L.Kowalski zadaia ze statystyki matematyczej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 Zadaie 3. Cecha X populacji ma rozkład N m,. Z populacji tej pobrao próbę 7 elemetową i otrzymao wyiki x7 = 9, 3, s7 =, 5 a Na poziomie ufości,95 zajdź przedział ufości dla wartości oczekiwaej m. b Na poziomie ufości,9 zajdź przedział ufości dla odchyleia stadardowego. c Na poziomie istotości, sprawdź hipotezy m =, m < d Na poziomie istotości, sprawdź hipotezy m = 8, 5, m > 8, 5 e Na poziomie istotości, 5 sprawdź hipotezy m =, m f Na poziomie istotości, sprawdź hipotezy =, 6,, 6 g Na poziomie istotości,5 sprawdź hipotezy =,, >, Porówaj wyiki z puktu a i e oraz b i f. odp. a <7,98;,6>, b <,; 3,65>, c ie ma podstaw do odrzuceia, d ie ma podstaw do odrzuceia, e ie ma podstaw do odrzuceia, f ie ma podstaw do odrzuceia. Zadaie 3. Waga paczki mąki jest zmieą losową X o wartości oczekiwaej m i odchyleiu stadardowym. Z partii mąki wybrao losowo paczek i obliczoo, że x =,998 kg, s =,5 kg. Na poziomie istotości, sprawdź hipotezy m =,, m <,, Ile wyosi krytyczy poziom istotości? odp. odrzucamy. Zadaie 3.3 Na pudełkach zapałek jest apis: przeciętie 48 zapałek. Z partii zapałek pobrao próbę pudełek i obliczoo, że średia liczba zapałek w pudełku jest rówa 47,5 szt. a odchyleie stadardowe w tej próbie jest rówe 3 szt. Zakładamy, że rozkład liczby zapałek w pudełku jest Nm,. Na poziomie istotości =, ustalić czy apis a pudełku jest zgody z rzeczywistością. Ile wyosi krytyczy poziom istotości? odp. u =,73; K = ;,54>, krytyczy poziom istotości,4. Zadaie 3.4 Sodaż opiii publiczej a temat frekwecji w zbliżających się wyborach wykazał, że w losowo wybraej grupie 5 osób 3 zamierza uczesticzyć w głosowaiu. Czy a poziomie istotości rówym,5 moża przyjąć, że poad 6% ogółu osób zamierza wziąć udział w wyborach? Ile wyosi krytyczy poziom istotości? odp. u =,8, k =,64, odrzucamy. Zadaie 3.5 Wysuięto hipotezę, że Studeci AM palą papierosy rzadziej iż studeci AWF. W celu jej sprawdzeia wylosowao po studetów z każdej z uczeli i zapytao ich czy palą. W grupie studetów AM papierosy paliło 34 osób, w grupie studetów AWF 38 osób. a a poziomie istotości rówym, zweryfikować prawdziwość postawioej hipotezy. b przy jakim poziomie istotości podjęta decyzja może ulec zmiaie? odp. u =,59; K = ;,5>, krytyczy poziom istotości,8. Zadaie 3.6 Czas przepisywaia jedej stroy przez maszyistkę cecha X jest zmieą losową o rozkładzie ormalym. Wylosowao próbę 9 maszyistek i otrzymao średią 7 miut i odchyleie stadardowe miuty. Czy a poziomie istotości =, moża twierdzić, że średi czas
L.Kowalski zadaia ze statystyki matematyczej-zestaw 3 przepisywaia jedej stroy przez maszyistki jest wyższy iż 5 miut tyle wyosi orma? Ile wyosi krytyczy poziom istotości? odp. u =,83; K = <,4;, krytyczy poziom istotości,. Zadaie 3.7 Zakłada się, że rozkład średicy produkowaych itów jest rozkładem ormalym o odchyleiu stadardowym, mm. Dokoao pomiarów średicy losowo wybraych itów, otrzymując wariację,5 mm. Przyjmując poziom istotości rówy,; zweryfikować hipotezę, że faktycza wariacja średicy itów jest zgoda z zakładaą ormą. Ile wyosi krytyczy poziom istotości? odp. u = 45; K = <7,4; ; brak zgodości z ormą Zadaie 3.8 Badaą cechą jest czas świeceia żarówek. Dwie idetycze maszyy produkują żarówki. Wylosowao po żarówek z produkcji poszczególych maszy i obliczoo, że: x = 63, = 59 x = x i x =, x, x i 86, 84 