcj kopuªy zajmiemy si wyznaczeniem warto±ci V ar i ES w przypadku inwestycji w zdywersykowany portfel inwestycyjny, skªadaj cy si z inwestycji 500 2

000 dolarów w srebro oraz inwestycji 500 000 dolarów w zªoto. W pracy potrzebne obliczenia zostaªy wykonane przy wykorzystaniu programu R, a kody u»yte do tych wylicze«znajduj si w zª cznikach do tej pracy. 3

Rozdziaª 1 Miary ryzyka Zacznijmy od okre±lenia czym jest ryzyko. Najpro±ciej mówi c ryzyko jest to prawdopodobie«stwo poniesienia straty, mo»liwo± niepowodzenia inwestycji czy dziaªa«. Ryzyko jest obecne w ka»dej dziedzinie, jest to zarówno nieodª czny element»ycia ka»dego czªowieka, dziaªalno±ci podmiotów gospodarczych, jak i dziaªalno±ci na rynkach nansowych. Skupiaj c si na nansach mo»emy wyró»ni wiele rodzajów ryzyka. Jednym z nich jest ryzyko rynkowe, które mo»emy podzieli na interesuj ce nas ryzyko cen towarów, a tak»e ryzyko kursu walut, ryzyko stopy procentowej czy ryzyko cen akcji. Innymi przykªadami ryzyka s ryzyko kredytowe, operacyjne czy ryzyko prawne. W zwi zku z istnieniem ryzyka istnieje tak»e potrzeba zabezpieczenia si przed nim. Aby móc uchroni si przed potencjaln strat, trzeba pozna jej mo»liw wielko±. Wªa- ±nie ta warto± jest jedn z wa»niejszych rzeczy, które chc pozna osoby oraz instytucje dziaªaj ce na rynkach nansowych. Jednym ze sposobów obliczania ryzyka jest stosownie miar ryzyka, w szczególno±ci koherentnych miar ryzyka, które przedstawi w tym rozdziale. Rozdziaª ten opracowaªam gªównie na podstawie ksi»ki [6]. 1.1 Koherentne miary ryzyka Aby okre±li co t s koherentne miary ryzyka musimy zacz od okre±lenia czym jest miara ryzyka. Zacznijmy od tego,»e (Ω, F, P ) jest przestrzeni probabilistyczn a poprzez oznaczymy horyzont czasowy inwestycji. Wprowad¹my tak»e zbiór wszystkich zmiennych losowych zdeniowanych na (Ω, F), oznaczmy go poprzez L 0 (Ω, F, P ). Przez zbiór zmiennych losowych M L 0 (Ω, F, P ) oznaczmy reprezentacj ryzyka nansowego, które interpretujemy jako strat portfela na zadanym horyzoncie czasu, gdzie M jest sto»kiem wypukªym zdeniowanym nast puj co: Denicja 1. (Sto»ek wypukªy M)[6] 4

Sto»ek wypukªy jest to niepusty podzbiór przestrzeni liniowej M L 0 (Ω, F, P ) o nast puj cych wªasno±ciach: λ>0 L M λl M L 1, L 2 M L 1 + L 2 M R M. W naszym przypadku rozpatrujemy wszystko z punktu widzenia strat dlatego poprzez L i oznaczmy strat z i-tej inwestycji. Mo»emy teraz wprowadzi denicj miary ryzyka. Denicja 2. (Miara ryzyka)[6] Miar ryzyka nazywamy pewn funkcj rzeczywist dziaªaj c ze zbioru zmiennych losowych okre±lonych na sto»ku wypukªym na zbiór liczb rzeczywistych ρ : M R. Znaj c ju» denicj miary ryzyka mo»emy pozna jej interpretacj. Ogólnie ujmuj c, miar ryzyka ρ(l) interpretujemy jako kwot kapitaªu (rezerw ), któr powinni±my doda do pozycji w portfelu o mo»liwej stracie L. Gdy rezerwy zostan wyliczone i zabezpieczone to taka pozycja mo»e zosta zaakceptowana przez osoby sprawuj ce kontrol nad ryzykiem. W przypadku, gdy wyliczona warto± miary ryzyka jest mniejsza lub równa zeru (ρ(l) 0) to mo»emy stwierdzi,»e nie mamy potrzeby tworzenia dodatkowych rezerw, poniewa» ujemna strata to jest zysk. W sytuacji, gdy otrzymamy miar ryzyka mniejsz od zera ρ(l) < 0 to nie tylko nie ma potrzeby tworzenia rezerw, mo»liwe jest nawet wycofanie cz ±ci kapitaªu. Natomiast w przypadku, gdy wyliczona miara ryzyka b dzie wi ksza od zera ρ(l) > 0 to aby inwestycja zostaªa zaakceptowana przez kontrolerów ryzyka potrzebne jest stworzenie rezerw. Znaj c ju» denicje sto»ka wypukªego oraz miary ryzyka mo»emy przej± do wprowadzenia denicji koherentnej miary ryzyka. Denicja 3. (Koherentna miara ryzyka)[6] Miar ryzyka ρ, której dziedzina zawiera sto»ek wypukªy M (ρ : M R), nazywamy koherentn miar ryzyka, je»eli miara ta speªnia aksjomaty 1-4. Aksjomaty, które s wymagane przez denicj koherentnej miary ryzyka, zostaªy wprowadzone w 1999 prze Artzner'a i s one nast puj cej postaci: 5

