Ústav anorganické technologie: Aplikovaná reakční kinetika - cvičení 6. Tok E do. + tupním proudem N N. i=1
|
|
- Magdalena Urbańska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 6 Bilance energie Bilanci energie (E) je možno formulovat následovně Množství Rychlost Tok E do akumulace = systému z vyko- nané práce E v systému okolí systémem Množství dodané E vs- Množství + tupním proudem odvedené E výstupním (1) proudem Jako bilancovaná hodnota se volí entalpie, respektive parciální molární entalpie. Cílem bilance energie je získat informaci o časové nebo prostorové změně teploty reagujícího systému. Bilance energie pro CSTR Rovnice vyjadřující bilanci energie pro průtočný, ideálně míchaný reaktor zapíšeme v následujícím tvaru [ N ] n ih i dh dt = d dt kde symboly v předchozí rovnici jsou = Q Ẇs + F 0 i h 0 i F i h i, (2) H enthalpie reakční směsi v reaktoru J n i počet molů i-té složky v reaktoru mol h i parciální molární entalpie i-té složky v reakční směsi J mol 1 h o i parciální molární entalpie i-té složky J mol 1 v reakční směsi na vstupu do reaktoru F i, Fi o výstupní, resp. vstupní molární toky i-té složky mol s 1 Q tepelný tok z okolí (teplosměnného média) J s 1 = Watt do reaktoru W s užitečná (jiná než objemová) práce J s 1 = Watt konaná v reaktoru (např. elektrická) Bilance hmoty i-té složky můžeme vyjádřit následovně dn i dt = F o i F i + ν i r V V R, (3) a dosazením do akumulačního členu rovnice 2 získáme [ dni dt h i + dh ] [ i dt n i = (Fi o F i + ν i r V V R )h i + dh ] i dt n i, (4) 1
2 a pokud dosadíme do původní rovnice a upravíme Předpoklady: [ ] dhi dt n i = Q Ẇs + F o i (h o i h i ) r V V R 1. Reagující systém koná pouze objemovou práci Ẇ s = 0 2. Parciální molární enthalpie i-té složky závisí pouze na teplotě h i (T ) = h i (T ref ) + T ν i h i (5) T ref C p,i dt, (6) kde T ref je referenční teplota a C p,i je molární tepelná kapacita složky i za konstantního tlaku. 3. Tepelný tok mezi reakční směsí a teplosměnným médiem lze vyjádřit následovně Q = κa m (T m T ), (7) kde κ je souhrný koef. prostupu tepla, A m je teplosměnná plocha, T m a T jsou teploty média a reakční směsi Pro reakční teplo platí H R (T ) = ν i h i (T ), (8) a po dosazení do rovnice 5 získáme dt dt n i C p,i = κa m (T m T ) + + F o i ( T0 + ( H R )r V V R. T ref C p,i dt T T ref C p,i dt ) + a po úpravě integrálů v předchozí rovnici dostaneme 2
3 dt dt n i C p,i = κa m (T m T ) + + ( T ) Fi o C p,i dt + T 0 + ( H R )r V V R, (9) a pokud předpokládáme konstantní molární tepelnou kapacitu C p,i dt dt n i C p,i = κa m (T m T ) F o i C p,i (T T 0 ) + ( H R )r V V R. (10) Tato rovnice, společne s rovnicemi bilance hmoty pro N složek, nám poskytuje informaci o vývoji teploty a složení v průtočném, ideálně míchaném reaktoru. Bilance energie pro BATCH reaktor Bilance energie pro ideálně míchaný vsádkový reaktor, ve kterém je konána pouze objemová práce (Ẇs = 0), zahrnuje pouze akumulační člen a teplosměnný člen a je vyjádřena následujícím vztahem d(n i h i ) dt A po úpravách obdobných jakou u CSTR získáme = Q. (11) dt dt n i C p,i = κa m (T m T ) + ( H R )r V V R. (12) Bilance energie pro PFR Bilance energie pro reaktor s pístovým tokem, ve kterém je konána pouze objemová práce (Ẇs = 0) je vyjádřena následujícím vztahem d(n i h i ) dt = Q + F 0 i h 0 i F i h i, (13) kde horní index 0 označuje veličiny odpovídající vstupu do reaktoru. Budeme-li uvažovat pouze ustálený stav 0 = Q + F 0 i h 0 i F i h i, (14) 3
4 a za F i dosadíme z bilance hmoty F i = F 0 i 0 = Am 0 κ(t m T )da m + F 0 i h 0 i + ν i VR 0 r V dv R [( VR ) ] Fi 0 + ν i r V dv R h i. (15) 0 Po úpravách a za přijetí předpokladů jako tomu bylo u CSTR, získáme pro trubkový reaktor s kruhovým průřezem tento vztah dt dz F 0 i C p,i = πd R κ(t m T ) + ( H R )r V πd 2 R/4, (16) kde z je axiální souřadnice reaktoru a d R je jeho průměr. Příklad 6.1a Reakce 1. řádu vzhledem k výchozí látce probíhá v kapalné fázi v ideálně míchaném průtočném reaktoru o objemu 2 m 3 A produkty. Nástřik obsahuje pouze látku A a jeho objemový průtok je 300 l min 1. Koncentrace látky A v nástřiku je 4 mol l 1. K dispozici máme následující data: c p = 3.5 J g 1 K 1, ρ = 1.15 g cm 3, H R = 50 kj mol 1 Rychlostní konstanta reakce je funkcí teploty podle vztahu k A = k exp ( E A /RT ) = exp ( 12000/T ), kde k A /min 1 a T /K. Určete konverzi a teplotu za předpokladu stacionárního a adiabatického chování systému, pro tyto teploty nástřiku (a) 290 K (b) 298 K (c) 305 K 4
