B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y Z J E Nr 4 28 Dorota KUCHTA* ODPORNY WYBÓR PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH Zapropoowao zastosowae podeśca odporego do wyboru edego spośród zboru proektów westycyych. Omówoo zasady podeśca odporego róże stosowae w m krytera decyzye. Zapropoowao algorytm pozwalaący zastosować to podeśce do wyboru proektów westycyych zwracaąc uwagę a umeryczą stroę zastosowaa algorytmu. Następe zaprezetowao przykład lczbowy. Słowa kluczowe: proekt westycyy wybór proektów epewość. Wstęp Proekty westycye charakteryzuą sę coraz wększym stopem epewośc formac w momece podemowaa decyz dokoue sę oczywśce estymac akładów kosztów stopy dyskotowe w poszczególych latach realzac proektu ale wadomo że w rzeczywstośc aprawdopodobe wystąpą e kwoty ekedy zacze różące sę od wykazaych z estymac. Dlatego bardzo waże są metody ocey proektów w sytuac epewośc epełośc formac. Jedym z owych podeść do wyboru rozwązaa optymalego w takch właśe sytuacach est tzw. podeśce odpore (ag. robust [] [3]). Ideą tego podeśca est szukae takego rozwązaa czy dokoae takego wyboru z którego będzemy w marę zadowole w przypadku gdy rzeczywste wartośc parametrów decyz okażą sę ame korzyste z przewdywaych (akłady okażą sę awyższe z przewdywaych wydatk aższe tp.). Podeśce odpore reprezetue zatem podeśce pesymsty który uważa że zazwycza e ma szczęśca e lub ryzyka a przegraych. * Istytut Orgazac Zarządzaa Poltechka Wrocławska ul. Smoluchowskego 25 5-372 Wrocław e-mal: Dorota.Kuchta@pwr.wroc.pl
62 D. KUCHTA W eszym artykule zapropouemy zastosowae podeśca odporego do wyboru spośród klku proektów edego który będze ostatecze realzoway ako akorzysteszy. Na początku sformalzuemy deę podeśca odporego wyboru a astępe zastosuemy ą do wyboru proektów. Podeśce zlustrowao przykładem lczbowym. 2. Odpory wybór akorzysteszego waratu Załóżmy że mamy do wyboru m waratów W ( =... m) których aważeszą charakterystyką est welkość N ( =... m) która powa być ak amesza lub ak awększa w zależośc od sytuac (tu przymuemy że chodz o mmalzacę te charakterystyk). Nestety w momece podemowaa decyz wadomo tylko że welkość ta będze przymować (zae) wartośc N (s) ( =... m) gdze s może być dowolym scearuszem ze (zaego) zboru scearuszy S e wadomo atomast który ze scearuszy wystąp w rzeczywstośc. To okaże sę dopero po dokoau wyboru waratu. Podeśce odpore akazue dokoać wyboru waratu po zastosowau edego z dwóch kryterów:. Kryterum agorszego przypadku Stosuąc kryterum agorszego przypadku zakładamy że ezależe od tego który warat wyberzemy zrealzue sę te scearusz w którym wybray warat W ma ame korzystą wartość N. Dlatego wyberamy tak warat W który speła astępuący waruek: ) przy maksymalzac charakterystyk: m N = (m N ) =... m ) przy mmalzac charakterystyk: N = m ( N ) =... m czyl dla którego ame korzysty scearusz dae lepszą wartość charakterystyk waratu ż ame korzysty scearusz dla wszystkch ych waratów. 2. Kryterum ameszego żalu Stosuąc kryterum ameszego żalu zakładamy że decyduący dla decydeta est właśe żal odczuway przez decydeta w momece kedy uż wadomo ak wystąpł scearusz żal spowodoway wyborem e tego rozwązaa ake w faktycze zastałym scearuszu byłoby alepsze. Żal te merzymy różcą mędzy osągętą charakterystyką wybraego waratu charakterystyką waratu który w zastałym scearuszu byłby alepszy. Stosuąc kryterum mmalego żalu wyberamy tak warat który zapewa ameszy możlwy żal zakładamy bowem poowe pesymstycze że sytuaca okaże sę ekorzysta: okaże sę że wybralśmy e te warat który ależało wybrać będzemy odczuwać żal. Kryte-
Odpory wybór proektów westycyych 63 rum mmalego żalu prowadz zatem do wyboru takego waratu W który speła astępuący waruek: ) przy maksymalzac charakterystyk: Nl N = m l =... m =... ) przy mmalzac charakterystyk: N m l =... m N l = m =... m Nl N l =... m m N m Nl. l =... m 3. Zastosowae kryterum agorszego scearusza ameszego żalu do wyboru proektów westycyych Przy ocee proektów westycyych stosue sę róże charakterystyk z których często występuącą est teraźesza wartość etto przepływów ake maą być geerowae przez proekt. Jeśl proekt ma geerować węce wydatków ż wpływów lczy sę NPV wydatków etto (po odęcu wpływów) wówczas chodz o mmalzacę te charakterystyk proektów. Jeśl proekt ma geerować węce wpływów lczy sę NPV wpływów etto wówczas chodz oczywśce o maksymalzacę tak rozumae NPV. Naszym waratam W ( =... m) będą zatem róże proekty z których ma być wybray ede. Załóżmy że wszystke maą trwać lat. Ozaczmy estymowae zdyskotowae [4] przepływy proektu W w poszczególych latach =... przez F. Nech N ( =... m) ozacza NPV poszczególych proektów. Mamy wówczas N = F Wybór proektu byłby oczywsty gdyby przepływy F mogły być dokłade oszacowae w momece podemowaa decyz. Tak może być edak bardzo rzadko. Załóżmy zatem że przepływy F mogą być oszacowae tylko ako fukce para- metru t [] w postac astępuącego wzoru: F = + f t f f..
