Aradusz Atcza Poltecha Pozańsa Wydzał Budowy Maszy Zarządzaa N u m e r y c z e w e r y f o w a e r o z w ą - z a e r ó w a a r u c h u o j e d y m s t o p u s w o b o d y Autor: Aradusz Atcza Promotor: dr Tomasz Strę Pozań 004 3
Aradusz Atcza Sps treśc Sps treśc... 3 Streszczee... 5 Summary... 6 Wstęp... 7 RóŜczowe rówaa ruchu... 9. Rówaa Lagrage a II rodzaju.... Kaocze rówaa Hamltoa... 3 Ułady o jedym stopu swobody... 5 3. Stope swobody... 5 3. Prosty oscylator harmoczy... 6 3.3 Pozostałe przyłady uładów o jedym stopu swobody... 0 4 Metody umerycze rozwązywaa rówań róŝczowych... 4. Metoda Eulera... 4. Metoda Ruge-Kutta... 3 4.3 Błędy metod... 4 5 Metody weryfowaa rozwązań... 8 5. Wpływ waruów początowych... 8 5. Precyzja, doładość, sala... 30 5.3 Arytmetya duŝych lczb zmeoprzecowych... 3 6 Metoda oloacj... 35 6. Weryfacja metody... 36 7 Metoda Taylora... 39 8 Wy umerycze z wosam... 40 8. Prosty oscylator harmoczy... 40 8. Drgaa tłumoe... 44 8.3 Wahadło elowe... 48 Załącz... 5 Załącz... 5 Załącz 3... 53 Bblografa... 54 4
Aradusz Atcza Streszczee Praca ma a celu zweryfowae umeryczych rozwązań róŝczowych rówań ruchu uładów o jedym stopu swobody. Przedstawa zae powszeche wyorzystywae metody rozwązywaa rówań róŝczowych oraz metody ch weryfacj. W pracy zamplemetowao efetywe, lecz rzado stosowae, metody oloacj Taylora. Oblczea zostały wyoae z wyorzystaem arytmety duŝych lczb zmeoprzecowych. Programy wyorzystae a potrzeby ejszej pracy zostały apsae w całośc w programe Mathematca. W pracy zawarte zostały podstawy teoretycze dotyczące ruchu. Wyprowadzoo rówaa ruchu z defcj rówań Lagrage a II rodzaju oraz rówaa aocze Hamltoa. Następe zdefowao pojęce stop swobody przedstawoo przyłady uładów mechaczych spełających temat pracy. Koleja cześć pracy to prezetacja popularych ajczęścej wyorzystywaych metod umeryczych rozwązywaa rówań róŝczowych (metoda Eulera, Ruge- Kutty) oraz weryfacja ch doładośc. Dalsze rozdzały to prezetacja sposobów weryfowaa rozwązań umeryczych (arytmetya terwałowa, arytmetya duŝych lczb zmeoprzecowych, wpływ waruów początowych) oraz ops alteratywych metod rozwązywaa rówań róŝczowych (metoda oloacj metoda Taylora). Na ońcu pracy zaprezetowao wy oblczeń umeryczych (tabele, wyresy), ch porówaa, ja róweŝ wos z ch wypływające. Do pracy załączoo poadto ody źródłowe metod wyorzystaych do oblczeń (metoda oloacj metoda Taylora). 5
Aradusz Atcza Summary I ths paper we wll valdate umercal soluto of umercal euato of moto systems wth oe degree of freedom. Methods used ths paper are well ow ad most popular umerc calculatos for ODEs (ordary dfferetal euatos). Ths paper cota mplemetato of effectve but rarely used collocatos methods ad Taylor model. Calculatos were made wth use of bg float arthmetc model. All preseted programs were wrtte wth the ad of Mathematca. Ths paper cota theoretcal bass of moto defto. Euato of moto was derved from defto ad Lagrage euatos. Also we dervate Hamltoa s euatos. Next we defe degrees of freedom, ad show examples of mechacal systems wth oe degree of freedom. I followg we preset the most popular ad most freuetly used umercal methods for solvg ODEs. (Euler s method, Ruge-Kutta method) ad them valdato. Further chapters cota ways of valdatos of results of solvg ODEs (Iterval arthmetc, sgfcace arthmetc, fluece of tal codtos) ad descrpto of alteratve methods for solvg ODE (Collocatos methods for ODEs, Taylor model). At the ed all umercal results were put together ad compared. From ths was made coclusos. To ths paper has bee attached a source code for used methods (Collocatos methods for ODEs, Taylor model). 6
Aradusz Atcza Wstęp Celem ejszej pracy jest zweryfowae umeryczych rozwązań róŝczowych rówań ruchu uładów o jedym stopu swobody [,8]. W pracy zaprezetowao dotychczas zae populare wyorzystywae metody rozwązywaa rówań róŝczowych oraz metody ch weryfacj. Wszyste oblczea wyoywae a potrzeby tej pracy zostały uzysae przy pomocy programu Mathematca [6], będącego sle rozbudowaym arzędzem pozwalającym a eograczoe dzałaa programstycze oraz posadającym ogroma lość fucj wbudowaych. Lcze przyłady potwerdzają oeczość weryfowaa rezultatów oblczeń, a przyład poprzez powtórzee oblczeń z uŝycem ej metody, poprzez zwęszee precyzj oblczeń lub wyoae oblczeń a ej maszye (omputerze) []. Drug rozdzał staow wprowadzee do pracy, a maowce jest pośwęcoy a wyprowadzee róŝczowych rówań ruchu. Począwszy od prostych rówań wyprowadzaych z defcj ruchu, poprzez rówaa ruchu wyprowadzae z rówań Lagrage a II-go rodzaju, a sończywszy a uładach o stałej eerg rówaach aoczych Hamltoa[,7]. Następe w pracy poruszoy zostaje problem stop swobody. W rozdzale drugm, poza defcją stop swobody, zostały przedstawoe główe przyłady uładów wymeoych w temace pracy (prosty oscylator harmoczy, wahadło matematycze torsyje tp.), dla tórych wyprowadzoa rówaa ruchu. Kolejy rozdzał to prezetacja ajpopularejszych metod umeryczych rozwązywaa rówań róŝczowych zwyczajych. NaleŜą do ch metoda Euler a metoda Ruge-Kutty [3]. Rozdzał przedstawa teoretycze podstawy aŝdej z metod oraz uwypula ch edosoałośc podczas rozwązywaa rówań róŝczowych. Zazaczają sę oe w rozbeŝoścach pomędzy rozwązaam umeryczym a doładym omawaych przyładów. 7
