Bryła sztywna Przewodnik do rozwiązywania typowych zadań Przed przystąpieniem do korzystania z poniższego poradnika: wydrukuj jego treść, przygotuj kartki w kratkę, na których będziesz rozwiązywał zadania, przygotuj przybory do pisania i rysowania, otwórz w komputerze plik zapisany w formacie Power Point pt.: Bryła sztywna - sposób rozwiązywania typowych zadań. Zalecany sposób korzystania z przewodnika: wybierz typ zadania, którego sposób rozwiązanie cię interesuje, przeczytaj uważnie jego treść, wypisz dane podane w tekście zadania (o ile nie są zamieszczone bezpośrednio na rysunku); w razie potrzeby wyraź podane wartości w jednostkach podstawowych układu SI, przerysuj rysunek wyjściowy (jeżeli rozwiązanie zadania go wymaga), znajdź i otwórz początkowy slajd (w prezentacji Power Point) pokazujący sposób rozwiązania zadania, postępuj zgodnie z zamieszczonymi w przewodniku poleceniami, spróbuj najpierw wykonać samodzielnie dane polecenie, jeżeli uważasz, że je wykonałeś lub nie wiesz jak je wykonać, to kliknij w otwartej prezentacji, sprawdź, czy twoja realizacja polecenia jest poprawna; jeżeli nie, to popraw na swojej kartce, przejdź do następnego polecenia itd., aż do kompletnego rozwiązania zadania. Przyjęte oznaczenia sił: - siła tarcia - siła sprężystości (reakcji podłoża) - siła nacisku na podłoże - ciężar ciała - składowa ciężaru ciała na kierunku równoległym do podłoża - składowa ciężaru ciała na kierunku prostopadłym do podłoża - siła, z jaką ciało oddziałuje na ciało - siła w sznurku (żyłce) łączącej dwa ciała Bryła sztywna - przewodnik do rozwiązywania zadań Strona 1
1. Wyznaczanie współrzędnych środka masy układu ciał jednorodnych (przypadek dwuwymiarowy) a. w przypadku brył jednorodnych o kształtach regularnych, ich środek masy leży w ich środku geometrycznym. b. Jeżeli jednorodna bryła znajduje się w jednorodnym polu grawitacyjnym, to środek ciężkości znajduje się w tym samym miejscu, co środek masy. c. Współrzędne środka masy układu brył można wyznaczyć analitycznie w sposób elementarny, jeżeli znane są współrzędne położenia środków masy ( ) każdej z tym brył oraz masy tych brył ( ). Należy się posłużyć zależnościami: Dany jest układ ciał A, B i C (będących jednorodnymi, prostokątnymi płytami w jednakowych grubościach), pokazany na poniższym układzie współrzędnych. Problem: wyznacz współrzędne środka ciężkości pokazanej na rysunku bryły. a. Oznaczając współrzędne środków masy każdej z brył jako: napisz wzory na obie współrzędne środka masy bryły (nie podstawiaj jeszcze danych). Bryła sztywna - przewodnik do rozwiązywania zadań Strona 2
b. Zaznacz na rysunku (wyraźnymi kropkami) położenia środka masy każdej z płyt. c. Wypisz wartości wszystkich współrzędnych wymienionych w punkcie a. d. Podstaw wartości wypisanych powyżej współrzędnych środków mas i mas odpowiednich płyt do wzorów z punktu a. e. Oblicz wartości końcowe współrzędnych środka masy całej bryły. 2. Moment bezwładności ciała składającego się z kilku brył a. moment bezwładności jest wielkością skalarną, która jest addytywna, to znaczy moment bezwładności ciała składającego się z kilku brył, których momenty bezwładności są znane, jest sumą momentów bezwładności tych brył. b. Jeżeli oś obrotu nie przechodzi przez środek ciężkości, to moment bezwładności względem tej osi należy obliczyć z twierdzenia Steinera: - moment bezwładności bryły względem osi przechodzącej przez jej środek ciężkości, - masa bryły - odległość między rozpatrywaną osią a osią przechodzącą przez środek ciężkości (przy równoległości obu osi. c. Jeżeli w danej bryle jest "pusta" przestrzeń, to jej