Podróże po Imperium Liczb

Podróże po Imperium Liczb Część. Silie i Symbole Newtoa Rozdział 8 8. Trójkąt Pascala modulo m Adrzej Nowicki 2 maja 202 http://www.mat.ui.toru.pl/~aow Spis treści 8 Trójkąt Pascala modulo m 2 8. Trójkąt Pascala modulo 2............................. 2 8.2 Trójkąt Pascala modulo 3............................. 24 8.3 Trójkąt Pascala modulo 4............................. 27 8.4 Trójkąt Pascala modulo 5............................. 28 8.5 Trójkąt Pascala modulo m dla m 6...................... 29 8.6 Trójkąt Pascala modulo p............................. 3 8.7 Trójkąt Pascala modulo p s............................ 33 8.8 Podzielość liczby ( k przez.......................... 34 Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb apisao w edytorze L A TEX. Spisy treści tych książek oraz pewe wybrae rozdziały moża zaleźć a iteretowej stroie autora: http://www-users.mat.ui.toru.pl/~aow.

8 Trójkąt Pascala modulo m 8. Trójkąt Pascala modulo 2 Spójrzmy a początkowe wiersze trójkąta Pascala oraz a reszty z dzieleia przez 2 liczb występujących w tych wierszach. 2 3 3 4 6 4 5 0 0 5 6 5 20 5 6 7 2 35 35 2 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Po prawej stroie mamy początkowe wiersze tzw. trójkąta Pascala modulo 2. Gdy w tym trójkącie zlikwidujemy przeciki i wszystkie zera pomalujemy a biało otrzymamy iteresujący obrazek. Oto obrazek tego typu zbudoway z 35 początkowych wierszy. Obrazek jest podoby do zaego fraktalu typu IFS azywaego dywaem Sierpińskiego. 2

22 Adrzej Nowicki Silie i symbole Newtoa 8. Trójkąt Pascala modulo m Poieważ ( ( 0 = = dla N0 więc a początku i a końcu każdego wiersza występują jedyki. Wiemy (patrz 6..2 że wszystkie liczby postaci ( 2 m k dla k < 2 m są parzyste. Z tego wyika że w trójkącie Pascala modulo 2 każdy wiersz którego umer jest potęgą dwójki jest postaci 00... 00. Wiersze o umerach 2 m składają się z samych jedyek. To z kolei wyika z astępującego stwierdzeia. 8... Następujące dwa waruki są rówoważe: ( wszystkie liczby:... 0 (2 liczba + jest potęgą dwójki. ([Wio] 24 [S50] 24 [Bry] 7.. są ieparzyste; D. Niech = a r 2 r + a r 2 r + + a 2 + a 0 gdzie r 0 a r 0 będzie przedstawieiem 2-adyczym liczby. Skoro a r 0 więc a r =. Niech k {0... } i rozpatrzmy ( k. Poieważ k więc przedstawieie 2-adycze liczby k jest postaci k = b r 2 r + b r 2 r + + b 2 + b 0 gdzie b 0 b... b r {0 }. Z twierdzeia Lucasa 7.2.2 mamy więc ar ar a a0 (mod 2. k b r b r (2 (. Jeśli = 2 s to = 2 s + 2 s 2 + + 2 +. W tym przypadku r = s oraz a r = a r + = a = a 0 =. Wszystkie więc liczby postaci ( a i ( b i są rówe albo ( 0 albo więc są rówe. W tym przypadku więc ( ( k (mod 2 dla wszystkich k {0... } czyli k jest ieparzyste dla wszystkich k {0... }. ( (2. Załóżmy że wszystkie liczby ( ( 0 (... ( są ieparzyste. Wtedy ai b i = dla wszystkich i = 0... r. Zatem b i a i dla wszystkich i = 0... r. Gdyby któreś a i było rówe 0 to dla b i = mielibyśmy ( a i b i = 0 i wtedy 2 i 0 (mod 2. Zatem a i = dla wszystkich i = 0... r. Stąd = 2 r + 2 r + + 2 + 2 0 = 2 r+. Wykażemy teraz że liczba jedyek występujących w wierszu trójkąta Pascala modulo 2 jest zawsze potęgą dwójki. W tym celu przypomijmy ajpierw że jeśli jest liczbą aturalą to przez s 2 ( ozaczamy sumę cyfr w przedstawieiu dwójkowym liczby. W tym przypadku s 2 ( jest liczbą jedyek występujących w przedstawieiu dwójkowym liczby. Przypomijmy rówież że przez v 2 ( ozaczamy taką liczbę k że 2 k i 2 k+. 8..2. Niech a b 0. Następujące waruki są rówoważe: a + b (a jest liczbą ieparzystą; a (b v 2 ((a + b! = v 2 (a! + v 2 (b!; (c s 2 (a + b = s 2 (a + s 2 (b. 8..3 (Glaisher 899. Dla każdej liczby aturalej liczba wszystkich liczb ieparzystych występujących w ciągu... 0 2 jest rówa 2 s 2(. ([Mo] 65(5(958 z.e288 [Nord] 998 [Gr98]. b b 0