Aradusz Atcza Pąty rozdzał to zapropoowae metod weryfacj rozwązań umeryczych. Wyorzystae do oblczeń programu Mathematca umoŝlwło wyorzystae tach elemetów ja zwęszae doładośc oblczeń z typu doubleprecso do wartośc, ograczoych jedye mocą oblczeową omputera, rzędu 800 mejsc po przecu, lub arytmetya terwałowa [0] a stałe zamplemetowaa w Mathematc ę pod postacą arytmety duŝych lczb zmeoprzecowych ( Sgfcace Arthmetc ) [5,9]. Rozdzał szósty to prezetacja metody oloacj rozwązywaa rówań róŝczowych. Zajdują sę tu jej podstawy teoretycze, poazao jej wady zalety oraz przyłady oblczeń wyoaych przy jej uŝycu. Kolejy, sódmy, rozdzał to róte wprowadzee do powszeche zaej metody Taylora rozwązywaa rówań róŝczowych []. Rozdzał ostat prezetuje oblczea umerycze wyoae a przyładach opsaych w poprzedch rozdzałach. Do oblczeń posłuŝyła główe metoda oloacj, tórą wyorzystao jao ryterum weryfacyje umeryczych rozwązań rówań róŝczowych uzysaych we wcześejszych rozdzałach. Jedye dla elowych rówań róŝczowych dodatowo wyorzystao metodę Taylora dla duŝych czasów, dla tórych zostały wyoywae oblczea. W rozdzale zawarte są zawarte wos asuwające sę po dooau wszystch oblczeń. Do pracy zostały dołączoe róweŝ, w postac załączów, ody źródłowe wyorzystaych metod umeryczych (metoda oloacj metoda Taylora). 8
Aradusz Atcza RóŜczowe rówaa ruchu Ruch to zjawso polegające a zmae w czase połoŝea tego cała, względem ego cała, tóre umowe przyjmuje sę jao eruchome (pozostające w spoczyu) []. Rys. W płasej przestrze Euldesowej, w prawosrętym uładze współrzędych Oxyz (Rys.), tóry tratujemy jao eruchomy, poło- Ŝee poruszającego sę putu moŝa oreślć przez zmaę współrzędych x,y,z w czase t, czyl są oe pewym fucjam czasu t: xf(t) yf(t) (.) zf3(t) Rówaa (.) azywa sę rówaam ruchu putu. JeŜel eruchomy począte uładu współrzędych O połączymy z ruchomym putem A za pomocą wetora r OA, azywaego wetorem połoŝea, to wetor te zaleŝy od czasu jest pewą fucją wetorową: r r(t) (.) Sładowe taego wetora są rówe: rxx(t), ryy(t), rzz(t). PowyŜszy wetor moŝa teŝ przedstawć za pomocą sumy geometryczej: r x(t) + j y(t) + z(t) Zając fucje x(t), y(t) z(t), mamy wszyste formacje o ruchu putu (tor, prędość, przyspeszee). 9
Aradusz Atcza Prędość Mając dwa puty A B aleŝące do tego samego toru, putow A przypsay jest wetor r(ta), putow B wetor r(tb) to prędość jest gracą lorazu róŝcowego[8]: df r( tb ) r( t A ) dr v lm tb ta t t dt RóŜczując rówae ruchu otrzymujemy wetor prędośc: v v + v j + v x y z dx( t) dy( t) dz( t) gdze v x x& ( t), v y y& ( t), v z z& ( t). dt dt dt B A Przyspeszee Prędość z jaą porusza sę oec wetora v po hodografe azy- df dv d r wa sę przyspeszeem: a. dt dt Czyl: a a + a j + a, x y z dv d x dv x y d y dv z d z gdze a x, a y, a z. dt dt dt dt dt dt PoewaŜ wetory a v a ogół e są rówoległe to przyspeszee posada dwe sładowe: a a t dv τ styczą do toru, dt v gdze τ - wetor styczy, - wetor ormaly, ρ - promeń rzywzy. ormalą, ρ dr ds 0
Aradusz Atcza. Rówaa Lagrage a II rodzaju W tej częśc wyprowadzmy rówaa ruchu uładu materalego eswobodego we współrzędych uogóloych ezaleŝych[]. Weźmy pod uwagę uład o stopach swobody, srępoway węzam holoomczym, dwustroym dosoałym, tórego ofgurację w aŝdej chwl t opsują współrzęde uogóloe,,. Cetrale rówae Lagrage a we współrzędych uogóloych przyjmuje postać. + Q E p t d d δ δ δ (..) Na mocy zwązu N j j j j N j j j j E p & & & v m v v v m mamy N j j j j N j j j j E p & & & v m v v v m (..) oraz ( ) t E E & K & K,,,,,,, a węc + E E E & & δ δ. W zwązu z powyŝszym wzór (..) moŝa zapsać + + Q E E E t d d δ δ δ δ & &. Po zróŝczowau lewej stroy rówośc przestaweu symbol waracj δ róŝcz ) d (d d δ δ [] otrzymujemy: 0 d d Q E E t δ & (..3) Z załoŝea, Ŝe węzy są holoomcze współrzęde,, są ezaleŝe, wya fat, Ŝe δ δ,, K teŝ są ezaleŝe. W zwązu z powyŝszym Q E E t,,, d d K & (..4) Zwąz (..4) azywae są rówaam Lagrage a II rodzaju dla uładów holoomczych we współrzędych uogóloych. Lczba tych zwązów rówa jest lczbe swobody.
