Wsęp do szzególne eorii względnośi. o o nam szzególna eoria względnośi?? Drogi Uzni! omiaą aspeky nakowe akie ak na przykład fale elekromagneyzne, ząski elemenarne, asrofizyka, mehanika kwanowa, fizyka ądrowa, elekrodynamika... pozosae eszze aspek nary inelekalne. Wiel z Was słyszało o słynnym wzorze Em, paradoksie bliźnią, dylaai zas, skróeni orenza ip. Niekóre e zawiska kłóą się na pierwszy rz oka ze zdrowym rozsądkiem i doświadzeniem Ŝyia odziennego. Jednak wnikliwa analiza yh zawisk i mieęność logiznego myślenia (lb ego naka) doprowadzą do logiznyh i ozywisyh wniosków STW nazy Cię logiznie rozmować, znadować przyzyny i skki. oza ym w wiek nowozesnyh ehnologii STW sała się zęśią nasze klry, przynamnie wśród ineligeni. Dlaego szzególną eorię względnośi mszą zrozmieć e osoby, kóre hą być waŝane za osoby wykszałone. Jeśli a argmenaa Cię nie przekonała o proponę zamknąć en plik i spędzić prodkywnie zas szkaą 3 Ŝyia w grze komperowe lb oglądaą 300000 odinek akiegoś serial elewizynego. Jeśli eszze o zyasz o znazy, Ŝe zabieramy się do roboy! Wsęp. Zawisko rh iał fasynowało Ŝ saroŝynyh grekih filozofów. Arysoeles znał, Ŝe isniee absolny kład odniesienia, a wię odrzał względność ako zasadę. ogląd en podwaŝył Galilesz, kóry badaą rh iał doszedł do wniosk, Ŝe prędkość i pozya iała es względna. óźnie idea a zosał zapisana maemayznie w posai ransformai Galilesza, kóra sała się fndamenem fizyki Newona. Jednak na poząk XX wiek nowe badania awniły niedoskonałość akiego podeśia. Równania Mawella opisąe fale elekromagneyzne, nie "poddawały się" ransformai Galilesza. omiary prędkośi świała awniły, Ŝe nie zahowe się ona zgodnie z ym, o przewidywała fizyka klasyzna. Aby opisać zahowanie świała powołano do Ŝyia eer, kóry maemayznie opisano ransformaą orenza. omysły e wydawały się fizykom zby egzoyzne, aby znać e za ogólne prawa fizyki. Jednak dla Einseina sały się one przesłankami do sworzenia nowe eorii fizyzne. ZałoŜenia STW : ) Eer, ako iało maerialne nie isniee, świało nie wymaga Ŝadnego maerialnego nośnika; ) rędkość świała względem wszyskih ineralnyh kładów odniesienia es aka sama, niezaleŝna od prędkośi względnyh yh kładów; 3) Nie isniee Ŝadne doświadzenie, po przebieg kórego moŝna sądzić zy kład odniesienia względem kórego przebieg ego doświadzenia się obserwe, es w spozynk zy w rh ednosanym prosoliniowym. nky i 3 zwane są poslaami Einseina. Orear J. Fizyka,.I, WNT Warszawa 993, s.9. hp://pl.wikipedia.org/wiki/rzesłanki_powsania_szzególne_eorii_względnośi Opraowanie : Darisz Nyk dla zniów I O im. Ks. ElŜbiey w Szzeink Srona
nk 3 w odniesieni do mehaniki klasyzne zwany es zasadą względnośi Galilesza ( kaŝde prawo fizyzne zahowe swoą maemayzną posać przy prześi z ednego do drgiego kład ineralnego). Zasada względnośi Galilesza rozszerzona na obszar ałe fizyki zwana es zasadą względnośi Einseina lb szzególną zasadą względnośi. Szzególną zasadę względnośi oraz prawo sałe prędkośi świała Einsein przyął ako pnky wyśia swoe szzególne eorii względnośi (STW) ogłoszone w 905 rok ( szzególna bo doyzy kładów ineralnyh). Szzególna eoria względnośi (STW) zawiera : nowe poęia zas, przesrzeni i równozesnośi; nowe ransformae współrzędnyh (idenyzne ak orenza); nowe prawo składania prędkośi; związek między masą i energią. Wszyskie wynikaąe z e eorii wnioski zosały powierdzone doświadzalnie. W 96 rok A.Einsein ogłosił ogólną eorię względnośi (OTW) obemąą STW, rh przyspieszony, problem grawiai. Transformae Galilesza. Nieh kłady XYZ oraz X Y Z będą kładami ineralnymi i nieh kaŝdy z nih posiada idealny zegar, kóryh wskazania oznazymy odpowiednio przez i. W hwili poząkowe 0 0 kłady pokrywaą się. Teraz, nieh kład X Y Z porsza się rhem ednosanym prosoliniowym z prędkośią względem XYZ w aki sposób, Ŝe X ślizga się po osi X, a Y i Z są równoległe odpowiednio do osi Y i Z (rys.). RozwaŜmy eraz połoŝenie pnk znadąego się w rhomym kładzie primowanym (połoŝenie obserwaora siedząy w wagonie porszaąego się względem peron). Współrzędne ego pnk względem kład X Y Z wynoszą odpowiednio (,0,0). omiędzy współrzędnymi ego pnk w obydwóh kładah w dowolne hwili zahodzą związki : z pnk widzenia XYZ : y y ; z z ; ; z pnk widzenia X Y Z względem XYZ y y; z z; ; () gdzie droga, aką pokonał kład X Y Z względem XYZ w zasie ( ) Opraowanie : Darisz Nyk dla zniów I O im. Ks. ElŜbiey w Szzeink Srona