Aksjomat 1. (Niezmienniczo± ze wzgl du na translacj ) L M l R ρ(l + l) = ρ(l) + l Aksjomat ten oznacza,»e je»eli do pozycji o mo»liwej stracie L dodamy b d¹ odejmiemy wielko± l, zmienimy w ten sposób nasze wymagania odno±nie kapitaªu o dokªadnie t kwot l. Aksjomat 2. (Subaddytywno± ) L1,L 2 M ρ(l 1 + L 2 ) ρ(l 1 ) + ρ(l 2 ) Miara ryzyka jest subaddytywna, je»eli dla dowolnych inwestycji A (o stracie L 1 ) i B (o stracie L 2 ), ryzyko poniesienia straty dla portfela A + B jest niewi ksze ni» suma ryzyka straty inwestycji A i ryzyka straty z inwestycji B. Ryzyko portfela zªo»onego z dwóch skªadników jest mniejsze lub równe sumie ich indywidualnych ryzyk. Aksjomat 3. (Dodatnia jednorodno± ) L M λ>0 ρ(λl) = λρ(l) Je»eli powi kszymy λ-krotnie rozmiar ka»dej pozycji w portfelu, ryzyko portfela wzro- ±nie λ-krotnie. Aksjomat 4. (Monotoniczno± ) L1,L 2 M L 1 L 2 p p.w ρ(l 1 ) ρ(l 2 ) Je»eli strata L 1 (dla inwestycji A) jest wi ksza ni» strata L 2 (dla inwestycji B) dla wszystkich mo»liwych scenariuszy straty, wtedy ryzyko straty z inwestycji A jest wi ksze, ni» ryzyko straty z inwestycji B. 1.2 Uogólniona funkcja odwrotna Aby przej± do przykªadów miar ryzyka jakimi s Value-at-Risk oraz Expected Shortfall musimy najpierw wprowadzi denicj uogólnionej funkcji odwrotnej oraz jej wªasno- ±ci. Denicja 4. (Uogólniona funkcja odwrotna)[6] Niech funkcja niemalej ca T b dzie okre±lona nast puj co T : R R, uogólniona funkcja odwrotna do funkcji T jest zdeniowana nast puj co T (y) := inf {x R : T (x) y}, (1.1) u»ywamy konwencji,»e kres dolny zbioru pustego jest równy niesko«czono±ci (inf{ } = ). 6

Wprowad¹my tak»e denicj kwantyla funkcji. Denicja 5. (Kwantyl funkcji)[6] Niech F b dzie dystrybuant funkcji, uogólnion funkcj odwrotn F nazywamy kwantylem funkcji F. Dla α (0, 1) α - kwantyl funkcji F jest postaci q α (F ) := F (α) = inf {x R : F (x) α}. (1.2) Dla przypadku, gdy F jest dystrybuant zmiennej losowej X mo»na u»y oznaczenia q α (X) := q α (F ). Gdy funkcja F jest ci gªa i ±ci±le rosn ca a jej funkcj odwrotn jest F 1, wtedy zachodzi q α (F ) = F 1 (α). Do przedstawienia wªasno±ci uogólnionej funkcji odwrotnej potrzebne s nast puj ce lematy. Lemat 1. [6] Je»eli X jest zmienn losow oraz funkcja T jest niemalej ca, wtedy {X x} {T (X) T (x)} oraz P (T (X) T (x)) = P (X x) + P (T (X) = T (x), X > x). Lemat 2. [6] Je»eli F jest dystrybuant zmiennej losowej X, wtedy P (F (X) F (x)) = P (X x). Znaj c denicj oraz podstawowe lematy dotycz ce uogólnionej funkcji odwrotnej mo-»emy przej± do okre±lenia jej wªasno±ci. Wªasno± 1. (Wªasno±ci uogólnionej funkcji odwrotnej)[6] Dla niemalej cej funkcji T zachodzi: 1. T jest niemalej ca, lewostronnie ci gª funkcj 2. T jest ci gªa T jest ±ci±le rosn ca 3. T jest ±ci±le rosn ca T jest ci gªa Dla pozostaªych wªasno±ci dodatkowo zaªó»my,»e T (y) < 4. Je»eli T jest prawostronnie ci gªa oraz T (x) y T (y) x 5. T T (x) x 6. T T (y) y 7

