Zadanie. Na początku roku akademickiego mężczyźni stanowili 40% wszystkich studentów. Na koniec roku liczba wszystkich studentów zmalała o 0% i wówczas okazało się, że mężczyźni stanowią % wszystkich studentów. O ile procent zmieniła się liczba mężczyzn na koniec roku w stosunku do liczby mężczyzn na początku roku? Zadanie. Funkcja jest funkcją kwadratową. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f x jest przedział,5. Rozwiąż nierówność f( x) 0. Zadanie. f 0 Wartość wyrażenia 4 6 8 jest równa. B. C. D. Zadanie 4. Odwrotnością liczby 8 4 jest liczba. B. C. D. Zadanie 5. Liczba 4 4 6 jest równa 6 4. B. C. D. Zadanie 6. Dane są liczby a log, b log. Wyznacz logarytm dziesiętny z liczby 7 za pomocą a i b. Zadanie 7. Liczba o większa od liczby jest równa. log5 6 B. log5 8 C. log5 9 D. log500 Zadanie 8. log5 4 Na lokacie złożono 000 zł przy rocznej stopie procentowej p% (procent składany). Odsetki naliczane są co kwartał. Po upływie roku wielkość kapitału na lokacie będzie równa. 4 p p 000 B. 000 p C. 000 D. 00 00 400 4 p 000 400 4
Zadanie 9. Dany jest trójkąt o bokach długości a, b, c. Stosunek a: b: c jest równy :5: 7. Które zdanie jest fałszywe?. Liczba c jest o,5% mniejsza od liczby a b. B. Liczba a stanowi 0% liczby abc. C. Liczba a stanowi 5% liczby b c. D. Liczba b to 60% liczby c. Zadanie 0. Nominalna stopa oprocentowania lokaty wynosi % w stosunku rocznym (bez uwzględnienia podatku). Odsetki kapitalizowane są na koniec każdego kolejnego okresu czteromiesięcznego. Oblicz, jaką kwotę wpłacono na tę lokatę, jeśli na koniec ośmiu miesięcy oszczędzania na rachunku lokaty było o 96,56 zł więcej niż przy jej otwarciu. Zadanie. W pewnej szkole przez trzy kolejne lata zmieniała się liczba uczniów. W pierwszym roku liczba uczniów zmalała i na koniec roku była o 0% mniejsza niż na początku. W drugim roku wzrosła i ukończyło go 0% więcej uczniów niż pierwszy. O ile procent, w stosunku do liczby uczniów kończących drugi rok, zmniejszyła się ich liczba w następnym roku, jeśli na koniec trzeciego roku było tyle samo uczniów co na początku pierwszego? Wynik zaokrąglij do 0,%. Zadanie. utobus nazywamy przepełnionym, jeżeli w pewnym momencie znajduje się w nim co najmniej 50 pasażerów. Dwóch inspektorów monitoruje liczbę pasażerów w tych samych dziesięciu autobusach. Jeden z nich obliczył, jaki procent wszystkich autobusów stanowią autobusy przepełnione, a drugi jaki procent wszystkich pasażerów w 0 autobusach stanowili pasażerowie podróżujący przepełnionymi pojazdami. Wiadomo, że liczba autobusów przepełnionych należy do zbioru,,...,9. Który z inspektorów otrzymał większą liczbę? Zadanie. Dane są liczby Wykaż, że ab0. a log log 6, b log 6 log 8. Zadanie 4. Uzasadnij, że dla wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich x różnych od x x x log log 9 x jest większa od. wartość wyrażenia Zadanie 5. Na rysunku przedstawiono wykresy trzech parami przecinających się prostych.
Te proste to x y x y. x y B. x y x 8y 7 x 8y 7 x y x y C. x y D. x y x 8y 7 x 8y 7 Zadanie 6. Dany jest trójkąt BC, którego boki zawierają się w prostych o równaniach: y x, y7 x oraz y 0. Oblicz pole trójkąta BC. Zadanie 7. Wyznacz takie liczby a i b, dla których układ równań 4x y 0 ma nieskończenie wiele rozwiązań. b x y a 0 4x y 0 ax y b 0 jest sprzeczny, zaś układ równań Zadanie 8. Rozwiązaniem układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi jest para różnych dodatnich liczb całkowitych. Jednym z równań tego układu jest xy6. Wyznacz drugie równanie układu, wiedząc, że jest to równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych.