Zakładając, że badae cechy mają rozkłady ormale sprawdzić czy a poziomie istotości,5 moża uzać, że średi czas świeceia żarówek produkowaych przez obie maszyy jest taki sam. Ile wyosi krytyczy poziom istotości? wsk. moża przyjąć, że wariacje są sobie rówe bo idetycze maszyy, u =,9. Zadaie 3.9 L- Na podstawie pomiarów geodezyjych przyjęto, że odległość AB jest rówa 873m. Dokoao owych pomiarów odległości AB i otrzymao średią z próby 874,5m. Zakładając, że pomiary te mają rozkład ormaly Nm,. Przyjmując poziom istotości rówy,5; zweryfikować hipotezy m = 873 i m > 875. Ile wyosi krytyczy poziom istotości? Zadaie 3. L- Badaa cecha ma rozkład Nm,. Na podstawie próby 5-elemetowej otrzymao odchyleie stadardowe s 5 = 4,5. Przyjmując poziom istotości rówy,; zweryfikować hipotezy = 4 i > 4. Ile wyosi krytyczy poziom istotości? Zadaie 3. L-3 Badając 4 pudełek z zapałkami stwierdzoo, że średia liczba zapałek w pudełku jest rówa 47, szt. a odchyleie stadardowe w tej próbie jest rówe 5,8 szt. Na poziomie istotości =, zweryfikować hipotezy m = 48 i m < 48. Ile wyosi krytyczy poziom istotości? Zadaie 3. L-4 Badaa cecha ma rozkład Nm,. Na podstawie próby 6-elemetowej o wartościach 3,; 6,; 4,3;,8; 3,7; 4,8 zweryfikować hipotezy m = 4 i m 4. Przyjmij poziom istotości rówy,5. Ile wyosi krytyczy poziom istotości?
L.Kowalski zadaia ze statystyki matematyczej-zestaw 3 Zadaie 3.3 L-5 Badaa cecha ma rozkład Nm,. Dokoując 5 pomiarów otrzymao astępujące rezultaty: [, 3 7 pomiarów, [3, 4 8 pomiarów, [4, 5 pomiarów, [5, 6 5 pomiarów, Przyjmując poziom istotości rówy,; zweryfikować hipotezy = i. Ile wyosi krytyczy poziom istotości? Zadaie 3.4 L-6 Zużycie eergii elektryczej ma rozkład Nm,. Na podstawie próby -elemetowej o wartościach: 4; ; 5; ; 6; 5; ; 7;6; zweryfikować hipotezy m = 5 i m 5. Przyjmij poziom istotości rówy,5. Ile wyosi krytyczy poziom istotości? Zadaie 3.5 L-7 Zmierzoo średicę losowo wybraych śrub wytwarzaych przez automat i uzyskao astępujące wyiki pomiarów w mm 5,; 5,4; 5,6; 5,5; 4,9; 5,; 5,3; 5,; 4,9; 4,6; 5,6 Zakładając, że średice mają rozkład Nm, zweryfikować hipotezy =,4 i,4. Przyjmij poziom istotości rówy,5. Ile wyosi krytyczy poziom istotości? Zadaie 3.6 L-8 Zmierzoo zużycie losowo wybraych sprzęgieł i uzyskao astępujące wyiki pomiarów 65; 895; 354; 3; 3; 986; 467; 85; 8; 568 Zakładając, że zużycie ma rozkład Nm, zweryfikować hipotezy m = 3 i m > 3. Przyjmij poziom istotości rówy,5. Ile wyosi krytyczy poziom istotości? Zadaie 3.7 L-9 Badając 6 losowo wybraych telewizorów stwierdzoo, że ich średia czułość jest rówa 54µV a odchyleie stadardowe w tej próbie jest rówe 4,6µV. Na poziomie istotości =,5 zweryfikować hipotezy m = 5µV i m > 5µV. Ile wyosi krytyczy poziom istotości? Zadaie 3.8 L- Badaa cecha ma rozkład Nm,. Na podstawie próby 5-elemetowej o wartościach,4; 3,;,6; 4,;,3 zweryfikować hipotezy = i <. Przyjmij poziom istotości rówy,. Ile wyosi krytyczy poziom istotości? 3
