Wykład 3 -, podstawowe człony dynamiczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2019
Wstęp określają zachowanie się elementu (układu) pod wpływem ciągłych sinusoidalnych sygnałów wejściowych. W analizie układów liniowych charakterystyki częstotliwościowe są wykorzystywane do badania m.in. stabilności układów, a także określonych własności dynamicznych układów. Określają w funkcji częstotliwości: stosunek amplitudy odpowiedzi do amplitudy wymuszenia przesunięcie fazowe między odpowiedzią a wymuszeniem Rozróżnia się następujące postacie charakterystyk częstotliwościowych: charakterystyka amplitudowo-fazowa tzw. wykres Nyquista, logarytmiczna charakterystyka amplitudowa i fazowa (wykres Bode a)
Rysunek 1: Wyznaczanie charakterystyk częstotliwościowych u(t) = A 1 sin[ωt] (1) y(t) = A 2 sin[ω(t t ϕ )] (2) ω = 2π T osc (3) gdzie: A i - amplituda sygnału, ω - częstotliwość sygnału (stała dla we/wy, w przypadku układów LTI), t ϕ - opóźnienie fazy sygnału wyjściowego względem sygnału wejściowego, T osc - okres oscylacji. Przesunięcie fazowe: odpowiednio t ϕ < 0 - ujemne przesunięcie fazowe, t ϕ > 0 - dodatnie przesunięcie fazowe,
Rysunek 2: Sygnał wejściowy Rysunek 3: Sygnał wyjściowy, ujemne przesunięcie fazowe (t φ < 0)
Przesunięcie fazowe sygnału wyjściowego względem sygnału wejściowego można wyrazić jako przesunięcie w czasie ( opóźnienie fazy) o wartość t ϕ - sygnał wyjściowy opisywany jest funkcją lub jako przesunięcie kątowe y(t) = A 2 sin[ω(t t ϕ )] (4) ϕ(ω) = ωt ϕ (5) wtedy y(t) = A 2 sin[ωt ϕ] (6)
Do opisu elementów lub układów, w których występują sygnały sinusoidalnie zmienne, wykorzystuje się tzw. transmitancję widmową G(jω). Pojęcie transmitancji widmowej związane jest z przekształceniem Fouriera, które funkcji czasu f (t) przyporządkowuje transformatę F (jω) (gdzie j - jednostka urojona) zgodnie z zależnością zwaną całką Fouriera: F (jω) = f (t)e jωt (7) Transmitancja widmowa Transmitancja widmowa jest to stosunek transformaty Fouriera sygnału wyjściowego do transformaty Fouriera sygnału wejściowego. G jω = Y (jω) U(jω) (8)
Transmitancja widmowa Między transmitancją widmową, a transmitancją operatorową istnieje formalny związek G(jω) = G(s) s=jω (9) wynikający ze związku pomiędzy transformatami Laplace a i Fouriera. Przekształcenie Fouriera stanowi szczególny przypadek przekształcenia Laplace a dla s = jω (tylo część rojona).