5 Příklad 6.1b 1 Obdobně jako v příkladě 6.1a probíhá reakce prvního řádu v adiabatickém CSTR v kapalné fázi A produkty. Data potřebná k výpočtů jsou uvedena v následující tabulce Parametr Hodnota Jednotky c 0 A 2 kmol m 3 k ref min 1 ρ 1000 kg m 3 T K T ref 298 K H R kj kmol 1 Ĉ p 4 J kg 1 K 1 E K Rychlostní konstanta reakce je funkcí teploty podle vztahu k = k ref exp ( E(1/T 1/T ref )) Vyneste závislost konverze na době zdržení (τ = V R / V ) v rozmezí 0-40 min. 1 Příklad převzat z Rawlings and Ekerdt:Chemical Reactor Analysis and Design Fundamentals, Nob Hill Publishing, Madison 2002, Fig. 6.8, 5
6 Příklad 6.2 V mikroreaktoru s pístovým tokem probíhá oxidace SO 2 podle rovnice SO 2 + 1/2O 2 = SO 3. (17) Reakce probíhá v objemové fázi a je vystižena kinetickou rovnicí ( r V = k y SO2 yo y ) SO 3, (18) K kde y i jsou molární zlomky, r V je rychlost reakce v mol s 1 m 3 a K je rovnovážná konstanta. Pro rychlostní konstantu se uvádí vztah ( ) k = exp, (19) RT kde k je v jednotkách (mol s 1 m 3 ). Rovnovážná konstanta reakce je funkcí teploty ln K = /T. (20) Reakční entalpie se uvažuje konstantní H R = 98 kj mol 1. Taktéž molární tepelná kapacita směsi je konstantní C p = 30 J mol 1 K 1. Složení vstupní směsi v molárních zlomcích je 0.06 SO 2, 0.15 O 2, 0.0 SO 3 a 0.79 N 2. Nástřik do reaktoru je mol s 1 a jeho teplota je 873 K. Tlak v reaktoru je konstantní 101 kpa. Délka reaktoru je 0.15 m a průměr d R je m. Vypočtěte konverzi SO 2 a teplotu podél reaktoru pro následující případy: 1. Izotermní reaktor 2. Adiabatický reaktor 3. Reaktor s optimálním teplotním profilem 6
7 Pro výpočet optimálního teplotního profilu je třeba vyřešit rovnici po úpravě dr V dt = 0 (21) 0 = E a exp ( ) ( Ea yso2 yo2 y RT SO3 exp ( A 2 A )) T 1 ( R A 2 y SO3 exp E a RT A ) 2 T A 1 Příklad 6.3 V trubkovém reaktoru s pístovým tokem probíhá v kapalné fázi reakce A = B, (22) v přítomnosti inertní látky I. Poměr vstupních molárních toků A:I je 0.5. Kinetická rovnice popisující rychlost reakce je ( r V = k c A c ) B, (23) K kde K je rovnovážná konstanta V následující tabulce jsou uvedena data potřebná k výpočtu c 0 A 2000 mol m 3 Ea 41.8 kj mol 1 FA mol s 1 H R 83.6 kj mol 1 FB 0 0 mol s 1 K 1000 (300 K) FI mol s 1 k s 1 (300 K) C p,a 668 J mol 1 K 1 V R 0.01 m 3 C p,b 668 J mol 1 K 1 C p,i 75 J mol 1 K 1 Spočtěte konverzi látky A na výstupu z reaktoru, který se chová adiabaticky. Uvažujte ideální chování kapalné směsi. 7
8 Příklad 6.4 Látka B se získává ve vsádkovém reaktoru s vnějším chlazením silně exotermickou reakcí A B, ( H R = 200 kj mol 1 ) (24) jejíž rychlost lze vyjádřit následující kinetickou rovnicí r V = kc A, (25) kde rychlostní konstanta je funkcí teploty podle vztahu ( ) k = (T T 0 ) exp, (26) RT T 0 kde k je v jednotkách s 1 a T 0 je referenční teplota 273 K. V provozu je k dispozici vsádkový reaktor o objemu 0.5 m 3, teplosměnnou plochou 0.42 m 2 a koeficient prostupu tepla v tomto reaktoru je 6.25 kw m 2 K 1. Vlastnosti reakční směsi jsou: Specifická tepelná kapacita c p 4200 J kg 1 K 1 Hustota reakční směsi ρ 1000 kg m 3 c A mol m 3 Úkolem je vypočíst takovou teplotu chladícího média T m aby bylo v co nejkratší době dosaženo konverze X A 0.8 a zároveň nebyla překročena teplota reakční směsi 410 K při které se již začíná rozkládat produkt B. Přesnost regulace teploty chladícího média je 2 K. 8