Adrzej Nowicki Silie i symbole Newtoa 8. Trójkąt Pascala modulo m 23 D. (Sposób I. Jest to fakt 8.6.2 dla p = 2. D. (Sposób II. Ozaczmy rozważaą liczbę przez w. Niech = 2 s + m gdzie s N oraz 0 m < 2 s. Z 7.3.6 wiemy że jeśli 0 k < 2 s to ( 2 s + m m (mod 2. k k Natomiast z 7.3.8 wiemy że jeśli k 2 s to ( 2 s + m k ( m k 2 s (mod 2. Stąd wyika że w = 2w m. Powtarzając to dla liczby m stwierdzamy że w m = 2w m dla pewego m itd. Ostateczie otrzymamy że w = 2 s w 0 gdzie s = s 2 (. Jest oczywiste że w 0 =. Zatem w = 2 s2(. m Kilka stwierdzeń o parzystości i ieparzystości symboli Newtoa. 8..4 (Lucas. Liczba jest ieparzysta wtedy i tylko wtedy gdy w przedstawieiu dwójkowym każda cyfra liczby k jest ie większa od odpowiediej cyfry liczby k. D. Wyika to z twierdzeia Lucasa 7.2. lub 7.2.2. 8..5. Jeśli k jest liczbą ieparzystą to 2 jest liczbą parzystą. (Wyika z 6..3 dla p = 2. k 2 8..6. Jeśli jest taką liczbą aturalą że jest liczbą ieparzystą to = 2 s s 0. ([OM] Czechosłowacja 984/985. 8..7. + 5 + 4 (mod 2 dla 5. ([FQ] B-54. 5 Ozaczmy przez a( i b( odpowiedio liczbę zer i liczbę jedyek w -tym wierszu trójkąta Pascala modulo 2. 8..8. Dla każdego liczby a( i b( są róże. Iymi słowy w trójkącie Pascala modulo 2 ie ma takiego wiersza w którym liczba jedyek jest rówa liczbie zer. ([Dlt] 6/983 6. 8..9. a( = b( + = 2. ([Dlt] 6/983 6. 8..0. a( = b( = 2 k 2 gdzie k N. ([Dlt] 6/983 6. Ozaczmy przez c( liczbę wszystkich jedyek występujących w trójkącie Pascala modulo 2 od początku do -tego wiersza włączie; iymi słowy c( = b(i. i=0

24 Adrzej Nowicki Silie i symbole Newtoa 8. Trójkąt Pascala modulo m 8... c(2 s = 3 s dla s N. 8..2. lim c( = lim ( + 2 c( 2 = 0. ([Pams] 62((977 9-22. 8..3. W dowolym wierszu trójkąta Pascala modulo 2 ie ma bloków postaci 0 oraz 0. ([Mo] 8-9(980 E2775. 8..4 (L. Roberts. Niech będzie dowolą liczbą aturalą i iech = d 2 d + + 2 + 0 będzie jej przedstawieiem w dwójkowym systemie umeracji. Rozpatrzmy zbiór S = {i; i = } i spójrzmy a -ty wiersz trójkąta Pascala modulo 2 jak a liczbę zapisaą w dwójkowym systemie umeracji; ozaczmę tę liczbę przez z. Zachodzi wtedy rówość z = i S F i gdzie F i = 2 2i + jest i-tą liczbą Fermata. ([Gra] [Gr98]. J. W. L. Glaisher O the residue of a biomial-theorem coefficiet with respect to a prime modulus Quart. J. Pure. App. Math. 30(899 50-56. E. T. Howard The umber of biomial coefficiets divisible by a fixed power of 2 [Pams] 29(97 236-242. E. T. Howard The umber of odd biomial coefficiets [Pams] 62((977 9-22. B. K. Spearma K. S. Williams O a formula of Howard BHKMS 2(999 325-340. Cz. Wowk Trójkąt Pascala i podzielość [Mat] (999 26-32. 8.2 Trójkąt Pascala modulo 3 2 22 2 22 2222 2 2 22 22 2 2 22 22 22222222 2 22 2 22 2 2 2 Rysuek po lewej stroie przedstawia początkowe wiersze trójkąta Pascala modulo 3 z wymazaymi zerami. Po prawej stroie pokazao jak w tym trójkącie rozmieszczoe są jedyki.