Związki () nazywamy ransformaami Galilesza. rzypśćmy eraz, Ŝe nasz pnk porsza się dodakowo względem kład X Y Z z prędkośią wzdłŝ osi X. Wobe ego ego prędkość względem XYZ wyraŝona es wzorem : () Jes o prawo dodawania (składania) prędkośi. Sałość prędkośi świała. Głównym paradoksem STW es załoŝenie, Ŝe prędkość świała es aka sama dla wszyskih obserwaorów znadąyh się w kładah ineralnyh. Narsza o nasz zdrowy rozsądek. Wyobraźmy sobie, Ŝe poedynzy impls świała (błysk) mia obserwaora A soąego na Ziemi. W e same hwili obserwaor B porszaąy się z prędkośią B w ą samą sronę o świało parzy na en sam impls świała. Skoro impls świała porsza się względem obserwaora A z prędkośią, a obserwaor B porsza się względem A z prędkośią B o impls świała porsza się względem niego z prędkośią - B, zyli z prędkośią mnieszą niŝ względem A. Jednak eksperymen nie powierdza ego fak obserwaor A i B mierzą prędkość impls 8 m świelnego w e same hwili zyską ą samą warość,9980!!! s Jednak, ak wześnie wspomnieliśmy, głównym pnkem wyśia STW es sałość prędkośi świała niezaleŝna od prędkośi obserwaora i od prędkośi źródła. Einsein wyłmazył en dziwny wynik dziwnymi właśiwośiami przesrzeni i zas. oslował on, Ŝe przesrzeń widziana przez porszaąego się obserwaora krzy się w kiernk rh razy i Ŝe zas mierzony przez porszaąego się obserwaora zwalnia akŝe razy. Einsein ak spreparował przesrzeń i zas, aby dla dowolnego impls świelnego zawsze zahodziła równość, gdzie i są przesrzenią i zasem mierzonymi przez obserwaora porszaąego się. Wykorzysał do ego zw. ransformae orenza. Zaineresowanyh wyprowadzeniem odsyłam do ksiąŝek rakąyh o yh zagadnieniah, a w ym mies podam goowe wzory : y y; z z; (3a) Transformae odwrone maą posać : y y ; z z ; (3b) Opraowanie : Darisz Nyk dla zniów I O im. Ks. ElŜbiey w Szzeink Srona 3
Dylaaa zas. Jedną z konsekweni wprowadzenia ransformai orenza es zw. dylaaa zas. Nieh dwa zdarzenia w kładzie S (porszaąym się) zadą w ym samym mies ( ) koleno w hwilah i edno po drgim ( np. dwa kolene prześia wahadła zegara przez połoŝenie równowagi ). Obserwaor w kładzie S (spozywaąym) swierdzi za pomoą własnego zegara, Ŝe edno prześie nasąpi w hwili, a drgie w hwili. Zahodzi pyanie : zy -? olizmy. Wykorzysą ransformae orenza (3b) moŝemy odpowiednio zapisać : sąd zyli > - wydłŝenie (dylaaa) zas. (4) Z powyŝszego wynika, Ŝe zas w kładzie primowanym zyli porszaąym się, biegnie wolnie niŝ w kładzie spozywaąym w spozynk. Na przykład dla rakiey porszaąe się względem Ziemi z prędkośią 70 000 km/s edna seknda w rakieie będzie rwała sekndy na Ziemi. Zahodzi pyanie zy dylaaa zas es moŝliwa w prakye? Odpowiedź brzmi ak. Dylaaa zas nie es własnośią samego zas, nie ylko wszyskie zegary porszaąe się zwalniaą, ale równieŝ wszyskie proesy fizyzne są spowalniane gdy są w rh. Tak wię i proesy biologizne zahodząe w złowiek legną spowolnieni, ale pamięamy : sami ih nie zaobserwemy będą w rakieie, zawaŝy e ylko obserwaor będąy na Ziemi. Ale wraaą do naszego przykład o edną z dobrze poznanyh ząsek es ząska zwana mionem. Cząska a es nierwała i samorznie rozpada się na elekron lb pozyon oraz dwa 6 nerina. Czas Ŝyia nierhomyh mionów wynosi 0 s. Jeśli ząski e porszałby się nawe z prędkośią świała (o nie es moŝliwe) o przebyłyby drogę zaledwie 600 m i rozpadłyby się. Jak dziś wiemy, miony powsaą miedzy innym w wynik oddziaływania promieniowania kosmiznego z amosferą ziemską na wysokośi 0-30 km na powierzhnią i w większośi doieraą do Ziemi. Dlazego? OóŜ miony porszaą się z prędkośiami bliskimi prędkośi świała i obserwaor będąy na Ziemi zaobserwe zas Ŝyia porszaąego się mion o wiele dłŝszy niŝ spozywaąego dylaaa zas. Opraowanie : Darisz Nyk dla zniów I O im. Ks. ElŜbiey w Szzeink Srona 4