Zadanie 9. Wśród podanych poniżej nierówności wskaż tę, której zbiorem rozwiązań jest przedział,.. x x B. xx 4 C. x D. x xx Zadanie 0. W tabelce podano wartości funkcji kwadratowej f ( x) ax bx c dla wybranych trzech argumentów. x 0 6 f(x) 0 Rozwiąż nierówność f( x) 0. Zadanie. Rozważmy prostokąt o polu mniejszym od 4, w którym jeden bok jest od drugiego dłuższy o 5. Oblicz długość dłuższego boku prostokąta, jeśli jest ona liczbą całkowitą parzystą. Zadanie. Równanie. x 4x x x 6 4 nie ma takiego samego rozwiązania, jak równanie B. C. D. 6 x 4 x x x 9 4 4 x x Zadanie. Do wyrażenia określonego dla x dodano jego odwrotność. Oblicz x, dla którego otrzymana x suma jest równa. Zadanie 4. Do napełniania basenu służą dwie pompy. Pierwsza z nich ma wydajność o 0% większą niż druga. Napełnienie pustego basenu tylko drugą pompą trwa o godzinę i 40 minut dłużej niż przy użyciu tylko pierwszej pompy. Oblicz, jaką część pustego basenu napełnią w ciągu jednej godziny obie pompy, pracując jednocześnie.
Zadanie 5. Na rysunku obok jest przedstawiony fragment wykresu funkcji kwadratowej f. Osią symetrii paraboli jest prosta o równaniu x. Rozwiązaniem nierówności f x 0 jest zbiór y f. 0, B. C. D., 6, 9, x Zadanie 6. Funkcja W jest określona wzorem W W 0 zachodzi, gdy 4 W x x bx a. a B. a C. a D. a Zadanie 7 Na tablicy zapisano następujące potęgi:,,,. dla wszystkich liczb rzeczywistych. Równość Ile różnych liczb reprezentują te zapisy?. 4 B. C. D. Zadanie 8. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej, wiedząc, że zbiorem wartości tej funkcji jest przedział,, a wartość 5 osiąga ona dla dwóch argumentów: i 0. Zadanie 9. Na rysunku są przedstawione fragmenty wykresów funkcji kwadratowych f i g. Funkcja f jest określona wzorem f x x 6x 5, a mniejsze z jej miejsc zerowych jest jednocześnie miejscem zerowym funkcji g. Wierzchołek W paraboli, która jest wykresem funkcji f, leży na wykresie funkcji g, a wierzchołek Z paraboli będącej wykresem funkcji g leży na osi Oy układu współrzędnych.
y W y = g (x) 0 x Z y = f (x) Wyznacz wzór funkcji g. Zadanie 0. Różnica największej i najmniejszej wartości, jakie funkcja kwadratowa f x x x 6 przyjmuje w przedziale, k dla k 0 jest równa 4. Oblicz k. Zadanie. Na rysunku. jest przedstawiony wykres funkcji f, a na rysunku. wykres funkcji g. 4 y 4 y y = f (x) y = g (x) y = g (x) x -5-4 - - - 0 4 5 - - - -4 x -5-4 - - - 0 4 5 - - - -4 Rys.. Rys.. Funkcja g jest określona wzorem. g x f x B. g x f x C. g x f x 4 D. g x f x 4 Zadanie. Wyznacz wartość największą funkcji w przedziale,. Zadanie. Funkcja f, której dziedziną jest zbiór,5, jest określona wzorem f x x 6x 5. Wyznacz zbiór wszystkich wartości funkcji f.