moment bezwładności jest różnicą momentu bezwładności całej (pełnej) bryły i momentu bezwładności jaki miałaby pusta część bryły (gdyby była "pełna"). Bryła sztywna składa się z jednorodnej kuli (o masie i promieniu ) oraz dwóch, przyspawanych do niej jednakowych, jednorodnych prętów o stałym przekroju kołowym (oznaczonych jako i, o masie, długości, promieniu ) "Widok z boku" Wyprowadź wzory na moment bezwładności tego układu brył względem osi: I. przechodzącej przez oś symetrii pręta i środek ciężkości kuli (oś ), II. przechodzącej przez środek pręta i do niego prostopadłej (oś ) Bryła sztywna - przewodnik do rozwiązywania zadań Strona 3
Przypadek I: a. Zaznacz kropkami położenia środków ciężkości każdej z brył i oznacz je symbolami: (dla prętów) i (dla kuli). b. W przypadku jakich brył, oś k przechodzi przez ich środki ciężkości? c. Napisz wzory wyrażające momenty bezwładności tych brył. d. Jak należy poprowadzić oś, aby obliczyć moment bezwładności pręta 2 względem osi k? Narysuj tę oś. e. Napisz wzór wyrażający moment bezwładności pręta 2 względem osi. f. Ponieważ oś k nie przechodzi przez środek ciężkości pręta 2, to należy skorzystać z twierdzenia Steinera. Zaznacz na rysunku odległość d występującą w twierdzeniu Steinera i podaj jej wartość. g. Napisz wzór wyrażający moment bezwładności pręta 2 względem osi k. h. Ponieważ moment bezwładności całej bryły jest sumą momentów brył składowych, to zapisz wzór na moment bezwładności całej bryły. Następnie sprowadź go do najprostszej postaci (wykonaj działania na wyrazach podobnych). Przypadek II (nowy rysunek!): a. Zaznacz kropkami położenia środków ciężkości każdej z brył i oznacz je symbolami: (dla prętów) i (dla kuli). b. W przypadku jakich brył, oś t przechodzi przez ich środki ciężkości? c. Napisz wzory wyrażające momenty bezwładności tych brył. d. Jak należy poprowadzić oś, aby obliczyć moment bezwładności pręta 1 i kuli względem osi t? Narysuj tę oś. e. Napisz wzory wyrażające momenty bezwładności pręta 1 i kuli względem osi. f. Ponieważ oś t nie przechodzi przez środki ciężkości pręta 1 i kuli, to należy skorzystać z twierdzenia Steinera. Zaznacz na rysunku odległość d występującą w twierdzeniu Steinera i podaj jej wartość. g. Napisz wzory wyrażające moment bezwładności pręta 1 i kuli względem osi t. h. Ponieważ moment bezwładności całej bryły jest sumą momentów brył składowych, to zapisz wzór na moment bezwładności całej bryły. Następnie sprowadź go do najprostszej postaci (wykonaj działania na wyrazach podobnych). Bryła sztywna - przewodnik do rozwiązywania zadań Strona 4
3. Wypadkowy moment sił działających na bryłę sztywną a. moment siły liczony względem osi lub punktu jest wielkością wektorową. Dla siły, której promień wodzący określa wektor, moment siły względem punktu dany jest zależnością: Jeśli lub (kierunek działania siły przechodzi przez punkt, względem którego moment jest obliczany lub przez oś obrotu bryły), to, bo Kierunek tego wektora określa reguła śruby prawoskrętnej; należy obracać wektor na wektor po mniejszym z kątów między tymi wektorami. b. Moment wypadkowy jest sumą wektorów momentów od wszystkich sił działających na bryłę sztywną: c. Moment siły względem dowolnej osi jest zawsze równy zeru, jeśli kierunek działania tej siły i oś obrotu leżą na jednej płaszczyźnie. d. Jeżeli wektor pewnej siły nie leży ani w płaszczyźnie prostopadłej, ani w płaszczyźnie równoległej do osi obrotu bryły, to należy go rozłożyć na składowe leżące w tych płaszczyznach, tzn. i. Wtedy zawsze:. Moment składowej prostopadłej liczymy wtedy, jak pokazano w punkcie a. Punktem, względem którego moment siły jest wtedy liczony, jest punkt przecięcia osi obrotu i płaszczyzny na której leży wektor. Układ czterech sił pokazanych na rysunku na jednej płaszczyźnie momentu tych sił względem punktu A.. Oblicz wartość wypadkowego Problem: Ile wynosi wartość wypadkowego momentu tych sił względem punktu A. Bryła sztywna - przewodnik do rozwiązywania zadań Strona 5
