momenty Oprócz omówionych już do tej pory charakterystyk rozkładów bardzo wygodnym i skutecznym narzędziem badanie zmiennej losowej są tzw. transformaty jej rozkładu: funkcje tworzące i funkcje charakterystyczne. Pierwsze z nich są określone jedynie dla zmiennych losowych o wartościach całkowitych nieujemnych, drugie są bardziej uniwersalne i określone są dla dowolnej zmiennej losowej. Funkcje tworzące pojawiły się w pracach de Moivre a oraz Eulera przy badaniu problemów z teorii liczb.
momenty Definicja Funkcjątworzącąciąguliczbowego (p n )nazywamyfunkcję g(s) = p n s n n=0 jeśli tylko powyższy szereg potęgowy jest zbieżny w pewnym niepustym przedziale ( a, a). Gdy X jest zmienną losową o wartościach całkowitych nieujemnych irozkładzie P(X = n) = p n,tofunkcjętworzącąciągu (p n ) nazywamyfunkcjątworzącązmiennejlosowejxioznaczamy g X. Mamy g X (s) = p n s n =E(s X ). n=0
momenty Przykład(funkcje tworzące ciągu) Znaleźć funkcje tworzące następujących ciągów: a) a n =1, n N, b) a n =2 n, n N, c) a n = (n+1)i {0,1,2,...,N} (n), d) a n = αn, n N.
momenty Funkcjatworząca g X jestdobrzeokreślonaconajmniejdla s 1, bowiem z nierówności p n s n n=0 p n =1 n=0 wynika bezwzględna zbieżność szeregu opisującego funkcję tworzącą. Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej o wartościach całkowitych nieujemnych jest jednoznacznie wyznaczony przez funkcję tworzącą.
momenty Funkcjatworząca g X jestdobrzeokreślonaconajmniejdla s 1, bowiem z nierówności p n s n n=0 p n =1 n=0 wynika bezwzględna zbieżność szeregu opisującego funkcję tworzącą. Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej o wartościach całkowitych nieujemnych jest jednoznacznie wyznaczony przez funkcję tworzącą.
momenty JeśliEX 2 <,to EX = g X (1), VarX = g X (1)+g X (1) [g X (1)]2. Przykład(rozkład geometryczny) Jaką postać ma funkcja tworząca w rozkładzie geometrycznym? Za jej pomocą wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję.
momenty JeśliEX 2 <,to EX = g X (1), VarX = g X (1)+g X (1) [g X (1)]2. Przykład(rozkład geometryczny) Jaką postać ma funkcja tworząca w rozkładzie geometrycznym? Za jej pomocą wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję.
momenty Jeślizmiennelosowesąniezależneofunkcjachtworzących g X (s) oraz g Y (s),toichsuma X +Ymafunkcjętworzącąpostaci g X+Y (s) = g X (s) g Y (s). Wniosek Jeśli X 1,X 2,...,X n sąniezależnymizmiennymilosowymio funkcjachtworzących g 1,g 2,...,g n,tosuma X 1 +X 2 +...+X n mafunkcjętworzącąpostaci n i=1 g i.
momenty Jeślizmiennelosowesąniezależneofunkcjachtworzących g X (s) oraz g Y (s),toichsuma X +Ymafunkcjętworzącąpostaci g X+Y (s) = g X (s) g Y (s). Wniosek Jeśli X 1,X 2,...,X n sąniezależnymizmiennymilosowymio funkcjachtworzących g 1,g 2,...,g n,tosuma X 1 +X 2 +...+X n mafunkcjętworzącąpostaci n i=1 g i.
momenty Definicja Funkcją tworzącą momenty(transformatą Laplace a)zmiennej losowej X nazywamy funkcję M X (t) =E(e tx ). momenty jest określona dla tych t, dla których istnieje wartość oczekiwana po prawej stronie powyższego wzoru. Jest zatem z całą pewnością określona w 0. Jeśli zmienna losowa X przyjmuje wartości całkowite nieujemne to M X (t) = g X (e t ).