7. T jest ±ci±le rosn ca T T (x) = x 8. T jest ci gªa T T (y) = y. Wªasno± 2. [6] Je»eli X jest zmienn losow o dystrybuancie F, wtedy P (F F (X) = X) = 1. 1.3 Warto± zagro»ona - Value-at-Risk (V ar α ) Najpopularniejsz miar ryzyka stosowan mi dzy innymi przez instytucje nansowe jest miara ryzyka nazywana warto±ci zagro»on lub warto±ci nara»on na ryzyko, w skrócie VaR (ang. Value-at-Risk). Wywodzi si ona z koncepcji kwantyla rozkªadu. Najpro±ciej mówi c, VaR okre±la jak najwi ksz strat mo»emy ponie± na danej inwestycji przy okre±lonym prawdopodobie«stwie α, oraz przy zadanym horyzoncie czasowym. Rozwa»my portfel ryzykownych inwestycji oraz ustalony horyzont czasu, oznaczmy przez F L (l) = P (L l) dystrybuant zmiennej losowej oznaczaj cej strat. Denicja 6. (Value-at-Risk)[6] Niech α (0, 1) b dzie ustalonym poziomem ufno±ci. Warto± zagro»ona portfela na poziomie ufno±ci α jest okre±lona przez najmniejsz liczb l tak,»e prawdopodobie«stwo,»e strata L osi gnie warto± l jest nie wi ksze ni» (1 α). Formalnie, V ar α (L) = inf {l R : P (L > l) 1 α} = inf {l R : F L (l) α}. (1.3) W uj ciu probabilistycznym, VaR jest kwantylem dystrybuanty funkcji straty. Poziom ufno±ci α mo»e by dowolnie ustalony, jednak najcz ±ciej okre±la si go na poziomie α = 0, 95 lub α = 0, 99. Tak jak α równie» horyzont czasowy dla którego badamy ryzyko mo»e by dowolnie ustalony. Najcz ±ciej za horyzont czasu przyjmuje si 1 rok w przypadku wyliczania ryzyka operacyjnego lub kredytowego, oraz w przypadku wyliczania ryzyka rynkowego jest to zazwyczaj 1 lub 10 dni. Z dowolno±ci tych dwóch parametrów mo»na stwierdzi,»e warto± VaR b dzie wi ksza im dªu»szy b dzie rozpatrywany horyzont czasowy oraz im wi kszy b dzie poziom ufno±ci. VaR nie jest doskonaª miar ryzyka, poniewa» nie s speªnione wszystkie aksjomaty, które powinna speªnia koherentna miara ryzyka. Nie jest speªniony aksjomat 2, czyli 8

VaR nie jest subaddytywna. Pozostaªe trzy aksjomaty s speªnione: Niezmienniczo± ze wzgl du na translacj : L M l R V ar α (L + l) = V ar α (L) + l Dowód. V ar α (L + l) = inf{t R : P (L + l > t) 1 α} = inf{t R : F L+l (t) α} = = inf{t R : P (L + l t) α} = inf{t R : P (L t l) α} = = inf{t l + l R : F L (t l) α} = = l + inf{t l R : F L (t l) α} = = l + V ar α (L) Dodatnia jednorodno± : Dowód. Zaª.»e λ > 0 L M λ>0 V ar α (λl) = λv ar α (L) V ar α (λl) = F λl(α) = inf{x R : F λl (x) α} = = inf{x R : P (λl x) α} = inf{x R : P { = inf λ x (L λ R : P x ) } α = { λ x ( = λ inf λ R : P L x ) } α = λ = λfl (α) = λv ar α (L) ( L x ) α} = λ Monotoniczno± : L1,L 2 M L 1 L 2 p p.w V ar α (L 1 ) V ar α (L 2 ) Dowód. Mamy V ar α (L 1 ) = FL 1 (α) = inf {x R : F L1 (x) α} V ar α (L 2 ) = FL 2 (α) = inf {x R : F L2 (x) α}. Korzystaj c z tego,»e {L 2 x} {L 1 x} 9