a. Określ wartości kątów koniecznych do obliczenia poszczególnych momentów sił, tzn.:. Zaznacz te kąty na rysunku. b. Oblicz wartość momentu siły dla każdej z czterech sił. c. Czy siły, które mają momenty niezerowe, "starają się" obracać w tę samą stronę względem punktu A? d. Pamiętając, że wartość wektora nie może być ujemna, oblicz wartość wypadkowego momentu sił dla układu pokazanego na rysunku. e. Narysuj (w punkcie A) wektor momentu wypadkowego sił. 4. Równowaga bryły sztywnej a. Jeżeli bryła sztywna nie wykonuje zarówno ruchu postępowego, jak i obrotowego, to spełnione muszą być równocześnie dwa warunki: siły działające na bryłę równoważą się, momenty sił działających na bryłę równoważą się. b. Moment wypadkowy można obliczać względem dowolnego jej punktu. Należy jednak tak go wybrać, aby otrzymać jak najprostsze równanie: np. z mniejszą liczbą niewiadomych. Jednorodną belkę o stałym przekroju (masie ) oraz pewnej długości, podparto w punkcie A i obciążono na końcach obciążnikami o masach i (patrz rysunek). Jaka relacja musi zachodzić pomiędzy tymi masami, aby belka mogła znajdować się w równowadze (leżąc poziomo). Podaj wyrażenie na wartość siły reakcji w podporze A. A a. W którym punkcie belki należy umieścić wektor jej ciężaru? Narysuj ten wektor i podaj jego odległość od podpory A. b. Narysuj wektory pozostałych sił. Pomiń wektory sił wzajemnego oddziaływania między obciążnikami a belką (równoważą się wzajemnie). c. Zapisz wektorowo i skalarnie warunek równoważenia się sił. d. Zapisz wektorowo i skalarnie warunek równoważenia się momentów sił względem punktu A, a następnie względem na przykład prawego końca belki. e. Oblicz wartość masy, jeżeli. f. Dla powyższych danych, oblicz wartość siły reakcji w podporze A. Bryła sztywna - przewodnik do rozwiązywania zadań Strona 6
5. Dynamika ruchu złożonego pojedynczej bryły sztywnej a. ruch złożony jest ruchem postępowo - obrotowym. b. Aby go opisać należy zapisać drugą zasadę dynamiki dla ruchu postępowego oraz drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego. c. Związek pomiędzy obu ruchami - przy braku poślizgu - wyrażają zależności: i. d. W czasie takiego ruchu spełniona jest zasada zachowania energii mechanicznej. Na krążek o pewnej masie nawinięto cienką żyłkę (o pomijalnej masie w stosunku do masy krążka) a swobodny koniec żyłki zaczepiono do sufitu. W chwili początkowej żyłka była napięta a krążek nieruchomy. W pewnej chwili krążek puszczono swobodnie, wskutek czego zaczął spadać pionowo w dół, jednocześnie się kręcąc. a. Narysuj wszystkie siły działające na krążek podczas jego spadania - po upływie czasu t. Zaznacz położenie środka masy krążka (punkt A) i chwilowego środka obrotu (punkt B). b. Napisz równanie ruchu postępowego krążka:. c. Napisz równanie ruchu obrotowego krążka: c1. względem osi przechodzącej przez środek masy krążka, c2. względem osi przechodzącej przez chwilowy środek obrotu. d. Napisz związek pomiędzy ruchem postępowym a obrotowym. e. Z powstałego układu równań wyprowadź wzór na wartość przyspieszenia opadającego krążka. f. Pokaż wzór na wartość prędkości środka masy krążka po upływie czasu t ( ). g. Napisz równanie wynikające z zasady zachowania energii. Przyjmij, że po czasie t środek ciężkości krążka przebył odległość h. h. Wykaż, że powyższego równania oraz opisu ruchu jednostajnie przyspieszonego można otrzymać taką samą zależność na wartość prędkości, jak w punkcie f. Bryła sztywna - przewodnik do rozwiązywania zadań Strona 7
