7. FUNKCJA KWADRATOWA 0 Gd we wzorze funkcji najwższą potęgą jest jest to funkcja kwadratowa. Oprócz mogą bć w niej również inne składniki. Przkład. Wzór funkcji kwadratowej ma postać: Ta postać nazwa się ogólna. Wkrótce poznasz jeszcze dwie całkiem inne postacie funkcji kwadratowej (kanoniczną i ilocznową) Funkcja kwadratowa jest w programie I klas szkoł średniej i poznasz ją jako następną po funkcji liniowej. Obie są bardzo ważne i w dużej mierze inne funkcje na nich się opierają. Zadania z zakresu liniowej i kwadratowej zawsze są na maturze Współcznniki to dowolne liczb, ale, bo tlko wted istnieje. Gdb bło zerem, znika Ci składnik i masz wzór funkcji liniowej np. Zatem współcznniki i mogą bć zerami ale współcznnik nigd. Współcznnik Współcznnik Współcznnik to liczba stojąca prz stoi zawsze prz to wraz woln, czli sama liczba. Przkład Tabela przedstawia wzor funkcji kwadratowch oraz współcznniki w tch wzorach. Przeanalizuj je: Wzór funkcji 4 5 6 5 0 0 0 0 Wkresem funkcji kwadratowej jest parabola (rs.) Narsujesz ją gd wznaczsz np w tabelce kilka jej punktów podobnie jak dla wkresu funkcji liniowej
0 ELEMENTARNE PARABOLE. Podstawowa parabola ma wzór Do tabelki podstawiasz za kilka liczb i podnosisz je do kwadratu: 0 0 4 4 Parabola ma ten sam kształt ale rsuj ją w odbiciu lustrzanm, smetrcznie do osi 4 - -. Parabola Najpierw podnosisz do kwadratu, a potem mnoższ otrzmaną liczbę przez. 0 0 4 Parabolę narsujesz smetrcznie do osi - -. Parabola Wkres rozszerza się 0 0 4 Wkres smetrcznie do osi. narsujesz - - Zauważ że w parabolach wierzchołek jest zawsze w środku a dwa pozostałe punkt mają współrzędne: i. Inne wkres np. mają tę samą rozpiętość co powższe ale są położone w innm miejscu na układzie współrzędnch. To położenie zależ od umiejscowienia wierzchołka paraboli. I o tm napiszę Ci teraz
0 WIERZCHOŁEK PARABOLI Wierzchołek to najniższ najwższ punkt na paraboli. Jego współrzędne oznaczasz jako Ab obliczć wierzchołek, należ współcznniki podstawić do wzorów: i i Ten mał trójkącik Przkład Narsujem parabolę Ma ona ten sam kształt co punkt wierzchołka Obliczasz Wpisujesz współcznniki: to grecka litera delta., a jej miejsce na układzie wskaże Ci i do potrzebna jest delta: Punkt wierzchołka paraboli, czli już masz. Drugi punkt paraboli ustalisz wiedząc że w pierwotnej wierzchołka jest jednostka w prawo i w górę Otrzmasz Trzeci punkt to jednostka w lewo i w górę więc masz ( ) od 4 Wzoruj się na kształtach paraboli,, itd. - - WŁASNOŚCI FUNKCJI KWADRATOWEJ Wszstkie własności które wtłumaczłam Ci dla funkcji liniowej, mają swoje odniesienie również dla funkcji kwadratowej.. Dziedzina. Dziedziną funkcji kwadratowej jest zbiór liczb rzeczwistch. Bo cokolwiek wstawisz do wzoru funkcji za to zawsze obliczsz wartość Zatem. Zbiór wartości. odcztujesz z osi czli od jakiego zaczna się wierzchołek paraboli i dokąd zmierzają jej ramiona (do cz do )
04 - - - - - ) (. Miejsca zerowe. To punkt przecięcia paraboli z osią. Wkres może mieć dwa punkt na osi jeden punkt nie mieć ich wcale. - -4 - - - 4 - To od delt zależ ile wkres ma miejsc zerowch. O tm napiszę Ci wkrótce - Monotoniczność. -Badasz kied funkcja jest rosnąca i malejąca a) do funkcja maleje b) do funkcja rośnie od funkcja rośnie od funkcja maleje - - - - - - Wartości dodatnie i ujemne. Dodatnie są nad osią a ujemne pod. wartości dodatnie są nad osią 5 4 - - 4 5 6 7 8 9 0 - - - -4-5 wartości ujemne są pod osią wartości dodatnie są nad osią
6 Wartość największa najmniejsza. Decduje o niej wierzchołek. maksimum minimum 05 - - - - - - Zauważ że to liczba z wierzchołka paraboli *7. Parzstość Tlko ta funkcja kwadratowa jest parzsta, gd wkres przebiega smetrcznie względem osi ; a) ta jest parzsta b) ta nie jest parzsta - - - - - *8 Nieparzstość Funkcja kwadratowa nie jest nieparzsta, bo niemożliwe jest ab parabola bła smetrczna względem środka (0 0) *9 Różnowartościowość Funkcja kwadratowa nie jest różnowartościowa Błab, gdb dla różnch bł różne wartości. Jednak w każdej funkcji kwadratowej dla różnch są te same W przpadku poniższej paraboli zaś -4 - - - 4 - - * 0 Okresowość Nie jest okresowa. Nie badasz tej własności w funkcji kwadratowej. - Komentarz. Wkrótce, na wzorze funkcji, poćwiczm te własności. -
06 TRZY SZCZEGÓLNE PUNKTY NA PARABOLI Każdą parabolę można narsować znając jej punkt:. Wierzchołek, wzor: ; ;. Miejsca zerowe i czli punkt przecięcia paraboli z osią. Miejsca zerowe obliczasz z wzorów: i ------------------------------------------------------------------------------------------ WPŁYW DELTY NA LICZBĘ MIEJSC ZEROWYCH Jeśli chcem zbadać ile miejsc zerowch ma parabola obliczam deltę:. Gd jest dodatnia, 0, parabola ma punkt wspólne z osią czli dwa, różne miejsca zerowe i.. Gd delta jest zerowa, parabola ma punkt wspóln z osią, czli jedno miejsce zerowe i wted.. Gd delta jest ujemna, 0, parabola nie ma miejsc zerowch.. Dwa m. zerowe. Jedno m. zerowe. Brak miejsc zerowch - - - - - - - - - Jeśli liczba jest miejscem zerowm, to wstawiona za do wzoru funkcji, daje wnik zerow. Np. jest miejscem zerowm ROLA WSPÓŁCZYNNIKA i Gd współcznnik jest dodatni, ramiona paraboli kierują się do gór. Gd współcznnik jest ujemn ramiona są skierowane w dół. 0 0-4 - - - 4 - -4 - - - 4 - - - - -