otrzymujemy P (L 1 x) = F L1 (x) F L2 (x) = P (L 2 x). Z tego wynika,»e inf {x R : F L1 (x) α} inf {x R : F L2 (x) α} V ar α (L 1 ) V ar α (L 2 ). Value-at-Risk nie mówi tak»e jak du»a mo»e by strata, gdy warto± VaR zostanie przekroczona (nie rozpatruje jak du»a b dzie strata dla przypadków znajduj cych si w ogonie 1 α procentowym). Value-at-Risk nie jest koherentn miar ryzyka, poniewa» nie jest speªniony aksjomat o sybaddytywno±ci. 1.4 Zagro»ona warto± oczekiwana - Expected Shortfall (ES α ) Kolejn miar ryzyka, któr si zajmiemy jest Expected Shortfall. Jest to miara ryzyka ±ci±le zwi zana z przedstawion wcze±niej miar VaR. Aby zdeniowa expected shortfall potrzebna jest denicja warto±ci oczekiwanej. Denicja 7. (Warto± oczekiwana)[2] Powiemy,»e zmienna losowa X o warto±ciach w R ma warto± oczekiwan, je»eli jest caªkowalna, czyli zachodzi X dp <, wtedy warto±ci oczekiwan zmiennej losowej X nazwiemy liczb EX = XdP. Ω Denicja 8. (Expected Shortfall)[6] Dla straty L ze sko«czon warto±ci oczekiwan E ( L ) < oraz z dystrybuant F L expected shortfall na poziomie ufno±ci α (0, 1) jest zdeniowana nast puj co ES α = 1 1 α Ω 1 gdzie q u jest kwantylem funkcji F L, (q u (F L ) = F L 10 α q u (F L ) du, (1.4) (u)).

Jak ju» zostaªo powiedziane expected shortfall jest miar ryzyka powi zan z miar VaR, zwi zek pomi dzy tymi miarami ryzyka wygl da nast puj co ES α = 1 1 α 1 α V ar u (L) du. W przypadku expected shorfall patrzymy na warto± wi ksz od warto±ci VaR, gdy» zamiast ustala jaki± inny szczególny poziom ufno±ci α korzystamy z u±rednienia warto±ci VaR dla wszystkich poziomów u α. Warto± ES α zale»y tylko od rozkªadu straty L, zatem ES α V ar α. W sytuacji, gdy straty maj rozkªad ci gªy expected shortfall mo»emy interpretowa jako warunkow warto± oczekiwan straty pod warunkiem,»e warto± VaR zostaªa przekroczona. Denicja 9. (Warunkowa warto± oczekiwana) [2] Niech P (A) > 0 i niech X b dzie zmienn losow o sko«czonej warto±ci oczekiwanej, wtedy warunkow warto± oczekiwan okre±lamy E(X A) = 1 P (A) A XdP. Lemat 3. [6] Dla caªkowalnej straty L o ci gªej dystrybuancie F L oraz o dowolnym poziomie ufno±ci α (0, 1) mamy ES α = E(L; L q α(l)) = E(L L V ar α ), (1.5) 1 α gdzie u»ywamy notacji E(X; A) := E(XI A ) dla ogólnej caªkowalnej zmiennej losowej X oraz ogólnego zbioru A F. Dowód. Dowód lematu mo»na znale¹ w ksi»ce [6]. Denicja 10. (Expected shortfall dla rozkªadu normalnego)[6] W przypadku, gdy α (0, 1) oraz dystrybuanta straty F L ma rozkªad normalny o ±redniej µ oraz o wariancji σ 2, czyli F L N (µ, σ 2 ), mo»emy zapisa gdzie φ jest g sto±ci standardowego rozkªadu normalnego. ES α = µ + σ φ(φ 1 (α)) 1 α, (1.6) Denicja 11. (Statystyka pozycyjna)[5] Niech X 1,..., X n b dzie prób z rozkªadu o dystrybuancie F. Je»eli warto±ci tych zmiennych losowych uporz dkujemy w porz dku rosn cym (malej - cym), to otrzymamy nowy zbiór zmiennych losowych X 1,n X 2,n... X n,n 11

(X 1,n X 2,n... X n,n ). Zmienn X k,n, 1 k n, nazywamy k-t statystyk pozycyjn. W szczególno±ci (dla porz dku rosn cego) X 1,n = min(x 1, X 2,..., X n ), X n,n = max(x 1, X 2,..., X n ). Lemat 4. [6] Dla ci gu niezale»nych zmiennych losowych o jednakowym rozkªadzie (L i ) i N oraz o dystrybuancie F l mamy n(1 α) i=1 L i,n lim n = ES α, n(1 α) gdzie L 1,n... L n,n s statystykami pozycyjnymi oraz n(1 α) oznacza najwi ksz liczb caªkowit nie osi gaj c n(1 α). Expexted shortfall jest koherentn miar ryzyka, speªnione s wszystkie cztery aksjomaty jakie powinna speªnia koherentna miara ryzyka. Aksjomaty niezmienniczo± ze wzgl du na translacj, dodatnia jednorodno± oraz monotoniczno± wynikaj bezpo±rednio z denicji Value-at-Risk. Niezmienniczo± ze wzgl du na translacj : L M l R ES α (L + l) = ES α (L) + l Dowód. Korzystamy z niezmienniczo±ci ze wzgl du na translacj dla VaR. Zatem 1 1 ES α (L + l) = V ar u (L + l)du = 1 1 α α 1 α 1 1 = V ar u (L)du + 1 1 1 α α 1 α α = ES α (L) + l. 1 α ldu = (V ar u (L) + l)du = Dodatnia jednorodno± : L M λ>0 ES α (λl) = λes α (L) Dowód. Korzystamy z tego,»e dla VaR zachodzi dodatnia jednorodno±. Zatem ES α = = 1 1 α λ 1 α 1 α 1 α V ar u (λ L)du = 1 1 α V ar u (L)du = λ ES α. 1 α λ V ar u (L)du = 12