Z dylaai zas wynika eszze eden problem zw. paradoks bliźnią. rzypomnimy napierw znazenie słowa paradoks. Jes o rozmowanie pozornie prawdziwe, kóre ednak z powod wysępąego w nim błęd logiznego prowadzi do wniosków sprzeznyh ze sobą 3. Zadanie : Dwa braia bliźniay, Jaek i laek dali się na saę kosmizną. Jaek wsiadł do rakiey i poleiał do gwiazdy Arkr oddalone od Ziemi o 40 la świenyh, a nasępnie powróił na Ziemię. Rakiea porszała się z prędkośią 0,99. Jaki będzie wiek kaŝdego z bliźniaków gdy Jaek powrói na Ziemię eśli w hwili rozpozęia podróŝy mieli po 0 la? Rozwiązanie : Wedłg laka (pozosaąego na Ziemi) podróŝ Jaka na Arkr i z powroem powinna rwać o % dłŝe niŝ zas porzebny na pokonanie e same drogi przez świało (80 la). Sąd laka wiek wyraŝa się wzorem : 0 0% 80 0 80,8 00,8 la Teraz laek lizy ile la będzie miał Jaek po powroie z podróŝy kosmizne. Zegary w sak kosmiznym biegną 0,99 0,4wolnie niŝ na Ziemi. Sąd wiek Jaka wynosi 0 0,480,8 0,4 3,4 la. Czyli Jaek będzie młodszy od laka o 69,4 laa!! I dohodzimy do paradoks : Jaek parzą na Ziemię widzi, Ŝe oddala się ona z prędkośią 0,99. izy wię podobnie ak laek dylaaę zas i dohodzi do wniosk odwronego niŝ aek w rozwiązani zadania o laek będzie młodszy o 69,4 la gdy się spokaą! To ko es młodszy a ko sarszy? A moŝe będą w ym samym wiek? Bo skoro prędkość es względna o dlazego doszliśmy do wynik asymeryznego powinien być symeryzny (en sam wiek). Na pierwszy rz oka wydae się, Ŝe formalizm STW (poslay Einseina) prowadzi do sprzeznośi. Niesey, problem nasz es rzezywiśie asymeryzny. laek pozosae ały zas w kładzie ineralnym, podzas gdy Jaek zmienia kłady odniesienia gdy zawraa, gdy zwalnia, gdy przyspiesza. Jednak eśli w pnkie zawraania wykonamy wszyskie oblizenia z pnk widzenia Jaka (porszaąego się) o w dalszym iąg orzymamy wynik podobny do naszego rozwiązania laek będzie sarszy mimo, Ŝe ego zegary hodzą wolnie (z pnk widzenia Jaka). Tak wię odpowiadaą na pyanie : laek będzie sarszy, ale oblizenie o ile la, wykraza poza ramy ninieszego opraowania. aradoks bliźnią zosał zweryfikowany między innymi doświadzeniami z zegarami aomowymi. Zegar zosał mieszzony na odrzow, kóry porszał się wokół Ziemi. Oblizono, Ŝe zegar en powinien się późnić w sosnk do zegara pozosaąego na Ziemi o (84 ± 4) ns. Zaobserwowana sraa zas wynosiła (03±0) ns o zgadza się z eorią w graniah błęd. Ciekawe wyłmazenie paradoks bliźnią zosało zamieszzone w arykle na sronie inerneowe hp://pl.wikipedia.org/wiki/aradoks_bliźnią, kórego oryginalny eks przedsawiam poniŝe. 3 oplarny słownik ęzyka polskiego, Wydawniwo Wilga. Opraowanie : Darisz Nyk dla zniów I O im. Ks. ElŜbiey w Szzeink Srona 5
Rozparzmy eraz przykład z bliźniakami, kaŝdy z nih ma swó zegar, zegary sarą w momenie sar rakiey. Braia zobowiązą się do wysyłania sygnałów Ŝyzeń o rok wedłg wskazań swoih zegarów, bra asronaa po przebyi drogi 5 la świelnyh zawraa i powraa na Ziemię. Dla proszzenia pominiemy problemy związane z rozpędzaniem, zawraaniem i zarzymywaniem rakiey, przeiąŝeniami i wszyskie inne efeky. Syaę przedsawia wykres, połoŝenie/zas w kładzie odniesienia związanym z Ziemią. Sygnał Ŝyzeń biegnie z prędkośią świała, dla zyelnośi dobieramy ednoski osi ak by świało biegło pod kąem 45 sopni do osi kład współrzędnyh, kład en odpowiada laom na osi zas i laom świelnym na osi przesrzeni (połoŝenia). rędkość sak kosmiznego około 0,7454 prędkośi świała (na rysnk i do dalszyh oblizeń przyęo 0,75) dobrano ak by zynnik orenza γ,5 (parz skala na osi zas w rakieie). Wyaśnienie ekspresowe: wysarzy polizyć (moŝna na wykresie) ile Ŝyzeń wysłał kaŝdy z brai, aby dowiedzieć się ile la im przybyło. I ak bra na Ziemi wysłał (zerwone linie) komnikaów, przybyło m wię ponad la, zaś bra w sak wysłał 8 (zielone linie), zyli przybyło m ponad 8 la. Zaem bra na sak es o blisko 4 laa młodszy. Skróenie orenza (konraka dłgośi). rzypśćmy, Ŝe hemy zmierzyć dłgość pręa, kóry spozywa w kładzie primowanym (porszaąym się względem kład nieprimowanego z prędkośią ). rę en es mieszzony wzdłŝ osi, a ego końe znadą się pnkah o współrzędnyh i (rys.). Z ransformai orenza (3a) orzymemy odpowiednio : i Ozywiśie dłgość pręa o - sąd ( ) Opraowanie : Darisz Nyk dla zniów I O im. Ks. ElŜbiey w Szzeink Srona 6
