Robert Kowalczyk Zbiór zadań z teorii miary i całki
2 Zadanie 1 Pokazać, że poniższe dwie definicje σ-ciała M są równoważne: (i) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem jeżeli zachodzą następujące warunki: (1) M, (2) jeżeli A M, to X \ A M, (3) jeżeli A n M, n N, to A n M. n N (ii) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem, jeżeli zachodzą następujące warunki: (1) M, (2) jeżeli A M, to X \ A M, (3) jeżeli A n M, n N, to A n M. n N Zadanie 2 Niech X = 1, 2, 7, 11}. Sprawdzić, czy rodzina M jest σ-ciałem w X, jeżeli (i) M =, X, 1, 2}, 7, 11}} (ii) M =, X, 1}, 2}, 2, 7, 11}, 1, 2, 7}, 1, 11}, 2, 7}} (iii) M =, X} Zadanie 3 Czy istnieje σ-ciało M złożone z (i) dokładnie jednego elementu, (ii) dokładnie dwóch elementów, (iii) dokładnie trzech elementów, (iv) dokładnie czterech elementów, (v) dokładnie pięciu elementów. Zadanie 4 Niech X będzie dowolnym zbiorem skończonym, a M będzie σ-ciałem w X. Co można powiedziec o liczbie elementów σ-ciała M? Zadanie 5 Niech M będzie rodziną wszystkich takich zbiorów A N, że co najmniej jeden ze zbiorów A, N \ A jest skończony. (i) Sprawdzić, czy rodzina M jest σ-ciałem w N. (ii) Sprawdzić, czy rodzina M jest ciałem w N.
Zadanie 6 Niech M będzie rodziną wszystkich takich zbiorów A R, że co najmniej jeden ze zbiorów A, R \ A jest przeliczalny. Pokazać, że M jest σ-ciałem w R. Zadanie 7 Niech X, Y będą dwoma dowolnymi zbiorami, M będzie dowolnym σ-ciałem w X, f : X Y oraz niech R = B Y : f 1 (B) M}. Pokazać, że R jest σ-ciałem w Y. Zadanie 8 Niech X będzie dowolnym zbiorem, a M 1 i M 2 będą dwoma dowolnymi σ-ciałami w X. Czy (i) M 1 M 2, (ii) M 1 M 2, (iii) M 1 \ M 2, są σ-ciałami w X? Zadanie 9 Niech X = N. Czy rodzina M jest σ-ciałem w X, gdy: (i) M = A X : 2 / A} N}, (ii) M = A X : 2 A} }, Zadanie 10 Niech X = 1, 2, 3, 4}. Wyznaczyć najmniejsze σ-ciało w X zawierające rodzinę R, gdzie: (i) R = 1}, 4}}, (ii) R = 1}, 2, 3}}, (iii) R = 1, 2}, 3, 4}}, (iv) R = 1}, 2, 3}, 3, 4}}. Zadanie 11 Niech X = R. Wyznaczyć najmniejsze σ-ciało w X zawierające rodzinę R, gdzie: (i) R = (, a) : a R}, (ii) R = (a, b) : a, b R}, 3
4 Zadanie 12 Niech X = N. Wyznaczyć najmniejsze σ-ciało w X zawierające rodzinę R, gdzie: (i) R = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, 2, 4, 6, 8, 10, 12,... }}, (ii) R = A N : A = 1}, gdzie A - oznacza moc zbioru A. Zadanie 13 Niech X będzie dowolnym zbiorem. Dla dowolnego zbioru A X połóżmy 0 gdy A =, µ(a) = + gdy A. Pokazać, że µ jest miarą na σ-ciele M = 2 X. Zadanie 14 Nech X = 1, 2, 3,..., 10}. Dla dowolnego zbioru A X połóżmy µ(a) = A. Pokazać, że funkcja µ określona na σ-ciele M = 2 X jest miarą. Zadanie 15 Dla dowolnego zbioru A N połóżmy 0 gdy zbiór A jest skończony, µ(a) = + gdy zbiór A jest nieskończony. (i) Sprawdzić, czy funkcja µ określona na σ-ciele M = 2 N jest miarą. (ii) Sprawdzić, czy funkcja µ określona na σ-ciele M = 2 N jest skończenie addytywna. Zadanie 16 Dla dowolnego zbioru A R połóżmy 0 gdy zbiór A jest przeliczalny, µ(a) = + gdy zbiór A jest nieprzeliczalny. Sprawdzić, czy funkcja µ określona na σ-ciele M = 2 R jest miarą. Zadanie 17 Pokazać, że funkcja µ określona na σ-ciele M zdefiniowanym w zadaniu 6 wzorem 0 gdy zbiór A jest przeliczalny, µ(a) = 1 gdy zbiór R\A jest nieprzeliczalny, jest miarą.
