I kolokwium ze Wstępu do Teorii Miary

Podobne dokumenty
Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11

G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28

Robert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki

Teoria miary i całki

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.

Teoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1

7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne.

Zadania do Rozdziału X

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

1 Działania na zbiorach

7 Twierdzenie Fubiniego

Teoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5

1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.

Podstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn

F t+ := s>t. F s = F t.

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA

LX Olimpiada Matematyczna

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005

Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej

02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w

IMIĘ NAZWISKO... grupa C... sala Egzamin ELiTM I

(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α

Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne.

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

zbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Metody probabilistyczne

PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Grzegorz Plebanek Miara i całka skrypt do wykładu Funkcje rzeczywiste

020 Liczby rzeczywiste

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi

1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.

O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji

5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

1 Przestrzenie metryczne

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

1 Relacje i odwzorowania

Układy równań i nierówności liniowych

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.

Zasada indukcji matematycznej

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Funkcje mierzalne, całka z funkcji nieujemnej, twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki

Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?

1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji.

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/10

Prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne

Algebra. Jakub Maksymiuk. lato 2018/19

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe

Ciągłość funkcji f : R R

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera

Topologia I Wykład 4.

Indukcja matematyczna

Chcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM.

Zbiory liczbowe widziane oczami topologa

f(t) f(x), D f(x) = lim sup t x oraz D f(x) = lim inf

1 Określenie pierścienia

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Funkcje. Granica i ciągłość.

SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.

Wykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf

Rekurencyjna przeliczalność

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i

Skończone rozszerzenia ciał

Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.

Zbiory wypukłe i stożki

14. Przestrzenie liniowe

σ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F;

ANALIZA MATEMATYCZNA 2005/06, semestr 1. Tadeusz Rzeżuchowski

MNRP r. 1 Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa (wykład) Grzegorz Kowalczyk

Elementy Teorii Miary i Całki

Wyk lad 2 Podgrupa grupy

ZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: F(x) = sin(x),

Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik

Statystyka Astronomiczna

1 Podstawowe oznaczenia

Grupy, pierścienie i ciała

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1

O pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)

Uwaga 1. Zbiory skończone są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tyle samo elementów.

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

Transkrypt:

I kolokwium ze Wstępu do Teorii Miary 17.11.05 Grupa A 1. (a)udowodnić,żelim(a n B n ) lima n limb n. (b) Znaleźć granice górną i dolną ciągu zbiorów: ( A n = ( 1) n 1,1 ( 1)n 1 ) [3,4+( 1) n ). n n a)x lim(a n B n )wtedyitylkowtedy,gdyxnależydonieskończenie wieluprzekrojówa B.Alewtedyx A n dlanieskończeniewieluni x B n dlanieskończeniewielun.zatemnależyjednocześniedolima n ilimb n. b)dlakażdegoxzprzedzialu(0,1)istniejetakien,żedlan>n 0 zachodzi 1 n <x<1 1 n.zatem(0,1) lima n.punktyzodcinka[3,5] nienależądoa n dlanieparzystych,aspoza(0,1) [3,5]nienależądo A n dlaparzystychn(zwykledlażadnych),więc(0,1)=lima n. Dodatkowo,punkty0,1należądoA n dlanieparzystychn,aprzedział [3,5]zawierasięwA n dlaparzystychn.punktyz(,0) (1,3) (5, )należądoconajwyżejskończeniewielua n,więclima n =[0,1] [3,5]. 2. Znaleźć σ-ciało generowane w Z przez rodzinę wszystkich trzyelementowychzbiorówpostaci{2n,2n+1,2n+2}(n Z).Odpowiedźuzasadnić. Dowiedziemy,żejestto2 Z,czylirodzinawszystkich podzbiorów Z. Jest jasne, że jest to σ-ciało, bo skoro zawiera wszystkie podzbiory Z, to jest zamknięte na wszystkie możliwe operacje mnogościowe. Oczywiście, zawiera też zbiory trzyelementowe danej postaci, bo zawiera wszystkie podzbiory. Wystarczy więc uzasadnić, że każdy zbiór dasięuzyskaćztrzyelementowychzbiorówpostaci{2n,2n+1,2n+2} przez działania nie wyprowadzające(ogólnie) poza σ-ciało. Ponieważ każdy podzbiór Z jest przeliczalną sumą zbiorów jednoelementowych, wystarczy wygenerować zbiory jednoelementowe. Dlanparzystych,czylipostacin=2k,mamy {n}={2k,2k+1,2k+2} {2k 2,2k 1,2k}, zatem potrafimy wygenerować singletony parzyste. Wobec tego dla n nieparzystych,n=2k+1,możemyzapisać {n}={2k,2k+1,2k+2}\{2k}\{2k+1}, 1