Transmitancja widmowa Z własności transformaty Laplace a - twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie zmiennej rzeczywistej L{f (t + τ)} = L{f (t)}e τs (10) można napisać transmitancję widmową obiektu w przypadku sygnału sinusoidalnego na jego wejściu G(s) = L {A 2(ω)sin[ω(t + t ϕ )]} L {A 1 sin[ω(t)]} ponieważ = A 2(ω) L {sin[ω(t)]} e tϕs A 1 L {sin[ω(t)]} = A 2(ω) A 1 e tϕs (11) G(jω) = Y (jω) U(jω), G(jω) = G(s) s=jω, t ϕ = ϕ(ω) ω (12) to G(jω) = A 2(ω) A 1 e tϕs s=jω = A 2(ω) e tϕjω = A 2(ω) e jϕ(ω) (13) A 1 A 1
Transmitancja widmowa Transmitancję widmową zapisuje się następująco gdzie: M(ω) = A2(ω) A 1 G(jω) = A 2(ω) A 1 e jϕ(ω) = M(ω)e jϕ(ω) (14) - moduł transmitancji widmowej, ϕ(ω) - argument transmitancji widmowej. W transmitancji można wyróżnić 2 składowe gdzie: G(jω) = M(ω)e jϕ(ω) = P(ω) + jq(ω) (15) P(ω) - część rzeczywista transmitancji widmowej Q(ω) - część urojona transmitancji widmowej
Charakterystyka amplitudowo-fazowa Charakterystyka amplitudowo-fazowa Charakterystyka amplitudowo-fazowa jest to krzywa wykreślona w płaszczyźnie zmiennej zespolonej, która jest miejscem geometrycznym końca wektora transmitancji widmowej G(jω) przy zmianach ω = 0 M(ω) = [P(ω)] 2 + [Q(ω)] 2 (16) ( ) Q(ω) ϕ(ω) = arctg P(ω) (17) Rysunek 4: Charakterystyka amplitudowo-fazowa P(ω) = M(ω) cos[ϕ(ω)] (18) Q(ω) = M(ω) sin[ϕ(ω)] (19) M(ω) = P(ω) cos[ϕ(ω)] = Q(ω) sin[ϕ(ω)] (20)
Częstotliwościowe charakterystyki amplitudowa i fazowa są przedstawiane na dwóch oddzielnych wykresach: charakterystyka amplitudowa L(ω) = G(jω) w zależności od częstości ω, charakterystyka fazowa ϕ = arg G(ω) w zależności od częstości ω. Rysunek 5: Charakterystyki logarytmiczne Moduł logarytmiczny (jednostka - decybel, 20 db oznacza wzmocnienie 10- krotne, 0 db oznacza wzmocnienie jednostkowe) L(ω) = 10 log 10 M 2 (ω) = = 20 log 10 M(ω)[dB] (21)
Wstęp W złożonych układach automatyki można często wyodrębnić szereg najprostszych niepodzielnych elementów funkcjonalnych, ktorych właściwości można przyporządkować z przybliżeniem podstawowym modelom matematycznym. Abstrakcyjne elementy o właściwościach odpowiadających tym modelom nazywamy podstawowymi (elementarnymi) liniowymi członami dynamicznymi. Opis liniowych członów dynamicznych: równanie ruchu, transmitancja operatorowa, charakterystyka statyczna, odpowiedź na wymuszenie skokowe, transmitancja widmowa, charakterystyka amplitudowo - fazowa (Nyquista), logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa (Bodego),
y(t) = ku(t) (22) człon proporcjonalny (bezinercyjny) T dy(t) + y(t) = ku(t) (23) człon inercyjny T dy(t) T dy(t) T 2 d 2 y(t) = u(t), lub dy(t) y(t) = T du(t) + y(t) = T d du(t) = ku(t) (24) (25) (26) +2ξT dy(t) +y(t) = ku(t) (27) człon całkujący człon różniczkujący idealny człon różniczkujący rzeczywisty człon oscylacyjny, jeżeli 0 < ξ < 1 y(t) = u(t T 0 ) (28) człon opóźniający