Monotoniczno± : L1,L 2 M L 1 L 2 p p.w ES α (L 1 ) ES α (L 2 ) Dowód. Korzystaj c z tego,»e VaR jest monotoniczne otrzymujemy ES α (L 1 ) = 1 1 α 1 α V ar u (L 1 )du 1 1 α 1 α V ar u (L 2 )du = ES α (L 2 ). Subaddytywno± : L1,L 2 M ES α (L 1 + L 2 ) ES α (L 1 ) + ES α (L 2 ) Dowód. [6] Rozwa»my ci g zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym rozkªadzie, niech X 1,n... X n,n b d jego statystykami pozycyjnymi. Zauwa»my,»e dla dowolnie ustalonego m speªniaj cego nierówno± 1 m n mamy m X i,n = sup{x i1 +... + X im : 1 i 1 <... < i m m}. i=1 Teraz rozwa»my dwie zmienne losowe X i X o ª cznej dystrybuancie F(X, X) = F oraz ci g niezale»nych wektorów losowych (X 1, X 1 ),..., (X n, X n ) o jednakowym rozkªadzie F. Oznaczmy (X + X) i := X i + X i, a tak»e (X + X) i,n dla uporz dkowanych wektorów. (X + X) 1,..., (X + X) n. Wtedy otrzymamy m (X + X) i,n = sup{(x + X) i1 +... + (X + X) im : 1 i 1 <... < i m m} i=1 sup{x i1 + X i2 +... + X i,m : 1 i 1 <... < i m m} + + sup{ X i1 + X i2 +... + X i,m : 1 i 1 <... < i m m} = = m m X i,n + X i,n. i=1 i=1 Gdy za m przyjmiemy m = n(1 α) oraz zaªo»ymy,»e n mo»emy skorzysta z lematu 4. Otrzymamy wtedy ES α (L + L) ES α (L) + ES α ( L), czyli expected shortfall speªnia warunek subaddytywno±ci. Miara ryzyka expected shortfall jest koherentn miar ryzyka. 13

Rozdziaª 2 Surowce 2.1 Podstawowe informacje W pracy analizuj c ryzyko portfela skupimy si na dwóch surowcach srebrze oraz zªocie. Zacznijmy od krótkiego opisu obu surowców oraz ich rynków. Opis srebra i zªota opracowaªam na podstawie ksi»ki [7]. Srebro Srebro (Ag) jest to metal nale» cy do grupy metali szlachetnych. Czyste srebro jest to l±ni cy, srebrzystobiaªy metal o najwy»szej przewodno±ci cieplnej oraz elektrycznej, charakteryzuje si wysok kowalno±ci, ci gliwo±ci, jest odporne na dziaªanie wielu czynników korozyjnych. Posiada wªa±ciwo±ci bakteriobójcze, jednak srebro wyst puj ce w odpadach i ±ciekach z zakªadów galwanicznych jest toksyczne. Historia u»ytkowania srebra si ga co najmniej 6000 lat wstecz. Pierwotnie srebro byªo wykorzystywane gªównie jako pieni dz oraz do produkcji przedmiotów ozdobnych, z czasem znalazªo zastosowanie w wyrobach przemysªowych. Obecnie srebro stosuje si gªównie w wyrobach jubilerskich i zastawie stoªowej, jest u»ywane równie» w fotograi. Ze srebra wykonywane s równie» instrumenty muzyczne (np. ety), wykorzystuje si je w wyrobach elektronicznych, elektrycznych, w br zach i stopach lutowniczych, lustrach, katalizatorach. Wyrabia si z niego tak»e monety i medale pami tkowe. Srebro wyst puje w postaci pierwotnej w rudach srebra w postaci mineraªów wªasnych, jak równie» jako domieszka w rudach innych metali. Wtórnie metal ten otrzymuje si z wyrobów ze srebra oraz z jego stopów, ze zªomu monet oraz w maªym stopniu z odpadów przetwórczych. Zªo»a srebra wyst puj przewa»nie ze zªo»ami innych metali. O zªo»u rudy srebra mo»emy mówi, gdy wyst puje w nim mniej ni» 3,5% innych metali (np. oªowiu, cynku), oraz gdy nie mniej ni» 60% ogólnej warto±ci rudy dostarczanej przetwórcom jest to war- 14