co kończy dowód. 3. Zdefiniujmy σ-ciało borelowskie B na R jako najmniejsze σ-ciało zawierające wszystkie przedziały otwarte. Udowodnić, że B jest generowane przezrodzinę{(,q]:q Q}. Oznaczmy przez A σ-ciało generowane przez daną rodzinę.zauważmy,żedlakażdejliczbya Rmamy (,a)= (,q n ], gdy(q n )jestrosnącymciągiemliczbwymiernychzbieżnymdoa.podobnie, (,a]= (,q n ], gdy(q n )jestmalejącymciągiemliczbwymiernychzbieżnymdoa.zatempółproste(,a),(,a]należądoadlawszystkicha R. Ponieważ,dladowolnycha<b Rmamy (a,b)=(,b) ( (,a] ) c, każdyprzedziałotwartymusinależećdoa.czylib A. Z drugiej strony,(q, ) można zapisać, na przykład, jako przeliczalną sumęprzedziałowotwartych (q,q+n).zatem(,q]=(q, ) c należydob,czylia B. 4. Niech(X, F) będzie przestrzenią mierzalną. Ustalmy skończony zbiór {x 1,...,x k } X.Czyfunkcjazbioruµ:F [0, ]określonawzorem jest miarą? µ(a)= k A(x i ) Miara jest nieujemną przeliczalnie addytywną funkcją zbioru spełniającą przypisująca zbiorowi pustemu 0. Skoro µ jest sumąwartościfunkcjinieujemnych,tojestnieujemna.ponadto (x)=0 dlakażdegox,więcµ( )=0.Rozważmyterazciąg(A n )zbiorówparamirozłącznych.niecha= A n.dlakażdego,...,kmamy A(x i )=1wtedyitylkowtedy,gdyistniejetakin(k),że An(k) (x i )=1. Zatem k k A(x i )= A n(k) (x i ) 2

Co więcej, taki n może być tylko jeden dzięki rozłączności, więc k k A n(k) (x i )= A n (x i ). Zamieniając kolejność sumowania na mocy twierdzeń o arytmetyce granic,mamyµ(a)= A n. 5. Które z poniższych zdań są fałszywe, a które prawdziwe? Odpowiedzi nie trzeba uzasadniać. Za dobrą odpowiedź dodajemy 1 punkt, za złą odejmujemy 1 punkt. Brak odpowiedzi nie jest punktowany. (a)jeślia n jestwstępującymlubzstępującymciągiemzbiorówmierzalnych(wpewnejprzestrzenimierzalnej),tolima n jestzbiorem mierzalnym. (b) Każde σ-ciało jest rodziną monotoniczną. (c)µ(a\b)=µ(a) µ(b). (d)jeśliµjestmiarąi A n =,toµ( A n )= µ(a n ). (e)zbiorytypuf σ sąborelowskie. T(wtedy granice są odpowienio przeliczalną sumą lub przeliczalnym przekrojem); T(skoro jest zamknięte na wszystkie przeliczalne sumy i przekroje, to tym bardziej na monotoniczne); N(niejesttaknp.gdyA B= iµ(b)>0); N(za słabe założenie); T(F σ toprzeliczalnesumyzbiorówdomkniętych,więcborelowskich). 3

I kolokwium ze Wstępu do Teorii Miary 17.11.05 Grupa B 1. (a)udowodnić,żelima n limb n lim(a n B n ). (b) Znaleźć granice górną i dolną ciągu zbiorów: B n =( 2n, n) [ ( 1) n +2,3 ( 1)n 2 n 3 n a)jeślixnależydoa n dlaprawiewszystkichn,totymbardziejnależy doa n B n dlaprawiewszystkichb n.zatemlima n lim(a n B n ). PodobniedlaB n. b)dlakażdegoxzprzedzialu(2,3)istniejetakien 0,żedlan>n 0 zachodzi2+ 1 x<3 1.Zatem(2,3) lima 2 n 3 n n.każdaliczba ujemnanależydo( 2n, n)dlaconajwyżejskończeniewielun,akażda dodatnia, za wyjątkiem przedziału(2, 3) do co najwyżej skończenie wielu[2 1,3+ 1 ).Zatem(2,3)=limA 2 n 3 n n Dodatkowo,punkty2,3należądoA n dlanieparzystychn.punkty z(,2) (3, )należądoconajwyżejskończeniewielua n,więc lima n =[2,3]. 2. Znaleźć σ-ciało generowane w Z przez rodzinę wszystkich trzyelementowych zbiorów postaci{n, 2n, 3n}(n Z). Odpowiedź uzasadnić. Dowiedziemy,żejestto2 Z,czylirodzinawszystkich podzbiorów Z. Jest jasne, że jest to σ-ciało, bo skoro zawiera wszystkie podzbiory Z, to jest zamknięte na wszystkie możliwe operacje mnogościowe. Oczywiście, zawiera też zbiory trzyelementowe danej postaci, bo zawiera wszystkie podzbiory. Wystarczy więc uzasadnić, że każdy zbiór da się uzyskać z trzyelementowych zbiorów postaci{n, 2n, 3n} przez działania nie wyprowadzające(ogólnie) poza σ-ciało. Ponieważ każdy podzbiór Z jest przeliczalną sumą zbiorów jednoelementowych, wystarczy wygenerować zbiory jednoelementowe. Ale {n}={n,2n,3n}\{2n,4n,6n}\{3n,6n,9n}. 3. Zdefiniujmy σ-ciało borelowskie B na R jako najmniejsze σ-ciało zawierające wszystkie przedziały otwarte. Udowodnić, że B jest generowane przezrodzinę{[q, ):q Q}. ). 4