Aradusz Atcza Gdy sły są potecjale, wyorzystujemy cetrale rówae Lagrage a w postac d dt p δ δl oraz borąc pod uwagę: p L,, K (..5) &, poewaŝ E E ( t,, K, ) ja wyŝej dostajemy: d L dt & e zaleŝy od p p & ( σ K,, ), rozumując L 0,, K, (..6) Zwąz (..6) staową rówaa Lagrage a II rodzaju dla uładów holoomczych, dla sł potecjalych.. Kaocze rówaa Hamltoa Pędy uogóloe polczoe przy pomocy wzorów (..), wyorzystując ogóly wzór a eergę etyczą [] E E K j, & & j (..) j ( t,,, ) + B ( t,, K, ) & + A ( t,, K ) przyjmuje postać: E p j A & j j + B j, j, K, & j j (..) Dla eosoblwej macerzy współczyów { A j } steje przeształcee odwrote: j & j aj p j + b j, j, K, (..3) Zmee ( t,,, p, K, p ) ( t,, ), p K to zmee aocze (zmee Hamltoa). Przestrzeń zmeych ( t,, p) to przestrzeń staów, a przestrzeń (, p) - przestrzeń fazowa. RozwaŜmy welość wyraŝoą wzorem: K p & E ( t,, K,, &, K, & ), (..4)
Aradusz Atcza Zastępując prędośc uogóloe ze wzoru (..4) zwązam (..3) dostajemy fucję zmeych ( t,, p) : K( t,, p) p ~ & p ~ & E ~ E ( t,, K,, ~ &, K, ~ & ) ( t,, K,, p, K, p ) (..5) ozaczea ~ & (, σ K ) E ~ wsazują Ŝ prędośc uogóloe zastąpoo lub aleŝy zastąpć pędam uogóloym (..3) Dla sł dzałających a uład posadających eergę potecjalą postac E E ( t,, K, ) p wprowadzamy dodatową welość H oreśloą wzorem: p H K + E p p & E + E p & L, (..6) p L E + E p to fucja Lagrage a. Fucja H to fucja Hamltoa (hamltoa). Zastępując prędośc uogóloe we wzorze (..6) pędam uogóloym za pomocą (..3) otrzymujemy fucję Hamltoa jao fucję zmeych ( t,, p) : H ( t,, p) p & L, (..7) JeŜel hamltoa wyraŝoy jest w zmeych aoczych wtedy ~ H( t,, p) E + E E cost, (..8) p opsuje zasadę zachowaa całowtej eerg mechaczej uładu w zmeych aoczych. Rówaa ruchu uładów holoomczych w zmeych aoczych opsae są zwązam (szczegółowe wyprowadzee moŝa zaleźć w [] str. 44): d dt K dp K ~, + Q,, K (..9) p dt, Dla sł uogóloych posadających eergę potecjalą w postac p p ( t,, K ) E E, mamy 3
Aradusz Atcza 4 p E E Q Q p p,, 0,, ~ K (..0) Rówaa (..9) wyglądają astępująco: ( ) ( ) E K t p p E K t p p,,, d d, d d K + + (..) Na mocy wzoru (..6) rówaa te przyjmują ostateczą postać: H t p p H t,,, d d, d d K (..) Rówaa (..) oszą azwę aoczych rówań Hamltoa dla uładów holoomczych.