to± srebra. Gªówne zªo»a srebra wyst puj w stree wokóªpacycznej, w Europie gªówne zªo»a wyst puj w Polsce. Krajami, w których wyst puj zªo»a srebra s Meksyk, Kanada, USA, Peru, Australia. W Polsce srebro uzyskuje si gªównie ze zªó» rud miedzi. W handlu u»ywa si srebra ranowanego (oczyszczonego) o czysto±ci 99,9% 99,99% Ag. Rynek srebra jest do± niestabilny i podatny na spekulacje. Gªównym o±rodkiem handlu srebrem jest nowojorska gieªda COMEX. W Europie transakcji srebrem gªównie dokonuje s na Londy«skiej Gieªdzie Metali (LME-London Metal Exchange), codziennie i o staªych porach, po tym jak dwa razy dziennie nast puje xing, czyli ustalenie ceny sprzeda»y. Ceny srebra s niepewne, ewolucja cen srebra ksztaªtowaªa si wedªug praw popytu i poda»y. Gªówne zapasy tego metalu znajduj si w r kach prywatnych, w postaci sztabek, a tak»e w bi»uterii. Cz ± ±wiatowych zapasów znajduje si jako depozyty w bankach. Na gieªdach cena srebra podawana jest w dolarach za uncj jubilersk (USD/tr.oz), gdzie 1 tr.oz.= 31,105g. Zªoto Zªoto (Au) tak jak srebro nale»y do grupy metali szlachetnych. Jest to metal o jasno»óªtej barwie i wyra¹nym poªysku, jest mi kki, plastyczny i kowalny. Charakteryzuje si wysok odporno±ci na korozj, posiada du»a przewodno± ciepln i elektryczn, nie podlega dziaªaniu kwasów. W celu utwardzenia zªota dodaje si do niego dodatki stopowe ligatury. Wyst puje w ziarnach o na ogóª nieregularnym ksztaªcie, ró»nej wielko±ci, zazwyczaj wi ksze ziarna maj porowat powierzchni. Jest to pierwiastek o najmniejszym wyst powaniu w skorupie ziemskiej. Zªoto posiada dªug histori. Wiadomo,»e wydobywa si je i u»ytkuje od co najmniej 6000 lat. Zarówno kiedy±, jak i dzi± zªoto jest traktowane jako ozdoba, no±nik bogactwa, od zawsze byªo ±rodkiem obiegowym. Od I w. p.n.e. wykorzystywane byªo jako ±rodek pªatniczy. Poszukiwania i ch posiadania jak najwi kszych ilo±ci tego kruszcu nap dzaªo odkrycia geograczne, pozwoliªo to po odkryciu Ameryki na dostarczenie du»ych ilo±ci tego metalu do Europy. Zªoto jest specycznym surowcem ze wzgl du na jego ograniczon warto± u»ytkow w codziennym»yciu. Jest to spowodowane tym,»e wi kszo± wydobytego kruszcu tra- a do skarbców, b d¹ jako zabezpieczenie przy niektórych dªugookresowych transakcjach handlowych. Gªównym i jednocze±nie najwa»niejszym mineraªem zªota jest zªoto rodzime. Wyst puje w zªo»ach samodzielnych (okoªo 80-85% zasobów), tak»e w rudach innych metali, najwi cej zªota wyst puje w mineraªach miedzi. Gªówne zªo»a zªota wyst puj w RPA, USA, Australii, Uzbekistanie, Kanadzie. W Polsce zªoto pozyskuje si jako produkt uboczny przy oczyszczaniu miedzi. W przypadku, gdy zªo»e zawiera ponad 500t kruszcu to mo»emy uzna,»e jest to du»e zªo»e, gdy poni»ej 50t jest to zªo»e maªe. Jest kilka 15

