Teorie plasticity Varianty teorie plasticity Teorie plastického tečení Přehled základních vztahů Pružnoplastická matice tuhosti materiálu 1
Pružnoplastické chování materiálu (1) Pracovní diagram pro případ osového namáhání prutu: f F u plastic elastic
Pružnoplastické chování materiálu () F u 1. Ideálně pružnoplastický. Pružnoplastický se zpevněním 3. Tuhoplastický F u F u F u 3
Podmínka plasticity f() F 1 f() u 4
Varianty teorie plasticity (1) Teorie plastických deformací: popisuje vztahy mezi konečnými hodnotami složek vektorů napětí a deformace: = D EP ε řešení nezávisí na zatěžovací dráze ε 5
Varianty teorie plasticity () Teorie plastického tečení: popisuje vztahy mezi přírůstky (rychlostmi) napětí a deformace: = D ep ε výsledky řešení závisí na zatěžovací dráze řešení je možno provést jako posloupnost přírůstkových kroků ε 6
Teorie plastického tečení (1) Hledané veličiny přírůstky (rychlosti): napětí: = { x, y, z, τ yz, τ yz, τ xy } T poměrných deformací: ε = { ε x, ε y, ε z, γ yz, γ yz, γ xy } T posunů: u = { u, v, ẇ} 7
Teorie plastického tečení () Předpoklady: znalost napětí a poměrných deformací ε na začátku zatěžování pole jednotlivých studovaných veličin vyhovují všem okrajovým podmínkám úlohy 8
Pružnoplastická matice tuhosti materiálu (1) Fyzikální (konstitutivní) rovnice: = D ep ε Rozklad přírůstku deformace na pružnou a plastickou část: ε = ε e + ε p Podmínka plasticity (slouží k popisu přechodu z pružného do plastického stavu): f(, k) = 0 9
Pružnoplastická matice tuhosti materiálu () Podmínka konzistence materiálu v plastickém stavu: { } f T { } f T df = {d} + {dk} = 0 k Celková změna plastického potenciálu je rovna 0. 10
Pružnoplastická matice tuhosti materiálu (3) Rychlost plastické deformace (zákon plastického přetváření): { } f ε p = dλ Vektor přírůstků (rychlostí) napětí: ( = d = D e ( ε ε p ) = D e ε dλ { }) f 11
Pružnoplastická matice tuhosti materiálu (4) Ekvivalentní plastická deformace: dε p = ε pt ε p = dλ { f } T { } f Z podmínky konzistence: { } f T { } f T { } f D e dε dλ D e { f + dλ f } T { } f ε p = 0 1
Pružnoplastická matice t. m. (5) Vyjádření parametru dλ: dλ = { } f T De ε { } f T { } { } f De + f f T { } f ε p ( { }) Dosazení do vztahu pro přírůstky napětí = D e ε dλ f : = D e ε { } f T De ε { } f T { } { } f De + f f T { } f ε p { df d } 13
Pružnoplastická matice t. m. (6) Získaný vztah pro je možné upravit do tvaru: = D ep ε, kde pružnoplastická matice tuhosti materiálu D ep je: D ep = D e { } { D f f T e } De { f { } f T { } De f f ε p } T { } f 14
Podmínka plasticity a porušení 1. Počáteční podmínka plasticity. Následná podmínka plasticity 3 F 1 3. Podmínka porušení 1 u 1 3 15
Zpevnění (1) F 1 u 16
Zpevnění () Kinematické následné podmínky plasticity mění polohu tvar a velikost se nemění Izotropní velikost se proporcionálně zvětšuje následné podmínky plasticity nemění polohu Kombinované nejvíce odpovídá skutečným látkám 1 1 17