Aradusz Atcza 3 Ułady o jedym stopu swobody 3. Stope swobody RozwaŜmy cało sztywe (odległość pomędzy poszczególym putam e ulega zmae) zajmujące w pewej chwl względem przyjętego eruchomego uładu odesea Oxyz połoŝee przedstawoe a rysuu Rys. 3. []. PołoŜee to moŝa oreślć podając połoŝee trzech dowolych putów tego cała e aleŝących do jedej prostej. Rys. 3. PołoŜee putów A, B C moŝa oreślć za pomocą współrzędych tych putów w prostoątym uładze współrzędych Oxyz. Współrzęde te ozaczoe jao x A, y A, z A, x B, y B, z B oraz x C, y C, z C muszą spełć zaleŝośc, tóre wyają ze sztywośc cała, tz. odległośc rozwaŝaych putów są stałe, ezaleŝe od połoŝea cała w przestrze: ( x A xb ) + ( ya yb ) + ( z A zb ) r ( x A xc ) + ( ya yc ) + ( z A zc ) r ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) r B C gdze r AB, AC B C B C r, r ozaczają długośc odców AB, AC, BC. BC AB AC BC (3..) W zwązu z tym, Ŝe dzewęć współrzędych oreślających poło- Ŝee putów A, B C mus spełać trzy rówaa (3..), dlatego tyl- 5
Aradusz Atcza o sześć współrzędych przyjąć moŝa dowole, a trzy pozostałe trzeba wyzaczyć z wyŝej wymeoych rówań. Wya stąd węc, Ŝe dla oreślea w przestrzee dowolego swobodego cała sztywego potrzeba sześć ezaleŝych parametrów. Lczbę tych ezaleŝych parametrów ezbędych dla oreślea chwlowego połoŝea cała w przestrze azywa sę lczbą stop swobody cała. PowyŜsze rozwaŝaa prowadza do wosu, Ŝe aby opsać uład o jedym stopu swobody wystarczy jeda współrzęda ezaleŝa. 3. Prosty oscylator harmoczy Oscylatorem harmoczym azywamy uład dla tórego eergę etyczą moŝa wyrazć za pomocą wzorów p E, V a ( ) c, gdze a c są stałym. Dla taego uładu fucję Hamltoa zapszemy w postac: (3..) p H + c a, (3..) Podstawając fucję Hamltoa (3..) do rówaa (..) otrzymujemy: p &, p& c, (3..3) a Gdy otrzymae rówae podzelmy stroam uzysamy rówae róŝczowe trajetor fazowej. Rozdzelając zmee całując dp ac d p otrzymujemy p ac + C. Dla oscylatora harmoczego trajetore fazowe przyjmują postać elps. Stablym połoŝeem rówowag oscylatora jest począte uładu współrzędych, poewaŝ fucja Hamltoa w tym puce przyjmuje ajmejsza wartość (Rys. 3.) [8]. 6
Aradusz Atcza Rys. 3. Z uładu rówań (3..3) wya, Ŝe a & + c 0, (3..4) lub && + 0, c a (3..5) Ruch oscylatora harmoczego opsay jest rówaem róŝczowym lowym drugego rzędu o stałych współczyach. Rówae ruchu (3..5) da sę otrzymać tworząc potecjał etyczy Lagrage a: L & ( a c ) podstawając L do rówaa Lagrage a (..6) (3..6) WyaŜmy, Ŝe uład ja a Rys. 3.3 sładający sę z masy m spręŝyy o stałej c [N/m] jest przyładem oscylatora harmoczego. Rys. 3.3 JeŜel będze wychyleem uładu z połoŝea rówowag to eerga spręŝysta sumulowaa w spręŝye przy tym wychyleu wyese V c, (3..7) 7
Aradusz Atcza a eerga etycza E m & (3..8) Pęd uogóloy p m& (3..9) Z wzoru c wyzaczamy podstawamy do wzoru b otrzymujemy: p E (3..0) m Ja wdać uład jest oscylatorem harmoczym, poewaŝ c m są stałe. Wyprowadźmy teraz rówae róŝczowe ruchu dla wahadła matematyczego, tóre jest ajpopularejszym przyładem uładu o jedym stopu swobody (Rys. 3.4). Rys. 3.4 Eerga etycza wyos E & ml (3..) gdze ąt oreślający połoŝee wahadła. Eergę potecjalą uładu przedstawć moŝa jao ( cos ) V mgl (3..) 8
Aradusz Atcza Podstawając potecjał etyczy Lagrage a z powyŝszych rówań do..6 otrzymamy & & + mgl s 0 (3..3) PowyŜsze rówae jest rówaem elowym jest słusze dla pełego zaresu wychyleń wahadła. Aby otrzymać jego lowe przyblŝee (rówae obowązujące dla małych drgań), rozwemy fucję V() w szereg: V mgl + + K mgl (3..4) Przeprowadzając poowe przeształcea (3..-3..3) zameając wzór (3..) wyraŝeem (3..4) otrzymamy lowe rówae wahadła & & + mgl 0 (3..5) Wyzaczmy teraz rówae róŝczowe ruchu uładu sładającego sę z pręta spręŝystego, sztywo utwerdzoego a jedym ońcu, z masą m o momece bezwładośc J zamocowaą a drugm ońcu (Rys. 3.5) [8]. Masa moŝe wyoywać ruch doooła os pręta (wahadło torsyje). Rys. 3.5 9