Zadanie 4. Wykres funkcji kwadratowej f przecina oś Ox w punktach x oraz x i przechodzi przez punkt 0,. Wykres ten przesunięto i otrzymano wykres funkcji kwadratowej g x f x p. Wierzchołek funkcji g leży na osi Oy. Wyznacz wzór funkcji g. Zadanie 5. Parabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej oraz f,0 f x ax bx c, przechodzi przez punkt f 0. Oblicz odległość wierzchołka paraboli od początku układu współrzędnych. Zadanie 6. Dana jest funkcja kwadratowa f x ax 4x. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem tej funkcji, leży na prostej o równaniu y 5. Oblicz współrzędne tego wierzchołka. Zadanie 7. Zbiorem wartości funkcji kwadratowej f x x x c jest przedział,7. Zatem współczynnik c jest równy. B. 4 C. 7 D. 0 Zadanie 8. Największa wartość funkcji kwadratowej f x a x 4, gdzie a 0, w przedziale domkniętym 4, jest równa. Wyznacz najmniejszą wartość funkcji f w przedziale 4,. Zadanie 9. Funkcja kwadratowa f, której miejscami zerowymi są liczby i 4, dla argumentu przyjmuje wartość. Uzasadnij, że wykres funkcji f ma dwa punkty wspólne z prostą y. Zadanie 40. Wierzchołki trójkąta BC leżą na paraboli, która jest wykresem pewnej funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Pole trójkąta jest równe 8, punkt Wyznacz wzór funkcji f. C,4 jest wierzchołkiem paraboli, a punkty i B leżą na osi Ox.
Zadanie 4. W układzie współrzędnych na płaszczyźnie rysujemy Kolejne wierzchołki każdej z tych łamanych to punkty: 0,0,,0,,, 4,, 5,, 6, y 9 0 łamane. i tak dalej. Na rysunku obok jest przedstawiona łamana składająca się z dziesięciu odcinków, której ostatnim wierzchołkiem 8 7 jest punkt,. Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej n długość łamanej złożonej z n odcinków, czyli takiej, której początkowym wierzchołkiem jest punkt, a końcowym. Wyznacz wzór funkcji f oraz oblicz jej wartość dla n. n 4 0 x 6 Zadanie 4. 6 Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych i, w którym sin. Wtedy 6 6. cos B. cos C. tg D. tg Zadanie 4. Dana jest liczba a sin7. Zapisz liczbę +tg 7 w zależności od a. Zadanie 44. sin cos Oblicz wartość wyrażenia, jeśli wiadomo, że jest kątem ostrym oraz tg. cos 5sin Zadanie 45. Kąty i są kątami ostrymi w trójkącie prostokątnym i cos. Oblicz tgsin. 5 Zadanie 46. Dla pewnego kąta ostrego funkcje trygonometryczne sinus i cosinus mają wartości sin a, 4 4 7 cos a. Uzasadnij, że tg. 4 Zadanie 47. Kąt jest kątem ostrym oraz cos. Wykaż, że średnia arytmetyczna liczb: a sin, b oraz tg 5 c jest równa. 6
Zadanie 48. Wykaż, że jeżeli i są kątami ostrymi takimi, że sin 5 6 oraz tg 5, to. Zadanie 49. Funkcja wymierna f jest dana wzorem których funkcja f przyjmuje wartość. f x x x x. Wyznacz wszystkie wartości argumentu, dla x6 Zadanie 50. Najmniejszą wartością, jaką funkcja kwadratowa f dana wzorem przedziale, jest f. Uzasadnij, że a 0 i b 0. 0,4 f x ax bx c przyjmuje w Zadanie 5. Funkcja kwadratowa f przyjmuje w przedziale 0, największą wartość dla argumentów 0 i. Uzasadnij, że w przedziale,5 funkcja f przyjmuje największą wartość dla argumentów i 5. Zadanie 5. Oblicz sumę wszystkich parzystych liczb całkowitych dodatnich nie większych od 000 i niepodzielnych przez. Zadanie 5. W pewnym ciągu geometrycznym wyraz jest osiem razy większy od wyrazu a. Drugi wyraz tego ciągu jest równy 6. Znajdź najmniejszą liczbę naturalną k taką, że a 00. Zadanie 54. Trójwyrazowy ciąg jest arytmetyczny dla. x B. x C. x 0 D. x Zadanie 55. W ciągu arytmetycznym an dla n, a 8 oraz a a a. Wtedy suma a4a5a6 jest równa. 44 B. 60 C. 69 D. 9 Zadanie 56. n 5n Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego a n dana jest wzorem Sn, gdzie n. 4 Różnica ciągu arytmetycznego b n jest równa oraz jego piąty wyraz jest równy 8. Wyznacz sumę 7 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, wiedząc, że c b a, gdzie n. Zadanie 57. Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego a dla n jest równa 564. Oblicz średnią arytmetyczną wyrazów i a. x, x, x a an a4 cn n n 8 n k