Abyśmy mogli (my zyli z kład nieprimowanego ) zmierzyć dłgość pręa, o msimy odzyać współrzędne w e same hwili, zyli. oprzednie równanie sprowadza się wię do równania Jeśli przez oznazymy róŝnię o nasze równanie przymie posać Sąd dłgość pręa widziana w naszym ( nieprimowanym ) kładzie (5a) lb ak koś woli rhomy spozywaąy (5b) Wzory (5a) i (5b) przedsawiaą zw. skróenie orenza lb konrakę dłgośi roszę zwróić wagę, Ŝe < sąd rhomy < spozywaą y. zyli obserwą z kład nierhomego prę o dłgośi własne spozywaąy porszaąy się z prędkośią widzimy, Ŝe es on krószy niŝ w rzezywisośi. Uwaga : skróenie orenza wysępe ylko w kiernk równoległym do kiernk rh ( : wzdłŝ osi X ) owyŝsze wyprowadzenie moŝe bdzić pewne wąpliwośi. OóŜ skoro hemy oblizyć o dlazego nie korzysamy z ransformai odwronyh? rześledźmy szybko akie rozmowanie., sąd odobnie ak w powyŝszym rozmowani odzyemy współrzędne w e same hwili, zyli, sąd zyli. Idą dale ym okiem rozmowania orzymemy spozywaąy rhomy zyli orzymemy wydłŝenie, a nie skróenie. Kóre rozmowanie es prawdziwe? Odpowiedź pierwsze. Błąd kwi w załoŝeni, Ŝe. Co oznaza aki zapis? Dokładnie o, Ŝe będą w kładzie nieprimowanym zyli pozosaąym w spozynk (bo sąd przeieŝ badamy dłgość porszaąego się pręa) dokonemy ednoześnie odzy współrzędnyh i. Czy es o moŝliwe? Nie. OóŜ napierw odzyemy a późnie (lb odwronie). Skoro prę się Opraowanie : Darisz Nyk dla zniów I O im. Ks. ElŜbiey w Szzeink Srona 7
porsza o między odzyami zdąŝy się on przesnąć (skońzony zas przelo świała) o da nam fałszywe wyniki. Skróenie orenza es skróeniem rzezywisym i nie wynika z maemayzne Ŝonglerki wzorami. roszę zwróić eszze wagę na konsekwene skróenia orenza ( < ) : rhomy spozywaą y z pnk widzenia obserwaora porszaąego się przesrzeń będzie się krzyła!! Odległość między na przykład Ziemią a nim będzie mniesza niŝ gdyby pozosawał w spozynk! WaŜną przyzyną skróenia orenza es fak, Ŝe zdarzenia ednozesne dla ednego obserwaora nie są ednozesne dla innego obserwaora (pamięamy, Ŝe aby zmierzyć dłgość pręa naleŝy podać ednoześnie połoŝenie końów pręa). Wyobraźmy sobie wagon o dłgośi, w kórym na środk soi obserwaor A. Wagon en porsza się po orah rhem ednosanym prosoliniowym z prędkośią. Nieh w hwili 0 obserwaor A mia obserwaora B soąego koło orów. Nieh w e same hwili wedłg obserwaora B wysrzelą działka sawione obok orów w aki sposób, Ŝe ih lfy wyznazaą dokładnie poząek i konie wagon. Działka e srzelaą piłezkami zarówno w kiernk obserwaora A ak i B. W obserwaora B piłezki rafią ednoześnie, wszak soi on w połowie odległośi między działkami. amięamy : działka soą obok orów. Naomias obserwaor A porsza się w prawą sronę zyli oddala się od lewe piłezki, a przybliŝa się do leąe piłezki prawe. Sąd swierdzi on, zakładaą, Ŝe prędkość piłezek es większa od prędkośi poiąg, Ŝe napierw zosanie derzony piłezką prawą a późnie lewą. I hoć mamy dwa kłady ineralne o obserwaor B swierdza ednozesność zdarzeń, a obserwaor A e nie swierdza. Sąd wniosek, Ŝe dwa zdarzenia zahodząe ednoześnie w ednym kładzie ineralnym nie mszą zahodzić ednoześnie w innym kładzie ineralnym. Idenyznie ak piłezki, ze względ na skońzoną prędkość świała, zahowaą się implsy świelne. Zwróćmy wagę na eszze eden aspek ego rozwaŝania. Co będzie się działo, eśli dodakowy obserwaor znadąy się w wagonie, nazwimy go C, zaznie porszać się w lewo z prędkośią większą od prędkośi wagon? Zaobserwe on, Ŝe napierw derzy go piłezka lewa, a późnie prawa. Jeśli nie wie on, Ŝe się porsza rhem ednosanym prosoliniowym (parz : poslay Einseina) o swierdzi, Ŝe wysrzał z działa lewego był wześnie niŝ z działa prawego! Zadanie 4. iorn derza w końe wagon o dłgośi 0 m adąego po prosym orze z prędkośią 00 km/h (55,6 m/s). Wedłg obserwaora soąego na peronie, piorn derzył w końe wagon ednoześnie. Jaka była róŝnia zas między ymi derzeniami wedłg pasaŝerów? Rozwiązanie : asaŝerowie znadą się w kładzie porszaąym się z prędkośią (kład primowany ). Do naszyh rozwaŝań zakładam, Ŝe wagon porsza się w prawo. rzez oznazmy zas derzenia w prawy konie wagon, przez w lewy konie wagon. Wykorzysą ransformae orenza dla zas moŝna zapisać : 4 Orear J. Fizyka,.I, WNT Warszawa 993, s.38. Opraowanie : Darisz Nyk dla zniów I O im. Ks. ElŜbiey w Szzeink Srona 8