5 Zadanie 18 Dla dowolnego zbioru A R połóżmy µ(a) = 0 gdy 1 / A, 2 gdy 1 A. Pokazać, że µ określona na σ-ciele M = 2 R jest miarą. Zadanie 19 Niech X = R. Dla dowolnego zbioru A X połóżmy 0 gdy 1 / A i 1 / A, µ(a) = 1 gdy ( 1 A i 1 / A) lub ( 1 / A i 1 A), 2 gdy 1 A i 1 A. Pokazać, że µ określona na σ-ciele M = 2 R jest miarą. Zadanie 20 Dla dowolnego zbioru A N połóżmy µ(a) = n N 1 2 n, A N. (i) Pokazać, że µ jest miarą określoną na σ-ciele M = 2 N, (ii) Pokazać, że zbiór wartości funkcji µ pokrywa się z przedziałem [0, 1], (iii) Czy z tego, że µ(a) = µ(b) wynika, że A = B? Zadanie 21 Niech X = 1, 2, 3, 4}, M =, X, 3}, 1, 2, 4}} oraz niech funkcja µ : M [0, + ] będzie dana wzorem (i) Czy M jest σ-ciałem? (ii) Czy µ jest miarą? (iii) Czy µ jest miarą zupełną? µ(a) = 0, A M. Zadanie 22 Niech M będzie dowolnym σ-ciałem w X, µ będzie miarą określoną na M, a A i B będą dowolnymi elementami M takimi, że A B =. Pokazać, że µ(a B) + µ(a B) = µ(a) + µ(b).
6 Zadanie 23 Niech (X, M, µ) będzie przestrzenią mierzalną. Pokazać, że jeśli A, B M oraz µ(b) = 0, to µ(a B) = µ(a\b) = µ(a). Zadanie 24 Uogólnić wynik z zadania 22 na dowolną skończoną ilość zbiorów. Zadanie 25 Niech (X, M, µ) będzie przestrzenią mierzalną, µ(x) = 1 oraz niech ciąg A n } elementów σ-ciała M będzie taki, że µ(a n ) = 1, n N. Pokazać, że µ( A n ) 1. n N Zadanie 26 Dla dowolnego zbioru A N połóżmy µ (A) = 0 gdy A =, 1 gdy A. (i) Pokazać, że µ jest miarą zewnętrzną, ale nie jest miarą. (ii) Wyznaczyć rodzinę wszystkich zbiorów mierzalnych w sensie Carathéodory ego. Zadanie 27 Dla dowolnego zbioru A N połóżmy 0 gdy A =, µ (A) = 1 gdy A i A N, 2 gdy A = N. (i) Pokazać, że µ jest miarą zewnętrzną. (ii) Wyznaczyć rodzinę wszystkich zbiorów mierzalnych w sensie Carathéodory ego. Zadanie 28 Niech µ (A) = 0 gdy A jest zbiorem przeliczalnym, 1 gdy A jest zbiorem nieprzeliczalnym. Wykazać, że µ jest miarą zewnętrzną i wyznaczyć rodzinę wszystkich zbiorów mierzalnych w sensie Carathéodory ego.
7 Zadanie 29 Połóżmy µ A gdzie A jest zbiorem skończonym, (A) = 1+A 1 gdy A jest zbiorem nieskończonym. Pokazać, że µ jest miarą zewnętrzną i wyznaczyć rodzinę wszystkich zbiorów mierzalnych w sensie Carathéodory ego. Zadanie 30 Dla dowolnego zbioru A N połóżmy 0 gdy A =, µ (A) = 1 gdy A i A - skończony, + gdy A - nieskończony. Czy µ jest miarą zewnętrzną? Jeżeli jest, to wyznaczyć rodzinę wszystkich zbiorów mierzalnych w sensie Carathéodory ego. Zadanie 31 Wykazać, że jeśli µ jest miarą zewnętrzną w X oraz A, B X i µ (B) = 0, to µ(a B) = µ(a\b) = µ(a). Zadanie 32 Niech X = N i niech M = A N : A skończony} B N : B skończony i N\B nieskończony}. Czy M jest σ-ciałem w X? Zadanie 33 Sprawdzić, czy poniższe podzbiory R są (L) mierzalne. Jeżeli tak, to wyznaczyć ich jednowymiarową miarę Lebesgue a λ 1. (i) A =, (ii) x}, x R, (iii) x 1, x 2,..., x n }, x i N, i 1, 2,..., n}, (iv) (0, 1), (v) [ 1, 1], (vi) (1, + ), (vii) Q, (viii) R\Q,