Zadanie 58. Dany jest ciąg arytmetyczny a określony dla. Wykaż, że ciąg b, określony dla n wzorem ogólnym Zadanie 59. jest arytmetyczny. Skończony ciąg arytmetyczny ma nieparzystą liczbę wyrazów. Wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami całkowitymi. Uzasadnij, że środkowy wyraz jest dzielnikiem sumy tych wyrazów. Zadanie 60. W ciągu geometrycznym rosnącym pierwszy wyraz jest równy 6, a siódmy wyraz jest równy. 4 Kwadrat czwartego wyrazu jest równy Zadanie 6. W ciągu geometrycznym a, w którym a, znane są wartości dwóch wyrazów: a 6 i, gdzie k jest pewną liczbą całkowitą dodatnią. Wyznacz wyraz. Zadanie 6. Kacper przez 5 dni zapisywał swoje wydatki. Zauważył, że każdego dnia wydatki były niższe o 0% w stosunku do wydatków poprzedniego dnia. Oblicz kwotę, jaką Kacper wydał w tym czasie, jeśli piątego dnia wydał 0,48 zł. Zadanie 6. b a 4a n n n4 W ciągu geometrycznym n n 6. B. 4 C. D. 8 n a n o różnych i niezerowych wyrazach różnica między wyrazami piątym i trzecim jest trzy razy większa niż różnica między wyrazami czwartym i trzecim. Oblicz iloraz ciągu. a 0 n 65 8 k ak a n Zadanie 64. Dany jest ciąg geometryczny a o wszystkich wyrazach różnych od zera, określony dla n. Wykaż, że n ciąg b, określony dla wzorem ogólnym bn an an, jest geometryczny. n n Zadanie 65. Dana jest funkcja wykładnicza x oraz ciąg o wyrazie ogólnym a f n, dla n. Wykaż, że ciąg a n f x jest geometryczny i oblicz iloraz tego ciągu. n Zadanie 66. Skończony ciąg a, a, a, a4, a5 jest geometryczny. Uzasadnij, że mając dany tylko wyraz środkowy, można obliczyć iloczyn wszystkich wyrazów tego ciągu. a
Zadanie 67. Trójkąt ostrokątny BC jest wpisany w okrąg o środku O i promieniu 4. Kąt CB jest równy kątowi OCB oraz kąt CB jest równy kątowi OC. Oblicz długość wysokości CD opuszczonej z wierzchołka C na bok B. Zadanie 68. Podstawą ostrosłupa BCDS jest romb o boku długości. Krawędź boczna DS ma długość 4 i jest jednocześnie wysokością tego ostrosłupa. Długości pozostałych trzech krawędzi bocznych są równe (zobacz rysunek). S D C B Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zadanie 69. Na rysunku jest przedstawiona prosta zawierająca przekątną C rombu BCD oraz wierzchołki C 4,5 tego rombu. 7 y 6 5 4 C x -8-7 -6-5 -4 - - - 0-4 5 6 7 8 - Wskaż równanie prostej zawierającej przekątną BD tego rombu.. y x B. y x 4 C. y x 4 D. 9 y x, i Zadanie 7. Punkty, B, C, D, E są położone w tej kolejności na okręgu o środku O (zobacz rysunek). Odcinki są średnicami tego okręgu oraz BEC 60. Oblicz miarę kąta CBD. BD i C
Zadanie 7. Punkty, B, C, D są położone w tej kolejności na okręgu o środku O (zobacz rysunek). Odcinek średnicą tego okręgu i BC, CBD. Wykaż, że 90. DB jest Zadanie 7. Parami różne punkty, B, C, D, E leżą na okręgu. Odcinki DE i C są równoległe, zaś odcinek BD jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek). Wykaż, że prosta BE zawiera wysokość trójkąta BC opuszczoną na bok C. Zadanie 74. Końce odcinka B o długości 9 są środkami okręgów o promieniach 6 i 4 (zobacz rysunek).
