4. CZYSTE ZGINNIE 1 4. 4. Czyste zginanie 4.1 odstawowe definicje Momentem M siły względem punktu O nazywamy iloczyn wektorowy wektora wodzącego r oraz wektora siły. M= r. (4.1) Wektor r jest promieniem wodzącym dowolnego punktu linii działania siły (prostej, na której leży wektor siły) o początku w punkcie O. rzedstawia to rysunek 4.1. Z M a Y r 0 r X O Rys. 4.1. Moment statyczny siły względem punktu. Wartość bezwzględna momentu siły wynosi M = r sin, (4.2) gdzie a jest kątem zawartym między wektorami r i, a r 0 rzutem wektora r na prostą prostopadłą do wektora, czyli ramieniem siły. Wektor M jest prostopadły do płaszczyzny, na której leżą wektory r i, a jego zwrot określa reguła śruby prawoskrętnej. Reguła ta mówi, że przy obrocie wektora r zgodnie z obrotem śruby prawoskrętnej o kąt a mniejszy od 180 0 do pokrycia się z wektorem, śruba postępuje w kierunku wektora M. Na rysunku 4.2 obrót wektora r w kierunku wektora został przedstawiony za pomocą strzałki. Moment siły względem punktu nazywamy momentem statycznym. Zależy on od położenia punktu O, względem którego moment ten obliczamy, nie zależy natomiast od przesunięcia siły wzdłuż jej linii działania. Moment M układu sił dowolnie rozmieszczonych na płaszczyźnie względem dowolnego punktu O jest równy sumie momentów poszczególnych sił względem tego punktu. rof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater
4. CZYSTE ZGINNIE 2 Z Y M a X O r Rys. 4.2. Reguła śruby prawoskrętnej. Jeżeli siła znajdowałyby się w przestrzeni to w takim przypadku oblicza się moment siły względem osi. Wartość bezwzględna momentu wynosi M = ' r 0, (4.3) w którym ' jest rzutem siły na płaszczyznę prostopadłą do osi natomiast r 0 jest ramieniem siły '. rzedstawia to rysunek 4.3. ' r 0 Rys. 4.3. Moment statyczny siły względem osi. arą sił nazywamy dwie siły równoległe i równe co do wartości, ale przeciwnie skierowane. Moment pary sił względem punktu O jest równy sumie momentów poszczególnych sił względem punktu O. rzedstawia to rysunek 4.4. rof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater
a a 4. CZYSTE ZGINNIE 3 x O Rys.4.4. ara sił. Jako dodatni został przyjęty moment, który kręci zgodnie ze wskazówkami zegara. Momenty statyczne poszczególnych sił wynoszą M 1 = x, (4.4) M 2 = x a. (4.5) Momenty statyczne obu sił zostały przedstawione na rysunku 4.5. Zamiast wektora momentu, który byłby niewidoczny zastosowano strzałki, które pokazują jak kręciłaby się śruba prawoskrętna. Moment M 1 jest dodatni więc wektor jego wkręcałby się w kartkę. Moment M 2 jest ujemny więc jego wektor wykręcałby się z kartki. Moment M 2 jako ujemny został narysowany ze zwrotem przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, natomiast jako opis wektora została podana wartość bezwzględna tego momentu. x O M 1 = x M 2 = x a Rys. 4.5. Momenty statyczne poszczególnych sił względem punktu O. rof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater
a 4. CZYSTE ZGINNIE 4 Całkowity moment statyczny wynosi M = x x a = a. (4.6) Jak widać wartość bezwzględna momentu pary sił jest równa iloczynowi wartości siły razy odległość sił między sobą. Jest on niezależny od punktu odniesienia i ma zawsze tą samą wartość. ara sił charakteryzuje się więc określonym momentem, który nazywa się momentem obrotowym. Moment pary sił przedstawionej na rysunkach 4.4, 4.5 oraz 4.6 jest więc ujemny czyli przeciwny do ruchu wskazówek zegara. x O M = a Rys. 4.6. Moment obrotowy pary sił. 4.2 ręt zginany momentem M Rozpatrzmy prostoliniowy pręt pryzmatyczny o długości L wykonany z materiału jednorodnego i izotropowego. ręt jest obciążony momentami obrotowymi M na obu swoich końcach. Oba wektory momentów leżą na płaszczyźnie przekroju pręta. Wektory momentów będą prostopadłe do tak zwanej płaszczyzny obciążenia (w tym przypadku płaszczyzną obciążenia jest kartka papieru). rzedstawia to rysunek 4.7. M M L Rys. 4.7. ryzmatyczny pręt obciążony momentami obrotowymi M. by dowolna część pręta była w równowadze w dowolnym przekroju musi się pojawić moment obrotowy zależny od współrzędnej x M(x) nazywany momentem zginającym. Równowagę odciętej części pręta przedstawia rysunek 4.8. Układ XYZ jest globalnym układem związanym z lewym końcem pręta. rof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater
4. CZYSTE ZGINNIE 5 M M(x) X Z x Rys. 4.8. Równowaga odciętej części pręta. Jak widać z rysunku 4.8 moment zginający M(x) w dowolnym przekroju pręta równa się zewnętrznemu momentowi obrotowemu M. Na rysunku tym zaznaczono moment zginający M(x) jako dodatni. Dodatni moment zginający będzie więc powodował rozciąganie dolnych włókien pręta. rzedstawia to rysunek 4.9. M(x) Rys. 4.9. Dodatni moment zginający M(x). Chcąc rozważyć czyste zginanie jednorodnego pręta wywołane przez moment zginający M(x) ograniczono się do przekrojów dostatecznie oddalonych od końców pręta a pominięto ewentualne zaburzenia (zasada de Saint- Venanta). od wpływem momentu zginającego nastąpi wygięcie pręta (w konfiguracji aktualnej czyli konfiguracji odkształconej) w wyniku czego część włókien jest ściskana, a druga część rozciągana. Włókna ściskane ulegają skróceniu, a rozciągane wydłużeniu. Granicę obu części pręta stanowi pewna powierzchnia utworzona z włókien obojętnych, których odkształcenie liniowe wynosi zero powierzchnia obojętna. Dodatkowym założeniem jest prawo płaskich przekrojów Bernouliego. Mówi ono, że przekrój płaski i prostopadły do włókien (podłużnej osi) pręta przed odkształceniem, pozostaje nadal płaski i prostopadły do wygiętych włókien (podłużnej osi) pręta po odkształceniu. Bliższe obserwacje wykazują, ze przekrój pręta w procesie deformacji obraca się o kąta f. okazuje to rysunek 4.10. Konfiguracja początkowa Konfiguracja aktualna f Rys. 4.10. Konfiguracja początkowa i aktualna pręta. rof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater
4. CZYSTE ZGINNIE 6 Rysunki 4.11, 4.12 przedstawiają model zginanej belki swobodnie podpartej wykonany z gąbki. Na rysunkach tych zostały zaznaczony kąt prosty pomiędzy przekrojem pręta i jego osi w konfiguracji początkowej (przed odkształceniem) i w konfiguracji aktualnej (po odkształceniu). Rys. 4.11. Belka przed odkształceniem. Rys. 4.12. Belka po odkształceniu. onieważ rozważany pręt jest jednorodny i pryzmatyczny, więc osie obrotu każdego dowolnego przekroju są do siebie równoległe. W konfiguracji aktualnej (odkształconej) każde włókno jest krzywą płaską równoległą do płaszczyzny zginania. łaszczyzna zginania tworzy pewien kąt z wektorem momentu zginającego. Wybierzmy pewien punkt należący do włókna obojętnego w konfiguracji początkowej. W konfiguracji aktualnej (odkształconej) przemieści się on do punktu a. okazuje to rysunek 4.13. onieważ włókna obojętne nie zmieniają swojej długości więc po odkształceniu pręt będzie krótszy niż w konfiguracji początkowej. rof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater
4. CZYSTE ZGINNIE 7 a L Rys. 4.13. Włókna obojętne pręta zginanego. W konfiguracji początkowej element pręta o długości dx przedstawia rysunek 4.14. unkt znajduje się na powierzchni obojętnej. Dowolny punkt przekroju pręta ma współrzędną e. Y 0 e Z 0 dx Rys.4.14. Element pręta w konfiguracji początkowej. W konfiguracji aktualnej (odkształconej), przedstawionej na rysunku 4.15, włókna poza powierzchnią obojętną ulegną wydłużeniu lub skróceniu. Włókna obojętne będą miały długość ds=dx. Dowolne włókna będą miały teraz współrzędną e'. rzekrój początkowy oraz końcowy będą wyznaczały środek krzywizny pręta. owierzchnia obojętna w konfiguracji aktualnej jest więc powierzchnią walcową o środku w punkcie C i przecina się z płaszczyzną, na której znajduje się przekrój pręta wzdłuż pewnej prostej nazywanej osią obojętną, która jest zawsze prostopadła do płaszczyzny zginania. Z podobieństwa wycinków koła wynika zależność ds ds = r e ' ds r, (4.7) skąd ds ds = e ' r. (4.8) rof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater
4. CZYSTE ZGINNIE 8 C e' r Y 0 ds=dx ds+dds Z 0 Rys. 4.15. Element w konfiguracji aktualnej (odkształconej). Lewa strona równania (4.8) przedstawia odkształcenie liniowe e X. o uwzględnieniu, że krzywizna elementu wynosi = 1 r, (4.9) otrzymujemy podstawowy związek kinematyczny teorii zginania obowiązujący w konfiguracji aktualnej (odkształconej) = e'. (4.10) Odkształcenia liniowe rosną więc proporcjonalnie do odległości od osi obojętnej. Funkcje (4.10) przedstawia pewną płaszczyznę nazywaną płaszczyzną odkształceń. Zgodnie z przyjętą hipotezą Bernouliego czyli hipotezą płaskich przekrojów płaszczyzna odkształceń będzie miała w dowolnym układzie osi środkowych Y 0Z 0 równanie y 0, z 0 =a 0 a 1 y 0 a 2 z 0. (4.11) Najczęściej przyjmujemy, że przemieszczenia i odkształcenia są bardzo małe. Wówczas rozróżnienie konfiguracji początkowej i aktualnej nie jest konieczne. Można więc przyjąć, że 1. zmiany kształtu i wymiarów przekroju są pomijalnie małe, rof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater
4. CZYSTE ZGINNIE 9 2. osie obojętne w obu konfiguracjach są liniami prostymi i pokrywają się, 3. odległości e'=e, 4. kąty obrotu przekrojów są bardzo małe. 4.3 Wyznaczenie naprężeń w pręcie zginanym rzyjęto, że pryzmatyczny pręt wykonany z materiału izotropowego oraz jednorodnego jest poddany czystemu zginaniu momentem zginającym M, który w układzie osi środkowych Y 0Z 0 posiada składowe M Y0 oraz M Z0. Wektor momentu zginającego M jest prostopadły do płaszczyzny obciążenia. rzedstawia to rysunek 4.16. łaszczyzna obciążenia Y 0 M Y0 M M Z0 Z 0 Rys..4.16. rzekrój pręta obciążony momentem zginającym M. Składowe M Y0 oraz M Z0 są wypadkowymi z iloczynu naprężenia normalnego, elementarnego pola powierzchni d oraz