07 Współcznnik wraz woln, wskazuje miejsce przecięcia paraboli z osią Zatem jest to punkt o współrzędnch Parabola przecina oś w punkcie. Parabola przecina oś w punkcie. ------------------------------------------------------------------------------------------- Przkład Narsujem wkres i wpiszem własności Masz współcznniki: Do wznaczenia trzech, najważniejszch punktów paraboli, czli wierzchołka oraz miejsc zerowch i, potrzebna jest delta więc od niej zacznij obliczenia: 0 6 0 Wznaczasz współrzędne wierzchołka wierzchołek paraboli: Delta jest dodatnia, więc są punkt przecięcia paraboli z osią. więc Otrzmane trz punkt: i zaznaczasz na układzie współrzędnch: Własności: Wkres. Dziedzina 5. Zbiór wartości ) 4. Miejsca zerowe: i 4. Monotoniczność: a) funkcja malejąca ( b) funkcja rosnąca ) - - 4 5 6 7 - - Jeśli masz polecenie ab podać maksmalne przedział monotoniczności, to dla - dasz nawias zamknięte Wted do -4 włącznie funkcja maleje i od włącznie funkcja rośnie Komentarz. Niestet, rzadko takie polecenie jest podawane, a w ostatnim czasie i tak piszecie nawias zamknięte Tak też i ja w punktach a) i b) uczniłam. Wartości dodatnie i ujemne. Dodatnie są nad osią a ujemne pod osią Zapisujesz przedział:
08 5 4 - - 4 5 6 7 - - - -4 gd międz zbiorami dajesz znasz sum; gd 6. Wartość minimalna, minimum: = dla *7. Parzsta nie jest, bo oś nie jest osią smetrii tej paraboli. *8. Różnowartościowa nie jest, bo dla różnch jest ta sama wartość Praca domowa: Oblicz wierzchołek paraboli: a) b) c). Oblicz deltę pierwiastek z delt oraz miejsca zerowe, : a) b) Odpowiedzi:. a), b), c),. a) ; b) 6; POSTAĆ KANONICZNA FUNKCJI KWADRATOWEJ Funkcja kwadratowa oprócz postaci ogólnej może przjąć postać kanoniczną. Ja ją także nazwam wierzchołkową wektorową, bo we wzorze kanonicznm są wpisane współrzędne wierzchołka paraboli i zarazem współrzędne wektora [ - Postać kanoniczna ma wzór Jeśli masz zamienić postać ogólną na kanoniczną, obliczasz wierzchołek paraboli i wpółrzędne wstawiasz do wzoru kanonicznego. Przkład Zamienim postać ogólną Wpisujesz współcznniki: Obliczasz wierzchołek: na kanoniczną.
Współrzędne wierzchołka. / wpisujesz do wzoru kanonicznego: przed nawiasem wstawiasz współcznnik w nawiasie obok piszesz ze zmienionm znakiem, więc. / nawias podnosisz do kwadratu, a na końcu dopisujesz. / to jest postać kanoniczna funkcji kwadratowej. 09 Przkład Mając postać kanoniczną, odcztam współcznnik oraz współrzędne i wierzchołka paraboli. a) współcznnik jest przed nawiasem więc współrzędna wierzchołka ma w nawiasie przeciwn znak więc współrzędna wierzchołka jest za nawiasem to b), Gd nie wszstkie liczb widać we wzorze możesz jego zapis uzupełnić zerem i łatwo wted odcztasz wierzchołek. c) na końcu dopiszesz zero; + 0 więc, ------------------------------------------------------------------------------------------ d) nie ma tu nawiasu, ale można go wpisać z zerem; teraz łatwiej Ci odcztać wierzchołek ------------------------------------------------------------------------------------------- Przkład Zamienim postać kanoniczną na ogólną Postać ogólną otrzmasz, gd w tm wzorze wliczsz działania Dla nawiasu zastosuj wzór skróconego mnożenia: ( 6) 6 redukujesz wraz podobne; gotowa postać ogólna Praca domowa: Odcztaj współcznnik oraz wierzchołek paraboli: a) c) e) b) d) f) Zamień postać kanoniczną na ogólną: a) b)
0 Odpowiedzi:. a) c) ( 0) e) (0 ) b) d) ( 0) f) (0 ). a) b) PARABOLA PRZESUNIĘTA O WEKTOR We wzorze kanonicznm liczb i to współrzędne wierzchołka ale też wektora, - o jaki została przesunięta parabola. Przkład Parabolę otrzmasz, kied o, - przesuniesz elementarną parabolę, czli Jeśli chcesz narsować ten wkres, to parabolę umieść w punkcie wierzchołka, czli w. To tak jak przesuwać punkt paraboli o wektor, - - - 4 5 6 - - - -4 W ZAD. 40. Wznacz wzór paraboli w przesunięciu o wektor: a), - b), - c), - Na początku wzoru kanonicznego wpiszesz współcznnik potem w nawiasie pierwszą współrzędną wektora, czli z przeciwnm znakiem a drugą współrzędną wpisujesz bez zmian: a), - wzór otrzmasz postać kanoniczną b), - i masz c), - i masz
Komentarz. Mając postać kanoniczną łatwo narsujesz parabolę. Należ wted elementarną parabolę np. itd. umieścić w odcztanm z wzoru wierzchołku ją przesunąć o wektor Przkład a) ab narsować wkres należ parabolę mającą wierzchołek w (0; 0) umieścić w wierzchołku b) ab narsować wkres należ parabolę mającą wierzchołek w (0 0) umieścić w wierzchołku a) b) 6 5 4 W 6 5 4 - - 4 W c) ab narsować wkres należ parabolę która ma ramiona w dół i wierzchołek w (0 0) umieścić w wierzchołku d) ab narsować wkres parabolę która ma ramiona w dół, należ umieścić w wierzchołku Poniżej ilustracja graficzna dla paraboli c) i d). c) d) W 4 - - 4 4 W -4 - - - 4 - - -4 - - - 4 - -
POSTAĆ ILOCZYNOWA FUNKCJI KWADRATOWEJ Funkcję kwadratową można też wrazić w postaci ilocznowej. Otrzmasz ją, gd współcznnik i miejsca zerowe i wstawisz do wzoru Zauważ że miejsca zerowe są w nim wpisane z przeciwnmi znakami. Gd masz zapis to i Do postaci ilocznowej są potrzebne i. Mają one wzor: oraz Różnią się one tlko znakiem prz pierwiastku z delt czli. Podsumowanie. Teraz już wiesz że funkcja kwadratowa może bć zapiswana w różnch postaciach, czli: ogólnej: np. kanonicznej: np. ilocznowej: np. Przkład Zamienim postać ogólną na ilocznową Wpisujesz współcznniki:, Obliczasz deltę i, są one potrzebne do wzorów na i ; = więc Obliczasz miejsca zerowe: Wzór: więc po podstawieniu masz:. / Przkład Zamienim trójmian na postać ilocznową. Współcznniki: Obliczasz oraz i = ( 6) 6 6 0 i obie te liczb wstawiasz do wzoru ilocznowego; Wzór: miejsca zerowe są te same, to: krócej: Zauważ że we wzorach na i jest dodawane i odejmowane zero, które nie ma wpłwu na wnik. Zatem:
gd, to i są równe i można je obliczć z wzoru bez, Przkład Zamienim postać ogólną na ilocznową Obliczasz oraz i Współcznniki:, 0 = 0 6 Nie istnieje pierwiastek kwadratow z liczb ujemnej, a to oznacza że nie masz co wstawić w miejsce do wzorów na i Odp. Funkcja nie ma postaci ilocznowej. Przkład Zamienim postać ilocznową na ogólną Ab do postaci ogólnej dojść, należ wkonać wszstkie mnożenia. wmnażasz oba nawias; ( 6 ) mnoższ przez każd składnik; 6 6 redukujesz wraz podobne; gotowa postać ogólna. Praca domowa: Zamień postać ogólną na ilocznową Zamień postać ilocznową na ogólną. Oblicz miejsca zerowe funkcji kwadratowch: a) b) 6 c) 4. Wkres funkcji przesunięto o wektor, -. W ten sposób otrzmano wkres funkcji Wznacz wzór Zamień postać kanoniczną na ogólną: a) b) 0 Odpowiedzi:.. / czli:.. a) b) c) 4. 5. a) b) 6
4 *WZORY VIETE A, CZYLI MINUS BACA François Viète Francuski matematk i astronom, któr żł w XVI wieku Jego wzor pomagają określić znaki miejsc zerowch i Wzor Viete a: Oba wzor łatwo zapamiętać cztając te ułamki w pionie: minus baca. Na ich podstawie możesz bez obliczania i zbadać jakich one są znaków: cz oba są dodatnie ( ;+), cz ujemne cz różnch znaków. Wted wstawiasz współcznniki do powższch ułamków i badasz znak obu wników. Wzor Viete a służą też do obliczania wartości różnch wrażeń w którch wstępują miejsca zerowe i Przkład Nie obliczając miejsc zerowch funkcji ustalim, jakich znaków są i. Wpisujesz współcznniki: Najpierw obliczasz deltę ab sprawdzić cz miejsca zerowe są bo tlko wted wzor Viete a mają sens 6 jest dodatnia, więc funkcja ma miejsca zerowe i. Podstawiasz współcznniki i do pierwszego wzoru Viete a: ten wnik jest ujemn. Z trzech opcji (+; +),, wkluczasz (+;+), bo suma dwóch liczb dodatnich nie może bć liczbą ujemną. Został Ci opcje: i. Wstawiasz i do drugiego wzoru: to jest liczba ujemna. Wnik ujemn w mnożeniu dają tlko dwie liczb o różnch znakach, więc odrzucasz opcję i pozostaje Ci wariant Odp. Miejsca zerowe i funkcji mają różne znaki Komentarz. Szbciej obliczć i z wzorów na i b sprawdzić jakich są znaków Ale wzor Viete a też w ten sposób ćwiczsz
*ZAD. 4. Mając funkcję oblicz wartość. 5 Obliczasz deltę, ab zbadać, cz są miejsca zerowe Delta jest dodatnia, są miejsca zerowe, można stosować wzor Viete a. tę liczbę wstawisz do wrażenia: Odp Wartość wrażenia wnosi. Komentarz. Jeśli w tm podobnm zadaniu chcesz pominąć wzor Viete a i wliczć miejsca zerowe tradcjnm sposobem z wzorów na i, to powżej otrzmasz: Wted trudniejsze okaże się obliczenie wrażenia. Wzor Viete a służą także do obliczania wartości innch wrażeń w którch wstępują miejsca zerowe i np.: a) b) c) Takie wrażenia należ najpierw przekształcić, ab wzor Viete a bł w nich widoczne i dopiero potem podstawiać współcznniki. *ZAD. 4. Dla oblicz wartość wrażenia Upewnij się cz miejsca zerowe ta funkcja ma. Obliczasz ( 6) są miejsca zerowe. Teraz należ przekształcić wrażenie ab bł w nim widoczne wzor Viete a Pomoże Ci w tm wzór na kwadrat sum i po obliczeniu masz: Jest tu Twoje lecz składnika należ się pozbć Usuniesz go, bo kwadrat sum ma trz składniki i gd za nimi dopiszesz, to wted się skróci, jak tutaj: W tm przekształconm wrażeniu już widoczne są wzor Viete a: ( ) wstawiasz współcznniki. /. / Odp Wartość wrażenia wnosi 7.
6 *ZAD. 4. Dla funkcji a) b) oblicz wartość wrażeń: a) wrażenie to suma odwrotności i Sprowadzisz ułamki do wspólnego mianownika i dodasz je: podstawiasz współcznniki : b) wrażenie to suma sześcianów i. Zastosuj wzór skróconego mnożenia: zmień kolejność, - rozpiszesz, -, - podstaw wzor Viete a;. / [. / ] wstaw współcznniki ;. / [. / ] RÓWNANIA KWADRATOWE Równania kwadratowe to bardzo ważn temat i często są na maturze Równania kwadratowe mogą bć pełne niepełne. widzisz jak na dłoni współ- W równaniu pełnm np. cznniki bo są różne od zera W równaniu niepełnm liczb są zerami i masz wted dwa składdniki np. cz a nawet jeden np. Ab rozwiązać równanie pełne obliczasz najpierw żeb się dowiedzieć, cz są i Jeśli a więc nie jest ujemna to obliczasz a potem i, które są rozwiązaniem równania Równania niepełne rozwiązujesz krótszmi sposobami niż prz pomoc delt i o tm napiszę Ci za chwilę Liczb i mają trz, stosowane określenia: i to miejsca zerowe pierwiastki równania rozwiązanie równania
7 Liczba rozwiązań równania zależ od delt: gd jest ona dodatnia, to są rozwiązania, gd zerowa to, gd jest ujemna, to nie ma rozwiązania. RÓWNANIA PEŁNE Przkład. Rozwiążem równanie Najpierw należ równanie uporządkować tak, ab wszstkie liczb znalazł się z lewej stron, a po prawej piszesz zero. Składniki z prawej stron przenosisz na lewą stronę ze zmienionm znakiem. układasz od największej potęgi równanie jest już uporządkowane. Wpisujesz współcznniki: Obliczasz deltę ab wiedzieć się cz są miejsca zerowe i 6 6 6 Są miejsca zerowe. Potrzebn Ci jeszcze Obliczasz i : Odp Rozwiązaniem równania są liczb. Gd podstawisz jeden drugi wnik do równania, to Przkład Rozwiążem równanie Równanie jest już uporządkowane wpisujesz współcznniki obliczasz deltę potrzebną do wzorów; 6 0 delta jest ujemna, to nie ma Odp. Równanie nie ma rozwiązania Przkład Rozwiążem równanie 6 Nie ma wmiernego pierwiastka z 8. Należ liczbę rozłożć: gotowe, obliczasz i ; skracasz składniki ułamka przez ; skracasz składniki ułamka przez. Odp. Rozwiązaniem równania są liczb. Przkład Rozwiążem równanie. 6 6 6 to Odp. Rozwiązaniem równania jest. To pierwiastek dwukrotn.
8 Przkład Jeśli w równaniu są działania np. to najpierw je wkonaj, potem równanie uporządkuj a następnie oblicz deltę pierwiastek z delt i miejsca zerowe. 0 0 0 6 wnik po skróceniu przez Odp Rozwiązaniem równania są liczb RÓWNANIA NIEPEŁNE W nich zobaczsz tlko dwa składniki jeden np.: tu współcznnik 0 tu współcznnik 0 tu współcznnik 0 0 Równanie niepełne możesz rozwiązać prz pomoc delt, ale trzeba bć wted czujnm żeb nie pomlić współcznników. Polecam Ci prostsze i krótsze sposob.. Sposób włączanie przed nawias. Ten sposób stosujesz do równania mającego w obu składnikach. a) z każdego składnika zabierasz przed nawias; skoro wnik z mnożenia jest zerem, to znacz że jeden z cznników: jest zerem; na tej podstawie można rozdzielić to mnożenie na równania i każde przrównać do zera; z każdego równania obliczasz ; Odp. Rozwiązaniem równania są liczb 0. Komentarz. Ta metoda jest łatwa i szbka ------------------------------------------------------------------------------------------- b) włączasz przed nawias; rozdzielasz ten iloczn na osobne równania; rozwiązujesz drugie równanie; / : pozbwasz się prz Odp. Rozwiązaniem równania są liczb 0.
c) porządkujesz, przenosisz na lewą stronę włączasz przed nawias; rozdzielasz ten iloczn na równania obliczasz z drugiego równania; 9 Odp. Rozwiązaniem równania są liczb 0. Sposób zastosowanie wzoru na różnicę kwadratów Stosujesz go, gd masz i wraz woln np. Tę różnicę zgodnie z wzorem należ zapisać w postaci dwóch nawiasów: a) skoro wnik z mnożenia jest zerow to znacz, że jeden z cznników jest zerem; na tej podstawie rozdzielasz iloczn na oddzielne równania: z każdego równania obliczasz ; Odp. Rozwiązaniem równania są liczb. b) przenosisz na lewą stronę rozpisujesz tę różnicę na nawias; rozdzielasz iloczn na oddzielne równania z każdego równania obliczasz Odp. Rozwiązaniem równania są liczb c) zanim skorzstasz z wzoru, podziel przez ; /: rozkładasz tę różnicę kwadratów na nawias; rozdzielasz na równania; z każdego równania obliczasz ; Odp. Rozwiązaniem równania są liczb d) nie ma dokładnego wniku pierwiastka z, to zapisz liczbę pod pierwiastkiem i będzie najdokładniej; ( )( ) rozdzielasz iloczn na równania z każdego równania obliczasz ; Odp Rozwiązaniem równania są liczb ( )
0 e) tego rodzaju równanie można rozwiązać bez stosowania wzoru skróconego mnożenia zwłaszcza, gd trudniej go rozpisać wiadomą przenosisz na prawą stronę /: 4 pozbwasz się 4 prz / obie stron pierwiastkujesz; ale pamiętaj (!) że są rozwiązania: dodatnie i ujemne; Odp Rozwiązaniem równania są liczb ( ). f) W tm równaniu jest dodawanie, ale nie istnieje wzór na sumę kwadratów, czli Przeniesiesz 9 na drugą stronę równania i zobaczsz, co to da: to fałsz bo każda liczba podniesiona do kwadratu daje zawsze wnik dodatni zerow; tu masz ujemn więc równanie nie ma rozwiązania Odp. Rozwiązaniem równania jest zbiór pust. Komentarz. Możesz równanie f) rozwiązać prz pomoc delt i wted przekonasz się że też nie ma rozwiązania. Delta wjdzie Ci ujemna, a pierwiastka kwadratowego z ujemnej liczb nie ma, to brak także i Przkład Gd masz niepełne równanie np to rozwiązujesz je w łatw sposób Dzielisz obie stron przez i masz, a potem pierwiastkujesz, otrzmujesz i to jest rozwiązanie równania Praca domowa: Rozwiąż równania: a) 6 b) 6 c). Rozwiąż równania stosując wzór skróconego mnożenia: a) 0 c) 6 0 e) 0 b) 0 d) 0 f) 0 Rozwiąż równania włączając przed nawias: a) 6 0 c) 0 b) 6 0 d) 0
Odpowiedzi:. a) b) c) 0, brak i.. a) c) e) ( ) b) d) f). a) 0 b) 0 6 c) 0 d) 0 RÓWNANIA ILOCZYNOWE Są to równania zapisane jako iloczn nawiasów przrównan do zera. Przkład a) Skoro wnik jest zerow, to jeden z cznników: jest zerem. Na tej podstawie każd z nawiasów można przrównać do zera tak jak to robiliśm wcześniej: rozdzielasz iloczn na dwa równania; z każdego równania obliczasz /: /: Odp. Pierwiastkami równania są liczb: b) wkładnik nie jest zerem, to zerem jest więc chcąc wliczć należ nawias przrównać do zera Odp. Rozwiązaniem równania jest liczba Praca domowa: Rozwiąż równania ilocznowe przrównując cznniki do zera: a) 0 c) (4 )( 6) 0 b) 0 d) 0 Rozwiąż równania pełne: a) 6 0 0 b) 0 c) Odpowiedzi:. a) b) c) d). a) b) c)
RÓWNANIA DWUKWADRATOWE Równania dwukwadratowe rozwiązujesz w oparciu o równania kwadratowe pełne. Przkładowe równania dwukwadratowe: a) spójrz na wkładniki potęgi jeden jest dwa raz b) większ od drugiego c) Ab rozwiązać równanie dwukwadratowe wprowadzasz w miejsce z mniejszm wkładnikiem pomocniczą niewiadomą np. Dzięki temu powstanie znajome Ci równanie kwadratowe. Ono pomoże rozwiązać to trudniejsze równanie dwukwadratowe. Przkład Rozwiążem równanie Za podstawiasz, zatem i wted Wstawiasz do równania i masz już kwadratowe: Obliczasz deltę, pierwiastek z delt oraz i 6 6 Niewiadomą jest jednak dlatego powracasz do podstawienia: W miejsce wstawiasz wliczone liczb 9 i 6; pierwiastkujesz oba równania / Odp. Równanie dwukwadratowe 0 ma czter rozwiązania: ------------------------------------------------------------------------------------------- Przkład Rozwiążem równanie. Dla cztelnego obrazu możesz je zapisać Pomocnicze wstawiasz za cznnik któr ma mniejsz wkładnik wted i Otrzmasz równanie kwadratowe ( 6) 6 0 Obliczasz miejsca zerowe i
Ab obliczć powracasz do podstawienia: Za wstawiasz wnik oraz obie stron podnosisz do kwadratu; / / Odp. Rozwiązaniem równania 6 0 są liczb. NIERÓWNOŚCI KWADRATOWE Różnica międz równaniem kwadratowm a nierównością jest taka że w równaniu i to wniki końcowe. W nierówności należ jeszcze narsować na osi parabolę zaznaczć na niej przedział spełniając warunek zadania i to on jest rozwiązaniem nierówności. Nierówności kwadratowe, tak jak równania, mogą bć pełne i niepełne.. W nierówności pełnej, tak samo jak w równaniu pełnm współcznniki są różne od zera np. i wted tradcjnie obliczasz,, i.. Nierówność niepełna, tak samo jak równanie niepełne ma dwa składniki np. cz jeden i stosujesz te same sposob, co dla niepełnch równań kwadratowch. A więc włączasz przed nawias, a gd masz różnicę to rozpisujesz nierówność według wzoru:. NIERÓWNOŚCI PEŁNE Przkład Rozwiążem nierówność. Wszstkie składniki tak jak w równaniu kwadratowm muszą bć z lewej stron, a z prawej zero. Przenosisz liczbę na lewą stronę z przeciwnm znakiem i masz teraz: 0 6 Obliczasz 6 6 Miejsca zerowe i zaznaczasz na osi Współcznnik jest ujemn, to parabolę rsujesz ramionami w dół.
4 W nierówności masz zwrot i pod osią. 4 to interesują Cię wartości na osi tu są wartości 0-4 - - - 4 5 6 - - - -4 tu są wartości 0 tu są wartości < 0 Zapisujesz rozwiązanie: ( ) Komentarz. Oś nie ma wpłwu na wnik; możesz pomijać i rsować parabolę bez tej osi. Nad osią zawsze są wartości dodatnie pod są wartości ujemne a na osi są wartości zerowe, czli miejsca zerowe. Tak więc oś będziem pomijać w kolejnch zadaniach. Przkład Rozwiążem nierówność Najpierw wliczasz działanie stosując wzór skróconego mnożenia Możesz też rozpisać na i pomnożć nawias przez nawias. Otrzmasz: obliczasz działania; 6 przenosisz składniki na lewą stronę tradcjnie obliczasz 6 Zaznaczasz na osi oba miejsca zerowe. Współcznnik jest dodatni, więc parabola kieruje się ramionami w górę Znak mniejszości w nierówności 0 oznacza że należ wziąć pod uwagę tlko część paraboli pod osią: tu są wartości 0 Rozwiązanie:
Przkład Rozwiążem nierówność Nierówność jest już uporządkowana i z prawej stron ma zero Wpisujesz współcznniki obliczasz,, i. 5 6 Miejsca zerowe i zaznaczasz na osi i rsujesz parabolę skierowaną ramionami w dół Zwrot nierówności mówi że należ zaznaczć wartości dodatnie i zerowe, czli nad osią i na osi: Zapisujesz rozwiązanie:. NIERÓWNOŚCI NIEPEŁNE Tak jak w równaniu kwadratowm niepełnm są te same sposob. Sposób włączanie przed nawias. Rozwiążem nierówność Oba składniki zawierają więc można włączć przed nawias: tu wartości > 0 tu wartości = 0 0 każd cznnik przrównujesz do zera; Zaznaczasz 0 i na osi. Zwrot jest 0, to interesują Cię wartości nad osią. Zapisujesz rozwiązanie nierówności:. Sposób stosowanie wzoru skróconego mnożenia Rozwiążem Stosujesz wzór Zatem masz 0 Przrównujesz każd nawias do zera z każdego równania wliczasz Zaznaczasz te liczb na osi. Parabola ma ramiona skierowane do gór, bo współcznnik prz jest dodatni.
6 W nierówności masz zwrot to interesują Cię wartości ujemne i zerowe, a więc pod osią oraz na osi. tu wartości 0 Rozwiązanie nierówności: tu wartości 0 Komentarz. Analogicznie rozwiążesz cz. Pamiętaj wszstkie składniki mają bć po lewej stronie a po prawej zero. Zwracaj też uwagę na to jak są skierowane ramiona paraboli oraz na które wartości wskazuje Ci zwrot w nierówności. Wskazówka. Nierówność rozpiszesz ( )( ) Przkład Przeanalizujem nierówność, która nie ma miejsc zerowch. Rozwiążem Na wzór skróconego mnożenia nie można rozpisać tego wrażenia. A gdb policzć, to wjdzie ujemna. Kied, to brak i. Ale każda parabola istnieje i da się wznaczć przedział któr jest rozwiązaniem tej nierówności, chociaż nie ma miejsc zerowch. Parabola jest skierowana w górę i nie przecina osi Zwrot ma, to szukasz wartości nad osią tu wartości > 0 wszstkie spełniają nierówność Rozwiązanie: krótko. ZAD. 44. Rozwiąż nierówność 0. Nie można zastosować wzoru skróconego mnożenia. Wprawdzie jest w środku minus, ale na początku również. Nawet, gd pomnoższ obie stron przez niewiele Ci to da Spójrz: / rozpisać tej sum się nie da; delta też wjdzie ujemna, to nie ma i jednak parabola istnieje zawsze. Rsujesz ją ramionami w górę, bo współcznnik prz jest dodatni. Nierówność ma zwrot 0, to interesują Cię wartości pod osią :
7 tu są wartości 0 Nie ma punktów paraboli pod osią Rozwiązaniem nierówności jest zbiór pust,. Komentarz. W obu powższch nierównościach nie bło miejsc zerowch a i tak w pierwszm przpadku rozwiązaniem bł wszstkie liczb rzeczwiste a w drugim zbiór pust Dlatego nie mając miejsc zerowch nie podejmuj od razu pochopnej deczji cz jest rozwiązanie cz nie. Bo dopiero umieszczenie paraboli na osi wskaże Ci prawidłową odpowiedź ZAD. 45. Rozwiąż nierówność Przenosisz na lewą stronę Po prawej zawsze musi bć zero włączasz przed nawias; rozpisujesz na dwa oddzielne równania; obliczasz 6 to Zaznaczasz oba miejsca zerowe na osi, parabola jest w dół, bo masz. W nierówności jest zwrot 0, to interesują Cię wartości nad osią i na osi. Zakreskujesz ten obszar: tu wartości > 0 tu wartości 0 ZAD. 46. Rozwiąż nierówność. Przenosisz na lewą stronę i masz. Z obu składników włączasz przed nawias; rozpisujesz ten iloczn na dwa oddzielne równania; /: masz dwa miejsca zerowe: 0 oraz. Zaznaczasz obie liczb na osi. Parabola idzie w dół, bo masz. W nierówności jest zwrot 0, to szukasz wartości pod osią i na osi.
8 ( ) Przkład Dla zbadania jak odmienne są wniki w podobnch do siebie nierównościach rozwiążem jeszcze takie: a) b) c) d) a) najprościej potraktować tę nierówność jak równanie bo i tak miejsce zerowe jest to samo: /: pozbwasz się liczb / więc jest jedno miejsce zerowe. Rsujesz parabolę ramionami w górę z jednm miejscem zerowm: Zwrot nierówności jest >0, to potrzebne są wartości tlko nad osią, zatem: 0 b) nadal masz to samo miejsce zerowe Rsujesz parabolę w górę z jednm miejscem zerowm: Zwrot nierówności 0 podpowiada wartości nad osią oraz na osi, to: krócej 0 c) nadal masz to samo miejsce zerowe 0 0 Zwrot nierówności 0 wskazuje na wartości pod osią, a takich nie ma więc: d) Zwrot nierówności podpowiada wartości na osi i pod osią, więc tlko: 0
9 Komentarz. Jak widzisz, powżej rozwiązaliśm nierówności które różnił się tlko zwrotem i otrzmaliśm czter, różne odpowiedzi Niech Cię w nierównościach kwadratowch prowadzą te dwa, najważniejsze drogowskaz:. Współcznnik jest bardzo ważn bo od niego zależ jak narsujesz ramiona paraboli: w górę cz w dół. Zwrot w nierówności jest bardzo ważn on podpowiada Ci, cz masz zapisać do rozwiązania liczb znajdujące się: nad osią, na osi pod osią cz nad i na osi, cz pod i na osi. Praca domowa: Rozwiąż nierówności pełne: a) 0 0 d) 0 b) 0 e) 6 0 c) 0 f) 0 Rozwiąż nierówności niepełne: a) 0 d) 0 b) 6 0 e) 0 c) 0 f) 0 Rozwiąż nierówności niepełne włączając przed nawias: a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 Odpowiedzi:. a) ( 0) d) ( 6 ) b) ( ) e) c) f). a) d) b) 6 6 e) ( ) c) f) krócej. a) ( 0) c). 0/ b) ( 0 ) d)
0 FUNKCJA KWADRATOWA ZADANIA TEKSTOWE Przkład Wznacz wzór paraboli, której wierzchołkiem jest punkt i przechodzi ona przez punkt ( 0) Podpowiedź jak rozpocząć to zadanie, jest w informacji o wierzchołku. Wierzchołek masz zapisan we wzorze kanonicznm więc zaczniesz od postaci kanonicznej. wstawiasz i wierzchołka ; brakuje Ci jeszcze współcznnika Wiem z treści zadania że ta parabola przechodzi przez punkt Jeśli jego współrzędne wstawisz za i do powższego zapisu to zobacz co się okaże: obliczasz działania; dąższ do wliczenia współcznnika to Gd wstawisz do masz już kompletn wzór kanoniczn: gotow wzór paraboli Komentarz. Gdb w treści zadania bło polecenie zapisania paraboli w postaci np ogólnej to wliczsz działania w tej kanonicznej i już masz ogólną Dla postaci ilocznowej skorzstasz z wzoru ilocznowego. ZAD. 47. Napisz wzór funkcji kwadratowej wiedząc że jej miejscami zerowmi są liczb i a parabola przechodzi przez punkt. Skoro są dane miejsca zerowe, to zastosuj wzór na postać ilocznową w której wstępują i : Podstawisz do tego wzoru oraz współrzędne punktu czli Otrzmasz: obliczasz współcznnik 0 zamienisz stron prawą z lewą 0 /: 0 to Wstawiasz do wzoru ilocznowego i otrzmasz jego pełn zapis: Odp. Funkcja kwadratowa ma wzór
ZAD. 48. Wznacz wzór funkcji kwadratowej wiedząc że jej wkres przechodzi przez punkt: (0 ),,. Każd z tch trzech punktów leż na paraboli więc należ jego współrzędne wstawić do wzoru ogólnego Dla ( ) otrzmasz 0 0 to Dla ( ) otrzmasz to Dla ( ) otrzmasz to Te trz równania spinasz klamrą i rozwiązujesz układ równań: { liczbę wstawiasz za do II i III równania { { rozwiązujesz układ równań czeka 6 Po rozwiązaniu masz: które wstawiasz do wzoru: zatem czli Odp. Funkcja kwadratowa ma wzór. ZAD. 49. Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji o wzorze w przedziale. To zadanie jest prawie zawsze na sprawdzianie. Należ podstawić obie liczb z danego przedziału do wzoru funkcji Dla 6 0 Dla Z obu wników mniejsz jest, a większ 6. Ale to nie koniec zadania. Należ jeszcze sprawdzić, cz w podanm przedziale znajduje się wierzchołek paraboli. Jeśli jest wted jego przebije liczbę 6, bo to w wierzchołku zawsze jest wartość najmniejsza największa Obliczasz i dowiesz się cz jest on w przedziale ta liczba jest w przedziale. Podstawiasz do funkcji.. /. /. /
Z otrzmanch trzech wników wbierzesz największ i najmniejsz: dla dla to jest wartość najmniejsza. dla. / to jest wartość największa. Odp Wartością największą funkcji w przedziale jest liczba, a wartością najmniejszą. Komentarz. Jeśli w podobnej treści zadaniu obliczsz wierzchołka paraboli i on nie należ do podanego przedziału wted pomijasz obliczanie Wbierzesz wartość największą i najmniejszą tlko z dwóch wników, otrzmanch po wstawieniu do wzoru funkcji obu brzegowch liczb z podanego przedziału. Wprawdzie to w wierzchołku jest wartość największa najmniejsza, ale gd znajduje się on poza podanm przedziałem to nas w ogóle nie interesuje. Praca domowa:. Wznacz wzór funkcji kwadratowej wiedząc że miejscami zerowmi są liczb i a jej wkres przechodzi przez punkt.. Do wkresu należ punkt. Oblicz Oblicz największą i najmniejszą wartość dla funkcji w przedziale 6. Zamień postać ogólną na ilocznową: a) b) 6 Zamień postać kanoniczną na ogólną: a) b) 6 Odpowiedzi:... Największa najmniejsza 4. a) b). / 5. a) 6 b) 0
*PARAMETR W FUNKCJI KWADRATOWEJ Napiszę Ci zestaw wszstkich założeń i przećwiczm je w zadaniach Inne założenia układasz dla równań, a inne dla nierówności. *ZAŁOŻENIA DO RÓWNAŃ Z PARAMETREM Równanie z parametrem to np. Obliczenia wkonujesz na współcznnikach. W powższm przkładzie masz:, Założenia do równań dotczą pierwiastków (miejsc zerowch) i. Rozpocznasz od założenia To jest warunek konieczn, ab funkcja bła kwadratowa Pomijasz to założenie, gd w miejscu współcznnika nie ma parametru np. 0. Jeśli jest ptanie o liczbę pierwiastków (miejsc zerowch), to wbierzesz jedno z tch założeń: a) dwa różne pierwiastki, to 0 c) jeden pierwiastek, to b) dwa pierwiastki, to d) brak pierwiastków, to 0 Jeśli masz zbadać, jakich znaków są pierwiastki (miejsca zerowe), to skorzstasz z wzorów Viete a: i a) pierwiastki i są dodatnie (+;+), gd: 0 i 0 czli suma i iloczn są dodatnie b) pierwiastki są ujemne, gd: 0 i 0 suma jest ujemna, a iloczn dodatni; c) pierwiastki są jednakowch znaków: (+;+) gd: 0 wstarcz że iloczn dodatni to tlko ten warunek; d) pierwiastki są różnch znaków: (+ ) gd: 0 tlko ten warunek i wted zawsze Obliczasz parametr z konkretnch założeń, cząstkowe wniki dasz na oś liczbową zaznaczasz przedział i podajesz ich wspólną część Przkład Dla jakiej wartości parametru równanie: ma dwa, różne pierwiastki. Założenia:. wted równanie na pewno jest kwadratowe;. 0 wted równanie ma dwa, różne pierwiastki i Wpisujesz współcznniki Ad.. Wkluczasz liczbę Obliczasz osobno każde założenie współcznniki:
4 Ad.. Obliczasz deltę wstawiając współcznniki ; 60 delta jest większa od zera, gd: obliczam 6 / : Równanie ma dwa, różne pierwiastki gd. /. Podsumowanie. Masz z obu założeń dwa wniki:. i.. / Zaznaczasz je na osi warunki: i zapisujesz przedział któr uwzględnia oba Odp Równanie 0 ma dwa, różne miejsca zerowe gd. / * +.. / * + *ZAD. 50. Dane jest równanie. Dla jakiej wartości parametru, równanie ma pierwiastki ujemne? Wpisujesz założenia:. warunek, ab równanie bło kwadratowe;. warunek na istnienie dwóch pierwiastków;. 0 i 0 miejsca zerowe są ujemnch znaków Masz współcznniki: Obliczasz każde złożenie osobno, a gd masz gotowe do nich odpowiedzi, to dajesz je na oś i zapisujesz ich część wspólną. Ad.. 0 więc wkluczasz liczbę. Funkcja jest kwadratowa dla --------------- Ad.. Wliczasz deltę, -
5 gd 0 teraz obliczasz ( 6) 6 Wznaczasz miejsca zerowe i Zaznaczasz te liczb na osi i rsujesz parabolę Szukasz wartości na osi i nad osią, bo założenie masz ; gd ( ) Równanie ma dwa pierwiastki dla ( ) -------------- Ad.. 0 i 0 0 i 0 wstawiasz współcznniki 0 i 0 zamieniasz iloraz na iloczn; 0 i 0 Każd z nawiasów przrównujesz do zera. Po obliczeniu miejsc zerowch, rsujesz parabolę dla każdej z tch nierówności i otrzmasz przedział: i Zaznaczasz oba przedział na jednej osi i zapisujesz część wspólną: 0 Pierwiastki równania mają ujemne znaki, gd. ---------------- Podsumowanie. Cząstkowe odpowiedzi z tch założeń czli z Ad., Ad., Ad., wprowadzasz na jedną oś i zapisujesz ich wspólną część: ( ) Odp Równanie ma dwa, ujemne pierwiastki, gd.0 /
6 *ZAŁOŻENIA DO NIERÓWNOŚCI Z PARAMETREM Parametr w równaniu kwadratowm odnosił się do miejsc zerowch (pierwiastków), a w nierówności dotcz wartości. W zależności od zwrotu w nierówności wbierasz opcje:. Wartości dodatnie oblicza się gd nierówność ma zwrot > 0. Wted cała parabola jest nad osią ramiona ma do gór i nie ma miejsc zerowch. Masz wted założenia: > 0 i < 0.. Wartości ujemne oblicza się, gd nierówność ma zwrot < 0. Wted cała parabola jest pod osią ramiona ma w dół i nie ma miejsc zerowch. Masz wted założenia: < 0 i < 0. Wartości niedodatnie oblicza się, gd nierówność ma zwrot 0. Wted parabola jest pod osią może mieć wierzchołek na osi. Masz wted założenia: i 4. Wartości nieujemne oblicza się, gd nierówność ma zwrot 0. Cała parabola jest nad osią ramiona ma w górę ma wierzchołek na osi. Zatem nie ma miejsc zerowch jest jedno miejsce zerowe. Masz wted założenia: i Po wkonaniu obliczeń do każdego założenia, zaznaczasz wniki na jednej osi i podajesz wspólną część Przkład. Dla jakiej wartości parametru spełniona jest nierówność: 0 Skoro jest zwrot > 0, to chodzi o wartości dodatnie. Cała parabola musi bć nad osią. Założenia: > 0 ramiona paraboli w górę < 0 brak miejsc zerowch. Współcznniki: Ad.. > 0 podstawiasz współcznnik > 0 zatem masz już pierwszą odpowiedź ------------------ Ad.. < 0 obliczasz < 0 gd < 0 00 0 to
7 Zaznaczasz na osi oba miejsca zerowe, rsujesz parabolę w dół, bo masz Masz < 0, to interesują Cię wartości ujemne, czli pod osią; < 0 gd Podsumowanie. Masz cząstkowe odpowiedzi.. Zaznaczasz oba te zbior na jednej osi. Wspólna część to. Odp Nierówność 0 jest spełniona dla każdego, gd parametr należ do przedziału. Przkład Rozwiążem nierówność Zwrot 0 wskazuje Ci na wartości ujemne równe zero. Parabola z ramionami w dół musi bć pod osią mieć jedno miejsce zerowe na osi: =0 Założenia:. ramiona w dół <0. jedno miejsce zerowe brak miejsca zerowego. Obliczasz każde założenie i obie cząstkowe odpowiedzi zaznaczasz na jednej osi. Rozwiązaniem jest wspólna część obu przedziałów Komentarz. Gd zadanie z parametrem nie jest zapisane w postaci równania nierówności, lecz odnosi się do funkcji np. to wcztaj się dobrze w treść. W niej jest zawsze podpowiedź, cz polecenie dotcz: liczb miejsc zerowch (rozwiązań pierwiastków) i wted stosujesz założenia do równań kwadratowch z parametrem; wartości ujemnch dodatnich nieujemnch niedodatnich i wted stosujesz założenia do nierówności kwadratowch z parametrem.