Człon proporcjonalny (bezinercyjny) Równanie dynamiki - zależność pomiędzy sygnałem wejściowym i sygnałem wyjściowym systemu: U 2 (t) = R 2 R 1 + R 2 U 1 (t) (29) Rysunek 6: Człon proporcjonalny - dzielnik napięcia Sygnał wejściowy x(t) - przebieg napięcia U 1 (t). Sygnałem wyjściowy y(t) - przebieg napięcia U 2 (t). Równanie elementu bezinercyjnego y(t) = kx(t) (30)
Człon proporcjonalny (bezinercyjny) Rysunek 7: Człony proporcjonalne: a) czwórnik, b) dźwignia, c) dźwignia hydrauliczna a) U 2 (t) = R2 R 1+R 2 U 1 (t) b) y(t) = b a x(t) c) F 2 (t) = d 2 2 d 2 1 F 1 (t) Równanie ruchu y(t) = ku(t) (31) gdzie: k - wzmocnienie
Człon proporcjonalny (bezinercyjny) Równanie dynamiki y(t) = ku(t) (32) Charakterystyka statyczna y = ku (33) Transmitancja operatorowa Rysunek 8: Charakterystyka statyczna członu proporcjonalnego G(s) = Y (s) U(s) = k (34) Odpowiedź skokowa y(t) = L 1 [u st 1 s k] = ku st (35) Rysunek 9: Odpowiedź na wymuszenie skokowe członu proporcjonalnego
Człon proporcjonalny (bezinercyjny) Transmitancja widmowa G(jω) = G(s) s=jω = k (36) P(ω) = k, Q(ω) = 0 (37) M(ω) = k (38) L(ω) = 20 log k[db] (39) ϕ(ω) = 0 (40) Rysunek 10: Charakterystyka amplitudowo-fazowa
Człon proporcjonalny (bezinercyjny) Charakterystyka amplitudowa L(ω) = 20 log k[db] (41) Charakterystyka fazowa ϕ(ω) = 0 (42) Rysunek 11: Charakterystyki logarytmiczne - amplitudowa i fazowa
Człon inercyjny Równanie dynamiki - zależność pomiędzy sygnałem wejściowym i sygnałem wyjściowym systemu: L R du 2 (t) + U 2 (t) = U 1 (t) (43) Rysunek 12: Człon inercyjny - filtr RL Sygnał wejściowy x(t) - przebieg napięcia U 1 (t). Sygnałem wyjściowy y(t) - przebieg napięcia U 2 (t). Równanie elementu inercyjnego T dy(t) + y(t) = kx(t) (44)
Człon inercyjny Rysunek 13: Element inercyjny gdzie: p 1 - ciśnienie przed zwężką, p 2 - ciśnienie w zbiorniku, V - objętość zbiornika. Założenia: zmiany ciśnienia w zbiorniku są powolne i nie powodują zmian jego temperatury (przemiana izotermiczna), w zwężce występuje przepływ laminarny.
Człon inercyjny Równanie stanu gazu (prawo Clapeyrona): pv = mrθ (45) gdzie: m - masa powietrza, R - stała gazowa, Θ - temperatura. Zakładając Θ = const (46) m = p 2(t)V (47) dm(t) G = dm(t) RΘ = V RΘ dp 2 (t) (48) = α(p 1 (t) p 2 (t)) (49) gdzie: G - strumień masy, α - współczynnik proporcjonalności. ostatecznie V dp 2 (t) = α(p 1 (t) p 2 (t)) = αp 1 (t) αp 2 (t) (50) RΘ V dp 2 (t) + p 2 (t) = p 1 (t) (51) αrθ
Człon inercyjny Rysunek 14: Człony inercyjne: a) zwężka / zbiornik, b) koło zamachowe, c) czwórnik RL. Równania ruchu przykładowych elementów inercyjnych a) b) J R c) L R V dp 2(t) + p 2 = p 1 αrθ dω(t) du 2(t) + ω(t) = 1 R M(t) + U 2(t) = U 1(t) Równanie ruchu T dy(t) + y(t) = ku(t) (52) gdzie: T - stała czasowa.