Aradusz Atcza Eerga potecjala zaumulowaa w sręcaym pręce wyese V c, gdze jest ątem obrotu bryły, c stałą zaleŝą od wymarów geometryczych oraz od wymarów pręta wyos GI 0 c, G moduł l spręŝystośc postacowej, I 0 geometryczy beguowy momet bezwładośc poprzeczego ołowego przeroju pręta, l - długość pręta. Bryła zajdująca sę w ruchu posada eergę etycza o wartośc E p J J&. Rówaem róŝczowym ruchu bryły jest węc rówae (3..5) w tórym c J. W poazaych wyŝej przyładach pojawło sę rówae róŝczowe oscylatora harmoczego & & + mgl s 0. Rozwązaem tego rówaa jest ( t ) ( 0) cos( t ) ( 0) & + s( t) (3..7) gdze ( 0) ( 0) w chwl t 0. & to olejo wychylee z połoŝea rówowag prędość Dołade wyprowadzee rówaa (3..7) zaleźć moŝa w [8] str. 339-340. 3.3 Pozostałe przyłady uładów o jedym stopu swobody Wyzaczmy rówae ruchu drgań swobodych tłumoych oporem ośroda uładu ja a Rys. 3.6 [7], (opór ośroda schematycze ozaczoo tłumem). ZałóŜmy, Ŝe opór jest wprost proporcjoaly do prędośc R &. RozwaŜay uład róŝ sę od omawaych powyŝej, występowaem sły ezachowawczej. Sutem tego jest pojawee sę 0
Aradusz Atcza Rys. 3.6 po prawej stroe rówaa Lagrage a II rodzaju sły Q &. Dyamcze róŝczowe rówae ruchu będze postac m & + & + c 0 (3.3.) gdze jest stałą tłumea, c stałą spręŝyy, a m masa
Aradusz Atcza 4 Metody umerycze rozwązywaa rówań róŝczowych 4. Metoda Eulera RozwaŜmy przedzał a, b w tórym chcemy zaleźć rozwązae zagadea początowego y f ( t, y) y( a) y0 [3]. Ne zajdujemy fucj róŝczowalej spełającej zagadee początowe. W zama tworzymy zbór putów {( )} t, wyorzystujemy je do przyblŝea (tj. y y( t ) y ). Na początu wyberamy odcęte puów. Aby ułatwć sobe zadae dzelmy przedzał a, b a rówych podprzedzałów b a t a + h, h,, K, gdze h azywamy roem. Teraz otrzymujemy wartośc przyblŝoe ( t, y) w przedzale t0, t, z y( t0 ) y0 (4..) y f (4..) Załadamy, Ŝe y ( t ), y ( t ) y ( t) Taylor a do rozwęca fucj ( t ) są cągłe wyorzystujemy twerdzee y woół putu t t0. Dla aŝdej wartośc t steje wartość c, tóra leŝy pomędzy t 0 t ta Ŝe: y ( t ) y( t ) + y ( t )( t t ) ( c )( t t ) y 0 0 0 0 + (4..3) Kedy y ( t ) f ( t y( )) 0 0, t0 h t t0 otrzymujemy wyraŝee dla y ( t ): y ( t ) y( t ) + hf ( t, y( t )) podstawamy do rówaa (4..3), ( c ) y h 0 0 0 +. (4..4) JeŜel h jest dostatecze małe, moŝemy pomąć sład drugego stopa otrzymujemy y ( c ) y h y0 + hf ( t0, y0 ) +, (4..5) co staow przyblŝee Eulera. Proces jest powtarzay tworząc cąg putów, tóre przyblŝają rzywą rozwązaa y y( t ). Ogóly ro dla metody Eulera
Aradusz Atcza ( t, y ),,, t + t + h, y + y + hf K (4..6) 4. Metoda Ruge-Kutta Metoda Ruge-Kutta jest jedą z ajczęścej wyorzystywaych umeryczych metod rozwązywaa rówań róŝczowych [3]. Występuje oa w welu odmaach zaleŝych od stopa metody. Najpopularejszą z ch jest metoda Ruge-Kutta 4-go stopa. Staow oa dobry wybór poewaŝ jest dosyć dołada, stabla łatwa do zamplemetowaa. Metoda oparta jest a oblczau y + według schematu: ( f + f + f + f ) h 3 4 y + y + (4..) 6 gdze f, f, f 3 f 4 przyjmują postać f f f f 3 4 f ( t, y ), h h hf t +, y + f, h h hf t +, y + f, hf ( t + h, y + hf ), 3 (4..) gdze h jest roem całowaa. Metoda startuje z waruu początowego ( t,y 0 0 ) Iym przyładem metody RK jest ejawa (uwłaa) metoda IRK (Implct Ruge-Kutta). Metoda IRK -go stopa jest zdefowaa astępująco y y y + y + h s j + h α f s j j β f ( t + γ H, y ), j ( t + γ H, y ) j j j j,0,, Ks, gdze h ro całowaa obejmuje wartośc średe t,,,s, oraz (4..3) α L j t j 0 L ( t ) dt, β L ( t ) j 0 ( t )- weloma Lagrage' a w putach γ 0, K, γ s dt, (4..4) 3