Adrzej Nowicki Silie i symbole Newtoa 8. Trójkąt Pascala modulo m 25 8.2.. W każdym wierszu trójkąta Pascala modulo 3 liczba jedyek jest większa od liczby dwójek. ([OM] W.Brytaia 984. D. (Ady Liu [Crux] /99 s.5. Mówić będziemy że day wielomia (ależący do Z[x] jest s- wielomiaem jeśli liczba jego współczyików przystających do modulo 3 jest ostro większa od liczby jego współczyików przystających do 2 modulo 3. Musimy wykazać że ( + x jest s-wielomiaem. Przedstawmy liczbę w zapisie przy podstawie 3: gdzie 0... k {0 2}. Mamy wówczas: = k 3 k + k 3 k + + 3 + 0 ( + x = ( + x k3 k ( + x k 3 k ( + x 3 ( + x 0 ( + x 3k k ( + x 3k k ( + x 3 ( + x 0 gdzie przystawaie jest modulo 3. Dla i = 0... k iech F i = ( + x 3i i ( + x 3i i ( + x 3 ( + x 0. Wystarczy udowodić że F k jest s-wielomiaem. W tym celu wykażemy idukcyjie że wszystkie wielomiay postaci F i są s-wielomiaami. Dla i = 0 jest to oczywiste. Załóżmy że F i jest s-wielomiaem (dla pewego i < k. Niech a będzie liczbą jego współczyików przystających do modulo 3 iech b będzie liczbą jego współczyików przystających do 2 modulo 3. Oczywiście a > b. Rozpatrzmy wielomia F i+. Zauważmy że F i+ = ( + x 3i+ i+ F i. Jeśli i+ = 0 to F i+ = F i i w tym przypadku oczywiście F i+ jest s-wielomiaem. Niech i+ =. Wtedy F i+ = ( + x 3i+ F i. Odpowiedie liczby rozważaych współczyików są teraz rówe 2a i 2b. Poieważ a > b więc 2a > 2b i widzimy że w tym przypadku F i+ rówież jest s-wielomiaem. Niech i+ = 2. Wtedy F i+ = ( + 2x 3i+ + x 2 3i+ F i. Odpowiedie liczby rozważaych współczyików są teraz rówe 2a + b i 2b + a. Poieważ a > b więc 2a + b > 2b + a tz. F i+ jest s-wielomiaem. Dla daej liczby aturalej ozaczmy przez a i b odpowiedio liczbę jedyek i liczbę dwójek występujących w -tym wierszu trójkąta Pascala modulo 3. Z powyższego faktu wyika że różica a b jest zawsze liczbą dodatią. Moża udowodić: 8.2.2. Różica a b jest zawsze potęgą dwójki. ([Crux] 998 68-72. Suma a + b to liczba wszystkich tych liczb występujących w -tym wierszu trójkąta Pascala które ie są podziele przez 3. 8.2.3. Dla każdej liczby aturalej liczba a +b jest rówa 2 p 3 q gdzie p i q są odpowiedio liczbami jedyek i dwójek występujących w przedstawieiu liczby w systemie umeracji o podstawie 3. D. (Sposób I. Jest to fakt 8.6.2 dla p = 3. D. (Sposób II. Powtórzymy rozumowaie przeprowadzoe w dowodzie 8.2.. Jeśli f(x jest wielomiaem ależącym do Z[x] to przez w(f ozaczać będziemy liczbę wszystkich współczyików wielomiau f iepodzielych przez 3. Przedstawmy liczbę w zapisie przy podstawie 3: = k 3 k + k 3 k + + 3 + 0