9 T m = 276 K, t reak 7 hod Příklad 6.5 V ideálně míchaném průtočném reaktoru o objemu m 3 probíhá v kapalné fázi reakce A + B 2C, ( H R = kj mol 1 ) (27) jejíž rychlost lze vyjádřit následující kinetickou rovnicí r V = kc A c B, (28) kde rychlostní konstanta je funkcí teploty podle vztahu k = exp ( 1 ) 104, (29) T kde k je v jednotkách s 1 mol 1 m 3. Teplosměnná plocha reaktoru je m 2 a koeficient přestupu tepla je 70 W m 2 K 1. Vlastnosti reakční směsi jsou v daném teplotním a koncentračním oboru: Specifická tepelná kapacita c p 2720 kj m 3 K 1 Do reaktoru vstupuje ekvimolární směs látek A a B, kde C 0 A = mol m 3. Průtok reakční směsi je konstantní a je roven m 3 s 1 Zjistěte a analyzujte stacionární stavy uvedeného systému pro teplotu nástřiku 290 K a teplotu chladícího média 360 K. 9
10 T 1,s = 314 K, T 2,s = 451 K, T 3,s = 336 K 1200 F1 F Q [J/mol] T/K Příklad 6.6 Vodík se vyrábí tzv. WGS 2 reakcí CO + H 2 O CO 2 + H 2, ( H R = 39.4 kj mol 1 ) (30) v trubkovém reaktoru s pístovým tokem za normálního tlaku. Nástřik obsahuje 19% (molárních) CO a jeho teplota je 653 K. Molární tepelná kapacita reakční směsi se může uvažovat konstantní v daném oboru teplot a koncentrací c p =33.9 J mol 1 K 1. Vypočtěte: a) Konverzi CO pokud je teplota na výstupu 773 K b) Maximální adiabatický vzrůst teploty v reaktoru X A =0.55, T ad =220 K Příklad 6.7 Ve vsádkovém reaktoru o konstantním objemu probíhá v plynné fázi reakce A B C, ( H R = 98 kj mol 1 ) (31) Na počátku reakce je v reaktoru teplota 673 K. Molární tepelné kapacity složek a počáteční složení reakční směsi: 2 WGS - water gas shift 10
11 Složka c p /J mol 1 K 1 x 0 i A B C Vypočtěte: a) Konverzi složky A pokud je teplota v reaktoru po uplynutí určité doby τ rovna 973 K b) Maximální adiabatický vzrůst teploty v reaktoru X A =0.38, T ad 1541 K Příklad 6.8 V průtočném ideálně, míchaném reaktoru probíhá reakce A + B C + D, ( H R = 1396 kj mol 1 ) (32) Na počátku reakce je v reaktoru teplota 298 K. Molární tepelné kapacity složek a počáteční složení reakční směsi: Složka c p /kj mol 1 K 1 x 0 i A B C D Vypočtěte: a) Pracovní teplotu v reaktoru pokud je konverze složky A 70% b) Jak se změní pracovní teplota (při stejné konverzi) pokud je nástřik složen z 30% A, 30% B a 40% inertu, jehož tepelná kapacita je 41.9 kj mol 1 K 1 a)t =317 K, b)t=307 K Příklad 6.9 V ideálně míchaném reaktoru (BATCH) probíhá reakce A + B C, ( H R = 20 kj mol 1 ) (33) Na počátku reakce je v reaktoru teplota 298 K. Molární tepelné kapacity složek a počáteční složení reakční směsi: 11
12 Složka c p /J mol 1 K 1 c 0 i /mol m 3 A B C 56 0 Vypočtěte konverzi složky A pokud je teplota v reaktoru 393 K. X A =0.58 Příklad 6.10 Nevratná reakce prvního řádu je prováděna v CSTR v plynné fázi do 20% konverze látky A za konstantního tlaku. Stechiometrická rovnice reakce je Rychlost reakce je vyjádřena vztahem A B. r V = kc A, kde rychlostní konstanta k (v jednotkách s 1 ) je ( k(t ) = k exp E ) ( a = exp ) RT T Reakční entalpii H R uvažujte pro zjednodušení nezávislou na teplotě a molární tepelnou kapacitu reakční směsi pokládejte nezávislou na teplotě a složení. H R (T 0 ) = 243 kj mol 1 a c p = 190 J mol 1 K 1 Vypočtěte objem adiabatického reaktoru a teplotu na výstupu z reaktoru. Předpokládejte ideální chování plynné fáze a ustálený stav. Další údaje o systému jsou Teplota vstupního proudu, T 0 = 600 K Nástřik do reaktoru (při T 0 a pouze látka A), V 0 V R = m 3, T =856 K = m 3 s 1 Koncentrace A na vstupu (pro T 0 ), c A 0 = 1000 mol m 3 12
13 Příklad 6.11 Reakce A + B C + D, ( H R = 168 kj mol 1 ) (34) je prováděna v BATCH reaktoru. Teplota reakční směsi v reaktoru na počátku reakce je 313 K. Koncentrace složky A na počátku je 2.4 kmol m 3. Střední měrná tepelná kapacita reakční směsi je konstantní 2.09 kj kg 1 K 1. Hustota reakční směsi je konstantní 960 kg m 3. Ověřte zda je možno reaktor provozovat v adiabatickém režimu do konverze (A) 40%, aniž by teplota reakční směsi přesáhla 373 K. Ne, protože T =393 K Příklad 6.12 V ideálně míchaném průtočném reaktoru o objem 10 m 3 se hydrolýzou ethylenoxidu(a) vyrábí ethylenglykol(c) A + B C. (35) Požadovaná produkce je 8000 tun ethylenglykolu za rok (8000h). Koncentrace ethylenoxidu na vstupu je 1.7kmol m 3 a kinetická rovnice pro tuto reakci je ( r = exp ) c A [kmol m 3 s 1 ]. T Jestliže má reaktor pracovat při konverzi 90% A, jaká musí být pracovní teplota? T =459 K Příklad 6.13 V ideálně míchaném průtočném reaktoru probíhá v kapalné fázi nevratná reakce A R + S. (36) Reakce je prvního řádu vzhledem k složce A. Její rychlostní konstanta je při 298 K rovna s 1 a aktivační energie je rovna J mol 1. K dispozici jsou následující 13
