Laboaoim Podsaw Inżynieii Seowania Ćwiczenie: Seowanie opymalne. Cel laboaoim Pzedsawienie zaadnienia seowania opymalneo w sysemach liniowych z wadaowym wsaźniiem jaości. Zapoznanie się z poamem symljącym działanie eo yp elaoa zawaym w pli L4_opymal_poam.zip i pzeesowanie jeo własności oeślenie óżnych paameów wadaoweo wsaźnia jaości czas symlacji wanów począowych połączone z oceną jaości seowania na podsawie zysanej doładności osiąnięcia cel oaz osz seowania. Poam en zosał swozony w amach pacy maisesiej p. Seowanie opymalne z wadaowym wsaźniiem jaości pzez m. inż. omasza Mzyłóda pod ieniem pof. d hab. inż. Pioa lczycieo.. Podsawowe pojęcia Dany jes obie opisany ównaniem óżniczowym: dzie: f n-wymiaowy weo san p-wymiaowy weo seowania Sładowe f i weoa f są fncjami ciąłymi i ich pochodne cząsowe oaz pzedziałami ciąłe wzlędem ij= n. Weo san jes dosępny. f i j są ciąłe wzlędem i Sładowe i i= p weoa seowania są fncjami oaniczonymi pzedziałami ciąłymi. W oólnym pzypad można założyć eż że spełniają one oaniczenia posaci:... dla i= m i p Seowanie óe spełnia oaniczenia nazywa się seowaniem dopszczalnym a zbió wszysich aich seowań oznacza się jao D zbió seowań dopszczalnych. Niech dany będzie wsaźni jaości J óy najczęściej wysępje w posaci: a Całowej: J f d 3 dzie: f jes fncją óżniczowalną nazywaną fncją sa chwilowych
jes chwilą ońcową seowania. b Fncji san ońcoweo: J G 4 dzie: G fncja salana san ońcoweo = óa spełnia aie same założenia ja sładowe f i weoa f. W szczeólnym pzypad dy f wsaźni jaości pzyjmje posać: J d 5 i jes jednym z najważniejszych obo wadaoweo wsaźnia jaości a zaadnienie o oeślane jes mianem seowania czasoopymalneo. Wsaźnii jaości z pn widzenia analizy maemaycznej nazywa się fncjonałami zn. fncjami óych amenami są fncje a waościami liczby zeczywise. Zadanie seowania opymalneo wiąże się z pewnymi wanami óe są nałożone na: a ajeoie san między innymi na = san począowy i = san ońcowy b czas wania seowania -. Ze wzlęd na czas począowy i ońcowy na ajeoie moą być nałożone óżne wani np. a = san począowy i = san ońcowy są zadane b = san począowy zadany san ońcowy swobodny c = san począowy zadany san ońcowy spełnia wane: n i dzie i sałe współczynnii i i d weo san spełnia nasępjące oaniczenia: a pzy czym a jes daną liczbą i lb oólniej h h jes daną fncją salaną e weo san spełnia nasępjące oaniczenia całowe: i d a lb i a dzie a jes daną liczbą dodanią. Seowaniem opymalnym op nazywa się seowanie należące do zbio seowań dopszczalnych D óe dla danych ównań obie z oaniczeniami minimalizje wsaźni jaości 3 czyli ealizje:
min J. 6 D Innymi słowy zadanie seowania opymalneo spowadza się do wyznaczenia seowania opymalneo op ze zbio seowań dopszczalnych D dla óeo wsaźni jaości 3 pzyjmje posać minimalną dla ład dynamiczneo opisaneo ównaniem. Synezą elaoa opymalneo oeśla się zadanie poleające na wyznaczeni związ pomiędzy seowaniem opymalnym op a weoem san i czasem óe pozwalają na wyznaczenie seowania opymalneo w ładzie zamnięym... Seowanie opymalne dla ładów liniowych z wadaowym wsaźniiem jaości Dany jes liniowy niesacjonany ład dynamiczny opisany ównaniem: y C 7 z waniem począowym: dzie: jes n-wymiaowym weoem san jes p-wymiaowym weoem seowania y jes m-wymiaowym weoem wyjścia. jes maciezą san o wymiaach n n jes maciezą seowań o wymiaach n p C jes maciezą wyjścia o wymiaach m n Na weo seowania nie są nałożone żadne oaniczenia a elemeny maciezy C są ciąłymi oaniczonymi fncjami czas. Pzyjmjąc że dany jes m-wymiaowy weo z o zadaniem elaoa będzie a seować obieem óy jes opisany ównaniami 7 aby weo synałów wyjściowych y był ja najbadziej zbliżony do weoa z óy nazywany jes weoem żądanych synałów wyjściowych. óżnice między ymi dwoma weoami są zdefiniowane jao weo chyb e óy pzedsawia wzó: e z y 8 Celem elaoa jes więc znalezienie aieo seowanie pzy óym chyb e jes najmniejszy. 3