Człon inercyjny Równanie dynamiki T dy(t) +y(t) = ku(t) (53) Charakterystyka statyczna y = ku (54) Transmitancja operatorowa G(s) = Y (s) U(s) = k Ts + 1 (55) Odpowiedź skokowa y(t) = L 1 1 k [u st s Ts + 1 ] ) = u st k (1 e t T (56) Rysunek 15: Charakterystyka statyczna członu inercyjnego Rysunek 16: Odpowiedź na wymuszenie skokowe członu inercyjnego
Człon inercyjny Rysunek 17: Odpowiedź na wymuszenie skokowe członu inercyjnego
Człon inercyjny Transmitancja widmowa G(jω) = G(s) s=jω = P(ω) = k Ts + 1 k s=jω = = P(ω) + jq(ω) (57) Tjω + 1 k kt ω T 2 ω 2, Q(ω) = + 1 T 2 ω 2 + 1 (58) Rysunek 18: Charakterystyka amplitudowo-fazowa, (ω s - częstotliwość sprzęgająca)
Człon inercyjny Charakterystyka amplitudowa k M(ω) = (59) T 2 ω 2 + 1 L(ω) = 20 log k 20 log T 2 ω 2 + 1[dB] (60) dla dla ω 1 = ωs T (61) L(ω) = 20 log k[db] (62) ω 1 = ωs (63) T L(ω) = (20 log k 20 log T 2 ω 2 + 1)[dB] (64) Charakterystyka fazowa ϕ = arctg(t ω) (65) Rysunek 19: Charakterystyki logarytmiczne - amplitudowa i fazowa
Człon całkujący Równanie dynamiki - zależność pomiędzy sygnałem wejściowym i sygnałem wyjściowym systemu: t U 2 (t) = 0 U 1 (t) (66) RC Rysunek 20: Człon całkujący - filtr RC/op-amp Równanie członu całkującego Sygnał wejściowy x(t) - przebieg napięcia U 1 (t). Sygnałem wyjściowy y(t) - przebieg napięcia U 2 (t). y(t) = 1 T t 0 x(t) (67)
Człon całkujący Rysunek 21: Człony całkujące: a) serwonapęd hydrauliczny, b) przekładnia rolkowa.
Elementy całkujące a) { } 2 Q = αb ρ (p z p s ) x(t) = Bx(t) (68) Równanie ruchu Q 1 = Q 2 = Bx(t) = A dy(t) T dy(t) = u(t) (72) (69) A dy(t) lub = x(t) (70) dy(t) B = ku(t) (73) b) T ϕ(t) = ω x(t) (71) r
Człon całkujący Równanie dynamiki T dy(t) = u(t) (74) Charakterystyka statyczna u = 0 (75) Transmitancja operatorowa Rysunek 22: Charakterystyka statyczna członu całkującego G(s) = Y (s) U(s) = 1 Ts (76) Odpowiedź skokowa y(t) = L 1 [u st 1 s 1 Ts ] = u t st T (77) Rysunek 23: Odpowiedź na wymuszenie skokowe członu całkującego
Człon całkujący Transmitancja widmowa G jω = G(s) s=jω = 1 Ts s=jω = 1 Tjω = j 1 T ω P(ω) = 0, Q(ω) = 1 T ω (78) (79) Rysunek 24: Charakterystyka amplitudowo-fazowa członu całkującego
Człon całkujący M(ω) = 1 T ω charakterystyka amplitudowa (80) L(ω) = 20 log 1 T ω = 20 log T ω[db] (81) charakterystyka fazowa ϕ(ω) = arctg 1 T ω 0 (82) = arctg( ) = π 2 Rysunek 25: Charakterystyki ogarytmiczne - amplitudowa i fazowa
Człon różniczkujący - idealny a) Prądnica tachometryczna Rysunek 26: Człon różniczkujący - prądnica tachometryczna b) Dozownik cieczy U y (t) = dθ(t) (83) Rysunek 27: Człon różniczkujący - dozownik cieczy Q(t) = A dx(t) (84)
Człon różniczkujący - idealny Równanie dynamiki y(t) = T d du(t) (85) Charakterystyka statyczna y = 0 (86) Rysunek 28: Charakterystyka statyczna członu różniczkującego idealnego Transmitancja operatorowa G(s) = Y (s) U(s) = T ds (87) Odpowiedź skokowa y(t) = L 1 [u st 1 s T ds] = u st T d δ(t) (88) Rysunek 29: Odpowiedź na wymuszenie skokowe członu różniczkującego idealnego