momenty Definicja Funkcją tworzącą momenty(transformatą Laplace a)zmiennej losowej X nazywamy funkcję M X (t) =E(e tx ). momenty jest określona dla tych t, dla których istnieje wartość oczekiwana po prawej stronie powyższego wzoru. Jest zatem z całą pewnością określona w 0. Jeśli zmienna losowa X przyjmuje wartości całkowite nieujemne to M X (t) = g X (e t ).
momenty Jeśli funkcja tworząca momenty zmiennej losowej X jest określona dla t ( t 0,t 0 ),to a)istniejąwszystkiemomentyzmiennejlosowej X(E X k < ) b) M X (t) = t n EX n n!, t < t 0 n=0 c) M (n) X (0) =EXn, n =1,2,...
momenty Przykład(rozkład wykładniczy) Jaką postać ma funkcja tworząca momenty w rozkładzie wykładniczym? Za jej pomocą wyznaczyć wszystkie momenty. Jeżeli funkcje tworzące momenty zmiennych losowych X i Y są równewprzedziale ( t 0,t 0 ),to Xi Ymajątensamrozkład. Wniosek Jeżeli rozkład prawdopodobieństwa ma wszystkie momenty, a jego funkcja tworząca momenty istnieje w pewnym otoczeniu 0 o dodatniej długości, to nie istnieje inny rozkład o tych samych momentach. Rozkład jest wtedy wyznaczony przez momenty.
momenty Przykład(rozkład wykładniczy) Jaką postać ma funkcja tworząca momenty w rozkładzie wykładniczym? Za jej pomocą wyznaczyć wszystkie momenty. Jeżeli funkcje tworzące momenty zmiennych losowych X i Y są równewprzedziale ( t 0,t 0 ),to Xi Ymajątensamrozkład. Wniosek Jeżeli rozkład prawdopodobieństwa ma wszystkie momenty, a jego funkcja tworząca momenty istnieje w pewnym otoczeniu 0 o dodatniej długości, to nie istnieje inny rozkład o tych samych momentach. Rozkład jest wtedy wyznaczony przez momenty.
momenty Przykład(rozkład wykładniczy) Jaką postać ma funkcja tworząca momenty w rozkładzie wykładniczym? Za jej pomocą wyznaczyć wszystkie momenty. Jeżeli funkcje tworzące momenty zmiennych losowych X i Y są równewprzedziale ( t 0,t 0 ),to Xi Ymajątensamrozkład. Wniosek Jeżeli rozkład prawdopodobieństwa ma wszystkie momenty, a jego funkcja tworząca momenty istnieje w pewnym otoczeniu 0 o dodatniej długości, to nie istnieje inny rozkład o tych samych momentach. Rozkład jest wtedy wyznaczony przez momenty.
Definicja Funkcja ϕ : R C jest funkcją charakterystyczną zmiennej losowej Xjeślidla t R ϕ X (t) =E(e itx ) =E(cos(tX))+iE(sin(tX)). w zagadnieniach nieprobabilistycznych nazywana jest transformatą Fouriera. Jeśli X jest zmienną losową dyskretną, to ϕ X (t) = p k e itx k. k=1 Jeśli X jest zmienną losową absolutnie ciągłą, o gęstości f to ϕ X (t) = e itx f(x)dx.
Definicja Funkcja ϕ : R C jest funkcją charakterystyczną zmiennej losowej Xjeślidla t R ϕ X (t) =E(e itx ) =E(cos(tX))+iE(sin(tX)). w zagadnieniach nieprobabilistycznych nazywana jest transformatą Fouriera. Jeśli X jest zmienną losową dyskretną, to ϕ X (t) = p k e itx k. k=1 Jeśli X jest zmienną losową absolutnie ciągłą, o gęstości f to ϕ X (t) = e itx f(x)dx.