Aradusz Atcza 4.3 Błędy metod Aby wyazać edosoałość wyŝej opsaych metod, rozwaŝmy rówae róŝczowe perwszego rzędu [4]: y y t 0y e ( 0) t 0,3 (4.3.) Dołade rozwązae powyŝszego zagadea wyos y e t *. Numerycze rozwązae zostało przeprowadzoe przy uŝycu programu Mathematca [6] wyorzystując omputer lasy PC. Do rozwązaa przedstawoego a Rys.4. wyorzystao trzy metody: automatyczą (program automatycze wybera metodę pomędzy Adams lub BDF ), Eulera Ruge-Kutta, z podwóją precyzją..5.5 auto 0.5 Euler -0.5 RK - 0.5.5.5 3 y Rys 4. Wy przedstawoo róweŝ w tabel poŝej. Ja moŝa zauwaŝyć Ŝada z metod e daje dobrego rozwązaa dla t > 4
Aradusz Atcza t Auto Euler RK y*(rozwązae dołade) 0 0,5 0,77880 0,77876 0,77880 0,77880 0,5 0,606538 0,605436 0,60653 0,60653 0,75 0,4746 0,4590 0,47367 0,47367 0,3690 0,05457 0,367888 0,367879,5 0,30044 -,688 0,8663 0,86505,5 0,3970-3,7847 0,445 0,33,75,3959-9,704 0,89875 0,73774 5,30-3548,4 0,3349 0,35335,5 306,699-434,9,49506 0,05399,5 3735,6-54504 9,94 0,08085,75 4550,6-6,3767x0 6 354,7 0,063979 3 554335-7,756 x0 7 430,66 0,049787 Podobe przedstawa sę sytuacja podczas rozwązywaa rówaa wahadła matematyczego (3..3) w postac y y ( t) + 0s( y( t )) ( 0), y( 0) 0 0 (4.3.) Rozwązae zostało przedstawoe w postac wyresów y(t) wyresów przestrze fazowej: Metoda automatycza t 0, 500 @td 0.5-0.5-00 00 300 400 500 t p@td 3 - -0.5 0.5 @td - - -3 Rys 4. Rys 4.3 5
Aradusz Atcza Metoda Eulera t 0, 500 @td p@td 3 0.5-0.5 00 00 300 400 500 t - -0.5 0.5 - - @td - -3 Rys 4.4 Rys 4.5 Metoda RK t 0, 500 @td 0.5-0.5-00 00 300 400 500 t p@td 3 - -0.5 0.5 @td - - -3 Rys 4.6 Rys 4.7 Ja wdać a powyŝszych wyresach, Ŝada z metod umeryczych e daje rozwązaa doładego. Dla duŝych t rozwązae rozjeŝdŝa sę od wyu rzeczywstego, tórym ja dla uładów hamltoowsch powa być elpsa. Przy czym ajgorsze rezultaty uzysao przy uŝycu metody Eulera (Rys 4.4 Rys 4.5). RozwaŜmy teraz rówae róŝczowe drugego rzędu [] y y 4s y( 0) y (0) ( t) + 5cos( t ) (4.3.3) Doładym rozwązaem tego rówaa jest fucja ( t ) cos( t ) y* s. 6
Aradusz Atcza y@td 6 4 auto Euler ERK - y 5 0 5 0 5 t Rys 4.8 Na rysuu 4.8 poazao wyresy rozwązaa doładego rezultatów oblczeń umeryczych. MoŜa zaobserwować, Ŝe dla ońcowego przedzału czasu uzysae wy zacze róŝą sę pomędzy sobą e porywają sę z rozwązaem doładym. PowyŜsze przyłady potwerdzają oeczość weryfowaa rezultatów oblczeń, a przyład poprzez powtórzee oblczeń z uŝycem ej metody, poprzez zwęszee precyzj oblczeń lub wyoae oblczeń a ej maszye (omputerze). 7
Aradusz Atcza 5 Metody weryfowaa rozwązań 5. Wpływ waruów początowych Numerycze rozwązae rówaa róŝczowego w Ŝade sposób e jest eomyle. Rówae róŝczowe często jest bardzo wraŝlwe a waru początowe, błędy zaorągleń czy teŝ błędy metod. Dlatego trzeba zachować duŝą ostroŝość rozwązując tae rówae. Rozwązae moŝe być oczewae dla małych t, ale często awet dla średch t, uŝywając stadardowych maszyowych precyzj (przewaŝe 6 cyfr, lczba rzeczywsta typu double) są oe ewystarczające do uzysaa marodajego rozwązaa. Dobrym przyładem jest rówae Duffga [5]: y y 3 ( t ) + 0,5y ( t) y( t ) + y( t ) 0,3 cos( t) ( 0), y( 0), t 0, 00, (5..) Isteje wele tucyjych metod sprawdzea czy oblczea są poprawe (przelczee ze zwęszoą precyzją lub a ym omputerze), aczolwe właścwe podejśce do problemu wymaga podstawowego zrozumea ja dzała metoda. Procedury umerycze zazwyczaj przebegają ro za roem, ale w sposób adaptacyjy, starając sę w aŝdym rou spełć pewą tolerację błędu. NDSolve (wbudowaa fucja programu Mathematca ), a przyład, sprawdza tą toleracje dla 6-cyfrowej precyzj w aŝdym rou. Te typ błędu os azwę błędu obcęca. Teraz edy wy z perwszego rou ma doładość do 6 cyfr, edoładość moŝe rosąć edopuszczale przez awet tysące olejych roów. Łatwym sposobem sprawdzea powyŝszego jest zaburzee waruu początowego p.: o (5..) dla t 00: ( 0) y( t ) y -0,46898 6 ( 0) + 0 y -,480 6 0. Rozwązae rówaa 8