współrzędnej y 0 oraz z 0 czyli M Y0 = y 0, z 0 z 0 d, (4.12) M Z0 = y 0, z 0 y 0 d. (4.13) Znak minus we wzorze (4.13) wynika z tego, iż dodatni moment zginający M Z0 powoduje powstanie naprężeń normalnych ściskających (ujemnych) w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych (współrzędne y 0 oraz z 0 w tej ćwiartce są dodatnie). Ze wzorów (4.12) i (4.13) nie wynika prawo rozkładu naprężeń normalnych w przekroju pręta. Możemy jednak wykorzystać fakt, iż w przekroju zginanym siła normalna równa się zero. N = y 0, z 0 d=0. (4.14) rof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater
4. CZYSTE ZGINNIE 10 Wzory (4.12), (4.13) i (4.14) obowiązują w konfiguracji aktualnej (odkształconej). Zgodnie jednak z przyjętymi założeniami, że odkształcenia i przemieszczenia są bardzo małe, co pozwala przyrównać konfigurację pierwotną i aktualną. Naprężenia będziemy więc obliczać dla konfiguracji pierwotnej. rawo Hooke'a w przypadku pręta poddanego czystemu zginaniu będzie miało postać identyczną jak dla osiowego działania siły czyli =E. (4.15) Zgodnie z prawem Bernouliego funkcję odkształceń liniowych przedstawia wzór (4.11). Jeżeli uwzględnimy prawo Hooke'a (4.15) to funkcja naprężeń normalnych będzie miała postać y 0, z 0 =b 0 b 1 y 0 b 2 z 0. (4.16) o wstawieniu (4.16) do wzoru (4.12) moment zginający M Y0 będzie miał postać M Y0 = b 0 b 1 y 0 b 2 z 0 z 0 d. (4.17) o rozwinięciu wyrażeń pod całką wzór (4.17) będzie miał postać M Y0 = b 0 z 0 b 1 y 0 z 0 b 2 z 0 2 d. (4.18) Całkę z sumy zamieniamy na sumę całek. onieważ b 0, b 1 oraz b 2 są pewnymi stałymi można je wyciągnąć przed znak całki. Wzór (4.18) będzie miał postać M Y0 =b 0 z 0 d b 1 y 0 z 0 d b 2 z 2 0 d. (4.19) Interpretując poszczególne całki wzór (4.19) będzie miał postać M Y0 =b 0 S Y0 b 1 I Y0Z0 b 2 I Y0. (4.20) o wstawieniu (4.16) do wzoru (4.13) moment zginający M Z0 będzie miał postać M Z0 = b 0 b 1 y 0 b 2 z 0 y 0 d. (4.21) rof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater
4. CZYSTE ZGINNIE 11 o rozwinięciu wyrażeń pod całką wzór (4.21) będzie miał postać M Z0 = b 0 y 0 b 1 y 2 0 b 2 y 0 z 0 d. (4.22) Całkę z sumy zamieniamy na sumę całek. onieważ b 0, b 1 oraz b 2 są pewnymi stałymi można je wyciągnąć przed znak całki. Wzór (4.22) będzie miał postać M Z0 = b 0 y 0 d b 1 y 0 2 d b 2 y 0 z 0 d. (4.23) Interpretując poszczególne całki wzór (4.23) będzie miał postać M Z0 = b 0 S Z0 b 1 I Z0 b 2 I Y0Z0. (4.24) onieważ osie Y 0 oraz Z 0 są osiami środkowymi więc momenty statyczne S Y0 i S Z0 są równe zero. Wzory (4.20) oraz (4.24) będą tworzył układ równań { M Y0 =b 1 I Y0Z0 b 2 I Y0 M Z0 = b 1 I Z0 b 2 I Y0Z0. (4.25) Rozwiązaniem układu równań (4.25) są wartości stałych b 1 i b 2 b 1 = M I M I Y0 Y0Z0 Z0 Y0 2 I Y0 I Z0 I Y0Z0, (4.26) b 2 = M I M I Y0 Z0 Z0 Y0Z0 2 I Y0 I Z0 I Y0Z0. (4.27) o wstawieniu (4.16) do wzoru (4.14) siła normalna będzie wynosiła N = b 0 b 1 y 0 b 2 z 0 d=0. (4.28) Całkę z sumy zamieniamy na sumę całek. onieważ b 0, b 1 oraz b 2 są pewnymi stałymi można je wyciągnąć przed znak całki. Wzór (4.28) będzie miał postać rof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater
4. CZYSTE ZGINNIE 12 N =b 0 d b 1 y 0 d b 2 z 0 d=0. (4.29) Interpretując poszczególne całki wzór (4.29) będzie miał postać N =b 0 b 1 S Z0 b 2 S Y0 =0. (4.30) onieważ osie Y 0 oraz Z 0 są osiami środkowymi więc momenty statyczne S Y0 i S Z0 są równe zero. Stała b 0 będzie w tej sytuacji równa zero. Ostatecznie wzór na obliczenie naprężeń normalnych w przekroju zginanym będzie miał postać = M I M I Y0 Y0Z0 Z0 Y0 y 2 0 M I M I Y0 Z0 Z0 Y0Z0 z. 2 0 (4.31) I Y0 I Z0 I Y0Z0 I Y0 I Z0 I Y0Z0 Jest to ogólny wzór na naprężenia normalne wywołane przez moment zginający M o składowych M Y0 i M Z0 w układzie dowolnych osi środkowych. Jeżeli przyrównamy naprężenia normalne do zera otrzymamy równanie osi obojętnej w postaci z 0 = M Y0 I Y0Z0 M Z0 I Y0 M Y0 I Z0 M Z0 I Y0Z0 y 0. (4.31)1 Rozkład naprężeń normalnych w przekroju przedstawia rysunek 4.17. Widać z niego. że oś obojętna w ogólnym przypadku nie pokrywa się z wektorem momentu M. Ekstremalne naprężenia normalne występują w punktach przekroju pręta najbardziej oddalonych od osi obojętnej. Zależność (4.31) uprości się znacznie jeżeli układ Y 0Z 0 będzie układem osi głównych Y glz gl, w którym moment dewiacyjny I YglZgl wynosi zero. Wzór (4.31) będzie miał postać = M Zgl I Zgl y gl M Ygl I Ygl z gl. (4.32) Równanie osi obojętnej w osiach głównych będzie miało postać z gl = M Zgl I Ygl M Ygl I Zgl y gl. (4.33) rof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater
4. CZYSTE ZGINNIE 13 łaszczyzna obciążenia - Oś obojętna Y 0 M Y0 + M s X M Z0 łaszczyzna zginania Z 0 Rys. 4.17. Naprężenia normalne w przekroju zginanym momentem zginającym M. Rozkład naprężeń w przekroju zginanym, w którym płaszczyzna obciążenia pokrywa się z jedną z osi głównych (Z gl)) przedstawia rysunek 4.18. Jest to jeden z najczęściej występujących przypadków zginania, występujący na przykład w belkach i nazywa się zginaniem prostym. łaszczyzna obciążenia= =łaszczyzna zginania M(x) - X Y=Y 0 =Y gl Oś obojętna M(x)=M Ygl + Z=Z 0 Z=Z 0 =Z gl s X Rys. 4.18. Rozkład naprężeń w przekroju zginanym. Naprężenia normalne oblicza się ze wzoru (M Zgl = 0) = M Ygl I Ygl z gl. (4.34) Ekstremalne naprężenia normalne występują na krawędzi dolnej i górnej przekroju. Oblicza się je ze wzorów d = M Ygl I Ygl d z, gl (4.35) rof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater
4. CZYSTE ZGINNIE 14 g = M Ygl I Ygl g z, gl (4.36) w których z gl (d) oraz z gl (g) oznaczają współrzędne z gl punktów krawędzi dolnej i górnej. Wzory (4.35) i (4.36) możemy zapisać w postaci d = M Ygl I Ygl d z gl, (4.37) g = M Ygl I Ygl. (4.38) g z gl Wyrażenia w mianowniku ułamka nazywają się wskaźnikami wytrzymałości na zginanie włókien dolnych i górnych. Oblicza się więc ze wzorów d W Ygl = I Ygl d z gl, (4.39) W g Ygl = I Ygl g z gl. (4.40) Znak minus we zworze (4.40) wynika z tego. że współrzędna włókien górnych jest ujemna a wskaźnik wytrzymałości musi być dodatni. Wskaźniki wytrzymałości przekroju na zginanie znajdują się w tablicach do projektowania konstrukcji metalowych (należy zwrócić uwagę na oznaczenia osi w tablicach) i mogą być pomocne w przyjęciu przekroju pręta, w którym płaszczyzna obciążenia pokrywa się z jedną z osi głównych. Znając wartość momentu zginającego M Ygl i wartość naprężenia dopuszczalnego można wyznaczyć wartość minimalną (potrzebną) wskaźnika wytrzymałości na zginanie W pot Ygl = M Ygl dop. (4.41) Następnie w tablicach szuka się przekroju, który posiada wskaźnik wytrzymałości na zginanie większy niż obliczony ze wzoru (4.41). Ekstremalne naprężenia normalne oblicza się ze wzorów rof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater
4. CZYSTE ZGINNIE 15 d = M Ygl d W Ygl g = M Ygl g W Ygl, (4.42). (4.43) Znak minus we wzorze (4.43) wynika z tego, że dodatni moment zginający wywołuje we włóknach górnych naprężenia ujemne (ściskające), a wskaźnik wytrzymałości ma zawsze wartość dodatnią. W innych przypadkach projektowanie przekroju polega za zasadzie prób i błędów. Tensor naprężenia w przypadku pręta zginanego momentem zginającym będzie miał postać X 0 0 =[ ]. 0 0 0 0 0 0 (4.44) Wykorzystując prawo Hooke'a (4.15) można wyznaczyć odkształcenia liniowe. Tensor odkształcenia będzie miał postać X 0 0 =[ 0 0 X]. 0 0 (4.45) 4.4 Zależności energetyczne Wartość całki objętościowej z iloczynu tensorów naprężenia (4.44) i odkształcenia (4.45) przy zginaniu pręta wynosi V dv = dv = V s [ d ]ds, (4.46) w którym s jest długością pręta, a ds jest elementem pręta mierzonym na osi pręta. Dla bardzo małych odkształceń zgodnie z hipotezą płaskich można przyjąć zależność (4.10) jako (e=e') = e. (4.47) Odkształcenia liniowe są wprost proporcjonalne do odległości od osi obojętnej, natomiast napręzenia normalne mogą mieć dowolny rozkład (dowolne związki fizyczne). Ograniczymy się tylko do przypadku, w którym wektor M=M Ygl. rzyjęto odległość osi obojętnej od osi środkowej jako c, więc e=z gl +c. rzedstawia to rysunek 4.19. rof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater
4. CZYSTE ZGINNIE 16 łaszczyzna obciążenia= =łaszczyzna zginania Y=Y 0 =Y gl M(x)=M Ygl e z gl c - + - + Oś obojętna Z=Z 0 =Z gl e X s X Rys. 4.19. rzekrój zginany. o tych wszystkich założeniach wzór (4.46) będzie miał postać dv = V s [ d ]ds= s [ e d ]ds= s [ z gl c d ]ds. (4.48) onieważ krzywizna jest stała na całym polu powierzchni przekroju można więc ją wyciągnąć przed całkę po polu powierzchni przekroju, wzór (4.48) będzie miał więc postać V dv = [ z gl c d ]ds. (4.49) s Całkę sumy zamieniono na sumę całek (odległość c jako stałą można wyciągnąć przed znak całki) V dv = s [ z gl d c d ]ds. (4.50) onieważ z gl d=m Ygl, (4.51) d=n =0, (4.52) otrzymano rof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater
4. CZYSTE ZGINNIE 17 V dv = M Ygl s ds. (4.53) s Wzór (4.53) jest słuszny również dla nieliniowych zależności między naprężeniami i odkształceniami. orównując wzory (4.15) oraz (4.47) dla przypadku działania tylko momentu zginającego M Ygl otrzymano (współrzędne e=z gl, oraz c=0) e= z gl = E. (4.54) Uwzględniając (4.34) otrzymano e= z gl = 1 E M Ygl I Ygl z gl. (4.55) Ostatecznie krzywizna pręta wynosi = M Ygl E I Ygl. (4.56) Jeżeli pręt jest liniowo-sprężysty (czyli zależność pomiędzy naprężeniami a odkształceniami jest liniowa prawo Hooke'a), to energia sprężysta zawarta wewnątrz pręta wynosi U = 1 2 s M Ygl ds. (4.57) Uwzględniając (4.56) otrzymano wzór na obliczenie energii sprężystej zawartej wewnątrz pręta U =U M = 1 2 s 2 M Ygl ds. (4.58) E I Ygl rof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater