Wykład 3 Miara zewnętrzna Definicja 3.1 (miary zewnętrznej Funkcję przyporządkowującą każdemu podzbiorowi A danej przestrzeni X liczbę (A [0, + ] (a więc określoną na rodzinie wszystkich podzbiorów przestrzeni X nazywamy miarą zewnętrzną jeśli: (i ( = 0, (ii dla dowolnych zbiorów A X, A n X, n N zachodzi A A n (A (A n. Twierdzenie 3.1 (własności miary zewnętrznej Jeśli jest miarą zewnętrzną określoną na rodzinie wszystkich podzbiorów przestrzeni X, to (i A m A n (A m (A n, (ii A n (A n, (iii ( m A n m (A n, (iv A B (A (B, dla dowolnych zbiorów A, B X i A n X, n N. Dowód Wykażemy wszystkie warunki po kolei. (i Wynika z Definicji 3.1 (i i (ii jeśli przyjmiemy A m+1 = A m+2 =... =. 1
(ii Wynika z Definicji 3.1 (ii jeśli przyjmiemy A = A n. (iii Wynika z (i jeśli przyjmiemy A = m A n. (iv Wynika z (i jeśli przyjmiemy A 1 = B i m = 1. Twierdzenie 3.2 (Carathéodory ego Niech będzie miarą zewnętrzną określoną na rodzinie wszystkich podzbiorów przestrzeni X. Oznaczmy przez M rodzinę wszystkich podzbiorów A przestrzeni X spełniających warunek: (car (Z = (Z A + (Z \ A. Wówczas zachodzą warunki: (i M jest σ-ciałem w X, (ii A X ( (A = 0 A M, (iii funkcja = M, funkcja ograniczona do rodziny M, jest miarą określoną na σ-ciele M i dodatkowo jest to miara zupełna. Miarę będziemy nazywali miarą wyznaczoną przez miarę zewnętrzną. Dowód Zanim przejdziemy do głównej części dowodu zauważmy, że warunek (car jest równoważny warunkowi (CAR (Z (Z A + (Z \ A. Istotnie, ponieważ Z = (Z A (Z \ A, więc wykorzystując Twierdzenie 3.1 (iii dostajemy (Z = ((Z} {{ A} (Z \ A (Z } {{ } } {{ A} + (Z \ A, } {{ } A 1 A A 1 2 A 2 2
przy każdym Z X. Otrzymana nierówność pokazuje, że warunek (car jest równy warunkowi (CAR. (i Aby pokazać, że M jest σ-ciałem musimy wykazać, że warunki (i, (ii i (iii Definicji 2.2 zachodzą. Biorąc dowolny zbiór Z X dostajemy (Z = (Z X = (Z ( = = (Z + (Z = (Z + (Z \. A zatem (Z = (Z + (Z \, M i warunek (i Definicji 2.2 zachodzi. Załóżmy teraz, że A M. Biorąc dowolny zbiór Z X dostajemy (Z = (Z (A A = (Z A + (Z A = = (Z A + (Z (X \ A = (Z (A + (Z (X \ A = = (Z \ (X \ A + (Z (X \ A = (Z (X \ A + (Z \ (X \ A, (Z = (Z (X \ A + (Z \ (X \ A, a to oznacza, że zbiór X \A spełnia warunek (car, czyli X \A M (warunek (ii Definicji 2.2 zachodzi. Zostało pokazać, że biorąc dowolny ciąg zbiorów A 1, A 2, A 3,... M również zbiór A n M. Dowód przeprowadzimy w czterech krokach. 1 Pokażemy najpierw, że zachodzi warunek B 1, B 2 M B 1 B 2 M. Załóżmy zatem, że B 1 M, że (* (Z = (Z B 1 + (Z \ B 1 3