14 data, která považujeme nezávislá na teplotě H reac. = J mol 1 V 0 = m 3 s 1 T 0 = 298 K c 0 A = 2000 mol m 3 c 0 R, c 0 S = 0 mol m 3 V REAC = 0.5 m 3 ρ mix = 1050 kg m 3 c p,mix = J kg 1 K 1 Za předpokladu ustáleného stavu zjistěte: a) Kolik bude třeba odvést tepla z reaktoru, aby byla teplota reagující směsi udržena na teplotě 298 K a jaká bude konverze složky A při těchto podmínkách? b) Jaká bude konverze a teplota v reaktoru v adiabatickém režimu? c) Na jakou teplotu bude třeba předehřát vstupní proud aby byla teplota výstupního proudu z adiabatického reaktoru rovna 363 K? Jaká bude konverze složky A v tomto případě? d) Stěny reaktoru jsou zhotovené z oceli jejíž tepelná kapacita je 502 J kg 1 K 1 a hmotnost prázdného reaktoru je 800 kg. Jaký bude mít vliv hmota (kapacita) reaktoru na předchozí výpočty? a)x A =0.09, b) T adiab. = 301 rovnice 10. X A,adiab. = 0.11, c) T 0 (363) = 311 K, X A,363 = 0.67 d) viz. Příklad 6.14 V adiabatickém průtočném reaktoru s pístovým tokem probíhá reakce A B, jejíž reakční entalpie je H R = kj mol 1. Reakční rychlost je popsána následující kinetickou rovnicí ( r V = k c A c ) B, K 14
15 kde k je rychlostní konstanta a K je rovnovážná konstanta, která pro teplotu 298 K je rovna Tepelnou kapacitu reagujících složek (c p,a = c p,b = 40 J mol 1 K 1 ) je možno považovat za konstantní v studovaném oboru teplot a koncentrací. Vypočtěte maximální dosažitelnou konverzi složky A, pro y 0 A = 1 a T 0 = 300 K. X A =
Matematika III Stechiometrie stručný
Matematika III Stechiometrie stručný matematický úvod Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík Ústav matematiky Přednášky LS 2015-2016 Obsah 1 Zápis chemické reakce 2 umožňuje jednotný přístup
Funkce zadané implicitně. 4. března 2019
Funkce zadané implicitně 4. března 2019 Parciální derivace druhého řádu Parciální derivace druhého řádu funkce z = f (x, y) jsou definovány: Parciální derivace 2 f 2 = ( ) f 2 f 2 = ( ) f 2 f a 2 f 2 f
Inverzní Z-transformace
Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 9. přednáška 11MSP úterý 16. dubna 2019 verze: 2019-04-15 12:25
Matematika 2, vzorová písemka 1
Matematika 2, vzorová písemka Pavel Kreml 9.5.20 Přesun mezi obrazovkami Další snímek: nebo Enter. Zpět: nebo Shift + Enter 2 3 4 Doporučení Pokuste se vyřešit zadané úlohy samostatně. Pokud nebudete vědět
N413011/M Fitování experimentálních dat (rovnováha kapalina-pára)
Textové zadání příkladů Softwarová podpora předmětu Optimalizace inženýrských procesů - N413011/M413005 Autoři: prof. RNDr. Milan Kubíček, CSc. Ing. Jiří Kolář Ústav matematiky (413) 1 Extrémy funkcí reálných
Úvodní informace. 18. února 2019
Úvodní informace Funkce více proměnných Cvičení první 18. února 2019 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Úvodní informace. Komunikace: e-mail: olga@majling.eu nebo olga.majlingova@fs.cvut.cz
Rovnice proudění Slapový model
do oceánského proudění Obsah 1 2 3 Co způsobuje proudění v oceánech? vyrovnávání rozdílů v teplotě, salinitě, tlaku, ρ = ρ(p, T, S) vítr - wind stress F wind = ρ air C D AU 2 10 slapy produkují silné proudy,
5. a 12. prosince 2018
Integrální počet Neurčitý integrál Seminář 9, 0 5. a. prosince 08 Neurčitý integrál Definice. Necht funkce f (x) je definovaná na intervalu I. Funkce F (x) se nazývá primitivní k funkci f (x) na I, jestliže
Plyny v dynamickém stavu. Jsou-li ve vakuovém systému různé teploty, nebo tlaky dochází k přenosu energie, nebo k proudění plynu.