Seowanie opymalne będzie posziwane pzy życi wadaoweo wsaźnia jaości. Fncjonał en pzyjmje posać: J e Fe e Q e d 9 dzie: F o maciez dodanio półoeślona** o wymiaach m m i współczynniach niezależnych od czas Q o maciez dodanio półoeślona o wymiaach m m óej elemeny są ciąłymi oaniczonymi fncjami czas o maciez dodanio oeślona o wymiaach p p óej elemeny są ciąłymi oaniczonymi fncjami czas chwila ońcowa jes zadana. **zeczywisa symeyczna maciez M jes dodanio półoeślona jeżeli a Ma dla wszysich a e Fe oeśla się jao osz ońcowy óeo zadaniem jes zapewnienie małej waości chyb e w chwili ońcowej. Im waość maciezy F jes więsza ym badziej oczeje się ja najmniejszej waości chyb w chwili ońcowej. Jeśli waość e w chwili ońcowej nie jes szczeólnie isona w czasie pojeowania ład pzyjmje się F. e Q e o ównież osz wyniający z niezachowania eżim echnoloiczneo. ędzie on mały iedy odpowiadający m chyb e jes niewieli w szczeólnym pzypad dla e= mówi się o ba oszów eo yp. W ej syacji say jaie ponosi ład pzy dżych chybach są znacznie więsze od ych óe wysępją pzy małych chybach. Gdyby maciez F oaz Q były jemnie oeślone o minimalizacja fncjonał odbywałaby się dla ja najwięszeo chyb e co nie byłoby zodne z oczeiwaniami. - wyażenie o sanowi ocenę oszów seowania pzy czym aje się je ównież jao eneię eleyczną zżyą w pzedziale czas [ ] łmaczenie: pzyjmjąc że jes wielością popocjonalną do pąd lb napięcia jes analoicznie popocjonalne do mocy a d - do eneii aconej w pzydziale czas [ ]. 4
5 Założenie o dodaniej oeśloności maciezy w ej syacji jes zodne z wanowaniami ealnych pocesów zapewnia że oszy seowania są dodanie dla wszysich. Wymaanie aby było maciezą dodanio oeśloną a nie dodanio półoeśloną sanowi wane isnienia seowania o sończonej waości... Zaadnienie sabilizacji san Zaadnienie o doyczy zymywania san ład w pobliż zea pzy ja najmniejszym zżyci eneii. a sfomłowany poblem synezy elaoa opymalneo może być ozwiązany z wyozysaniem zasady masimm Poniaina. Wyznaczenie seowania opymalneo ealizjąceo zaadnienie sabilizacji san pzedsawia poniższy aloym.. Dla daneo ład nielinioweo opisaneo ównaniem: oaz wsaźnia jaości posaci: d Q F J załadając że: nie jes oaniczone jes maciezą symeyczną dodanio oeśloną F i Q o macieze symeyczne dodanio półoeślone jes zadane oeśla się ównanie iccaieo: Q. Maciez wyznacza się ozwiązjąc ład nn+/ nieliniowych ównań óżniczowych piewszeo zęd óych współczynnii są zmienne w czasie. Maciez a spełnia wane aniczny: F 3. Posziwane seowanie opymalne ma posać: a minimalna waość wadaoweo wsaźnia jaości wynosi: min J dla ] [
6.3. Zaadnienie sabilizacji synał wyjścioweo Zaadnienie o doyczy zymywania synał wyjścioweo ład y a nie san ład w pobliż zea. ozwiązanie poblem sabilizacji synał wyjścioweo pzedsawia poniższy aloym:. Dla daneo ład niesacjonaneo opisaneo ównaniami: C y oaz wadaoweo wsaźnia jaości posaci: d y Q y Fy y J pzyjmjąc że: nie jes oaniczone jes maciezą symeyczną dodanio oeśloną F i Q są maciezami symeycznymi dodanio póło eślonymi jes zadane. ównanie iccaieo pzyjmje posać: C Q C Pzyjmje się aże że ład opisany w/w ównaniami jes obsewowalny.. Maciez wyznacza się ozwiązjąc ład nn+/ nieliniowych ównań óżniczowych piewszeo zęd óych współczynnii są zmienne w czasie. Maciez a spełnia wane aniczny: FC C 3. Posziwane seowanie opymalne ma posać: ównanie óżniczowe oeślające san ład opymalneo jes nasępjące: a minimalna waość wadaoweo wsaźnia jaości wynosi: min J dla ] [