Opraowanie : Darisz Nyk dla zniów I O im. Ks. ElŜbiey w Szzeink Srona 9 i gdzie, współrzędne lewego i prawego końa wagon dłgość wagon ( ) Dla obserwaora soąego na peronie, a dla pasaŝerów wagon. odsawiaą do poprzedniego równania orzymemy : s 0,4 0,99999999999998858 0,356-4 -4 Orzymany wynik es zby mały aby moŝna było go zmierzyć, zobazyć. oniewaŝ orzymaliśmy wynik dodani, oznaza o, Ŝe > zyli zdarzenie w zaszło przed zdarzeniem w p. roszę zwróić wagę, Ŝe eśli dwa zdarzenia oddalone od siebie o wzdłŝ osi wydaą się równozesne ednem obserwaorowi, o porszaąem się obserwaorowi wydadzą się przesnięe w zasie o. Relaywisyzne prawo składania prędkośi. Klasyzne prawo składania prędkośi na posać :, gdzie : prędkość kład primowanego (np. wagon) prędkość iała względem kład primowanego (np. obserwaora względem wagon) prędkość iała względem kład nieprimowanego (np. obserwaora względem Ziemi) amięaą, Ŝe kaŝdy z rhów es rhem ednosanym moŝemy zapisać : / oraz odsawiaą odwrone ransformae orenza (3b) orzymemy :
Opraowanie : Darisz Nyk dla zniów I O im. Ks. ElŜbiey w Szzeink Srona 0 ) ( ) ( sąd (6a) Analogiznie moŝemy wyprowadzić wzór na : - (6b) Równania (6) o relaywisyzne prawo składania prędkośi. Zwróćmy wagę, Ŝe eśli i o Dynamika relaywisyzna. Zgodnie z fizyką klasyzną pęd definiowany es ako ilozyn masy porszaąego się iała oraz ego prędkośi ( pm ). Jeśli mamy kład odosobniony iał o obowiąze zasada zahowania pęd w posai U m m (7) gdzie : składowa -owa prędkośi iała w hwili 0 (np. przed zderzeniem) U składowa -owa prędkośi iała w hwili (np. po zderzeni) Jeśli eraz przedziemy do kład primowanego o wykorzysą prawo składania prędkośi moŝna zapisać, Ŝe skoro o ) (U m ) ( m. Z powyŝszego zapis wynika, Ŝe skoro pęd zahowany es w ednym kładzie odniesienia o es zahowany we wszyskih innyh (ineralnyh). rzedźmy eraz o STW prawo składania prędkośi ma posać (6). Sąd wzór (7) przymie posać : U U m m (8) Einsein sanął wię przed problemem znalezienia nowe formy maemayzne pęd relaywisyznego proszę zwróić wagę, Ŝe równanie (8) o zasada zahowania pęd (ilozyn masy i prędkośi). Swierdził on, Ŝe eśli zdefiniemy pęd w posai :
m p (9) o będzie on zahowany we wszyskih ineralnyh kładah odniesienia (o ile zahowany es hoiaŝ w ednym z nih). Wzór (9) przedsawia wzór na pęd relaywisyzny. Aby dowodnić, Ŝe pęd relaywisyzny będzie zahowany dla wszyskih porszaąyh się obserwaorów, msimy napierw pokazać ak on się ransforme z ednego kład do drgiego. oniewaŝ wyprowadzenie o opiera się na rahnk róŝnizkowym, pominiemy e podaą goowe wzory. Zaineresowanyh odsyłam do pozyi J.Orear Fizyka,.I, WNT Warszawa 993, s.58. p p E p p y z y p p (0) z E E p gdzie : E m E m ZawaŜmy, Ŝe zery wielkośi p, p y, p z i E/ ransformą się ak samo ak, y, z i z ransformai orenza. rzeanalizmy zderzenie enralne doskonale niespręŝyse dwóh klek o yh samyh masah porszaąyh się naprzeiwko siebie. rzy idenyznyh warośiah prędkośi klki e zlepią się i pozosaną w spozynk. Co się sanie z ih energią? Z mehaniki klasyzne wiemy, Ŝe zęść energii kineyzne zamieni się na iepło, a zęść wywoła deformaę maeriał. Ozekemy eŝ, Ŝe zahowany będzie pęd kład. Sprawdźmy eszze dla pewnośi zy podobnie es w innyh kładah ineralnyh. Nieh przed zderzeniem klki porszaą wzdłŝ osi z prędkośiami naprzeiwko siebie (zakładamy rh w prawą sronę, w lewą sronę). W kładzie ineralnym porszaąym się z prędkośią wzdłŝ osi, prędkośi klek przed zderzeniem wynoszą : ( korzysamy z równania (6b) ) - - i - prędkość klki lewe (rh w prawo) p prędkość klki prawe (rh w lewo) ęd relaywisyzny klki lewe w kładzie primowanym wynosi : Opraowanie : Darisz Nyk dla zniów I O im. Ks. ElŜbiey w Szzeink Srona