64 D. KUCHTA Parametr t [] reprezetue w pewym sese scearusz. Jeśl przepływy proektu są zdyskotowaym wydatkam to dobry scearusz odpowada wartośc t = (amesze wydatk rówe f ) a zły scearusz t = (awększe wydatk rówe f ). W przypadku zdyskotowaych wpływów t = odpowada agorszemu scearuszow t = atomast alepszemu. Nas edak teresue terpretaca scearusza e w stosuku do edego roku lecz w stosuku do całego proektu czyl waratu. Załóżmy że dla każdego z proektów day rok ozacza tak samo złą lub dobrą passę czyl że t est dla ustalo- ego detycze; możemy zatem mówć po prostu o t. Założee to ozacza ż przymuemy że day rok będze dla frmy dobry lub zły że odbe sę to w każdym realzowaym proekce. Scearuszem będze zatem -ka lczb ( t... t ) t... t [] a charakterystyką oceaącą proekt W dla daego scearusza t... t ) będze N ( t... t ) = f ( Oczywśce w momece podemowaa decyz scearusz e est zay. Do wyboru proektów zastosuemy zatem podae wyże metody. Posłużmy sę aperw kryterum agorszego scearusza. Wybray zostae przy m proekt W który speła astępuący waruek: przy maksymalzac NPV t + t f f. m N (( t... t )) = ( ) = m ((... N t t t... t... m ( t... t )... t [ ] t... t [ ] przy mmalzac NPV t N (( t... t )) = m ( ) = ((... N t t t... t... m ( t... t )... t [ ] t... t [ ] )) )). Wzory te moża w rozpatrywaym przypadku moco uproścć. Poeważ w przypadku wydatków agorsze NPV est osągae dla wartośc parametru a w przypadku wpływów dla wartośc zero wzory te ależy wyrazć w astępuące postac: przy mmalzac NPV N ((...)) = ( N ((...))) czyl f = f =... m =... m
Odpory wybór proektów westycyych 65 przy maksymalzac NPV N ((... )) = ( N ((... ))) czyl f = f =... m =... m. Wybór proektu przy zastosowau kryterum agorszego scearusza est zatem bardzo prosty wystarczy polczyć NPV wszystkch proektów dla scearusza ( ) lub ( ) wybrać te dla którego otrzymao wartość maksymalą (mmalą). Zammy sę teraz kryterum mmalego żalu. Przy zastosowau tego kryterum zostae wybray proekt W który speła astępuący waruek: przy maksymalzac NPV Nl N l =... m przy mmalzac NPV N m l =... m = N l = m Nl N l =... m =... m m N m =... m l =... m N l. W przypadku rozpatrywaego przez as rozumea scearuszy otrzymuemy astępuące waruk: przy maksymalzac NPV = Nl ( t... t) N ( t... t ) l =... m... t [ ] t m =... m t przy mmalzac NPV = Nl ( t... t) N ( t... t ) l =... m... t [ ] N ( t... t ) t... t [ ] m ( t... t ( t... t ) ( t... t ) m N ( t... t ) ) (... ) m (... ) N t t Nl t t ( t... t ) l =... m [ ] =... m t... t l =... m Przedstawmy teraz praktycze wyzaczee proektu który będze alepszy zgode z kryterum mmalego żalu. Będze oo polegało a realzac astępuących kroków: l
66 D. KUCHTA Krok. Wyzaczee dla każdego =... m podzboru: w przypadku maksymalzac NPV S ( t... t) : t... t [] Nl ( t... t) = N ( t... t) l =... m w przypadku mmalzac NPV S ( t... t) : t... t [] m Nl ( t... t) = N ( t... t) l =... m czyl takego podzboru zboru scearuszy S dla których proekt W ma alepszą wartość charakterystyk. Numerycza realzaca tego kroku polega a rozwązau układu m + 2 erówośc lowych z ewadomym: ewadomym będą parametry t... t erówośc perwszego typu to m porówań mędzy NPV proektu W NPV pozostałych proektów czyl Nl ( t... t) N ( t... t) =... m przy maksymalzac NPV Nl ( t... t) N ( t... t) =... m przy mmalzac NPV 2 erówośc zapewaących że t... []. t l zadaa pro- Krok 2. Rozwązae dla każdego = m l = m gramowaa lowego: w przypadku maksymalzac NPV N ( t... t l ( t... t ) N ) S w przypadku mmalzac NPV N ( t... t ( t... t l ) S. ( t... t ) N ( t... t l l ) ) Otrzymaą optymalą wartość fukc celu ozaczamy przez R l. Numerycza realzaca tego kroku polega a zastosowau p. powszeche zaego algorytmu smpleks. Krok 3. Wyzaczee dla każdego = m wartośc R = R l =.. m R będze maksymalym żalem ak decydet może odczuwać eśl wyberze proekt W łatwo bowem pokazać że: l