7.4. Zaadnienie nadążania W zaadnieni ym żąda się od elaoa aby weo wyjścia y był zbliżony do zadaneo m-wymiaoweo weoa z óy pzedsawia żądany synał wyjściowy ład. ozwiązanie poblem nadążania pzedsawia poniższy aloym:. Dany jes obsewowalny linowy ład dynamiczny opisany ładem ównań: C y oaz wadaowy wsaźni jaości posaci: d e Q e Fe e J dzie: nie jes oaniczone jes maciezą symeyczną dodanio oeśloną F i Q są maciezami symeycznymi dodanio póło eślonymi jes zadane.. i są ozwiązaniami nasępjących ównań óżniczowych: ] [ z W S V S óe spełniają nasępjące wani bzeowe:. Fz C FC C 3. Posziwane seowanie opymalne pzyjmje eaz posać: ]. [ ównanie óżniczowe oeślające san ład opymalneo jes nasępjące:. ] [ Minimalna waość wadaoweo wsaźnia jaości wynosi: min J
8 dzie: z Q z dla ] [. z z
3. Opis poam WJ P 6 Poam aoswa m. inż. omasza Mzyłóda symlje działanie elaoa opymalneo z wadaowym wsaźniiem jaości ysne : Wyląd łówneo ona poam Po chomieni poam isnieje możliwość oeślenia: a paameów ównania san b wanów począowych c paameów wsaźnia jaości d yb pacy sabilizacja san sabilizacja synał wyjścia nadążanie. e fncji zadanej z w pzypad yb nadążania f załóceń losowych na san lb seowanie z pzedział oeśloneo jao a[;] dzie a jes waością sawioną w onie Załócenia załóceń na san lb seowanie o sałej waości salonej w onie Załócenia h załóceń na san lb seowanie w posaci dely Diaca oeślanej jao a/δ dzie Δ oznacza o całowania nmeyczneo i czas seowania - pzewidywany czas elacji na podsawie óeo ozwiązywane jes ównanie iccaieo zeczywisy czas elacji óy w payce nieoniecznie msi być ówny ; j poam pzewidje wpowadzenie niepopawnych paameów ównania san co można zinepeować jao błędną idenyfiację. 9
Po naciśnięci paweo pzycis myszy pojawiają się dodaowe opcje poam doyczące obsłi ona aficzneo. Isnieje możliwość: a wybo odzaj wyes: linioweo pnoweo b włączenia/wyłączenia: osi siai opis c wyczyszczenia pola wyes d zapisania do pli wyniów symlacji e powięszania/pomniejszania dopasowania wielości ona wyes. W syacji iedy wpowadzone dane do wadaoweo wsaźnia jaości są niepopawne pojawia się omnia infomjący o ym facie z jednoczesnym podaniem pzyczyny. Poam infomje o pływającym czasie symlacji óy można zazymać pzycisiem Paza lb zaończyć pzycisiem Sop. Podaje ównież waość wadaoweo wsaźnia jaości po zaończeni symlacji. Śledząc soem myszy wyesy na eanie isnieje możliwość odczyania waości aalnej współzędnej. Poniżej pzedsawiono pzyład óy pozwoli pześledzić opeacje jaie w oólnym zaysie msi wyonać poam. adany ład jes opisany ównaniem:. olejne macieze we wsaźni jaości mają posać: ]. [ Q f f F ównanie iccaieo wyaża się zależnością:. ] [...... Po wymnożeni powyższeo ównania maciezoweo ozymje się zy ównania óżniczowe posaci:.
Wani aniczne są sfomłowane nasępjąco:. f f Wyznaczenie maciezy pozwala oeślić seowanie opymalne óe w ym pzypad opisane jes zależnością: ]. [ ] [ Powyższy pzyład poazje że wszysie elemeny maciezy wysępjących w wadaowym wsaźni jaości mają wpływa na seowanie opymalne! Jednym z zadań sdena będzie spawdzenia ja doładnie elacje między maciezą oaz F i Q wpływają na wielość seowania doładność osiąnięcia cel ip. 4. Wyonanie ćwiczenia 4.. Symlacje dla zaadnienia sabilizacji san Jeżeli nie podano inaczej paamey symlacji należy pzyjąć ja niżej: = = = = F Q. a. Wpływ zmiany wzlędem sałeo Q na pzebie poces sabilizacji san. Należy wzlędnić wpływ na waość wsaźnia jaości waość wielość seowania oaz szybość poces. Poszę pzepowadzić 3 symlacje dla ład sabilneo: = = oaz 3 symlacje dla ład sabilneo: 3 = = Należy pzyjąć waość maciezy dla olejnych symlacji: =. = 3=. =.