czynników wpªywaj cych na jako± rud, m.in.: skªad mineralny no±nika zªota, typ chemiczny rud, wielko± i ksztaªt ziaren, domieszki korzystnie i szkodliwe. Poza przemysªem górniczym, istnieje kilka innych sposobów uzyskiwania zªota. Najstarsz technik stosowan przez poszukiwaczy zªota jest pªukanie w panwiach. Nakªady inwestycyjne w sektorze wydobywczym zªota s bardzo du»e. Mo»emy powiedzie,»e inwestycja jest opªacalna, gdy koszty pozyskania zªota s ni»sze ni» cena sprzeda»y. W celu uzyskania nakªadów nansowych na wydobycie stosuje si po»yczki w zªocie a tak»e przedsprzeda» zªota. Zªoto uzyskuje si tak»e z wtórnych surowców, gªównie ze zªomu bi»uterii, a tak»e ze sztabek z rezerw bankowych. W handlu zªoto najcz ±ciej wyst puje w stopach z innymi metalami, czysto± stopów okre±la si prób zªota lub ilo±ci karatów. Surowiec ten dostarczany jest i magazynowany gªównie w oznakowanych sztabkach o próbie 980 996 i ci»arze okoªo 402 uncji. W jubilerstwie stosuje si stopy zªota zwane ligatur, dzi ki domieszkom stopy te uzyskuj twardo± oraz obni»aj cen produktu. Transakcje zªotem, tak jak srebrem dokonywane s w USD/tr.oz., gªównymi o±rodkami handlu zªotem s Londy«ska Gieªda Zªota (London Gold Market) i gieªda w Zurychu (Goldpool). Na gieªdzie w Londynie tak jak w przypadku srebra dwa razy dziennie nast puje xing, na którym ustalana jest cena równowagi pomi dzy poda» a popytem. Notowane s ceny zªota w postaci sztabek o ci»arze okoªo 12,5kg i czysto±ci 995 996. Wi kszo± zapasów zªota znajduje si jako zapasy banków narodowych oraz znajduj si w r kach prywatnych. 2.2 Notowania W tabelach 2.1 oraz 2.2 zostaªo przedstawionych 61 warto±ci notowa«odpowiednio dla srebra i zªota z ostatniego dnia roboczego ka»dego miesi ca z okresu 31.01.2006-31.01.2011, na podstawie których zostaªy obliczone historyczne stopy strat. Mówi one o tym jakie straty zostaªy poniesione na przestrzeni kolejnych miesi cy. Stopy strat zostaªy obliczone za pomoc nast puj cego wzoru: gdzie: i = 1,..., n 1, n - liczba notowa«, v i jest to warto± i-tego notowania, v i+1 jest to warto± notowania nast pnego. S = v i v i+1 v i, Korzystaj c z powy»szego wzoru otrzymali±my 60 stóp strat (warto±ci w tabelach). 16

Tablica 2.1: Notowania oraz stopy strat srebra (31.01.2006-31.01.2011) ( ródªo notowa«: kitco.com. Warto±ci stóp strat obliczone za pomoc programu MS Oce Excel) Lp. Data notowania Warto± notowania [USD/oz] Stopa straty Lp. Data notowania Warto± notowania [USD/oz] Stopa straty 1 31.01.2006 9,910 32 29.08.2008 13,760 0,2128146 2 28.02.2006 9,695 0,0216953 33 30.09.2008 12,960 0,0581395 3 31.03.2006 11,755-0,2124807 34 31.10.2008 9,280 0,2839506 4 28.04.2006 12,555-0,0680561 35 28.11.2008 10,120-0,0905172 5 30.05.2006 12,900-0,0274791 36 31.12.2008 10,790-0,0662055 6 30.06.2006 10,700 0,1705426 37 30.01.2009 12,510-0,1594069 7 28.07.2006 11,340-0,0598131 38 27.02.2009 13,210-0,0559552 8 31.08.2006 12,600-0,1111111 39 31.03.2009 13,110 0,0075700 9 29.09.2006 11,550 0,0833333 40 30.04.2009 12,630 0,0366133 10 31.10.2006 12,080-0,0458874 41 29.05.2009 15,520-0,2288203 11 30.11.2006 13,680-0,1324503 42 30.06.2009 13,940 0,1018041 12 29.12.2006 12,900 0,0570175 43 31.07.2009 13,630 0,0222382 13 31.01.2007 13,360-0,0356589 44 28.08.2009 14,540-0,0667645 14 28.02.2007 14,310-0,0711078 45 30.09.2009 16,450-0,1313618 15 30.03.2007 13,350 0,0670860 46 30.10.2009 16,570-0,0072948 16 30.04.2007 13,500-0,0112360 47 30.11.2009 18,140-0,0947495 17 31.05.2007 13,250 0,0185185 48 31.12.2009 16,990 0,0633958 18 29.06.2007 12,540 0,0535849 49 29.01.2010 16,290 0,0412007 19 31.07.2007 12,930-0,0311005 50 26.02.2010 16,120 0,0104359 20 31.08.2007 11,950 0,0757927 51 31.03.2010 17,500-0,0856079 21 28.09.2007 13,650-0,1422594 52 30.04.2010 18,620-0,0640000 22 31.10.2007 14,320-0,0490842 53 28.05.2010 18,530 0,0048335 23 30.11.2007 14,230 0,0062849 54 30.06.2010 18,740-0,0113330 24 31.12.2007 14,760-0,0372453 55 30.07.2010 17,660 0,0576307 25 31.01.2008 16,740-0,1341463 56 31.08.2010 18,870-0,0685164 26 29.02.2008 19,620-0,1720430 57 30.09.2010 22,070-0,1695813 27 31.03.2008 17,990 0,0830785 58 29.10.2010 23,960-0,0856366 28 30.04.2008 16,470 0,0844914 59 30.11.2010 27,130-0,1323038 29 30.05.2008 16,850-0,0230723 60 31.12.2010 30,630-0,1290085 30 30.06.2008 17,650-0,0474777 61 31.01.2011 27,750 0,0940255 31 31.07.2008 17,480 0,0096317 17