Człon różniczkujący - idealny Transmitancja widmowa G jω = T d s s=jω = jt d ω (89) P(ω) = 0, Q(ω) = T d ω (90) Rysunek 30: Charakterystyka amplitudowo-fazowa członu różniczkującego idealnego
Człon różniczkujący - idealny Charakterystyka amplitudowa M(ω) = T d ω (91) L(ω) = 20 log T d ω[db] (92) Charakterystyka fazowa ϕ(ω) = arctg T dω 0 (93) = arctg( ) = π 2 Rysunek 31: Charakterystyki logarytmiczne - amplitudowa i fazowa
Człon różniczkujący - rzeczywisty Równanie dynamiki - zależność pomiędzy sygnałem wejściowym i sygnałem wyjściowym systemu: RC du 2(t) + U 2 (t) = RC du 1(t) (94) Rysunek 32: Człon różniczkujący (rzeczywisty) - filtr RC Sygnał wejściowy x(t) - przebieg napięcia U 1 (t). Sygnałem wyjściowy y(t) - przebieg napięcia U 2 (t). Równanie członu różniczkującgo (rzeczywistego) T dy(t) du(t) +y(t) = T d (95)
Człon różniczkujący - rzeczywisty a) amortyzator [ du(t) A dy(t) ] = Q = k p (96) pa = Cy(t), p = C A y (97) A 2 dy(t) + y(t) = A2 du(t) kc kc T dy(t) + y(t) = T d du(t) (98) (99) Rysunek 33: Człon różniczkujący (rzeczywisty) - amortyzator
Człon różniczkujący - rzeczywisty Równanie dynamiki T dy(t) du(t) + y(t) = T d, (100) k d = T d T Charakterystyka statyczna (101) y = 0 (102) Transmitancja operatorowa G(s) = Y (s) U(s) = T d s Ts + 1 Odpowiedź skokowa y(t) = L 1 [u st 1 s (103) T d s Ts + 1 ] = T d ust T e T t Rysunek 34: Charakterystyka statyczna członu różniczkującego rzeczywistego - wzmocnienie dyna- k d = T d T miczne. = u stk d e t T (104) Rysunek 35: Odpowiedź na wymuszenie skokowe członu różniczkującego rzeczywistego
Człon różniczkujący - rzeczywisty Transmitancja widmowa G jω = T ds Ts + 1 s=jω = T djω Tjω + 1 P(ω) = T dt ω 2 T 2 ω 2 + 1, Q(ω) = T dω T 2 ω 2 + 1 (105) (106) Rysunek 36: Charakterystyka amplitudowo-fazowa członu różniczkującego rzeczywistego
Człon różniczkujący - rzeczywisty Charakterystyka amplitudowa M(ω) = T d ω T 2 ω 2 + 1 (107) L(ω) = [20 log T d ω 20 log T 2 ω 2 + 1] (108) Charakterystyka fazowa ϕ(ω) = arctg 1 T ω = π arctg(t ω) 2 (109) Rysunek 37: Charakterystyki logarytmiczne - amplitudowa i fazowa
Człon oscylacyjny Równanie dynamiki - zależność pomiędzy sygnałem wejściowym i sygnałem wyjściowym systemu: LC d 2 U 2(t) 2 +RC du2(t) +U 2(t) = U 1(t) (110) Rysunek 38: Człon oscylacyjny - filtr RLC Sygnał wejściowy x(t) - przebieg napięcia U 1 (t). Sygnałem wyjściowy y(t) - przebieg napięcia U 2 (t). Równanie czlonu oscylacyjnego T 2 d 2 y(t) 2 +2ξ dy(t) +y(t) = ku(t) (111)
Człon oscylacyjny Rysunek 39: Człony oscylacyjne: a) pneumatyczny ustawnik pozycyjny, b) czwórnik RLC
