Reprezeacja rzywych... Reprezeacja przy pomocy fcj dwóch zmeych rzywe płase płase - jedej: albo z z f x y x [ x x2] y [ y y2] f x y g x x [ x x2] Wady: rzywe óre dla pewych x y mogą przyjmować wele warośc z rzeba reprezeować w posac segmeów; bra waracj ze względ a obroy; Reprezeacja przy pomocy fcj właej: F x y z Wady: dae rówae może meć węcej ż jedo rozwązae wedy rzeba zadać war dodaowe - dzelć rzywą a segmey co z pam slejea rzywej? - gładość rzywej jes częso lczowa! Zaley ob meod: ławo oreślć położee p wzgl. rzywej ławo oblczyć ormalą do rzywej
... reprezeacja rzywych Reprezeacja paramerycza: Q x y z [ a b] gdze x y z są cagłym fcjam zmeej. rzyład - la śrbowa: Q r cos h r s Tę samą rzywą moża parameryzować w róży sposób. Dwa przedsawea paramerycze rzywej Q: Q [ab] Q 2 τ τ [αβ] są rówoważe gdy seje cągła emalejąca fcja τ :[αβ] [ab] aa że Q τ Q 2 τ. rzedsawea rówoważe dają ę samą rzywą z jedaowym porządowaem pów. Krzywą moża podzelć a fragmey pam a < < 2 <... < b ażdy z fragmeów raować osobo. Wprowadza sę parameryzację loalą: + + []
Krzywe paramerycze... Weor syczy do rzywej Q x y z w pce : dq dx dy dz d d d d rzyład - dla l śrbowej weor syczy o [-r s h r cos ] osoblwy o a w órym pochoda rzywej Q e seje lb jes weorem zerowym. Dłgoś ć ł rzywej wyzacza sę ze wzor: s b a + + dq dx dy dz d d b a d rzyład: dłgość l śrbowej w przedzale [T] o T 2 2 2 s... / d T r + h 2 d 2 d 2 / 2 d
... rzywe paramerycze... Moża zaleź ć odwroość fcj s s zaleź ć przedsawee rzywej w parameryzacj łowej Q Qs Qs. Dla l śrbowej: s h s Q s r cos s r s 2 2 2 2 2 2 r + h r + h r + h Nech będze pem eosoblwym a rzywej parameryczej Q a R pem leżącym a ej rzywej w oocze. Krzywzę rzywej parameryczej Q oreślamy jao ϕ κ lm R h gdze ϕ jes ąem mędzy syczym do rzywej w pach R a h - dłgoścą ł rzywej mędzy m. Jeśl rzywa jes lasy C 2 o rzywza jes oreśloa w ażdym jej pce. aram. łowa: κ 2 d Q 2 ds rzyład - dla l śrbowej: aram. dowola: κ r 2 κ r + h 2 Q& Q& Q&
... rzywe paramerycze. Ie przyłady rzywych parameryczych: welomay erpolacyje Lagrage'a Herme'a rzywe slejae rzecego sopa rzywe Bezera rzywe slejae yp B B-sple... Zadaem jes zalezee ja ajlepszego dopasowaa rzywej zadaej lasy p. weloma do zadaych z góry warośc pów erpolacj. rzyładowo możemy chceć ja ajlepej odworzyć przebeg fcj zając jej warośc w pewych pach FIZYKA!. Zadaem jes modelowae rzywej a węc worzee zpełe owego szał e racąc przy ym możlwośc ścsłego maemayczego jej ops p. oblczea całe pochodych ec.
Krzywe Bezera - wsęp. Krzywą Bezera Q defjemy jao ombację lową Q B + [] welomaów Bersea B [] y azywamy pam orolym a łamaą óra je łączy - łamaą Bezera. rzyład - rzywe Bezera rzecego sopa : Q + 2 2 + + 2 Własośc: Q Q Q Q 2
Welomay Welomay Bersaa Bersaa Najważejsze własośc: Z dwóch perwszych wya że rzywa Bezera leży wewąrz powło wypłej swoch pów orolych. Trzeca własość pozwala oblczyć położee p leżącego a rzywej rysowae!. [] B B B B B dla B B + Ogóle dla dowolego zachodz: a węc Q Q.!! B Q d d Q Q
Algorym De Caselja oblcz warość odpowadającą loalej parameryzacj: - / -. dla... podsaw dla j 2... dla j j+... j - -j- + j- Każdy p owej olmy powsaje poprzez podzał w sos : - odca łączącego dwa py z olmy poprzedej. Moża doweść że p leży a rzywej Bezera dzel ją a dwa segmey o pach orolych 22... oraz... Μ 2 Μ Ο Ν 22 2 2 2
Łączee rzywych Bezera Dwe rzywe Bezera mają połączee lasy C w pce jeśl zarówo obe rzywe ja ch pochode są rówe aż do rzęd włącze. Iaczej mówąc sycze do ych rzywych są współlowe mają rówe dłgośc. Dwe rzywe Bezera mają połączee lasy G w pce jeśl żądamy aby sycze były współlowe ale eoecze rówe. W programch grafczych częso mamy możlwość zapewea cągłośc G czy awe C ale e wyższej ograczea a położea pów orolych!. rzyład: erpolacja zadaych pów rzywą slejaą lasy C sładającą sę z segmeów będących rzywym Bezera rzecego sopa p. CorelDraw!.
Ierpolacja... Mamy zadae py 2... odpowające m warośc parame. zamy rzywej Q o własoścach: w ażdym z przedzałów [ + ] Q jes welomaem sopa Q erpolacja! Q jes lasy C Krzywa Q e jes oreśloa jedozacze! Możlwe rozwązae: w ażdym podprzedzale rzywą Q zadamy przy pomocy rzywej Bezera rzecego sopa. Zdefowae segmey slemy a aby zysać cągłość lasy C. Dla segme Bezera od - do rzeba dooreślć dwa py: -2/ oraz -/ a aby zachodzło -/ +-2/ czyl rówość współlowość syczych.