Oznaczmy przez A σ-ciało generowane przez daną rodzinę.zauważmy,żedlakażdejliczbya Rmamy (a, )= [q n, ), gdy(q n )jestmalejącymciągiemliczbwymiernychzbieżnymdoa.podobnie, [a, )= [q n, ), gdy(q n )jestrosnącymciągiemliczbwymiernychzbieżnymdoa.zatem półproste(a, ),[a, )należądoadlawszystkicha R.Ponieważ, dladowolnycha<b Rmamy (a,b)=(a, ) ( [b, ) ) c, każdyprzedziałotwartymusinależećdoa.czylib A. Z drugiej strony,(, q) można zapisać, na przykład, jako przeliczalną sumęprzedziałowotwartych (q n,q).zatem[q, )=(,q) c należydob,czylia B. 4.Niech(X,F)będzieprzestrzeniąmierzalną.Czyfunkcjazbioruµ:F [0, ] określona wzorem liczność A, gdy A jest skończony µ(a)=, w przeciwnym wypadku jestmiarą?(przyjmujemyzgodniezintuicją: + =, +a=, >adlakażdeja R.) Miara jest nieujemną przeliczalnie addytywną funkcją zbioru spełniającą przypisująca zbiorowi pustemu 0. Skoro µ jest licznością zbioru, to jest nieujemna(ewentualnie + ). Ponadto licznośćzbiorupustegowynosi0,więcµ( )=0.Rozważmyterazciąg (A n )zbiorówparamirozłącznych.niecha= A n.jeśliktóryśz A n jestnieskończony,toateż,więcmamyµ(a)= µ(a n )=. Załóżmywięc,żeA n sąskończone.jeśliajestnieskończony,tomusinieskończeniewielespośroda n musibyćniepustych.zatemszereg µ(a n )manieskończeniewieleskładnikówniemniejszychniżjeden,więc µ(a n )= =µ(a).jeślizaśajestskończony,to prawiewszystkiea n musząbyćpuste.ponieważsumalicznościdwóch (zatem i skończonej liczby) skończonych zbiorów rozłącznych jest równa liczności ich sumy, mamy tezę. 5

5. Które z poniższych zdań są fałszywe, a które prawdziwe? Odpowiedzi nie trzeba uzasadniać. Za dobrą odpowiedź dodajemy 1 punkt, za złą odejmujemy 1 punkt. Brak odpowiedzi nie jest punktowany. (a)jeśli(a n )jestciągiemzbiorówmierzalnych(wpewnejprzestrzeni mierzalnej),toliminf n A n ilimsup n A n sązbioramimierzalnymi. (b)niech{a t :t T}będziedowolną(niekoniecznieprzeliczalną) rodzinązbiorówmiaryzero.wtedyµ( t TA t )=0. (c) Przekrój rodziny σ-ciał jest zawsze σ-ciałem. (d)jeśliµjestmiarąiµ(a B)=µ(A)+µ(B),toAiBsąrozłączne. (e)zbiorytypug δ sąborelowskie. T(granice górna polegają na zastosowaniu przeliczalnego przekroju i przeliczalnej sumy); N(cała przestrzeń może być sumą zbiorów miary zero, np. dla R zbiorów jednopunktowych); T(to po prostu trzeba wiedzieć); N(przekrój może być niepusty, ale miary zero); T(G δ toprzeliczalneprzekrojezbiorówotwartych,więcborelowskich). 6