6. Jednorodna bryła sztywna staczająca się bez poślizgu z równi pochyłej. a. ruch złożony jest ruchem postępowo - obrotowym. b. Aby go opisać należy zapisać drugą zasadę dynamiki dla ruchu postępowego oraz drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego. c. W czasie ruchu bez poślizgu zachodzi: i. d. W czasie takiego ruchu spełniona jest zasada zachowania energii mechanicznej. e. Moment bezwładności obrotowej, jednorodnej bryły sztywnej, liczony względem osi przechodzącej przez jej środek ciężkości, można zawsze wyrazić w postaci:. Gdzie k jest współczynnikiem liczbowym; np. dla kuli wynosi on 0,4. f. Bryła stacza się bez poślizgu, jeżeli spełniony jest warunek: Jednorodna bryła obrotowa (kula, walec, obręcz cienkościenna, rura) stacza się bez poślizgu równi pochyłej o kącie nachylenia. W chwili początkowej bryła była nieruchoma. Problem: Jak można obliczyć wartość prędkości (środka masy bryły) po przebyciu w pionie odległości h? I sposób: a. Narysuj wszystkie siły działające na bryłę podczas jej staczania się w dół (po upływie czasu t od chwili rozpoczęcia ruchu). Jej ciężar rozłóż na składowe. Zaznacz położenie środka masy krążka (punkt A) i chwilowego środka obrotu (punkt B). Oś X układu współrzędnych narysuj wzdłuż równi pochyłej natomiast oś Y prostopadle do niej. b. Napisz równanie ruchu postępowego krążka:. c. Napisz równanie ruchu obrotowego krążka: c1. względem osi przechodzącej przez środek masy krążka, c2. względem osi przechodzącej przez chwilowy środek obrotu. d. Napisz związek pomiędzy ruchem postępowym a obrotowym. e. Z powstałego układu równań wyprowadź wzór na wartość przyspieszenia opadającego krążka. f. Korzystając z opisu ruchu jednostajnie przyspieszonego, zapisz wzór wyrażający zależność pomiędzy przebytą drogą s, prędkością początkową, prędkością końcową i przyspieszeniem ciała. Wyprowadź z niego zależność na wartość prędkości końcowej. Bryła sztywna - przewodnik do rozwiązywania zadań Strona 8
g. Wstawiając wyrażenie na wartość przyspieszenia, wyprowadź wzór końcowy na wartość prędkości bryły. Wprowadź do niego wysokość h, jaką przebył w pionie środek ciężkości bryły. II sposób: h. Skorzystaj z zasady zachowania energii mechanicznej. Problem dodatkowy: i. Jaki warunek musi spełniać współczynnik tarcia statycznego, aby bryła mogła się staczać bez poślizgu? 7. Układ ciał - ruch postępowy i obrotowy. a. rozpatrując układ kilku ciał oddziałujących na siebie poprzez łączące je nierozciągliwe (i nieważkie) cięgno (sznurek, nić, żyłkę itp.), należy znaleźć wszystkie siły działające na każde z ciał i napisać odpowiadające mu równanie ruchu (postępowego czy obrotowego), b. pomiędzy ich ruchem obrotowym a postępowym zachodzi zależność:, c. powstały układ równań należy rozwiązać ze względu na wielkości szukane. Rozpatrywany układ składa się z krążka (o pewnym promieniu i masie M) i dwóch obciążników o masach i. Obciążniki te połączone są żyłką (nierozciągliwą i nieważką) przerzuconą przez krążek. Żyłka przesuwa się po krążku (walcu) bez poślizgu. W chwili początkowej układ był w stanie równowagi - krążek się nie obracał a obciążniki nie poruszały się w pionie. Problem: Jak można wyznaczyć wartość przyspieszenia liniowego obu obciążników, przyspieszenia kątowego krążka oraz sił naciągu żyłki po obu stronach krążka? a. Załóż, jeżeli nie zostało to określone w treści zadania, że jedna z mas jest większa od drugiej (np.. Narysuj wektory wszystkich istotnych sił działających na każde z trzech ciał. Określ jakie związki zachodzą między wartościami przyspieszeń liniowych i wartościami prędkości poruszających się obciążników. Co wiadomo o wartościach sił wzajemnego oddziaływania (poprzez żyłkę) krążka z poszczególnymi obciążnikami? Bryła sztywna - przewodnik do rozwiązywania zadań Strona 9