Zpevnění (3) Kombinované zpevnění 1 18
Podmínky plasticity (1) Teorie maximálních normálových napětí (Rankine): md 1 mt 1 mt = 0 mt md 1 md = 0 md mt 19
Podmínky plasticity () Teorie maximálních smykových napětí (Tresca): τ max = 1 3 τ m = 0 mt 1 3 mt = 0 (τ m = mt ) mt mt 1 md = mt mt 0
Podmínky plasticity (3) Podmínka měrné energie změny tvaru (von Mises) (von Mises, Huber, Hencky): von Mises ( 1 ) + ( ) + ( 1 3 ) = mt mt md = mt Poznámka: von Misesovo napětí : ( 1 ) + ( ) + ( 1 3 ) mt mt Tresca mt 1 1
Podmínky plasticity (4) Mohrova Coulombova podmínka: 1 mt md 3 mt = 0 md mt mt md 1 md mt
Podmínky plasticity (4) Chen Chenova podmínka: Tvar podmínky pro oblast tlak tlak ( 1 < 0 a < 0, 3 < 0): f ybc f yc f yt f yt 1 J + A yc 3 I 1 τ yc = 0 Tvar pro ostatní oblasti: J 1 6 I 1 + A yt 3 I 1 τ yt = 0 parabola f yc f ybc hyperbola 3
Chen Chenova podmínka plasticity (1) Klasické podmínky plasticity (von Mises, Tresca) pro beton nevyhovují Experimentální výzkum betonových vzorků ve stavu rovinné napjatosti (prof. Kupfer, Německo) Řada aproximací experimentálně zjištěných dat (Kupfer, Chen a Chen, Willam a Warnke,... ) Chen a Chen: Aproximace Kupferových dat pomocí kuželoseček Funkce navržena jako podmínka plasticity i podmínka porušení betonu mt mt mt mt 1 1 4
Chen Chenova podmínka pl. () Tvar podmínky pro oblast tlak tlak ( 1 < 0 a < 0, 3 < 0): f ybc f yc f yt f yt 1 J + A yc 3 I 1 τ yc = 0 Tvar pro ostatní oblasti: kde: J 1 6 I 1 + A yt 3 I 1 τ yt = 0 I 1 = 1 + + 3 J = 1 ( 1 + + 3 ) parabola f yc f ybc hyperbola 5
Chen Chenova podmínka pl. (3) Vyjádření konstant A yx, τ yx pomocí úměrnosti materiálu: A yc = f ybc f yc f ybc f yc τ yc = f ybcf yc (f yc f ybc ) 3(f ybc f yc ) f ybc f yc f yt f yt 1 A yt = f yc f yt τ ut = f ycf yt 6 parabola hyperbola f yc f ybc 6
Chen Chenova podmínka porušení (3) Podmínka porušení materiálu může být definována stejným postupem pomocí mezí pevnosti materiálu: J + A uc 3 I 1 τ uc = 0 J 1 6 I 1 + A ut 3 I 1 τ ut = 0 A uc = f ubc f uc f ubc f uc τ yc = f ubcf yc (f uc f ubc ) 3(f ubc f uc ) A ut = f uc f ut τ ut = f ucf ut 6 7
Chen Chenova podmínka porušení (4) Mezilehlé podmínky (pro stavy ležící mezi podmínkou plasticity a podmínkou porušení): A c = α c τc + β c A t = α t τt + β t u y α c = A uc A yc τ uc τ yc β c = A ycτ uc A yc τ yc τ uc τ yc α t = A ut A yt τ ut τ yt β t = A ytτ ut A ytτ yt τ ut τ yt 8
Příbuzné podmínky Kupferova podmínka porušení: definována pro D napjatost používá data ze standardizovaných zkoušek (válcová pevnost betonu) Podmínka Willama Warnkeho: definována pro 3D tvarově a vstupními daty velmi podobná Chen Chenově p.: f = 1 I 1 + 3z c 1 J 1 = 0 5r(θ) c 9
Příklad konečněprvkový model oblouku 30
Příklad plastické oblasti na oblouku 31
Příklad pracovní diagram (závislost F w) 140 "arc18chen.rtrack" using 3:5 "arc18smc.rtrack" using 3:5 10 100 Relative load 80 60 40 0 0 0 0.05 0.1 0.15 0. 0.5 0.3 0.35 Relative displacement 3