Aradusz Atcza PowaŜa ezgodość wsazuje, Ŝe róŝca rzędu 6 0 moŝe prowadzć do radyale róŝych wyów. Wyres przedstawoy a Rys. 5. wsazuje, Ŝe rozwązae jest dobre dla wszystch t do t 70..5 0.5-0.5 - -.5 0 40 60 80 00 Rys. 5. Ne załócoe rozwązae jest poazae grubą szarą lą [5] Zaburzee rzędu 6 0 prowadz do rozwązaa y ( 00) 0, 4444. Jest ta poewaŝ zaburzee jest pomjale w stosuu do loalego błędu obcęca, węc jest sutecze zguboe. Aby test mał ses, zaburzee mus być tego samego lub węszego stopa co loaly błąd z obcaa. W programe Mathematca moŝemy zmeć loaly błąd algorytmu poprzez zmaę doładośc (AccuracyGoal). Zwęszee doładośc do 0 cyfr, powoduje wydajejsze dzałae algorytmu, co uwdacza sę w zgodośc rozwązań do t 80, ja przedstawa Rys. 5..5 0.5-0.5 - -.5 0 40 60 80 00 Rys. 5. Zwęszoa doładość prowadz do zgodośc rozwązań do t 80 [5] Podobe zachowuje sę przyład z rozdzału czwartego (4.3.3). Poowe rozwązae tego przyładu dla waruów początowych za- 9
Aradusz Atcza łócoych wartoścą rzędu zaobserwować moŝa a wyrese y@td 6 0, prowadz do pogorszea wyów, co 6 4 auto Euler ERK - y 5 0 5 0 5 t Rys. 5.3 Załócee zmejsza przedzał doładego rozwązaa [5] 5. Precyzja, doładość, sala Mathematca jest w stae zaorąglć lczę rzeczywstą do dowolej lczby zaów [6]. Ogóle, precyzja lczby rzeczywstej to lczba cyfr dzesętych, tóre są tratowae jao zaczące w oblczeach. Doładość to lczba cyfr, tóra pojawa sę a prawo od zau (rop, przeca) dzesętego. Sala, to lczba cyfr zajmująca mejsce z lewej stroy zau dzesętego. Budowę lczby obrazowo prezetuje Rys. 5.3 õúúúúúúúúúúúúúúúú úúúúúúúúúùúúúúúúúúúúúúúúúú úúúúúúúû x x x s Æ.x s+ x s+ x s+a Æ Sala Precyzja Rys. 5.3 Doładość PrzyblŜoa lczba rzeczywsta zawsze ese ze sobą epewość co do jej wartośc, zwązaą z lczbam poza tym zaym. Precyzja ustala 30
Aradusz Atcza marę względego rozmaru tej epewośc. Doładość daje marę bezwzględego jej rozmaru. Program Mathematca został ta stworzoy, Ŝe jeŝel pewa lczba x posada epewość ρ, wtedy jej prawdzwa wartość moŝe leŝeć w terwale o rozmarze ρ od x ρ do x + ρ. Gdy lczbę przyblŝamy z doładoścą a to jej epewość jest rzędu a 0, podczas gdy ezerowe przyblŝee lczby z precyzją p, posada epewość zdefowaą jao x p 0. Wya stąd, Ŝe wszele oblczee wyoywae w Mathematc e, dla zadaych precyzj lub doładośc lczb wyoywae są w arytmetyce terwałowej. Zbór terwałów a os lczb rzeczywstych jest zdefoway jao {[ a] [ a a] a, a R a a} IR,, [0]. JeŜel a a wtedy [ ] wtedy [ a ] jest eujemy ([ ] 0 a jest terwałem putowym; jeŝel a 0 a ); jeŝel a a a jest symetryczy. Dwa terwały [ a ] [ b ] są rówe jeŝel Nech [ a ] [ b] IR, o { +,,*,/ } zdefowae [0] jao: [ ] o [ b] { x o y x [ a], y [ b] }, 0 [ b] gdy o / wtedy [ ] a b a b.. Operacje arytmety terwałowej są a (5..) co moŝe być zapsae za pomocą rówowaŝych wzorów (pomjamy o w zapse) [ a ] [ b] [ a + b, a + b], + (5..) [ a] [ b] [ a b, a b], (5..3) a b [ m ab, ab, ab, ab,max ab, ab, ab, ab ], (5..4) [ ][ ] { } { } [ a] [ b] [ a, a][ / b, / b], 0 [ b] /. (5..5) Defcja (5..) wzory (5.. 5..5) mogą być rozszerzoe a wetory macerze. JeŜel sładowe wetora lub macerzy są terwałam to mamy wetor lub macerz terwałową. Za pomocą symbol ozaczamy zwyczaje zawerae zborów (luzje). Mamy luzje terwałów 3
Aradusz Atcza [ a] [ b] a b a b odpowedo [ a ] [ b] a > b a < b (5..6) (5..7) Zdefujmy jeszcze oleje welośc dla terwałów [0] - szeroość w( [ a] ) a a, - put środowy [ a] - moduł [ ] max{, }, (5..8) ( ) ( a a) /, m + (5..9) a a a (5..0) Dzałaa w arytmetyce terwałowej są włącze mootocze. To jest, dla terwałów rzeczywstych [ a ], [ a ], [ b ] [ b ] ta Ŝe, [ a] [ ] [ b] [ b ], [ a] o [ b] [ ] o [ ], { +,,*,/ } a b o (5..) Mmo Ŝe, dodawae moŝee terwałów jest łącze, prawo rozdzelośc a ogół e utrzymuje sę. To jest, łatwo moŝemy aleźć trzy terwały [ a ], [ b ] [ c ] dla tórych [ a ]([ b] [ c ]) [ a][ b] + [ a][ c ] +. Jaolwe, dla aŝdych trzech terwałów [ a ], [ b ] [ c ], prawo subdystrybucj [ a ]([ b] [ c ]) [ a][ b] + [ a][ c ] + utrzymuje sę. Poadto, steją szczególe przypad, w tórych prawo rozdzelośc [ a ]([ b] + [ c ]) [ a][ b] + [ a][ c] utrzymuje sę w mocy. Na przyład, dla [ b ][ c ] 0, gdy [ ] a a jest terwałem putowym, lub gdy [ b ] [ c ] są symetrycze. W szczególośc, dla α R, tóre moŝe być terpretowae jao terwał putowy [ α, α ] terwałów [ b ] [ c ], mamy α ([ b] [ c] ) α[ b] + α[ c] +. 