i, że B 2 M, że (** (Z = (Z B 2 + (Z \ B 2. Przyjmując teraz we wzorze (** za zbiór Z zbiór Z B 1 i za zbiór Z zbiór Z\B 1 dostajemy odpowiednio (Z B 1 = ((Z B 1 B 2 + ((Z B 1 \ B 2 i (Z \ B 1 = ((Z \ B 1 B 2 + ((Z \ B 2 \ B 2. Uwzględniając powyższe związki w (*, korzystając z równości Z (B 1 B 2 = (Z B 1 B 2 (Z B 1 B 2 (Z B 1 B 2 oraz z Twierdzenia 3.1 (iii dostajemy (Z = (Z B 1 + (Z \ B 1 = = ((Z B 1 B 2 + ((Z B 1 \ B 2 + ((Z \ B 1 B 2 + ((Z \ B 1 \ B 2 = = (Z B 1 B 2 + (Z B 1 B 2 + (Z B 1 B 2 + (Z B 1 B 2 (Z (B 1 B 2 + (Z \ (B 1 B 2, (Z (Z (B 1 B 2 + (Z \ (B 1 B 2, co pokazuje, że zbiór B 1 B 2 spełnia warunek (CAR i tym samym, że B 1 B 2 M. Stosując teraz zasadę indukcji matematycznej łatwo pokazać, że dla dowolnego m N ( B 1, B 2,..., B m M B n M. 2 Pokażemy też, że jeśli zbiory B 1, B 2,..., B m M i B i B j =, i, j = 1, 2,..., m, i j, to ( (Z B n = (Z B n. 4
Dowód jest przez indukcję względem m. Dla m = 1 warunek ( oczywiście zachodzi. Załóżmy zatem prawdziwość warunku dla m 1, gdzie m 2. Przyjmując w warunku (car za zbiór B zbiór B m i za zbiór Z zbiór Z m B n otrzymujemy (Z B n = ((Z B n B m + ((Z B n \ B m = m 1 = (Z B m + (Z m 1 B n = (Z B m + (Z B n = (Z B n, co pokazuje, że warunek ( zachodzi. (Z B n = (Z B n, 3 Weźmy dowolny ciąg zborów B 1, B 2, B 3,... M parami rozłącznych. Biorąc dowolny zbiór Z X oraz korzystając z ( i ( dostajemy Biorąc teraz pod uwagę nierówność (zob. Twierdzenie 3.1 (iv dostajemy ( (Z = (Z B n + Z \ B n = = (Z B n + (Z \ B n. (Z \ B n (Z \ B n, (Z (Z B n + (Z \ B n. Przykładając do obu stron powyższej nierówności granicę przy n otrzymujemy A ponieważ na mocy Twierdzenia 3.1 (ii (Z (Z B n + (Z \ B n. ( ( (Z B n (Z B n = Z B n, 5
więc ostatecznie dostajemy (Z (Z B n + (Z \ B n, zbiór B n spełnia warunek (CAR i tym samym B n M. 4 Rozważmy w końcu dowolny ciąg zbiorów A 1, A 2, A 3,... M. Połóżmy B 1 = A 1, B n = A n \ (A 1 A 2... A m 1, m = 2, 3, 4,.... Łatwo teraz zauważyć, że dla wszystkich n N, zbiory B n są w M, są parami rozłączne i ponadto B n = A n. Na mocy wyników uzyskanych w 3 dostajemy zatem B n M, a stąd M jest σ-ciałem. A n M, (ii Weźmy teraz dowolny zbiór A X i załóżmy, że (A = 0. Korzystając z monotoniczności miary zewnętrznej (zob. Twierdzenie 3.1 (iv i biorąc dowolnym zbiór Z X dostajemy (Z (Z \ A + (A (Z \ A + (Z A, co pokazuje, że zbiór A spełnia warunek (CAR i tym samym, że A M. (iii Musimy na koniec wykazać, że = M jest miarą. Oczywiście ( = ( = 0. Weźmy teraz dowolny ciąg zbiorów A 1, A 2, A 3,... M parami rozłącznych. Korzystając z Twierdzenia 3.1 (ii otrzymujemy ( ( A n = A n (A n = (A n. 6
Wykorzystując monotoniczność miary zewnętrznej (zobacz Twierdzenie 3.1 (iv oraz kładąc w warunku ( Z = X dla n = 1, 2, 3,... otrzymujemy ( m A n A n = (X A n = = (X A n = (A n, A n (A n. Przykładając do obu stron powyższej nierówności granicę przy n dostajemy skąd A n (A n, ( A n (A n. Z ( i ( dostajemy jest miarą. ( A n = (A n, Jeśli teraz założymy, że (A = 0 i weźmiemy dowolny zbiór B A, to 0 (B (A = (A = 0, skąd (B = 0 i na mocy (ii dostajemy, że B M. Funkcja jest miarą zupełną. Uwaga 3.1 (równoważna definicji miary zewnętrznej Funkcję przyporządkowującą każdemu podzbiorowi A danej przestrzeni X liczbę (A [0, + ] (a więc określoną na rodzinie wszystkich podzbiorów przestrzeni X nazywamy miarą zewnętrzną jeśli: (i ( = 0, (ii (iii A,B X (A B (A (B, A n (A n. A 1,A 2,A 3,... X 7