Punkt C leży na odcinku B i jest środkiem takiego okręgu, o promieniu większym od 6, że dwa dane okręgi są do niego wewnętrznie styczne. Promień okręgu o środku C ma długość. 6,5 B. 7,5 C. 8,5 D. 9,5 Zadanie 75. Dwa okręgi o promieniach r i R są styczne zewnętrznie i są styczne do wspólnej prostej w punktach i B (zobacz rysunek). Oblicz wartość iloczynu rr, jeżeli wiadomo, że odcinek B ma długość 5. B Zadanie 76. O O Dane są dwa okręgi styczne wewnętrznie: okrąg o środku S i promieniu równym 6 oraz okrąg O o środku T i promieniu długości. Z punktu S poprowadzono półproste styczne do okręgu L. Oblicz pole czworokąta SKTL. w punktach K i
Zadanie 77. Pole trójkąta BC równe jest S. Każdy bok trójkąta podzielono w stosunku x : y : x, gdzie x i y są pewnymi liczbami dodatnimi. Wyznacz pole sześciokąta, którego wierzchołkami są punkty podziałów boków trójkąta (zobacz rysunek). C L M K N P O B Zadanie 78. Odcinki D i BE przecinają się w punkcie C. W trójkątach BC i CDE zachodzą związki: CB CED, C 5, BC, CE 0 (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty BC i CDE są podobne. Oblicz długość boku CD. Zadanie 79. Dany jest trójkąt prostokątny BC, w którym przyprostokątna C ma długość. Punkt E jest środkiem przeciwprostokątnej B, spodek D wysokości CD leży między punktami i E, a odległość między punktami D i E jest równa (zobacz rysunek). C D E B Oblicz obwód tego trójkąta.
Zadanie 80. Na rysunku przedstawiono trapez BCD oraz zaznaczono wysokości DE i CF tego trapezu. Punkt F jest środkiem podstawy B, a punkt E dzieli tę podstawę w stosunku :5. Wykaż, że punkt przecięcia wysokości CF z przekątną DB dzieli tę przekątną w stosunku : 7, licząc od wierzchołka D. Zadanie 8. W trójkącie BC o bokach długości C b, BC a i kącie między nimi 60 poprowadzono dwusieczną kąta CB, która przecięła bok B w punkcie D. Zapisz długość odcinka CD w zależności od a i b. Zadanie 8. Dany jest trapez prostokątny BCD taki, że kąty przy wierzchołkach i D są proste oraz B 0, DC 6, a przekątna C jest dwa razy dłuższa od ramienia D. Na podstawie B obrano taki punkt X, że CX CB (zobacz rysunek). Oblicz sinus kąta XCB. Zadanie 8. Wyznacz współrzędne środka okręgu opisanego na kwadracie, którego jeden z boków jest zawarty w prostej o równaniu y x, a punkt,5 jest jego wierzchołkiem. Rozważ wszystkie przypadki.