Człon oscylacyjny a) ustawnik pozycyjny m d 2 y(t) 2 + B dy(t) + Cy(t) = Ap(t) (112) m d 2 y(t) C 2 + B dy(t) + y(t) = A p(t) (113) C C Równanie ruchu T 2 d 2 y(t) 2 + 2ξ dy(t) + y(t) = ku(t) (114)
Człon oscylacyjny b) czwórnik RLC U 3 (t) = I (t)r (115) di (t) U 4 (t) = L (116) I (t) = C du 2(t) (117) U 1 (t) = U 2 (t) + U 3 (t) + U 4 (t) (118) LC d 2 U 2 (t) 2 + RC du 2(t) + U 2 (t) = U 1 (t) (119) Równanie ruchu T 2 d 2 y(t) 2 + 2ξ dy(t) + y(t) = ku(t) (120)
Człon oscylacyjny Równanie ruchu lub T 2 d 2 y(t) 2 1 ω 2 0 d 2 y(t) 2 + 2ξ dy(t) + y(t) = ku(t) (121) + 2ξ dy(t) + y(t) = ku(t) (122) ω 0 d 2 y(t) dy(t) 2 + 2ξω 0 + ω 2 0y(t) = kω0u(t) 2 (123) gdzie: 0 < ξ < 1 - współczynnik tłumienia, ω 0 - pulsacja drgań nietłumionych. Charakterystyka statyczna y = ku (124)
Człon oscylacyjny Transmitancja operatorowa G(s) = Y (s) U(s) = k T 2 s 2 + 2ξTs + 1 (125) Odpowiedź skokowa = ku st [1 G(s) = Y (s) U(s) = kω 2 0 s 2 + 2ξω 0 s + ω 2 0 (126) [ y(t) = L 1 1 kω 2 ] 0 u st s s 2 = + 2ξω 0 s + ω 0 1 ( ) ] (127) 1 ξ 2 e ξω0t sin ω 0 1 ξ2 t + φ φ = arctg 1 ξ 2 ξ (128)
Człon oscylacyjny Rysunek 40: Odpowiedź skokowa członu oscylacyjnego
Człon oscylacyjny Rysunek 41: Wpływ wartości współczynnika tłumienia ξ na charakter odpowiedzi skokowej członu oscylacyjnego
Człon oscylacyjny Transmitancja widmowa G(jω) = kω2 0 [(ω2 0 ω2 ) j2ξω 0 ω] (ω 2 0 ω2 ) 2 + (2ξω 0 ω) 2 (129) P(ω) = kω 2 0 [(ω2 0 ω2 )] (ω 2 0 ω2 ) 2 + (2ξω 0 ω) 2 (130) k[2ξω0 3 Q(ω) = ω] (ω0 2 (131) ω2 ) 2 + (2ξω 0 ω) 2 Charakterystyka amplitudowa kω 2 0 M(ω) = (ω0 2 (132) ω2 ) 2 + (2ξω 0 ω) 2 [ ] L(ω) = 20 log kω0 2 20 log (ω 20 ω2 ) 2 + (2ξω 0 ω) 2 (133) Charakterystyka fazowa ϕ = arctg 2ξω 0ω ω 2 0 ω2 (134)
Człon oscylacyjny Rysunek 42: Charakterystyka amplitudowo-fazowa Rysunek 43: Charakterystyki logarytmiczne - amplitudowa i fazowa
Człon opóźniający Rysunek 44: Człon opóźniający - transporter taśmowy gdzie: Q 1, Q 2 - strumienie masy na początku i na końcu transportera. Q 2 (t) = Q 1 (t T 0 ), T 0 = L v (135) Równanie ruchu y(t) = u(t T 0 ) (136)
Człon opóźniający Równanie dynamiki y(t) = u(t T 0 ) (137) gdzie: T 0 - opóźnienie transportowe. Charakterystyka statyczna y = u (138) Rysunek 45: Charakterystyka statyczna członu opóźniającego Transmitancja operatorowa G(s) = Y (s) U(s) = e T0s (139) Odpowiedź skokowa y(t) = L 1 [u st 1 s e T0s ] = u st 1(t T 0 ) (140) Rysunek 46: Odpowiedź na wymuszenie skokowe członu opóźniającego
Człon opóźniający Transmitancja widmowa G(jω) = e jt0ω (141) P(ω) = cos ( T 0 ω) (142) Q(ω) = sin ( T 0 ω) (143) Rysunek 47: Charakterystyka amplitudowo-fazowa
Człon opóźniający Charakterystyka amplitudowa M(ω) = 1, L(ω) = 0 (144) Charakterystyka fazowa ϕ(ω) = T 0 ω (145) Rysunek 48: Logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa
Wykład 3 -, podstawowe człony dynamiczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2019