26 Adrzej Nowicki Silie i symbole Newtoa 8. Trójkąt Pascala modulo m gdzie 0... k {0 2}. Musimy wykazać że w(( + x = 2 p 3 q gdzie liczby p i q są takie jak w tezie. Przypomijmy że ( + x = ( + x k3 k ( + x k 3 k ( + x 3 ( + x 0 ( + x 3k k ( + x 3k k ( + x 3 ( + x 0 gdzie przystawaie jest modulo 3. Dla i = 0... k iech F i = ( + x 3i i ( + x 3i i ( + x 3 ( + x 0. Wystarczy zatem udowodić że w(f k = 2 p 3 q. Dla k = 0 jest to oczywiste. Załóżmy że to jest prawdą dla wielomiau F i (dla pewego i < k. Niech a będzie liczbą jego współczyików przystających do modulo 3 iech b będzie liczbą jego współczyików przystających do 2 modulo 3. Zatem w(f i = a + b. Rozpatrzmy wielomia F i+. Zauważmy że F i+ = ( + x 3i+ i+ F i. Jeśli i+ = 0 to F i+ = F i i w tym przypadku ie ma co sprawdzać. Niech i+ =. Wtedy F i+ = ( + x 3i+ F i. Odpowiedie liczby rozważaych współczyików są teraz rówe 2a i 2b. Zatem w(f i+ = 2a + 2b = 2(a + b = 2w(F i. Niech i+ = 2. Wtedy F i+ = ( + 2x 3i+ + x 2 3i+ F i. Odpowiedie liczby rozważaych współczyików są teraz rówe 2a + b i 2b + a. W tym przypadku mamy więc w(f i+ = (2a + b + (2b + a = 3(a + b = 3w(F i. Z powyższego wyika że w(f k = 2 u 3 v gdzie u jest liczbą jedyek występujących wśród liczb 0... k a v jest liczbą dwójek występujących wśród tych liczb. Oczywiście u = p i v = q. D. J. Orto Biomials mod 3 [MG] 69(447(985 3-32.

Adrzej Nowicki Silie i symbole Newtoa 8. Trójkąt Pascala modulo m 27 8.3 Trójkąt Pascala modulo 4 2 33 2 22 23 32 3333 2 22 2 2 2 2 33222233 2 3 3 2 2233 3322 23 23 32 32 33333333 2 22 2 2 2 2 33 2222 33 2 2 2 2 22 22 22 22 23 32 2 2 2 2 23 32 3333222222223333 2 3 3 2 22 33 33 22 2 2 2 323 323 2 2 2 33222233 33222233 2 3 2 3 3 2 3 2 2233 2233 3322 3322 23 23 23 23 32 32 32 32 3333333333333333 Rysuek po lewej stroie przedstawia początkowe wiersze trójkąta Pascala modulo 4 z wymazaymi zerami. Po prawej stroie pokazao jak w tym trójkącie rozmieszczoe są jedyki. Przez a 0 ( a ( a 2 ( i a 3 ( ozaczać będziemy odpowiedio liczby zer jedyek dwójek i trójek występujących w -tym wierszu trójkąta Pascala modulo 4. Dla przykładu a (7 = a 3 (7 = 4 gdyż w trójkącie Pascala modulo 4 w wierszu o umerze 7 mamy 4 jedyki i 4 trójki. 8.3.. a (6 = a 2 (6 = a 3 (6 = 2 a ( = a 2 ( = a 3 ( = 4 a (23 = a 2 (23 = a 3 (23 = 8 a (47 = a 2 (47 = a 3 (47 = 6 a (95 = a 2 (95 = a 3 (95 = 32 a (9 = a 2 (9 = a 3 (9 = 64. 8.3.2. (K. S. Davis W. A. Webb A. Graville. ( Liczby a ( i a 3 ( są rówe wtedy i tylko wtedy gdy w rozwiięciu dwójkowym liczby istieją dwie koleje cyfry będące jedykami. (2 Jeśli a ( a 3 ( to a 3 ( = 0. (3 Każda z liczb a (3 i a 3 ( jest albo rówa zero albo jest potęgą dwójki. A. Graville Zaphod Beeblebrox s brai ad the fifty-ith row of Pascal s triagle [Mo] 99(4(992 38-33; Correctio: 04(9(997 848-85. K. S. Davis W. A. Webb Pascal s triagle modulo 4 [FQ] 29(99 79-83. F. T. Howard Multiomial ad q-biomial coefficiets modulo 4 ad modulo p [FQ] 3(993 53-64.