Odpory wybór proektów westycyych 67 przy maksymalzac NPV R = Nl ( t... t) N ( t... t) ( t... t ) l =... m [ ] t... t przy mmalzac NPV R = N ( t... t) m Nl ( t... t). ( t... t ) l =... m [ ] t... t Krok 4. Wybrae do realzac proektu W o mmalym R Przedstawoy algorytm est łatwy do umerycze realzac. Pozwala wyzaczyć proekt spełaący kryterum mmalego żalu. W astępym rozdzale zaprezetuemy przykład lustruący opsay sposób postępowaa przy wyborze proektów bądź zgode z kryterum agorszego scearusza bądź ameszego żalu. 4. Przykład lczbowy Rozpatrzmy zbór astępuących czterech proektów z których każdy ma trwać trzy lata. Należy wybrać tylko ede z ch. Plaowae zdyskotowae przepływy dla każdego z proektów (zakładamy że chodz o proekty geeruące tylko wydatk zatem alepsze będą proekty maące ak ameszą NPV) przedstawoo w tabel. Tabela. Dae lczbowe do przykładu t t 2 t3 [ ] Rok Rok 2 Rok 3 NPV W 2 + t 4 + t 2 6 + t 3 2 + t + t 2 + 2t 3 W 2 2 + 3t 3 + 3t 2 2 + 6t 3 7 + 3t + 3t 2 + 6t 3 W 3 + t 8 + t 2 + 2t 3 9 + t + t 2 + 2t 3 W 4 4 + t 6 + t 2 8 + t 3 8 + t + t 2 + t 3 Zastosowae kryterum agorszego scearusza wymaga zalezea proektu który charakteryzue sę ameszą NPV przy agorszym scearuszu czyl dla t = t2 = t3 =. Łatwo polczyć że stosuąc to kryterum dokoamy wyboru W. Zastosumy teraz kryterum ameszego żalu. Po zrealzowau perwszego kroku algorytmu zapropoowaego w poprzedm rozdzale otrzymamy astępuące podzbory zboru {( t t2 t3) : t t2 t3 []} : S = {( t t2 t3) : 2t + 2t2 + 4t3 5 t t2 t3 []} S 2 = {( t t2 t3) : 2t + 2t2 + 4t3 5 t t2 t3 []} S S są zboram pustym. 3 4
68 D. KUCHTA Wartośc R l dla = 2 3 4 l = 2 (a skrzyżowau wersza W kolumy S l ) oraz R dla = 2 3 4 podao w tabel 2. Tabela 2. Wartośc R l dla = 2 3 4 l = 2 S S 2 R W 5 5 W 2 3 3 W 3 7 2 2 W 4 6 Wdzmy zatem że maksymaly żal ak może odczuwać decydet będze ameszy w przypadku wyboru proektu W 2. W omawaym przykładze występue zatem typowa sytuaca z aką mamy do czyea w przypadku podemowaa decyz w warukach epełośc/epewośc formac. Wybór proektu e est edozaczy edo kryterum wskazue a W druge a W 2. Zasadczą rolę odgrywa tuta decydet; to o mus wedzeć czy aważesze est dla ego to co sę stae przy agorszym scearuszu czy też decyduące zaczee ma żal ak może odczuwać z powodu wyboru e tego rozwązaa co trzeba. Waże est edak zastosowae węce ż edego kryterum. W aszym przypadku oba krytera wyłoły po edym kadydace których moża mędzy sobą porówać. Warto też rozważać e tylko proekty które przy poszczególych kryterach są alepsze ale róweż te które są blske tym alepszym. Take proekty łatwo wyzaczyć poprzez drobą modyfkacę metody. U as rozpatrzee przy obu kryterach zarówo proektu alepszego ak koleego pod względem wartośc kryterum wskazałoby w obu przypadkach a proekty W W 2 a także pokazałoby że proekty te e różą sę bardzo pomędzy sobą pod względem wartośc obu kryterów. Te fakt potwerdzłby że są to proekty alepsze aczkolwek wybór kokretego proektu spośród ch e est edozaczy. W takm przypadku moża zastosować e krytera e loścowe które występuą w każde sytuac w praktyce. 5. Podsumowae W eszym artykule zapropoowao sposób wyboru edego spośród zboru alteratywych proektów w warukach epewośc formac kedy parametry proektów (przepływy peęże) e są zae dokłade wadomo tylko w ak sposób zależą od wystąpea różych scearuszy (p. lepszego lub gorszego roku). Podstawowym kryterum ocey proektów ak wykorzystao est teraźesza