Plyny v dynamickém stavu Jsou-li ve vakuovém systému různé teploty, nebo tlaky dochází k přenosu energie, nebo k proudění plynu. Difuze plynu Mechanismus difuze závisí na podmínkách: molekulární λ L viskózně
Vybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2018-2019 Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 1 / 11 Křivkový integrál Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 2 / 11 Parametricky zadaná křivka v R 3 :
Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu
Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1 řádu Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter
Geometrická nelinearita: úvod
Geometrická nelinearita: úvod Opakování: stabilita prutů Eulerovo řešení s využitím teorie 2. řádu) Stabilita prutů Ritzovou metodou Stabilita tenkých desek 1 Geometrická nelinearita Velké deformace průhyby,
1 Soustava lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Soustava lineárních rovnic 2 Řešitelnost soustavy lineárních rovnic 3 Gaussova eliminační metoda 4 Jordanova eliminační
Co nám prozradí derivace? 21. listopadu 2018
Co nám prozradí derivace? Seminář sedmý 21. listopadu 2018 Derivace základních funkcí Tečna a normála Tečna ke grafu funkce f v bodě dotyku T = [x 0, f (x 0 )]: y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) Normála: y
Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více
5 Diferenciální počet funkcí více proměnných Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více proměnných, především budeme pracovat s funkcemi dvou proměnných Ukážeme
(1) Derivace. Kristýna Kuncová. Matematika B2 17/18. Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35
(1) Derivace Kristýna Kuncová Matematika B2 17/18 Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35 Růst populací Zdroj : https://www.tes.com/lessons/ yjzt-cmnwtvsq/noah-s-ark Kristýna Kuncová (1) Derivace 2 / 35 Růst
Stavový popis Stabilita spojitých systémů (K611MSAP) Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT. čtvrtek 20. dubna 2006
Modelování systémů a procesů (K611MSAP) Přednáška 4 Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT Pravidelná přednáška K611MSAP čtvrtek 20. dubna 2006 Obsah 1 Laplaceova transformace Přenosová funkce
Skraplacze wyparne. Odpaøovací kondenzátory D 127/3-5 PL/CZ
Skraplacze wyparne (70 do 80 kw) Odpaøovací kondenzátory (70 do 80 kw) INSTRUKCJA DOBORU I DANE TECHNICZNE VÝBÌR A TECHNICKÁ DATA D 7/-5 PL/CZ VCL DANE I PROCEDURA DOBORU VCL DATA PRO VÝBÌR A POSTUP PØI
Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f(b) f(a) b a. Geometricky
Monotónie a extrémy funkce Diferenciální počet - průběh funkce Věta o střední hodnotě (Lagrange) Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f (ξ)
Numerické metody 8. května FJFI ČVUT v Praze
Obyčejné diferenciální rovnice Numerické metody 8. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Základní metody Pokročilejší metody Soustava Vyšší řád Program 1 Úvod Úvod - Úloha Základní úloha, kterou řešíme
Kristýna Kuncová. Matematika B2 18/19
(6) Určitý integrál Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 1 / 28 Newtonův integrál Zdroj: https://kwcalculus.wikispaces.com/integral+applications Kristýna Kuncová (6)
Diferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se
Diferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se separovanými proměnnými. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské
Jednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.
Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Obsah 1 2 Obsah 1 2 Společné vlastnosti jednoduchých zobrazení: Zobrazovací ref. plocha je rovina - souřadnice X, Y, případně ρ, ɛ Zobrazovaná ref. plocha je eliposid
Jednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.
Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Obsah 1 2 Obsah 1 2 Společné vlastnosti jednoduchých zobrazení: Zobrazovací ref. plocha je rovina - souřadnice X, Y, případně ρ, ɛ Zobrazovaná ref. plocha je eliposid
Powyższe reguły to tylko jedna z wersji gry. Istnieje wiele innych wariantów, można też ustalać własne zasady. Miłej zabawy!
Krykiet W krykieta może grać od 2 do 4 osób, którzy albo grają każdy przeciw każdemu, albo dzielą się na dwie drużyny. Bramki oraz palik startowy i powrotne umieszcza się tak, jak pokazano na rysunku.
Aproximace funkcí 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885. Body proložíme lomenou čarou.
Příklad Známe následující hodnoty funkce Φ: u Φ(u) 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885 Odhadněte přibližně hodnoty Φ(1,02) a Φ(1,16). Možnosti: Vezmeme hodnotu v nejbližším bodě. Body proložíme lomenou čarou.
kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův)
TÉMA 7: Pružný poloprostor, modely podloží pružný poloprostor základní předpoklady pružný poloprostor Boussinesqueovo řešení kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův) 1 Pružný poloprostor (1) vychází z
Teorie plasticity. Varianty teorie plasticity. Pružnoplastická matice tuhosti materiálu
Teorie plasticity Varianty teorie plasticity Teorie plastického tečení Přehled základních vztahů Pružnoplastická matice tuhosti materiálu 1 Pružnoplastické chování materiálu (1) Pracovní diagram pro případ
Základní elektrotechnická terminologie,
Přednáška č. 1: Základní elektrotechnická terminologie, veličiny a zákony Obsah 1 Terminologie 2 2 Veličiny 6 3 Kirchhoffovy zákony 11 4 Literatura 14 OBSAH Strana 1 / 14 1 TERMINOLOGIE Strana 2 / 14 1
Komplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18
Komplexní analýza Mocninné řady Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18 Posloupnosti komplexních čísel opakování
DFT. verze:
Výpočet spektra signálu pomocí DFT kacmarp@fel.cvut.cz verze: 009093 Úvod Signály můžeme rozdělit na signály spojité v čase nebo diskrétní v čase. Další možné dělení je na signály periodické nebo signály
Určitý (Riemannův) integrál a aplikace. Nevlastní integrál. 19. prosince 2018
Určitý (Riemnnův) integrál plikce. Nevlstní integrál Seminář 9. prosince 28 Určitý integrál Existence: Necht funkce f (x) je definovná n uzvřeném intervlu, b. Necht je splněn n tomto intervlu kterákoliv
Whirlpool Serie 300. Pharo Whirlpool. Pharo Whirlpool Moneva 300 R
Pharo Whirlpool Whirlpool Serie 300 Pharo Whirlpool Moneva 300 L Pharo Whirlpool Moneva 300 R Pharo Whirlpool Iseo Twin 320 Pharo Whirlpool Victoria Twin 325 Pharo Whirlpool Teslin 330 Pharo Whirlpool
x2 + 2x 15 x 2 + 4x ) f(x) = x 2 + 2x 15 x2 + x 12 3) f(x) = x 3 + 3x 2 10x. x 3 + 3x 2 10x x 2 + x 12 10) f(x) = log 2.
Příklady k 1 zápočtové písemce Definiční obor funkce Určete definiční obor funkce: x + x 15 1 f(x x + x 1 ( x + x 1 f(x log x + x 15 x + x 1 3 f(x x 3 + 3x 10x ( x 3 + 3x 10x f(x log x + x 1 x3 + 5x 5
Návod k obsluze 2 Ďäçăßĺň ńţóçň 10 Instrukcja obsugi 18 Kullanma Kýlavuzu 26
Návod k obsluze 2 Ďäçăßĺň ńţóçň 10 Instrukcja obsugi 18 Kullanma Kýlavuzu 26 9241 ESKY Dkujeme Vám, že jste se rozhodli pro tento výrobek firmy SOEHNLE PROFESSIONAL. Tento výrobek je vybaven všemi znaky
studijní text Jaroslav Vlček Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB-TU Ostrava
Matematické modelování studijní text Jaroslav Vlček Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB-TU Ostrava 2. února 2018 Obsah 1 Principy matematického modelování 3 1.1 Motivační úlohy.....................................
Automatové modely. Stefan Ratschan. Fakulta informačních technologíı. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
Automatové modely Stefan Ratschan Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Stefan
Pharo Whirlpool Serie 200
M o n t a g e a n l e i t u n g Instrukcja montażu Návod k montáži Ðóêîâîäñòâî ïî ìîíòàæó Pharo Whirlpool Serie 200 Pharo Whirlpool 200 Links 2270xxx Pharo Whirlpool 200 Rechts 22702xxx Pharo Whirlpool
Obsah. 1.2 Integrály typu ( ) R x, s αx+β
Sbírka úloh z matematické analýzy. Čížek Jiří Kubr Milan. prosince 006 Obsah Neurčitý integrál.. Základní integrály...................................... Integrály typu ) R, s α+β γ+δ d...........................
Internet a zdroje. (Zdroje na Internetu) Mgr. Petr Jakubec. Katedra fyzikální chemie Univerzita Palackého v Olomouci Tř. 17.
Internet a zdroje (Zdroje na Internetu) Mgr. Petr Jakubec Katedra fyzikální chemie Univerzita Palackého v Olomouci Tř. 17. listopadu 12 26. listopadu 2010 (KFC-INTZ) Databáze, citování 26. listopadu 2010
TGH01 - Algoritmizace
TGH01 - Algoritmizace Jan Březina Technical University of Liberec 28. února 2017 Co je to algoritmus? Porovnávání algoritmů Porovnávání algoritmů Co je to algoritmus? Který algoritmus je lepší? Záleží
Statistika (KMI/PSTAT)
Statistika (KMI/PSTAT) Cvičení deváté aneb Důležitá rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 15 Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina
x y (A)dy. a) Určete a načrtněte oblasti, ve kterých je funkce diferencovatelná. b) Napište diferenciál funkce v bodě A = [x 0, y 0 ].
II.4. Totální diferenciál a tečná rovina Značení pro funkci z = f,: totální diferenciál funkce f v bodě A = 0, 0 ]: dfa = A 0+ A 0 Označme d = 0, d = 0. Pak dfa = A d+ A d Příklad91.Je dána funkce f, =.
Petr Beremlijski, Marie Sadowská
Počítačová cvičení Petr Beremlijski, Marie Sadowská Katedra aplikované matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB - Technická univerzita Ostrava Cvičení : Matlab nástroj pro matematické modelování
(2) Funkce. Kristýna Kuncová. Matematika B2. Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25
(2) Funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25 Sudá a lichá funkce Určete, které funkce jsou sudé a které liché: liché: A, D, E sudé: B Kristýna Kuncová (2) Funkce 2 / 25
Laplaceova transformace
Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 5. přednáška 11MSP 219 verze: 219-3-17
Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici
Řešení ODR v MATLABu Přednáška 3 15. října 2018 Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 Víme, že v intervalu a, b existuje jediné řešení. (f (x, y) a f y jsou spojité
Energetické principy a variační metody ve stavební mechanice
Energetické principy a variační metody ve stavební mechanice Přetvárná práce vnějších sil Přetvárná práce vnitřních sil Potenciální energie Lagrangeův princip Variační metody Ritzova metoda 1 Přetvárná
Kristýna Kuncová. Matematika B2
(3) Průběh funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 1 / 26 Monotonie (x 2 ) = 2x (sin x) = cos x Jak souvisí derivace funkce a fakt, zda je funkce rostoucí nebo klesající?