Tablica 2.2: Notowania oraz stopy strat zªota (31.01.2006-31.01.2011) ( ródªo notowa«: kitco.com. Warto±ci stóp strat obliczone za pomoc programu MS Oce Excel) Lp. Data notowania Warto± notowania [USD/oz] Stopa straty Lp. Data notowania Warto± notowania [USD/oz] Stopa straty 1 31.01.2006 568,75 32 29.08.2008 833,00 0,0925926 2 28.02.2006 556,00 0,0224176 33 30.09.2008 884,50-0,0618247 3 31.03.2006 582,00-0,0467626 34 31.10.2008 730,75 0,1738270 4 28.04.2006 644,00-0,1065292 35 28.11.2008 814,50-0,1146083 5 30.05.2006 660,50-0,0256211 36 31.12.2008 869,75-0,0678330 6 30.06.2006 613,50 0,0711582 37 30.01.2009 919,50-0,0572003 7 28.07.2006 637,10-0,0384678 38 27.02.2009 952,00-0,0353453 8 31.08.2006 623,50 0,0213467 39 31.03.2009 916,50 0,0372899 9 29.09.2006 599,25 0,0388933 40 30.04.2009 883,25 0,0362793 10 31.10.2006 603,75-0,0075094 41 29.05.2009 975,50-0,1044438 11 30.11.2006 646,70-0,0711387 42 30.06.2009 934,50 0,0420297 12 29.12.2006 632,00 0,0227308 43 31.07.2009 939,00-0,0048154 13 31.01.2007 650,50-0,0292722 44 28.08.2009 965,50-0,0282215 14 28.02.2007 664,20-0,0210607 45 30.09.2009 995,75-0,0313309 15 30.03.2007 661,75 0,0036886 46 30.10.2009 1040,00-0,0444389 16 30.04.2007 677,00-0,0230450 47 30.11.2009 1175,75-0,1305288 17 31.05.2007 659,10 0,0264402 48 31.12.2009 1087,50 0,0750585 18 29.06.2007 650,50 0,0130481 49 29.01.2010 1078,50 0,0082759 19 31.07.2007 665,50-0,0230592 50 26.02.2010 1108,25-0,0275846 20 31.08.2007 672,00-0,0097671 51 31.03.2010 1115,50-0,0065418 21 28.09.2007 743,00-0,1056548 52 30.04.2010 1179,25-0,0571493 22 31.10.2007 789,50-0,0625841 53 28.05.2010 1207,50-0,0239559 23 30.11.2007 783,50 0,0075997 54 30.06.2010 1244,00-0,0302277 24 31.12.2007 833,75-0,0641353 55 30.07.2010 1169,00 0,0602894 25 31.01.2008 923,25-0,1073463 56 31.08.2010 1246,00-0,0658683 26 29.02.2008 971,50-0,0522610 57 30.09.2010 1307,00-0,0489567 27 31.03.2008 933,50 0,0391148 58 29.10.2010 1346,75-0,0304132 28 30.04.2008 871,00 0,0669523 59 30.11.2010 1383,50-0,0272879 29 30.05.2008 885,75-0,0169346 60 31.12.2010 1405,50-0,0159017 30 30.06.2008 930,25-0,0502399 61 31.01.2011 1327,00 0,0558520 31 31.07.2008 918,00 0,0131685 Wykresy 2.1 i 2.2 pokazuj jak zmieniaªy si warto±ci notowa«srebra i zªota na przestrzeni badanych 5 lat. W obu przypadkach widzimy,»e ceny surowców wykazywaªy trendy rosn ce w badanym okresie. 18

Rysunek 2.1: Wykres notowa«srebra w dniach 31.01.2006-31.01.2011 (wykonany w programie MSOce Excel) Rysunek 2.2: Wykres notowa«zªota w dniach 31.01.2006-31.01.2011 (wykonany w programie MSOce Excel) 2.3 Analiza rozkªadu Przeprowadzimy teraz analiz rozkªadów dla stóp strat srebra i stóp strat zªota. Korzystaj c z programu R sprawdzimy, czy warto±ci te dla obu surowców posiadaj empiryczny rozkªad normalny. Mo»emy postawi hipotez zerowa o dopasowaniu danych do rozkªadu normalnego, wobec hipotezy alternatywnej,»e dane nie maj rozkªadu normalnego. Formalnie mo»na 19