Zadanie 84. 5 Dwa boki trójkąta prostokątnego BC są zawarte w prostych o równaniach yx oraz y x. 4 4 Wyznacz równanie prostej, która przechodzi przez punkt K 4, i zawiera trzeci bok trójkąta BC. Rozważ wszystkie możliwości. Zadanie 85. Różnica współczynników kierunkowych dwóch prostych jest równa różnicy odwrotności tych współczynników. Uzasadnij, że te proste są prostopadłe albo równoległe. Zadanie 86. Punkty i B, których pierwsze współrzędne są równe odpowiednio i, należą do wykresu funkcji 8 f( x). Oblicz współrzędne punktu C, wiedząc, że punkt B jest środkiem odcinka C. x Zadanie 87. Prosta l przecina okrąg o środku S w punktach, i. Punkt S leży na 8 B, 8 prostej l. Sprawdź, czy punkt S leży na prostej k o równaniu x4y0. Zadanie 88. Dany jest sześciokąt foremny BCDEF, którego środkiem symetrii jest punkt, a wierzchołek ma współrzędne,. Wiadomo, że punkt P 4, jest środkiem odcinka BO. Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków tego sześciokąta. Zadanie 89. Punkt, jest środkiem boku, a punkt N 8, to środek boku BC kwadratu BCD. Oblicz długość boku kwadratu BCD. Zadanie 90. M B B Trójkąt o wierzchołkach 6,0, 6,4 i C, 8 przekształcono przez symetrię środkową względem początku układu współrzędnych i otrzymano trójkąt BC. Oblicz sumę kątów wewnętrznych wielokąta, który jest częścią wspólną trójkąta BC i jego obrazu, tj. trójkąta B C. O, Zadanie 9. Prosta 0 jest osią symetrii figury złożonej z dwóch prostych o równaniach y p x q i y y q 5 x p. Wyznacz p i q. Narysuj te proste w układzie współrzędnych. Zadanie 9. Dany jest trapez równoramienny BCD, niebędący równoległobokiem, w którym B CD oraz 9,7, B,, D,0. Trapez BC D jest obrazem trapezu BCD w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych. Wyznacz współrzędne wierzchołków trapezu BC D oraz równanie osi symetrii tego trapezu.
Zadanie 9. Punkt P leży wewnątrz trójkąta o wierzchołkach 6,0, 0,4 i C 0,0. Oznaczmy przez obraz punktu P w symetrii osiowej względem prostej C, a przez względem prostej BC. Uzasadnij, że punkty P, C i P leżą na jednej prostej. Zadanie 94. C B obraz punktu P w symetrii osiowej Przedstawiona na rysunku bryła składa się z walca i półkuli. Wysokość walca jest taka, jak promień jego podstawy i jest równa R. BC P BC PC R R R Objętość tej bryły jest równa 5. R B. C. D. R R R Zadanie 95. Podstawą graniastosłupa prostego czworokątnego BCDEFGH jest kwadrat BCD (zobacz rysunek). H G E F D C B Kąt HC między przekątnymi sąsiednich ścian bocznych ma 50º. Kąt DBG między przekątną podstawy a przekątną ściany bocznej jest równy. 60º B. 65º C. 75º D. 80º Zadanie 96. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny BCDS, którego ściany boczne są trójkątami równobocznymi. Punkty G, E i F są odpowiednio środkami odcinków D, BC i CS (zobacz rysunek).
S F D C G E B Kątem między przeciwległymi ścianami bocznymi jest kąt. DFE B. GES C. ESG D. SC Zadanie 97. E Wysokość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego BCDEF rysunek) jest równa 8, a tangens kąta między wysokością BF poprowadzoną z wierzchołka F i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa jest równy 4. Oblicz pole trójkąta BF. F D B (zobacz trójkąta BC C Zadanie 98. Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, w którym podstawy ma długość 4, jest równa 6 6 (zobacz rysunek). krawędź Oblicz miarę kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej. Zadanie 99. W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym krótsza przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem β takim, że sin. Oblicz miarę kąta α, jaki tworzy dłuższa przekątna 7 tej bryły z płaszczyzną podstawy.
K J L I G H E D F C B Zadanie 00. Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy długości 6 oraz krawędzi bocznej długości. Wyznacz miarę kąta między ścianami bocznymi tego ostrosłupa. Wynik podaj z dokładnością do. Zadanie 0. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt pomiędzy wysokością ostrosłupa a wysokością ściany bocznej jest równy 0. Promień okręgu opisanego na podstawie jest równy. Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy. Zadanie 0. W stożku stosunek pola powierzchni bocznej do pola podstawy jest równy tworzącą a płaszczyzną podstawy tego stożka.. Oblicz sinus kąta między
Zadanie 0. W trójkącie BC punkt D jest środkiem boku B oraz CD CB (zobacz rysunek). Bok CB przedłużono tak, że CB BE. Wykaż, że C DE. C D B E Zadanie 04. Tworząca stożka o kącie rozwarcia ma długość 8. Pole powierzchni całkowitej tego stożka jest równe 48. Oblicz objętość stożka oraz miarę kąta. Zadanie 05. Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny BCDEFGH o krawędzi podstawy długości 4 oraz krawędzi bocznej równej 8. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki krawędzi D i DC oraz przez wierzchołek H (zobacz rysunek). Oblicz pole otrzymanego przekroju. Zadanie 06. W sześcianie BCD BC D przekątna C tworzy z płaszczyzną BCD kąt. Punkty L i J są odpowiednio środkami krawędzi DD i BB oraz LJ. Uzasadnij, że cos tg.