b. Napisz równania ruchu postępowego obu obciążników. Załóż, że zwrot osi układu współrzędnych wzdłuż której zachodzi ich ruch (w pionie!), jest zgodny ze zwrotami wektorów ich przyspieszeń liniowych (tak będzie najprościej), a tym samym zgodny ze zwrotem wektorów ich prędkości liniowych (dlaczego?). c. Dlaczego siły w żyłce po obu stronach krążka nie mogą mieć (w tym zadaniu) takich samych wartości? Która z tych sił ma większą wartość? Napisz równanie ruchu obrotowego krążka. d. Napisz równanie łączące ruch postępowy obciążników z ruchem obrotowym krążka. e. Zapisz wszystkie cztery równania obok siebie. Rozwiąż ten układ równań, ze względu na wielkości szukane. Na przykład: wyprowadź wzór na wartość przyspieszenia liniowego. 8. Wykorzystanie zasady zachowania momentu pędu. a. moment pędu punktu materialnego względem osi obrotu - prostopadłej do płaszczyzny na której leży wektor pędu tego punktu - dany jest zależnością: b. W przypadku bryły sztywnej, jej moment pędu względem wybranej osi obrotu, określa zależność: c. Jeżeli wypadkowy moment sił zewnętrznych działających na bryłę, liczony względem osi obrotu jest zerowy (nie działają żadne siły zewnętrzne lub takie, których momenty sił się równoważą), to moment pędu bryły jest stały: Na końcu pręta (jednorodnego i o stałym przekroju) wirującego poziomo - dookoła osi prostopadłej do niego i przechodzącej przez jego środek - siedzi mysz o masie m. Długość całego pręta wynosi l, jego masa M i wiruje on wraz z myszą z prędkością kątową o wartości. W pewnej chwili mysz zaczęła iść wzdłuż pręta. Ostatecznie zatrzymała się w odległości od drugiego jej końca. Traktując mysz jako punkt materialny, wyprowadź wzór na wartość prędkości kątowej układu w końcowym położeniu myszy. a. Naszkicuj sytuację początkową i końcową. Przyjmując oznaczenia: 1 - sytuacja początkowa, 2 - sytuacja końcowa, p - pręt, m - mysz, narysuj wektory momentów pędów myszy i pręta w obu rozpatrywanych sytuacjach (określonych względem osi obrotu!). b. Napisz ogólną postać zasady zachowania momentu pędu dla rozpatrywanych sytuacji (wektorowo i skalarnie). Dlaczego wszystkie rozpatrywane wektory momentów pędu mają takie same zwroty? Napisz wzory wyrażające wartości momentów pędów pręta i myszy w każdej z rozpatrywanych sytuacji. c. Podstaw wzory wyrażające poszczególne momenty pędu do równania przedstawiającego zasadę zachowania momentu pędu. Z powstałego równania wyznacz szukaną prędkość kątową w sytuacji końcowej. Bryła sztywna - przewodnik do rozwiązywania zadań Strona 10
Analogie między ruchem postępowym a ruchem obrotowym Ruch postępowy Ruch obrotowy Wielkość fizyczna Symbol/wzór Jednostka Symbol/wzór Jednostka Miara bezwładności Prędkość liniowa/kątowa Przyspieszenie liniowe/kątowe Pęd/moment pędu Siła/moment siły Przyczyna ruchu zmiennego Dynamiczne równanie ruchu Druga zasada dynamiki Uogólniona postać drugiej zasady dynamiki Zasada zachowania pędu/zachowania momentu pędu Energia kinetyczna Zależność położenia od czasu Zależność prędkości od czasu Związek między ruchem postępowym a obrotowym Energia kinetyczna w ruchu złożonym (postępowo-obrotowym) Bryła sztywna - przewodnik do rozwiązywania zadań Strona 11