28 Adrzej Nowicki Silie i symbole Newtoa 8. Trójkąt Pascala modulo m 8.4 Trójkąt Pascala modulo 5 2 33 44 2 2 33 33 4444 2 22 2 242 2 33 22 33 442323244 3 3 33 33 2 33 33 2 33 3443 3443 33 44323233232344 4 4 44 44 2 434 2 434 2 33 4224 33 4224 33 444444444444 2 2 33 33 44 44 Rysuek po lewej stroie przedstawia początkowe wiersze trójkąta Pascala modulo 5 z wymazaymi zerami. Po prawej stroie pokazao jak w tym trójkącie rozmieszczoe są jedyki. 8.4.. Dla każdej liczby aturalej liczba wszystkich iezerowych liczb występujących w -tym wierszu trójkąta Pascala modulo 5 jest rówa 2 a 3 a 2 4 a 3 5 a 4 gdzie a a 2 a 3 i a 4 są odpowiedio liczbami jedyek dwójek trójek i czwórek występujących w przedstawieiu liczby w systemie umeracji o podstawie 5. D. Jest to fakt 8.6.2 dla p = 5.

Adrzej Nowicki Silie i symbole Newtoa 8. Trójkąt Pascala modulo m 29 8.5 Trójkąt Pascala modulo m dla m 6 2 33 4 4 5445 323 3553 2424242 3 3 43 34 53 35 43 34 43 34 24543 34542 335333333533 4 22 44 44 22 4 5424242442424245 3 2 3 33 22 33 24 3 242 3 42 3 433 2 2 334 3 434 3 22 22 3 434 5533 242242 3355 2 4 32 4 23 4 2 22 44352 44 25344 22 2242422242422242422 333 3333 3333 333 4 3 3 3 3 3 3 4 2 33 464 5225 67476 753357 4 6 4 446644 25 242 52 3752662573 4247 4 7424 566374473665 63423 32436 775353353577 4 6 4 44 66 44 2 4 4 646 4 4 2 3344446226444433 4645 2 4 2 5464 5225 224422 5225 674365 246 642 563476 75373526266262537357 4 2 4 7 4 7 4 2 4 44224477 44 77442244 25 646 367 4 4 763 646 52 375622635744447536226573 4243 4 4643 3464 4 3424 2 33 464 5335 666 2 2 33 33 464 464 5335 5335 666666 2 22 2 242 2 33 2662 33 464 252 464 5335 236632 5335 6662525252666 3 3 33 33 2 363 363 2 33 3223 3223 33 464 35453 35453 464 5335 3223 3223 5335 66634343433434343666 4 6 4 2 33 464 55 66266 738837 82728 3 3 33 33 23633632 334 6 433 4674 66 4764 54246364245 66566 66566 732237 732237 8545885458 6 6 2 6 6 66 66 22 66 66 26366362426366362 337 3 8668 3 733 467 33 85358 33 764 57873638488483637875 66866 2337332 66866 735537 256652 735537 88882727272728888 3 3 33 33 Początkowe wiersze (bez zer trójkątów Pascala modulo 6 7 8 i 9.

30 Adrzej Nowicki Silie i symbole Newtoa 8. Trójkąt Pascala modulo m Przez b 0 ( b (... b 7 ( ozaczmy odpowiedio liczby zer jedyek... siódemek występujących w -tym wierszu trójkąta Pascala modulo 8. 8.5.. (A. Graville ( Każda z liczb b ( b 3 ( b 5 ( b 7 ( jest zerem lub jest potęgą dwójki. (2 Jeśli w rozwiięciu dwójkowym liczby ie ma bloku i ie ma bloku 0 to b 3 ( = b 5 ( = b 7 ( = 0. (3 Jeśli w rozwiięciu dwójkowym liczby ie ma bloku ale jest blok 0 to b ( = a b (. (Graville. 8.5.2. b (27 = b 2 (27 = b 3 (27 = b 4 (27 = b 5 (27 = b 6 (27 = b 7 (27 = 4 b (55 = b 2 (55 = b 3 (55 = b 4 (55 = b 5 (55 = b 6 (55 = b 7 (55 = 8 b ( = b 2 ( = b 3 ( = b 4 ( = b 5 ( = b 6 ( = b 7 (. 2 33 464 5 5 65 56 7557 886 688 96466469 5 2 5 55 22 55 26 52425 62 386576675683 442323244 55553555535555 6 88 88 6 76 868 868 67 836 8448 8448 638 9968282882828699 54 6 45 594 66 495 2 5434 626 4345 2 3359774 6886 4779533 464646446464644646464 5 55 55 5 65 5 5 5 5 56 75 5555 5555 57 8865 5 5 5 5 5688 9645 55 55 55 55 5469 5 565 5 5 5 5 5 5 5 5 565 5 555555555555555555555555 26 626 626 62 386 6886 6886 683 44664646 64646644 555 2 6 6 2 555 6 522 66 66 225 6 76 5742 626 626 2475 67 8365262 6886 6886 2625638 997378264646 646462873799 8 5 8 6 6 8 5 8 Początkowe wiersze (bez zer trójkąta Pascala modulo 0.