Zadanie 07. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy jest razy dłuższa od wysokości ostrosłupa poprowadzonej na tę podstawę. Wyznacz kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy. Zadanie 08. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, którego wysokość ma długość H oraz kąt między krawędzią boczną i płaszczyzną podstawy jest równy 60. Wyznacz wzór na pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa w zależności od wysokości H. Zadanie 09. W stożku różnica długości tworzącej i promienia podstawy jest równa 6. Cosinus kąta między tworzącą a płaszczyzną podstawy tego stożka jest równy. Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka. 5 Zadanie 0. Graniastosłup prawidłowy czworokątny BCDEFGH o krawędzi podstawy długości 5 oraz krawędzi bocznej długości 5 6 przecięto płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek oraz punkty L oraz J leżące na przeciwległych krawędziach bocznych w równych odległościach od dolnej podstawy. Otrzymany przekrój jest czworokątem JKL, którego przekątna K tworzy z płaszczyzną podstawy kąt α (zobacz rysunek). Zapisz pole tego przekroju w zależności od kąta α. Jakie wartości przyjmuje α? H G E F K L D J C α B Zadanie. Dana jest prosta o równaniu y x b, gdzie b 0 przecina oś Oy w punkcie, zaś oś Ox w punkcie B (zobacz rysunek). Pole trójkąta OB wyznaczonego przez tę prostą i osie układu współrzędnych jest równe 6. Oblicz współrzędne środka okręgu opisanego na trójkącie OB.
y y x b O B x Zadanie. Punkty 7,6 i B, są wierzchołkami trójkąta równobocznego BC. Promień koła opisanego na tym trójkącie jest równy 5 5 0. B. C. D. 6 6 0 Zadanie. Trójkąt T jest podobny do trójkąta T w skali k, a trójkąt T 6 jest podobny do trójkąta T w skali k. Pole trójkąta T jest równe 4. Trójkąt T ma pole równe. B. 48 C. 7 D. 96 Zadanie 4. Punkt,7 jest wierzchołkiem kwadratu BCD, a punkt S 6,5 jest środkiem okręgu opisanego na tym kwadracie. Bok tego kwadratu ma długość. 0 B. 0 C. 0 D. 0 Zadanie 5. W trójkącie prostokątnym BC kąt przy wierzchołku jest prosty oraz tg BC. sin BC. Oblicz
Zadanie 6. Do okręgu o środku O poprowadzono z zewnętrznego punktu P dwie styczne przecinające się w P pod kątem 50 (zobacz rysunek). Punktami styczności są, odpowiednio, punkty i B. P 50 o. O B Kąt OB ma miarę. 90 B. 0 C. 0 D. 50 Zadanie 7. Na płaszczyźnie dane są trzy punkty:,, 5, oraz C,. Wyznacz równanie środkowej poprowadzonej do boku B w trójkącie BC. Zadanie 8. Wykres funkcji kwadratowej f danej wzorem f x x 5x przecięto prostymi o równaniach x oraz x. Oblicz odległość między punktami przecięcia tych prostych z wykresem funkcji f. Zadanie 9. Niech prosta k będzie dana równaniem yx. Uzasadnij, że jej obrazem w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych jest prosta do niej równoległa. Zadanie 0. W pojemniku jest 0 kul, w tym b kul białych i 0 b kul czarnych, gdzie b 5. Z tego pojemnika losujemy dwa razy po jednej kuli ze zwracaniem. Wykaż, że prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy dwie kule tego samego koloru, jest większe od. Zadanie. Wykonano pomiary wysokości czterech krzeseł i każde dwa rezultaty były różne. dam zapisał wyniki w metrach i odchylenie standardowe jego danych było równe. Bogdan zapisał te wyniki w centymetrach i odchylenie standardowe jego danych było równe B. Wynika stąd, że. 0B B. 00B C. 0 B D. 00 B Zadanie. B Dany jest zbiór,,..., n,n, gdzie n, złożony z n kolejnych liczb naturalnych. Wykaż, że liczba wszystkich par ( ab, ) takich, że a, b i a b oraz suma a b jest nieparzysta, jest większa od liczby par, których suma jest parzysta.