Opraowanie : Darisz Nyk dla zniów I O im. Ks. ElŜbiey w Szzeink Srona ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ) m( ) ( ) m( ) m( m p ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 4 ) m( ) m( ) m( ) m( analogiznie orzymemy pęd klki prawe ) m( p Całkowiy pęd klek przed zderzeniem wynosi : poz - m ) m( ) m( p Skoro klki po zderzeni łązą się pozosaą w spozynk o ih prędkość po zderzeni w kładzie primowanym będzie równa prędkośi kład (0). Sąd końo - m p No i Hoson mamy problem :-) Z powyŝszego zapis wynika, Ŝe zasada zahowania pęd nie es spełniona w kładzie primowanym. Zwróćmy wagę, Ŝe masa złązonyh klek nie wynosi m ale m. Czy es o moŝliwe? rzeieŝ są o e same klki o przed zderzeniem. RóŜnią się nawyŝe emperarą, zyli energią wewnęrzną. Ale wiemy, Ŝe energia wewnęrzna, o energia rh ząsezek z kóryh zbdowane są klki. Większa energia wewnęrzna oznaza większą prędkość yh ząsezek. No i o z ego? We wzorze (9) na relaywisyzny pęd wysępe zynnik m kóry wygląda ak relaywisyzna masa porszaąego się iała, gdzie m masa spozynkowa iała. Wraaą do naszyh rozwaŝań, przymimy hipoezę robozą, Ŝe masa podzas zderzenia lega zmianie. Masa spozynkowa skleonyh klek po zderzeni wynosi m, a przed zderzeniem po pros m. Jeśli odemiemy e dwie warośi zyskamy róŝnię mas m, kóra ginie nam podzas połązenia się klek. Ale z drgie srony wiemy, Ŝe wzrosła energia wewnęrzna połązonyh klek. Sąd
moŝemy wyiągnąć wniosek, Ŝe koszem masy powsała energia (obrazowo : zęść masy klek spaliła się i podniosła emperarę reszy masy). Ile wynosi a energia? E m (a) a dokładnie m E (b) gdzie prędkość porszaąe się masy m Zwróćmy wagę, Ŝe gdybyśmy skorzysali ze wzorów (0) nie mielibyśmy ego problem am zagbiona masa es Ŝ względniona. NaleŜy eszze podkreślić, Ŝe zasada zahowania pęd relaywisyznego oraz zasada zahowania energii relaywisyzne są prawdziwe i zosały powierdzone eksperymenalnie. roszę zwróić wagę na konsekwene naszyh rozwaŝań z klkami. Skoro koszem masy powsała energia spozywaąyh połązonyh klek, o moŝna iść dale w naszyh rozwaŝaniah i powiedzieć, Ŝe kaŝda spozywaąa masa powinna zawierać ogromną ilość energii E 0 m. Einsein wyraził pogląd, Ŝe eŝeli masa spozynkowa iała zosanie zmnieszona o m o nasąpi wyzwolenie energii zgodnie ze wzorem (a). owierdzeniem ego es rozpad promieniowórzy, anihilaa elekron i pozyon, a nabardzie spekaklarnym - bomba aomowa. RozwaŜmy eraz iało o masie m (spozynkowe) porszaąe się z prędkośią. Jak wiemy z mehaniki klasyzne, kaŝde porszaąe się iało posiada energię kineyzną. Energię kineyzną w relaywisye moŝna polizyć, opieraą się na poprzednih rozwaŝaniah, odemą od energii ałkowie iała energię spozywaąego iała (energię spozynkową) m E k Eał m m() m m () oszkamy eszze związk między energią a pędem. Wykorzysamy równanie (9) na pęd oraz p równanie (b) na energię. Dzielą e równania sronami orzymamy : E p sąd (3). odnoszą obie srony równania (b) orzymemy E ( m ) E. Do ego równania w miese podsawiamy równanie (3) orzymą przydane równanie wiąŝąe pęd i energię : 4 E p m (4) RozwaŜmy eraz masę. Wześnie zapisaliśmy ak zwaną masę relaywisyzną zyli masę porszaąą się z prędkośią. Masa a była dana wzorem : m m() (5) Opraowanie : Darisz Nyk dla zniów I O im. Ks. ElŜbiey w Szzeink Srona 3
gdzie : m() masa relaywisyzna, m masa spozynkowa iała Z równania (5) wynika, Ŝe masa iała rośnie wraz z prędkośią w aki sam sposób ak energia E (parz : wzór b). orówną e dwa wzory, dla iała swobodnego moŝemy zapisać : m() - masa relaywisyzna o po pros energia relaywisyzna pomnoŝona przez akiś współzynnik proporonalnośi ( / ). No dobrze, mamy masę spozynkową i masę relaywisyzną. Wiemy, Ŝe eśli masę spozynkową (zya : kawałek kamienia) mieśimy w pol grawiaynym np. Ziemi o siła grawiai będzie na ą masę (kamień) oddziaływała. A zy ak samo będzie z masą relaywisyzną? W mehanie klasyzne mamy na pierwszy rz oka dwoisość definii siły : z edne srony p moŝemy ą zdefiniować z II zasady dynamiki (Fma), a z drgie ako F (oddziaływanie, kóre powode zmianę pęd iała). Ze względów ehniznyh