Adrzej Nowicki Silie i symbole Newtoa 8. Trójkąt Pascala modulo m 3 Dla daej liczby aturalej oraz daego r {0 2 3... 5} przez c r ( liczbę wszystkich liczb w -tym wierszu trójkąta Pascala przystających do r modulo 6. 8.5.3. Każda z liczb c 2s ( gdzie s = 2 3 4 5 6 7 8 jest rówa zero lub jest potęgą dwójki. (A. Graville. 8.5.4. ( Jeśli = lub = 26 to c ( = c 2 ( = c 3 ( = c 4 ( = c 5 ( = = c 5 ( = 8. W przedstawieiu dwójkowym każdej z powyższych liczb występuje dokładie sześć jedyek oraz wszystkie zera są razem obok siebie. (2 Jeśli jest jedą z liczb 239 247 253 254 to c ( = c 2 ( = c 3 ( = c 4 ( = = c 5 ( = 6. W przedstawieiu dwójkowym każdej z powyższych liczb występuje dokładie siedem jedyek i przy tym wszystkie zera są razem obok siebie. W tym przypadku c 0 ( jest odpowiedio rówe 0 8 4 5. A. Graville Zaphod Beeblebrox s brai ad the fifty-ith row of Pascal s triagle [Mo] 99(4(992 38-33; Correctio: 04(9(997 848-85. J. G. Huard B. K. Spearma K. S. Williams Pascal s tr. modulo 8 [EuJC] 9(998 45-62. J. G. Huard B. K. Spearma K. S. Williams Pascal s tr. modulo 9 [ActA] 78(997 33-349. D. Małachowski Trójkąty Pascala w arytmetykach modulo m [Pmgr] 2003. 8.6 Trójkąt Pascala modulo p 8.6.. Niech p P. Następujące waruki są rówoważe. ( Żada z liczb 0 ie jest podziela przez p.... (2 = ap s gdzie 0 < a < p s. ([Ro85]. D. Jest oczywiste że jeśli < p to żada z liczb 0 p. Dalej zakładamy że p. Niech... = a r p r + a r p r + + a p + a 0 gdzie r 0 a r 0 będzie przedstawieiem p-adyczym liczby. (2 (. Załóżmy że = ap s p > a > 0 s. Wtedy = (a p s + (p p s 2 + + (p p + (p ie jest podziela przez jest przedstawieiem p-adyczym liczby. Wtedy każde k {0... } ma przedstawieie p-adycze postaci k = b s p s + b s p s 2 + + b p + b 0 gdzie b s a b 0... b s {0... p }. Z twierdzeia Lucasa 7.2.2 mamy więc a p p p 0 (mod p. k b s b s 2 b b 0