b. Wpływ zmiany Q wzlędem sałeo. Należy pzepowadzić analoiczne symlacje ja powyżej pzy czym ym azem sała pozosaje waość maciezy = naomias zmianie leają waości maciezy Q odpowiednio:. Q Q Q3.. Wyesy oaz waości wsaźnia jaości poszę poównać z ozymanymi powyżej. c. Wpływ F odpowiadającej za wielość sa w chwili ońcowej. Należy pzepowadzić dwie symlacje w óych maciez F powinna pzyjmować olejno waości: 5 F. F 5 =[] = = esza paameów ja w pzyładzie a Szczeólną waę poszę zwócić na wyes. d. Wpływ czas ońcoweo elacji. Należy ozważyć czy w pzypad wydłżania czas seowania j. zwięszenia elao po zealizowani zadania jaim jes sabilizacja san zyma o w pncie óy osiąnął a aże czy wydłżanie o ma wpływ na waość wadaoweo wsaźnia jaości. Poszę pzyjąć olejno ońcowy czas wania seowania: =5 = 3=5 =. Szczeólną waę poszę zwócić na wyes oaz waość WJ. e. Q = F =. Na podsawie części eoeycznej wiadomo że Q i F są maciezami dodanio półoeślonymi. W pzypad iedy Q = F = wsaźni jaości pzyjmje posać: J [ ] d. Seowaniem opymalnym óe minimalizje wsaźni jaości będzie seowanie = a fncjonał pzyjmie waość J=. Należy spawdzić czy wyonana symlacja wsaże o samo ozwiązanie powiedzi eoeyczne wyliczenia oaz swiedzić czy pzy aich paameach działanie elaoa można oeślić mianem seowania. f. Popocjonalne zmiany Q i. W symlacji n maciez Q była sała a zmieniała się maciez. eaz należy spawdzić pzypade iedy waości ych maciezy zmieniają się popocjonalnie. Poszę wzlędnić macieze Q i o waościach olejno:
Q Q.. Wpowadzenie załóceń. Należy pzepowadzić nasępjące symlacje: i. Doyczącą załóceń losowych o ozładzie jednoodnym oddziaływjących na san ład Los. X poszę pzyjąć waość załóceń na poziomie. włączonych od począ symlacji oaz doyczącą losowych załóceń seowania Los. U paamey ja wyżej. Poszę poównać wpływ załóceń na jaość seowania. ii. Dodaowo należy pzepowadzić dwie symlacje wzlędniające załócenia o chaaeze so jednosoweo oddziaływjące odpowiednio na seowanie oaz san. Dla ych symlacji poszę pzyjąć czas = = 3 oaz czasy włączenia i wyłączenia załóceń odpowiednio oaz. h. adanie ważliwości ład seowania na błędną idenyfiację paameów obie macieze. Poszę wyonać dwie seie symlacji pezenjące wpływ błędnej idenyfiacji paameów obie popzez macieze na jaość seowania. Macieze poszę pzyjąć olejno pzy zachowani = : 3 Nasępnie należy powócić do założenia = i pzyjąć nasępjące waości maciezy : 3 4.. Symlacje dla zaadnienia sabilizacji wyjścia a. Wpływ waości Q i Poszę pzepowadzić osobne symlacje dla ład sabilneo: = = C=[ ]. = = 5 3
Q [ ] F []. Należy pzyjąć waość maciezy dla olejnych symlacji: =. = 3=. naloicznie należy pzepowadzić symlacje dla []= oaz 3 waości Q: Q =. Q = Q 3= b. Ułady nieseowalne i nieobsewowalne Poszę pzepowadzić symlację dla ład o waościach: [ ]. C = = Q [ ] F [].5 i odpowiedzieć na pyanie czy w ym pzypad ład elacji jes w sanie wyeneować seowanie óe będzie sabilizować synał wyjściowy. c. Wpływ błędnej idenyfiacji paameów obie macieze. ozważony będzie ład oscylacyjny. łędnie zidenyfiowany zosanie współczynni łmienia óy ma wpływ na waość a. Należ pzepowadzić zy symlacje w óych: 3 [ 3 C ]. Q [ ] F []. =. = = 5 pzyjmje olejno waości: 3 3 3 3. 3 6 4
We wniosach należy wzlędnić pzypadi iedy błędnie zidenyfiowane współczynni łmienia pzyjmje mniejszą oaz więszą waość niż waość zeczywisa. 4.3. Symlacje dla zaadnienia nadążania a. Nadążanie na synałem sinsoidalnym. Zadana fncja: z asin b c pzyładowo: a= b= c=. Należy doonać zmian waości maciezy Q i we wsaźni jaości oaz zbadać ich wpływ na doładność ealizacji zadania nadążania. Poszę pzepowadzić czey symlacje wzlędniając waości: Q [ ] F []. Q [ ] F [] Q [ ] F []. Q [ ] F []. Poszę pzyjąć czas symlacji = =. b. Nadążanie za synałem liniowym. Zadana fncja z jes liniowa: z a b We wniosach należy wzlędnić wpływ wzos Q wzlędem na zwięszenie doładności nadążania paamey ja wyżej. Poszę pzyjąć czas symlacji = = 5. 5