8 (ix) R. Zadanie 34 Niech dany będzie ciąg funkcyjny f n (x)}, gdzie f n (x) = n sin ( x ), n N, x R. π Czy zbiór tych x R dla których ciąg ten jest (i) ograniczony, (ii) zbieżny, jest (L) mierzalny? Jeżeli tak, to znaleźć miary Lebesgue a λ 1 tych zbiorów. Zadanie 35 Sprawdzić, czy poniższe podzbiory R 2 są (L) mierzalne. Jeżeli tak, to wyznaczyć ich dwuwymiarową miarę Lebesgue a λ 2. (i) (x, y)}, x, y R, (ii) [1, 2] [ 1, 1], (iii) Q Q, (iv) (x, 3) R 2 : x R}, (v) (x, x) R 2 : x R}, (vi) (x, y) R 2 : x y Q}. Zadanie 36 Skonstruować na prostej liczbowej R zbiór nieprzeliczalny i miary Lebesgue a 0. Wskazówka: Zbiór Cantora C ma wymagane własności. Zadanie 37 Skonstruować na prostej liczbowej R zbiór nie mierzalny w sensie Lebesgue a. Wskazówka: Zbiór Vitaliego V ma wymagane własności. Zadanie 38 Pokazać, że (i) każdy przedział domknięty, lewostronie domknięty, prawostronnie domknięty, otwarty w R jest zbiorem zarówno typu G δ jak i typu F σ,
(ii) suma dwóch zbiorów typu G δ jest zbiorem typu G δ, a iloczyn dwóch zbiorów typu F σ jest zbiorem typu F σ, (iii) zbiór wszystkich liczb wymiernych jest zbiorem typu F σ, a zbiór wszystkich liczb niewymiernych jest zbiorem typu G δ, (iv) istnieją zbiory które nie są ani typu F σ ani typu G δ. Zadanie 39 Niech M będzie σ-ciałem przestrzeni X, A X i niech f : A R będzie funkcją mierzalną, tj. A M i x A : f(x) < c} M dla każdego c R. Pokazać, że dla każdego c R zachodzą następujące warunki: (i) x A : f(x) c} M, (ii) x A : f(x) > c} M, (iii) x A : f(x) c} M, (iv) x A : f(x) = c} M, (v) x A : f(x) < + } M, (vi) x A : f(x) > } M, (vii) x A : f(x) = } M, (viii) x A : f(x) = + } M. Zadanie 40 Niech funkcja f : R R będzie dana wzorem f(x) = x. Czy funkcja f jest mierzalna względem σ-ciała M, gdzie (i) M = 2 R, (ii) M jest σ-ciałem zbiorów (L) mierzalnych na prostej liczbowej R. Zadanie 41 Pokazać, że każda z funkcji f : R R, gdzie: (i) f(x) = x 2 1, (ii) f(x) = x 2 + 1, 9
10 (ii) f(x) = arctan(x), jest (L) mierzalna. Zadanie 42 Pokazać, że: (i) funkcja Dirichleta (ii) funkcja Signum (iii) funkcja Cantora są (L) mierzalne. Zadanie 43 Podać przykład funkcji niemierzalnej. Zadanie 44 Niech V będzie zbiorem Vitaliego, a funkcja f : R R będzie dana wzorem x gdy x V, f(x) = x gdy x R\V. Czy funkcja f jest (L) mierzalna? Zadanie 45 Niech funkcja f : [0, 1] R + 0} będzie dana wzorem f(x) = 0 gdy x Q, 1 gdy x R\Q. Pokazać, że funkcja f jest funkcją prostą nieujemną oraz obliczyć fdµ. Zadanie 46 Niech f : [0, 1] R + 0} będzie dana wzorem f(x) = [0,1] 0 gdy x C, 1 gdy x R\C, gdzie C jest zbiorem Cantora. Pokazać, że funkcja f jest funkcją prostą nieujemną oraz obliczyć fdµ. [0,1]
Zadanie 47 Niech f : [0, 1] R + 0} będzie dana wzorem f(x) = x. Obliczyć z definicji fdµ. [0,1] Zadanie 48 Niech funkcja f : [0, 1] R + 0} będzie dana wzorem f(x) = gdzie C jest zbiorem Cantora. Obliczyć x gdy x [0, 1]\C, 1 gdy x C, [0,1] fdµ. Zadanie 49 Udowodnić, że ciąg funkcyjny f n } zadany wzorem f n (x) = exp (cos n (πx)) jest prawie wszędzie zbieżny w przestrzeni (R, L 1, λ 1 ). Wyznaczyć jego granicę punktową. Zadanie 50 Udowodnić, że ciąg funkcyjny f n } zadany wzorem f n (x) = sin n (x 3 nx) jest prawie wszędzie zbieżny w przestrzeni (R, L 1, λ 1 ). Wyznaczyć jego granicę punktową. 11