Odpory wybór proektów westycyych 69 wartość etto ale zaprezetowae w artykule rezultaty moża przeeść róweż a e krytera ocey proektów p. zysk czy okres zwrotu poeważ w warukach epełe formac samo zastosowae kryterum teraźesze wartośc etto (czy akegokolwek ego kryterum ocey proektów) e wystarczy. Ne dae oo bowem edozaczego wyku poeważ to który proekt est alepszy pod względem daego kryterum zależy od scearusza. Z różorodośc możlwych scearuszy lteratura propoue stosowae kryterum agorszego scearusza lub ameszego żalu przy czym oba te krytera są kryteram prowadzącym do decyz tzw. odporych czyl dość zadowalaących awet w agorszym przypadku. Właśe to podeśce zostało zastosowae do wyboru proektów w eszym artykule. Podao odpowed algorytm postępowaa oraz omówoo umeryczą stroę ego zastosowaa. Bblografa [] AVERBAKH A. M regret solutos for m optmzato problems wth ucertaty Operatos Research Letters 2 27 57 65. [2] KUCHTA D. Optmzato wth Fuzzy Preset worth Aalyss ad Applcatos [w:] Kahrama Cegz (red.) Fuzzy Egeerg Ecoomcs wth Applcatos Sprger-Verlag 28 49 78. [3] KUCHTA D. Robust selecto of vestmet proects. Odpory wybór proektów westycyych [w:] Iteratoal Coferece o Fuzzy Sets ad Soft Computg Ecoomcs ad Face FSSCEF 24 Proceedgs Sat-Petersburg Russa Jue 7 2 24 Vol. 2. Mexco: Isttuto Mexcao del Petroleo 24438 445 [4] SIERPIŃSKA M. JACHNA T. Ocea przedsęborstwa według stadardów śwatowych PWN Warszawa 27. Robust choce of vestmet proects I the paper we dscuss the problem of selectg oe vestmet proect from a set cotag several proects the stuato whe ther parameters (above all the cash flows) are stll ukow exactly. I such a stuato the choce of oe proect s ot uequvocal. Whle takg smlar decsos varous approaches are used: probablstc fuzzy ad recetly more ad more ofte the robust oe. The robust approach a approach whch assures us that we wll choose a far proect o matter what ts actual parameters wll be (whch wll become kow oly the future). I the robust approach varous crtera are appled most ofte the crtero of the worst scearo ad the oe of the smallest regret. It s these crtera that we apply here to the choce of vestmet proects. For both crtera we gve a exact algorthm allowg to determe the best proect the respect to the respectve crtero. The algorthm s good from the computatoal pot of vew also for a bg umber of proects from amog whch we are to choose oe because t s based o the well kow smplex algorthm. We llustrate our approach wth a umercal example. It shows that both crtera may gve dfferet solutos thus the method proposed here does ot a uequvocal aswer. However whe we aalyze
7 D. KUCHTA both solutos we otce that t s precsely both crtera together that ca dstgush a set of those proects whch are the best oes. The decso maker ca choose from ths heavly reduced proects group oe proect usg o-quattatve crtera (ofte poltcal oes) whch exst each decso stuato but whch are dffcult to clude the geeral model. Keywords: vestmet proect proect selecto ucertaty