... erpolacja... erpolacja Moża poazać że sycza w pce gdze aomas dla pów brzegowych Teraz możemy oreślć py -/ -2/ 2...: c c s α α + + + + + c α 2 2 s c s s c s s s / 2 2/ + Kere syczej s w pce doberamy a aby porywał sę o z erem syczej do parabol wyzaczoej przez py - + warośc - + paramer.
Uogólea W programach CAD czeso oczeje sę aby modelowae rzywe były odpowedo wysoej lasy oblczea!. lejae rzywe Bezera moża ogólć zdefować rzywe óre będą mały zaley rzywych Bezera dodaowo aomaycze będą spełały odpowede war cągłośc: jedorode rzywe slejae yp B B-sple ejedorode rzywe B-slejae ejedorode wymere rzywe B-slejae NURB - ezmeczość wzgl. rzowaa Te osae pozwalają worzyć w zasadze dowole szały rzywe sożowe rzywe welomaowe prose a aże rzywe z osrzam.
Krzywe Bezera - wag Krzywa Bezera e zależy od er 'przeglądaa' pów orolych ch olejość gra soą rolę!. Zmaa jedego p orolego powodje zmaę całej rzywej. Najczęścej sosje sę węc rzywe Bezera rzecego sopa - rzywe wyższego sopa rdo 'agąć' do oczewaego szał. owyższych wad pozwalają ąć łączoe rzywe Bezera choć ajlepej byłoby żyć B- sple'ów - aczej łopoy z cągłoścą!. Kosrcja rzywej Bezera jes afcze ezmecza - obraz pów po dowolym przeszałce afczym wyzacza obraz rzywej po ym przeszałce! rzy oblcza wel pów a rzywej Bezera może opłacać sę przejść od bazy welomaów Bersea do bazy aralej sorzysać z ogóloego algorym Horera.
owerzche paramerycze rzedsawee paramerycze powerzch: x y z x y z - cągłe fcje zmeych z dzedzy D ajczęścej jes o 'prosoą' [ ] [ ] - mówmy wedy o płace powerzch. Usalając warość jedego z paramerów p. R orzymjemy pewą rzywą param. leżącą a powerzch - zw. lę współrzędej Q x y z R aalogcze dla saloego. aramery są azywamy współrzędym rzywolowym p powerzch. Weor syczy do l współrzędej x R y R z R Weor syczy do l współrzędej - podobe. Weor ormaly do powerzch R R R
Iloczy esorowy rzywych Nech F będze parameryczym przedsaweem rzywej w baze F. Nech ażdy ze współczyów porsza sę po pewej rzywej órą moża zapsać jao ombację fcj bazowych G j m odsawając wzór drg do wzor perwszego orzymjemy przedsawee powerzch w posac loczy esorowego dwóch rodz rzywych m G F Iloczyy G j F są fcjam bazowym. [ ] G [ ] j j j j j Borąc róże rodzaje fcj F G orzymamy róże rodzaje powerzch p. welomaowe powerzche erpolacyje Lagrage'a.
owerzche owerzche Bezera Bezera...... Iloczy esorowy welomaów Bersea oreśla pła powerzch Bezera: aramery leżą w prosoące [ ] [ ] q r są parameram loalym. y j są pam orolym płaa. m j m j j r B q B Zwąze mędzy pam orolym a waroścam bbczej powerzch Bezera jej pochodych w pach arożych: 2 2 22 2 2 2 2
Własośc płaów Bezera Węszość własośc rzywych Bezera daje sę ogólć a płay Bezera: Na ogół ylo py m m leżą a płace powerzch ła Bezera leży w powłoce wypłej pów orolych sycze do płaa a brzegach zależą ylo od dwóch brzegowych werszy olm pów orolych p. dla m m j j B j r Dodaowo: j Brzeg płaa są rzywym Bezera orolowaym przez odpowede brzegowe py orole ogólej - dowola la współrzędej jes rzywą Bezera o pach orolych m j m jb j r
... powerzche Bezera leżący a płace powerzch Bezera moża wyzaczyć sosjąc weloroe alg. De Caselja: ajperw oblczamy py orole l współ-rzędej a poem wyzaczamy p leżący a ej l może być aej przejść do bazy aralej alg. Horera. Iy sposób - dzelee płaa Bezera a czery mejsze płay p a rzywej dzel ją a dwa segmey z odpowedm pam orolym. Jeśl oocza wypła pów orolych jes dosaecze płasa o możemy pła przyblżyć płaszczyzą waga a zw. cracg problem. Łączee płaów Bezera: dla zapewea cągłośc wysarcza aby brzegowe py orole ob płaów poryły sę. dla zapewea cągłośc lasy C rzeba zapewć współlowość rówość warośc odpowedch pochodych a brzegach płaów - arzca o ograczea a położea dalszych pów orolych.
Łączee płaów Łączee dwóch płaów Bezera Łączee rzech płaów Bezera Zapewamy cągłość C Zapewamy cągłość C Zapewamy cągłość C Zapewamy cągłość C
Ie rodzaje powerzch Trójąe płay Bezera a a - o da sę zrobć owerzche B-slejae zacze bardzej elasycze ż powerzche Bezera - węsze możlwośc modelowaa p. osrza rawędze owerzche Coosa odwarzamy powerzchę mając zadae dwe pary rzywych a brzegach owerzche Gordoa odwarzamy powerzchę mając zadae dwe rodzy rzywych przecających sę