32 Adrzej Nowicki Silie i symbole Newtoa 8. Trójkąt Pascala modulo m Zatem wtedy żada z liczb iech 0... ( (2. Załóżmy teraz że wszystkie liczby ie jest podziela przez p. 0 = a r p r + + a p + a 0... ie są podziele przez p i (gdzie r a r 0 będzie przedstawieiem p-adyczym liczby. Przypuśćmy że a i < p dla pewego i {0... r }. Z twierdzeia Lucasa 7.2.2 wyika że wtedy ai (p p i = 0 (mod p p czyli wtedy p dzieli (p p i mamy sprzeczość. Zatem i a0 = a = a r = p i stąd = a r p r + (p p r 2 + + (p p + (p = (a r p r. 8.6.2 (J. Fie 947. Niech p P i iech = a k ( p k + ( + a p + a( 0 będzie przedstawieiem p-adyczym liczby aturalej. Wówczas w ciągu... występuje dokładie 0 (a 0 + (a + (a k + liczb iepodzielych przez p. ([MR] 933 [MR] 46#8842. D. (Sposób I. Rozważmy w pierścieiu Z p [x] wielomia (x +. Problem sprowadza się do stwierdzeia ile iezerowych jedomiaów ma te wielomia. W pierścieiu Z p [x] zachodzą astępujące rówości: (x + = (x + a kp k + +a p +a 0 ak ak = x pk + x pk + (x p + a (x + a0 ( (( ak = x a kp k ak + x (a k p k ak + + 0 0 ( (( a... x ap a + x (a p a0 + + 0 0 i k i k x a k p k + + x a0 + a0 x (a0 + +. Po wykoaiu wszystkich możeń widzimy że wielomia (x + jest sumą jedomiaów postaci ak ak a a0 x i kp k +i k p k + +i p +i 0 i i 0 gdzie i j a j dla j = 0... k. Jedomiaów tego typu jest dokładie (a 0 + (a + (a k +. Wszystkie oczywiście są iezerowe i są parami róże (gdyż rozkład p-adyczy jest jedozaczy. D. (Sposób II. Niech i {0... } i iech i = i k p k + + i p + i 0 będzie przedstawieiem p-adyczym. Wiemy z Twierdzeia Lucasa że ak ak a a0... (mod p. i i k i k Jeśli i j > a j dla pewego j to ( a j i j = 0 i stąd p ( i. Jeśli więc p ( i to ij a j dla wszystkich j = 0... k. Zachodzi też odwrotie: jeśli i j a j dla j = 0... k to wszystkie liczby postaci ( aj i j ie są podziele przez p i wtedy p ( i. W ciągu ( 0 (... ( występuje więc dokładie tyle liczb iepodzielych przez p ile jest ciągów (i 0 i... i k ieujemych liczb całkowitych takich że i j a j dla wszystkich j = 0... k. Ciągów takich jest oczywiście (a 0 + (a + (a k +. i i 0

Adrzej Nowicki Silie i symbole Newtoa 8. Trójkąt Pascala modulo m 33 8.6.3. Niech p będzie liczbą pierwszą. Dla każdej liczby aturalej liczba wszystkich liczb iepodzielych przez p występujących w ciągu... jest rówa 0 2 2 a 3 a 2 4 a3 (p a p 2 p a p gdzie każde a i dla i = 2... p jest liczbą wszystkich cyfr i występujących w przedstawieiu liczby w systemie umeracji o podstawie p. D. Jest to ie sformułowaie faktu 8.6.2. 8.6.4 (L. Carlitz 967. Niech p P i iech = a( k p k + ( +a p +a ( 0 będzie przedstawieiem p-adyczym liczby aturalej. Wówczas w ciągu... występuje dokładie 0 k i=0 (a 0 + (a i + (p a i a i+ (a i+2 +... (a k + liczb podzielych przez p i iepodzielych przez p 2. ([MR] 40#2554 [MR] 46# 8842. 8.6.5. W trójkącie Pascala modulo p (gdzie p P występuje w jakimś wierszu ciąg 0 a b wtedy i tylko wtedy gdy a(2a + b 0 (mod p. ([Mo] 8-9(980 z.e2775. W. A. Broomhead Pascal mod p [MG] 56(972 267-27. L. O. Cao Locatig multiples of primes i Pascal s triagle [Cmj] 20(4(989 324-328. B. Cherowitzo Pascal Triagle usig Clock Arithmetic - Part I Iteret: Jay s Corer5 http://www-math.cudever.edu/ wcherowi/jcor5.html. N. J. Fie Biomial coefficiets modulo a prime [Mo] 54(0(947 589-592. C. T. Log Some divisibility properties of Pascal s triagle [FQ] 9(98 257-263. C. T. Log Pascal triagle modulo p [FQ] 9(98 458-463. C. T. Log V. E. Hoggatt Jr. Sets of biomial coefficiets with equal products [FQ] 2(974 7-79. N. A. Volodi Number of multiomial coefficiets ot divis. by a prime [FQ] 32(994 402-406. N. A. Volodi Multiomial coefficiets modulo a prime [Pams] 27(999 349-353. Trójkąt Pascala modulo p [Mat] (999 3-32. 8.7 Trójkąt Pascala modulo p s E. T. Howard Formulas for the umber of biomial coefficiets divisible by a fixed power of a prime [Pams] 37(2(973 358-362. E. T. Howard The umber of multiomial coefficiets divisible by a fixed power of a prime [PacJ] 50(974 99-08. J. G. Huard K. S. Williams O Pascal triagle modulo p 2 [ColM] 74(997 57-65. M. Sved The geometry of the biomial array modulo p 2 ad p 3 [DisM] 92(99 395-46. W. A. Webb The umber of biomial coefficiets i residue classes modulo p ad p 2 [ColM] 60/6(990 275-280.