pominięo zapis wekorowy ale naleŝy pamięać, Ŝe F, p i a są wielkośiami wekorowymi. O ile drga definia es słszna, o yle definia siły z II zasady dynamiki nie ma rai by z zapis Fma wynika, Ŝe sprawą oddziaływania es ilozyn masy i przyspieszenia! rzeieŝ o siła działaąa na iało powode ego przyspieszenie, a nie przyspieszenie powode powsanie siły! W kaŝdym razie, bez względ na dyskse na ema definii siły, my oprzemy się na definii p F akŝe z ego powod, Ŝe pęd ma ogromne znazenie w relaywisye (w kładah zamknięyh es on zahowany). oniewaŝ przyros zas wysępąy w nasze definii siły zaleŝy od kład odniesienia, o i moŝna się spodziewać, Ŝe i siła będzie zaleŝała od wybor kład a dokładnie od ego prędkośi. W aki sposób? Nie wdaą się w wyprowadzenia, moŝna przyąć przez analogię na przykład do pęd : F F (6) gdzie F siła działaąa na iało w kładzie porszaąym się z prędkośią W en sposób dosaemy waŝny wynik mówiąy, Ŝe eśli siła ransforme się zgodnie z powyŝszym prawem, o przekaz pęd w określonym odsępie zas (róŝnym w róŝnyh kładah ineralnyh) es zawsze aki sam : p p. Jes o wynik zgodny z zasadą zahowania pęd ałkowiego. Nieh aka siła działa na nasze iało. W mehanie klasyzne wiemy, Ŝe eśli na iało będzie działała sała niezrównowaŝona siła w kiernk rh o będziemy mieli do zynienia z rhem ednosanie przyspieszonym. Ciało będzie się rozpędzało do nieskońzenie wielkie prędkośi, o z kolei es sprzezne z STW. Z drgie srony poęie rh ednosanie przyspieszonego es dobrze określone gdy rh odbywa się z prędkośią bardzo małą w porównani z prędkośią świała. W związk z ym relaywisyzne ogólnienie polega na przyęi, Ŝe rh es ednosanie przyspieszony, eŝeli iało porsza się ze sałym przyspieszeniem z pnk widzenia ineralnego kład hwilowo współporszaąego się, zn akiego w kórym iało w dane hwili spozywa. Konsrka pozornie karkołomna: w kaŝde hwili msimy znaleźć kład w kórym iało spozywa, ale porsza się z określonym przyspieszeniem - eśli o moŝliwe, o mówimy o relaywisyznym rh ednosanie przyspieszonym. Ma o zreszą związek z ogólną eorią Opraowanie : Darisz Nyk dla zniów I O im. Ks. ElŜbiey w Szzeink Srona 4
względnośi, wedłg kóre soą w rakieie porszaąe się ze sałym przyspieszeniem, nasze wszyskie odzia i eksperymeny będą dawać wyniki akie, ak gdybyśmy przez ały zas spozywali w ednorodnym pol grawiaynym. Jak w akim razie wygląda rh ednosanie przyspieszony z pnk widzenia ednego, salonego obserwaora, kóry przez ały zas spozywa? 5. Jeśli w dane hwili w kładzie współporszaąym się prędkość iała wynosi zero, a przyspieszenie a es skierowane wzdłŝ osi o prędkość iała wyraŝona es równaniem : a () (7) a naomias równanie drogi wyraŝone es : a () a (8) 5 Dragan A. Niezwykle szzególna eoria względnośi. s.76 Opraowanie : Darisz Nyk dla zniów I O im. Ks. ElŜbiey w Szzeink Srona 5
ierara : Orear J. Fizyka,.I. WNT Warszawa, 993 Dragan A. Niezwykle szzególna eoria względnośi Skorko M. Fizyka. WN Warszawa, 98 Wikipedia Wolna Enyklopedia [online]. Wikimedia Fondaion,00 [dosęp : syzeń 007]. Dosępny w Inerneie : hp://pl.wikipedia.org/wiki/aradoks_bliźnią Opraowanie : Darisz Nyk dla zniów I O im. Ks. ElŜbiey w Szzeink Srona 6
Zadanie. Dwie rakiey porszaą się wzdłŝ e same prose naprzeiw siebie. Ih prędkośi zmierzone przez obserwaora znadąego się na sai kosmizne (kład ineralny), wynoszą odpowiednio 50 000 km/s i 0 000 km/s. Jaki będzie wynik pomiar prędkośi drgie rakiey wykonany przez obserwaora znadąego się w pierwsze rakieie? Osza błąd, aki popełnimy sosą wzory mehaniki klasyzne. 68000 km s Zadanie. Energia kineyzna pewnego iała równa es ego energii spozynkowe. Znaleźć prędkość iała oraz skróenie ego dłgośi w kiernk rh, eśli w kładzie w kórym ono spozywa, dłgość a wynosi 0. 