Stochastické modelování v ekonomii a financích Konzistence odhadu LWS. konzistence OLS odhadu. Předpoklady pro konzistenci LWS
Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě Stochastické modelování v ekonomii a financích 7. 12. 2009 Obsah Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě 1 Whitův 2 pro 3 heteroskedasticitě
studijní text Jaroslav Vlček Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB-TU Ostrava
Matematické modelování studijní text Jaroslav Vlček Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB-TU Ostrava 15. září 216 Obsah 1 Principy matematického modelování 3 1.1 Motivační úlohy.....................................
Masarykova univerzita
Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Řešení úkolů 4. série 4. ročník (2013/2014) B3 Fotochemie Autor: Marek Martínek (e-mail: marek.martinek@gmail.com) 17 bodů 1. Albert Einstein, jednotka Einstein
MIKROMECHANICKÉ MODELY PRO TEPELNOU VODIVOST V KOMPOZITNÍCH MATERIÁLECH S NEDOKONALÝM. Doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D.
MIKROMECHANICKÉ MODELY PRO TEPELNOU VODIVOST V KOMPOZITNÍCH MATERIÁLECH S NEDOKONALÝM SPOJENÍM SLOŽEK Soutěžní práce Jan Stránský Vedoucí práce: Doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D. České Vysoké Učení Technické
MATEMATIKA 3. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATIKA 3 Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Osnova: Komplexní funkce - definice, posloupnosti, řady Vybrané komplexní funkce
Komplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32
Komplexní analýza Úvod Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32 Základní informace Stránky předmětu: http://math.feld.cvut.cz/bohata/kan.html
Numerické metody minimalizace
Numerické metody minimalizace Než vám klesnou víčka - Stříbrnice 2011 12.2. 16.2.2011 Emu (Brkos 2011) Numerické metody minimalizace 12.2. 16.2.2011 1 / 19 Obsah 1 Úvod 2 Základní pojmy 3 Princip minimalizace
Fakulta biomedic ınsk eho inˇzen yrstv ı Teoretick a elektrotechnika Prof. Ing. Jan Uhl ıˇr, CSc. L eto 2019
Fakulta biomedicínského inženýrství Teoretická elektrotechnika Prof. Ing. Jan Uhlíř, CSc. Léto 2019 6. Vedení obvod s nesoustředěnými parametry 1 Obecný impulsní signál základní parametry t r t f u vrchol
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 28 Studijní program: Studijní obory: Fyzika FFUM Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Příklad 25 bodů Nechť {x n } je posloupnost, f : R R
Fakulta biomedic ınsk eho inˇzen yrstv ı Teoretick a elektrotechnika Prof. Ing. Jan Uhl ıˇr, CSc. L eto 2017
Fakulta biomedicínského inženýrství Teoretická elektrotechnika Prof. Ing. Jan Uhlíř, CSc. Léto 2017 5 1. Obvody druhého řádu frekvenční a časová analýza Širokopásmový obvod Rezonanční obvod 1 RC obvod
Register and win! www.kaercher.com
Register and win! www.kaercher.com A B A, B A B 2 6 A régi készülékek értékes újrahasznosítható anyagokat tartalmaznak, amelyeket tanácsos újra felhasználni. Szárazelemek, olaj és hasonló anyagok ne kerüljenek
Linea rnı (ne)za vislost
[1] Lineární (ne)závislost Skupiny, resp. množiny, vektorů mohou být lineárně závislé nebo lineárně nezávislé... a) zavislost, 3, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010,
Fakulta biomedic ınsk eho inˇzen yrstv ı Teoretick a elektrotechnika Prof. Ing. Jan Uhl ıˇr, CSc. L eto 2019
Fakulta biomedicínského inženýrství Teoretická elektrotechnika Prof. Ing. Jan Uhlíř, CSc. Léto 2019 8. Nelineární obvody nesetrvačné dvojpóly 1 Obvodové veličiny nelineárního dvojpólu 3. 0 i 1 i 1 1.5
Funkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál
Matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 29. 9. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura
TGH01 - Algoritmizace
TGH01 - Algoritmizace Jan Březina Technical University of Liberec 31. března 2015 Metainformace materiály: jan.brezina.matfyz.cz/vyuka/tgh (./materialy/crls8.pdf - Introduction to algorithms) SPOX: tgh.spox.spoj.pl
Návod k použití BUBNOVÁ SUŠIČKA
Návod k použití BUBNOVÁ SUŠIČKA CZ Česky, 1 SK Slovenčina, 52 TCD 83B HU Magyar, 18 TR Türkçe, 69 PL Polski, 35 Při prvním zapnutí sušičky musíte zvolit preferovaný jazyk, viz str. 6 Obsah Důležité informace,
Sb ırka pˇr ıklad u z matematick e anal yzy II Petr Tomiczek
Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah 0 Diferenciální rovnice. řádu 0. Separace proměnných Příklad : Najděte obecné řešení (obecný integrál) diferenciální rovnice y = tg x tg y.