34 Silie i symbole Newtoa 8. Trójkąt Pascala modulo m 8.8 Podzielość liczby k przez Przez γ( ozaczamy liczbę wszystkich liczb całkowitych k takich że 0 < k oraz dzieli ( k. Przykłady: 8.8.. γ( ϕ(. ([Robb]. 2 3 4 5 6 7 8 9 0 γ( 2 4 2 6 4 6 6 2 3 4 5 6 7 8 9 20 γ( 0 5 2 6 8 8 6 0 8 0 8.8.2. Jeśli jest potęgą liczby pierwszej to γ( = ϕ(. ([Robb]. 8.8.3. Jeśli = 2p gdzie p jest liczbą pierwszą Mersee a to γ( = ϕ(. ([Robb]. 8.8.4. Liczby γ( i ϕ( są rówe wtedy i tylko wtedy gdy ( k dla wszystkich k takich że 0 < k oraz (k =. ([Robb]. 8.8.5. Dla każdej liczby aturalej 7 istieje liczba aturala i taka że 2 i /2 oraz ( i. ([NAvW] 396. H. Harborth Divisibility of biomial coefficiets by their row umber [Mo] 84((977 35-37. I. Murszewska Podzieliki symboli Newtoa [Pmgr] 999. Literatura [ActA] Acta Arithmetica polskie czasopismo matematycze. [Bry] M. Bryński Olimpiady Matematycze tom 7 3-35 79/80-83/84 WSiP Warszawa 995. [Cmj] The College Mathematics Joural The Mathematical Associatio of America. [ColM] Colloquium Mathematicum polskie czasopismo matematycze. [Crux] Crux Mathematicorum Caadia Mathematical Society popolare matematycze czasopismo kaadyjskie. [DisM] Discrete Mathematics czasopismo matematycze. [Dlt] Delta populary polski miesięczik matematyczo-fizyczo-astroomiczy. [EuJC] Europea Joural of Combiatorics. Academic Press Lodo (Europea J. Combi.. [FQ] The Fiboacci Quarterly czasopismo matematycze. [Gr98] A. Graville Biomial coefficiets (mod p q preprit iteret 998. [Gra] A. Graville Arithmetic properties of biomial coefficiets I: Biomial coefficiets modulo prime powers http://mosaic.cecm.sfu.ca/orgaics/papers/graville/paper/biomial. [Mat] [MG] Matematyka polskie czasopismo dla auczycieli. The Mathematical Gazette agielskie populare czasopismo matematycze.

Silie i symbole Newtoa 8. Trójkąt Pascala modulo m 35 [Mo] The America Mathematical Mothly Mathematical Associatio of America. [MR] Mathematical Reviews. [NAvW] Nieuw Archief voor Wiskude (Nieuw Arch. Wisk holederskie czasopismo matematyc ze. [Nord] Nordic Mathematical Competitio. [OM] Olimpiada Matematycza. [PacJ] Pacific Joural of Mathematics. [Pams] Proceedigs of the America Mathematical Society (Proc. Amer. Math. Soc.. [Pmgr] Praca magisterska Uiwersytet Mikołaja Koperika w Toruiu Wydział Matematyki i Iformatyki. [Ro85] N. Robbis O the umber of biomial coefficiets which are divisible by their row umber : II Caadia Mathematical Bulleti 28(985. [Robb] N. Robbis O the umber of biomial coefficiets which are divisible by their row umber Caadia Mathematical Bulleti 23(982. [S50] W. Sierpiński Teoria Liczb Warszawa - Wrocław 950. [Wio] I. Wiogradow Elemety Teorii Liczb PWN Warszawa 954.