0 Zadanie 3. Soąy na sai poiąg ma dłgość 0 500 m. oiąg en rozpędza się do prędkośi 08km/h i przeeŝdŝa z ą prędkośią obok soąyh przy orah obserwaorów. Oblizyć dokładność, z aką obserwaorzy msieliby wykonać pomiar dłgośi przeeŝdŝaąego poiąg, aby swierdzić relaywisyzny efek skróenia. Namniesza dokładność pomiar o 0-3 m. Zadanie 4. Dwie Ŝarówki znadąe się na osi OX naszego kład odniesienia, edna w pnkie O ( 0), drga w pnkie A ( 50 km), wysyłaą ednoześnie w hwili, kórą przymemy za 0, błyski świała. Błyski e są reesrowane przez obserwaora znadąego się w rakieie leąe z 7 prędkośią,50 m s w dodanim kiernk osi OX. Kóra Ŝarówka zdaniem obserwaora błysnęła pierwsza? Jaki odsęp zas między ymi błyskami swierdził obserwaor? 7 Obserwaor w rakieie swierdzi, Ŝe Ŝarówka w pnkie A zaświeiła o 9,58 0 s wześnie od Ŝarówki w pnkie O. Zadanie 5. Ile razy energia kineyzna iała oblizona w sposób nierelaywisyzny es mniesza od energii ego samego iała oblizone w sposób relaywisyzny? n ( ) Opraowanie : Darisz Nyk dla zniów I O im. Ks. ElŜbiey w Szzeink Srona 7
Zadanie 6. Dwie ednakowe klki o masah spozynkowyh m 0 g porszaą się z prędkośiami równymi 3 lez przeiwnie skierowanymi o warośi 30 m s. W pewnym momenie zderzaą się one doskonale niespręŝyśie. O ile masa zlepionyh w wynik zderzenia klek będzie większa od m 0? ZałoŜyć, Ŝe ałkowia energia kład nie lega zmianie podzas zderzenia. Masa zderzaąyh się klek zwiększy się o 0-0 g Zadanie 7. Udowodnić, Ŝe prędkość, pęd i energia w przypadk relaywisyznym są związane zaleŝnośią : E p. Jaką posać przybiera a zaleŝność dla prędkośi nierelaywisyznyh? E Dla mehaniki klasyzne orzymamy : p Zadanie 8. RozwaŜmy proon i elekron, kórym za pomoą akeleraora nadano aką samą energię kineyzną E k 0 MeV. Obliz warośi prędkośi yh ząsek (relaywisyka). p 4,3 0 7 m/s, e,997 0 8 m/s Zadanie 9. Typowa waga laboraoryna waŝy z dokładnośią do 0-4 g. Jaka ilość energii msiałaby się wyzwolić w reaki hemizne, aby za pomoą akie wagi moŝna było swierdzić zmianę ałkowie masy reagąyh sbsani? E 9 0 9 J. Zadanie 0. Oblizyć energię równowaŝną masie kg. orównać ą z energią wyprodkowaną przez wszyskie polskie elekrownie w okresie syzeń sierpień 005, wynosząą E 3 495, GWh. Zadanie. rę o dłgośi zosał mieszzony w płaszzyźnie XOY w aki sposób, Ŝe ego konie znade się w pnkie O, a warość kąa aki worzy prę z osią OX wynosi a. podobny pomiar kąa zosał wykonany przez obserwaora znadąego się w rakieie porszaąe się z 0,5 wzdłŝ osi OX kład. Jaką warość nahylenia pręa do osi OX zyskał en obserwaor? gα gα 0,75 Opraowanie : Darisz Nyk dla zniów I O im. Ks. ElŜbiey w Szzeink Srona 8
Zadanie. JeŜeli prześlemy zegar na odległość 38 000 km z prędkośią 800 km/h, o akie będzie ego wskazanie względem zegara pozosaąego na Ziemi? Zegar w samoloie będzie się późnił w sosnk pozosaąego na Ziemi o około 5 0-8 s Zadanie 3. Dwie lampy błyskowe S i S moowano na końah pręa, kóry ma dłgość 0 gdy spozywa (rys.). rę porsza się w prawo z prędkośią. S emie błysk świała wześnie niŝ S w aki sposób, Ŝe oba błyski doieraą ednoześnie do obserwaora. Gdy S emiował swó błysk o znadował się w pozyi, gdy S emiował swó o znadował się w pozyi. Jaka es dłgość pręa ( - ) oblizona przez obserwaora? Wskazówka. Jes o pozorna dłgość pręa widziana przez oko lb sfoografowana przez apara foografizny. roszę zwróić wagę, Ŝe es ona większa od 0, a nie mniesza! o względnieni poprawki na róŝne zasy przebieg świała wyhodząego z dwóh końów pręa, oblizona dłgość es ozywiśie lorenzowską dłgośią. rzedmio rówymiarowy widziany okiem lb sfoografowany będzie wyglądał akby odwróony, gdy parzy się na niego prosopadle do kiernk rh. Odpowiedź (wedłg aorów zadania): 0 Zadanie 4. Rakiea o dłgośi własne (w spozynk) 00m porsza się względem obserwaora z prędkośią / 3/5. W rakieie są dwa zegary, eden mieszzony na zbk rakiey, drgi na ogonie. Zosały one zsynhronizowane ze sobą gdy rakiea spozywała. Obserwaor na Ziemi posiada pewną lizbę zegarów równieŝ zsynhronizowanyh ze sobą. W hwili gdy doiera do obserwaora zbek rakiey, zarówno zegary obserwaora ak i zegar na zbk rakiey wskazą 0. a) Co w zasie 0, dla obserwaora, wskaze zegar na ogonie rakiey? b) o akim zasie (dla obserwaora) dorze do niego ogon rakiey? ) Co wskaze zegar na ogonie rakiey, w hwili gdy ogon nas mia? 7 A) 40 s 7 B) 8,880 s 6 C),0 s Opraowanie : Darisz Nyk dla zniów I O im. Ks. ElŜbiey w Szzeink Srona 9