Niech ϕ X (t)będziefunkcjącharakterystycznązmiennejlosowej X. Funkcja ϕ X (t)manastępującewłasności: 1 ϕ X (t) ϕ X (0) =1, 2 Jeżeli Y = ax +b,gdzie a,b Rsąstałymi,to ϕ Y (t) = e itb ϕ X (at), 3 Jeżelizmiennelosowe X 1,X 2,...X n sąniezależnei Y = X 1 +X 2 +...+X n to ϕ Y (t) = 4 ϕ X ( t) = ϕ X (t) = ϕ X (t) n ϕ Xk (t), k=1
ϕ X (t)jestfunkcjąrzeczywistąwtedyitylkowtedygdyzmienna losowa Xmarozkładsymetrycznytzn.jeśli Xi Xmajątensam rozkład. jest funkcją jednostajnie ciągłą na R. Jeżelidlapewnego n 1,E( X n ) <,todlakażdego r n istniejąpochodne ϕ (r) (t)oraz E(X r ) = ϕ(r) (0) i r.
ϕ X (t)jestfunkcjąrzeczywistąwtedyitylkowtedygdyzmienna losowa Xmarozkładsymetrycznytzn.jeśli Xi Xmajątensam rozkład. jest funkcją jednostajnie ciągłą na R. Jeżelidlapewnego n 1,E( X n ) <,todlakażdego r n istniejąpochodne ϕ (r) (t)oraz E(X r ) = ϕ(r) (0) i r.
ϕ X (t)jestfunkcjąrzeczywistąwtedyitylkowtedygdyzmienna losowa Xmarozkładsymetrycznytzn.jeśli Xi Xmajątensam rozkład. jest funkcją jednostajnie ciągłą na R. Jeżelidlapewnego n 1,E( X n ) <,todlakażdego r n istniejąpochodne ϕ (r) (t)oraz E(X r ) = ϕ(r) (0) i r.
Przykład(rozkład geometryczny) Jaką postać ma funkcja charakterystyczna w rozkładzie geometrycznym? Za jej pomocą wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję. Przykład(rozkład wykładniczy) Jaką postać ma funkcja charakterystyczna w rozkładzie wykładniczym? Za jej pomocą wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję.
Przykład(rozkład geometryczny) Jaką postać ma funkcja charakterystyczna w rozkładzie geometrycznym? Za jej pomocą wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję. Przykład(rozkład wykładniczy) Jaką postać ma funkcja charakterystyczna w rozkładzie wykładniczym? Za jej pomocą wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję.
( Bochnera) Funkcja ϕ jest funkcją charakterystyczną pewnego rozkładu prawdopodobieństwa wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła, dodatnio określonaiϕ(0) =1. (o jednoznaczności) Jeżeli dwa rozkłady mają równe funkcje charakterystyczne, to są równe.
( Bochnera) Funkcja ϕ jest funkcją charakterystyczną pewnego rozkładu prawdopodobieństwa wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła, dodatnio określonaiϕ(0) =1. (o jednoznaczności) Jeżeli dwa rozkłady mają równe funkcje charakterystyczne, to są równe.
(wzór na odwrócenie) Jeślifunkcjacharakterystyczna ϕ X jestcałkowalna,wtedyistnieje ciągła i ograniczona funkcja gęstości Przykład(WnO) f(x) = 1 2π e itx ϕ X (t)dt. Funkcją charakterystyczną jakiego rozkładu jest funkcja ϕ X (t) = e t, t R?
(wzór na odwrócenie) Jeślifunkcjacharakterystyczna ϕ X jestcałkowalna,wtedyistnieje ciągła i ograniczona funkcja gęstości Przykład(WnO) f(x) = 1 2π e itx ϕ X (t)dt. Funkcją charakterystyczną jakiego rozkładu jest funkcja ϕ X (t) = e t, t R?
Definicja wektora losowego X określona jest na przestrzeni R n wzorem ϕ X (t) =E(e it X ). Ma ona podobne własności jak jednowymiarowa funkcja charakterystyczna.
Definicja wektora losowego X określona jest na przestrzeni R n wzorem ϕ X (t) =E(e it X ). Ma ona podobne własności jak jednowymiarowa funkcja charakterystyczna.