L.Kowalski zadaia ze statystyki matematyczej-zestaw 3 Błędy decyzji w teście sprawdzającym hipotezę. Decyzja Przyjmujemy Odrzucamy - prawdziwa Decyzja właściwa Błąd I rodzaju - fałszywa Błąd II rodzaju Decyzja właściwa Prawdopodobieństwo popełieia błędu I rodzaju wyosi: Prawdopodobieństwo popełieia błędu II rodzaju wyosi: P U P U K = K = β Testy do weryfikacji hipotez o wartości oczekiwaej I. Cecha X populacji ma rozkład ormaly Nm,, jest zae ipoteza zerowa m = m ipoteza SprawdziaU Zbiór krytyczy K Wyzaczaie alteratywa m > m < k ; Φk = m < m X m ; k > Φk = m / ; k > < k ; m Φ k = 3 II. Cecha X populacji ma rozkład ormaly Nm,, ie jest zae. ipoteza zerowa m = m ipoteza Sprawdzia Zbiór krytyczy K Wyzaczaie alteratywa U m > m < k ; P T k = 4 m < m X m ; k > P T k = 5 S / m ; k > < k ; P T k = 6 m III. Cecha X populacji ma dowoly rozkład, próba jest licza >. ipoteza zerowa m = m ipoteza Sprawdzia Zbiór krytyczy K Wyzaczaie alteratywa U m > m < k ; Φk = 7 X m m < m S / ; k > Φk = 8 m m ; k > < k ; Φ k = 9 4
L.Kowalski zadaia ze statystyki matematyczej-zestaw 3 Test do weryfikacji hipotezy o prawdopodobieństwie sukcesu Cecha X populacji ma rozkład zerojedykowy P X = = p, P X = = p, p ; ipoteza zerowa p = Próba licza > ipoteza p Sprawdzia U Zbiór krytyczy K Wyzaczaie alteratywa p > p W p < k ; Φk = p < p p ; k > Φk = p p p W średia liczba sukcesów ; k > < k ; Test do weryfikacji hipotez o odchyleiu stadardowym Cecha X populacji ma rozkład ormaly Nm,. ipoteza zerowa = Φ k = ipoteza Sprawdzia Zbiór krytyczy K Wyzaczaie liczb alteratywa U k i l > < k ; P Y k = 3 S < ; k > P Y k = 4 Uwaga: dla >3 moża stosować statystykę o rozkładzie N,. ; k > < l ; Y l = / P P Y k = / S U = 5 Testy do porówywaia wartości oczekiwaych Badae są dwie cechy X i Y różych populacji. Zakładamy, że cechy te są zmieymi losowymi iezależymi. Z populacji, w której badaa jest cecha X pobrao próbę elemetową, atomiast z drugiej populacji pobrao próbę elemetową.. Cechy X i Y mają rozkłady ormale odpowiedio N m,, N m,, przy czym odchyleia stadardowe i są zae. ipoteza zerowa m = ipoteza alteratywa m Sprawdzia U Zbiór krytyczy K Wyzaczaie m > X Y < k ; Φ = m m < ; k > m k 6 Φk = 7 m m ; k > < k ; Φ k = 8 5
L.Kowalski zadaia ze statystyki matematyczej-zestaw 3. Cechy X i Y mają rozkłady ormale odpowiedio N m,, N m,, przy czym odchyleia stadardowe obu cech są sobie rówe i ie są zae. ipoteza zerowa m = m ipoteza U alteratywa Sprawdzia Zbiór krytyczy K m > X Y < ; m m < ; k > m S S Wyzaczaie P T = k k P T k = 9 m m ; k > < k ; P T k = Wielkość S S S p = azywamy wariacją populacji. 3. Cechy X i Y mają rozkłady dowole o wartościach oczekiwaych m, m, przy czym próby są licze,, >. ipoteza zerowa m = m ipoteza alteratywa Sprawdzia U Zbiór krytyczy K Wyzaczaie m > < k ; Φ = m m < ; k > m S X Y S k Φk = 3 m m ; k > < k ; Φ k = 4 6
L.Kowalski zadaia ze statystyki matematyczej-zestaw 3 Test do porówywaia prawdopodobieństw sukcesu. Badae są dwie cechy X i Y różych populacji o rozkładach zerojedykowych, P X = = p, P X = =, P Y = = p, P Y = =, p p Z populacji, której badaa jest cecha X pobrao próbę elemetową, atomiast z drugiej populacji pobrao próbę elemetową. Obie próby są licze, >. ipoteza zerowa: p = p ipoteza alt. Sprawdzia U Zbiór krytyczy K Wyzaczaie p p p p p p > W W < k ; Φk = 5 < ; k > Φk = W W 6 ; k > < k ; Φ k = 7 W, W średie liczby sukcesów w poszczególych próbach, W = k /, W = k /, W = k k / - średia liczba sukcesów w połączoych próbach, W = W W Test do weryfikacji hipotez o porówywaiu wariacji Cechy X i Y mają rozkłady ormale odpowiedio N m,, N m,. Z populacji, w której badaa jest cecha X pobrao próbę elemetową, atomiast z drugiej populacji pobrao próbę elemetową. Tak dobieramy ozaczeia populacji aby Sˆ ˆ ipoteza zerowa = S ipoteza SprawdziaU Zbiór krytyczy K Wyzaczaie alteratywa S ˆ P F ; k = > ˆ < k ; S F - rozkład Sedecora 8 4..9 7