5.3 Arytmetya duŝych lczb zmeoprzecowych Model arytmety duŝych lczb zmeoprzecowych w Mathematce ( Sgfcace Arthmetc ) jest odmaą arytmety terwałowej, gdze pojedycza lczba zmeoprzecowa jest wyorzystaa do oreślea błędu [9]. Kedy lczba cyfr zaczących e jest za 3
Aradusz Atcza mała, te model dołade odpowada arytmetyce terwałowej, podczas gdy jego wydajość jest węsza. Model te moŝe być uŝyty do sprawdzea uwaruowaa algorytmów dlatego daje dobre wsazaa, le cyfr rozwązaa jest godych zaufaa. Te mechazm posada waŝe zaczee, szczególe w doładym oreśleu rozchodzea sę błędu zaorąglea w oblczeach umeryczych. Model uŝyty dla arytmety duŝych lczb zmeoprzecowych jest astępujący Precyzja[x] Sala[x] + Doładość[x] Ja juŝ wspomao w poprzedm podrozdzale, aŝda duŝa lczba zmeoprzecowa w rzeczywstośc jest pseudo-terwałem z błędem a 0, gdze a to Doładość. W te sposób doładość jest ujemą wartoścą rozmaru błędu. Doładość Precyzja reprezetują bezwzględą względą salę błędu. Błąd bezwzględy to log err, a błąd względy err log x. Od edy doładość precyzja są właścwe całem w struturze duŝych lczb, sala moŝe być od razu stwerdzoa jao róŝca obydwu welośc. Wartość precyzj jaej moŝemy sę spodzewać w wyu, róŝ sę dla aŝdej fucj. Netóre fucje mogą podeść wartość precyzj. Sposób w ja błąd sę propaguje, moŝe być zlustroway za pomocą lorazu róŝczowego, tóry moŝemy zapsać jao [9] ( z ) f ( z ) z f (5.3.) gdze reprezetuje operator róŝcowy. Iloraz róŝczowy jest lową aprosymacją szacującą warację fucj. Jao przyład, fucja błędu Erf potraf dać wy, tóry jest bardzej precyzyjy Ŝ wartość wejścowa z N[0,0] 0.000000000000000000 Erf[z] 0.9999999999999999999999999999999999999999999999999 999999999999999999999999999999999999999999999999999999999 999999999999999999999999999999999999999999999999999999999 9999999999994604343883909907 33
Aradusz Atcza Sala błędu wyos 9. Główym celem Sgfcace Arthmetc jest prawdłowe oszacowae lczby poprawych cyfr w wyu. Te model arytmety dzała poprawe dbając jedocześe, aby długość przedzału reprezetującego błąd była stosuowo mejsza do rozmaru reprezetowaej lczby. W tym paragrafe przedstawoo ogóly zarys arytmety w Mathematce, ze względu a jej duŝą złoŝoość. Węcej formacj a temat SgfcaceArthmetc moŝa zaleźć w [6] oraz w [9]. 34
Aradusz Atcza 6 Metoda oloacj Metoda oloacj jest zaa od bardzo dawa, a jej schemat wygląda astępująco [4]. RozwaŜmy zagadee początowe (6.) '( t ) f ( t, y( t) ) ( ), y y t 0 y 0, m m [ t b] R R f : 0, (6.) Dla ułatwea opsu metody załadamy, Ŝe m. Wartość jest dobraa ta, aby wartośc t0, t,,t- zalazły sę w dzedze całowaa. NaleŜy zauwaŝyć, Ŝe perwszy put zajduje sę a początu przedzału czasowego, ale t- e oecze zajduje sę a jego ońcu. W zwązu z powyŝszym przyblŝoe rozwązae y(t) jest oblczae jao weloma P ( t ) spełający (6.) w aŝdym puce t0, t,,t-. To jest ( t ) f ( t, P ( t )) ( ), P P t 0 y 0, 0,, K, JeŜel weloma P ( t ) jest zdefoway jao: (6.) P t) a t + a t + K + a t + a, (6.3) ( 0 Wtedy jego współczy są oblczae jao uład + rówań (6.). Uład te jest lowy lub elowy w zaleŝośc od tego czy fucja ( t y( t )) f, jest lowa lub elowa. UŜywając poŝszych ozaczeń: U t t t 0 M ( ) ( ) ( a a, a ) T 0,, M t t 0 ( ) t K t K K t t M 0 A K, uład (6.) moŝa zapsać jao: U A P 0 ( t ) f y, 0 f ( t, P ( t )) o ( t, P ( t )) M o M (6.4) (6.5) Rozwązae uładu (6.5) daje współczy a przyblŝaego welomau. Drug elemet uładu wymaga wylczeń fucj f ( t, y) 35