Zadanie. Rzucono 00 razy sześcienną kostką do gry. Średnia arytmetyczna liczb oczek w pierwszych 40 rzutach była równa,75, a średnia arytmetyczna liczb oczek w kolejnych 60 rzutach była równa 4,5. Średnia arytmetyczna liczb oczek w 00 rzutach jest. mniejsza od 4. B. równa 4. C. równa 4,05. D. większa od 4,05. Zadanie 4. Zestaw danych: x, x, x,..., xn ma średnią arytmetyczną a i odchylenie standardowe s. xa x a x a xn a Wykaż, że zestaw danych:,,,..., ma średnią arytmetyczną 0. s s s s Zadanie 5. dam otrzymał z trzech kolejnych klasówek następujące oceny: 6, 4, 4. Oblicz, jaką ocenę otrzymał dam z czwartej klasówki, jeżeli odchylenie standardowe otrzymanych ocen jest równe. 6 Zadanie 6. Wszystkich par (, ) takich, że,,,4,5,6,7 i b,,,4,5,6,7,8,9 oraz suma a b jest podzielna przez, jest. mniej niż. B. dokładnie. C. dokładnie. D. więcej niż. Zadanie 7. Liczb ze zbioru liczb ze zbioru ab a Z,,,...,6,,,...,6, jest, których nie można uzyskać jako iloczynu dwóch niekoniecznie różnych. 8 B. 6 C. 8 D. 9
Zadanie 8. Liczb naturalnych trzycyfrowych, w zapisie których każda cyfra występuje co najwyżej raz oraz suma cyfry setek i cyfry jedności jest równa 4, jest. mniej niż 4. B. dokładnie 4. C. dokładnie. D. więcej niż. Zadanie 9. Ile jest wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych, w zapisie których każda cyfra jest inna, żadna nie jest zerem oraz jedną z cyfr jest dziewiątka?. 56 B. 68 C. 6 D. 504 Zadanie 0. Dana jest tabela złożona z sześciu wierszy i dziewięciu kolumn (zobacz rysunek). Oblicz, ile w tej tabeli można narysować, zgodnie z zaznaczonymi liniami, prostokątnych tabel o czterech wierszach i czterech kolumnach. Zadanie. Wszystkie losy loterii fantowej zostały ponumerowane kolejno od numeru 0000 do numeru 99999. Te losy, którym nadano numery o sumie cyfr równej trzy, są wygrywające, pozostałe losy są przegrywające. Na tej loterii będziemy losować jeden los. Oblicz prawdopodobieństwo wyciągnięcia losu przegrywającego. Wynik przedstaw w postaci ułamka dziesiętnego w przybliżeniu do czwartego miejsca po przecinku.
Zadanie. Na rysunku jest przedstawiony trzynastokąt wypukły o kolejnych wierzchołkach od do oraz przekątna 8 tego wielokąta. 0 9 8 7 6 5 4 Spośród wszystkich 65 przekątnych tego wielokąta losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana przekątna będzie przecinała się z przekątną w punkcie leżącym wewnątrz trzynastokąta. Wynik zapisz w postaci ułamka nieskracalnego. Zadanie. Spośród wierzchołków sześcianu wybieramy losowo dwa różne wierzchołki. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania wierzchołków, które są końcami tej samej przekątnej ściany sześcianu. Zadanie 4. Ze zbioru wszystkich krawędzi (krawędzi bocznych i krawędzi podstawy) ostrosłupa prawidłowego pięciokątnego losujemy jedną krawędź, a następnie z pozostałych krawędzi losujemy drugą. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowane krawędzie będą miały wspólny wierzchołek. 8