Obsah. Zobrazení na osmistěn. 1 Zobrazení sféry po částech - obecné vlastnosti 2 Zobrazení na pravidelný konvexní mnohostěn
Obsah 1 2 3 Použití Zobrazení rozsáhlého území, ale hodnoty zkreslení nesmí přesáhnout určitou hodnotu Rozdělením území na menší části a ty pak zobrazíme zvlášť Nevýhodou jsou však samostatné souřadnicové
Obecná orientace (obvykle. Makroskopická anizotropie ( velmi mnoho kluzných rovin )
Fyzikální zdůvodnění plasticity (1) Změny v krystalické mřížce Schmidtův zákon : τ τ τ max (1) Dosažení napětí τ max vede ke změnám v krystalické mřížce Deformace krystalické mřížky pružná deformace Změny
POLIURETANOWE SPRĘŻYNY NACISKOWE. POLYURETHANOVÉ TLAČNÉ PRUŽINY
POLIURETAOWE SPRĘŻYY ACISKOWE. POLYURETHAOVÉ TLAČÉ PRUŽIY Oferowane są wymiary wyrobów o różnych twardościach. Konstrukcja tych sprężyn umożliwia zastąpienie sprężyn tradycyjnych tam, gdzie korozja, wibracje,
Elementární funkce. Edita Pelantová. únor FJFI, ČVUT v Praze. katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze
Elementární funkce Edita Pelantová FJFI, ČVUT v Praze Seminář současné matematiky katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze únor 2013 c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor 2013 1 / 19 Polynomiální
Zadání: Vypočítejte hlavní momenty setrvačnosti a vykreslete elipsu setrvačnosti na zadaných
Příklad k procvičení : Průřeové charakteristik Zadání: Vpočítejte hlavní moment setrvačnosti a vkreslete elipsu setrvačnosti na adaných obracích. Příklad. Zadání: Rokreslení na jednoduché obrace: 500 T
Kapitola 2. Nelineární rovnice
Kapitola. Nelineární rovnice Formulace: Je dána funkce f : R! R definovaná na intervalu ha; bi. Hledáme x ha; bi tak, aby f(x) = 0. (x... kořen rovnice) Poznámka: Najít přesné řešení analyticky je možné
Matematika (KMI/PMATE)
Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam (smysl) koeficientů lineární
návod k použití instrukcja obsługi
návod k použití instrukcja obsługi Pračka Pralka EWF 106510 W 2 electrolux OBSAH Electrolux. Thinking of you. Více o nás naleznete na adrese www.electrolux.com Bezpečnostní informace 2 Popis spotřebiče
Montageanleitung. Instrukcja montażu Návod pro montáž Èíñòðóêöèÿ ïî ìîíòàæó. Duschtempel
Montageanleitung Instrukcja montażu Návod pro montáž Èíñòðóêöèÿ ïî ìîíòàæó Duschtempel Ðóññêèé Česky Polski Duschtempel 5 SL 40 Sensotronic (DT New Line SL) 2927xxx Duschtempel 5 SL 40 Sensotronic (DT
DOPLŇKY PRO STAVBU DOPLNKY PRE STAVBU ELEMENTY DODATKOWE NÁVRH PLYNOVÉ VZPĚRY / NÁVRH PLYNOVEJ VZPERY / SPOSÓB DZIAŁANIA
2010/06/08 DOPLŇKY PRO STVBU DOPLNKY PRE STVBU ELEMENTY DODTKOWE Vzpěry plynové / Vzpery plynové / Siłowniki NÁVRH PLYNOVÉ VZPĚRY / NÁVRH PLYNOVEJ VZPERY / SPOSÓB DZIŁNI CZ Tímto vztahem se vypočte potřebná
Zwój Prawoskrętny. Vinutí Pravé
SPRĘŻYNY NACISKOWE TYP TLAČNÉ PRUŽINY Sprężyny naciskowe SPEC są wykonywane precyzyjnie i wydajnie. Stosowanie sprężyn SPEC wpływa na obniżkę kosztów z uwagi na oszczędność czasu wynikającą z braku potrzeby
Anna Kratochvílová Anna Kratochvílová (FJFI ČVUT) PDR ve zpracování obrazu / 17
Parciální diferenciální rovnice ve zpracování obrazu Anna Kratochvílová FJFI ČVUT 10. 6. 2009 Anna Kratochvílová (FJFI ČVUT) PDR ve zpracování obrazu 10. 6. 2009 1 / 17 Obsah 1 Motivace 2 Vyšetření pomocí
FAKULTA STAVEBNÍ. Stavební statika. Telefon: WWW:
VYSOKÁ ŠKOA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA AKUTA STAVEBNÍ Stavební statika Pohyblivé zatížení Jiří Brožovský Kancelář: P H 406/3 Telefon: 597 32 32 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz WWW: http://fast0.vsb.cz/brozovsky
NÁVOD K POUŽITÍ KEZELÉSI KÉZIKÖNYV INSTRUKCJA OBSŁUGI NÁVOD NA POUŽÍVANIE. Česky. Magyar. Polski. Slovensky
CANON INC. 30-2 Shimomaruko 3-chome, Ohta-ku, Tokyo 146-8501, Japan Europe, Africa & Middle East CANON EUROPA N.V. PO Box 2262, 1180 EG Amstelveen, The Netherlands For your local Canon office, please refer
EO 10 klasik EO 15 P. TATRAMAT - ohrievače vody, s.r.o. Malý tlakový zásobník teplé vody Obsluha a instalace 2
TATRAMAT - ohrievače vody, s.r.o. CZ Malý tlakový zásobník teplé vody Obsluha a instalace 2 EO 10 klasik EO 15 P Uzavretý (tlakový) malý zásobník na teplú vodu Obsluha a inštalácia 22 OBSAH CZ ZVLÁŠTNÍ
GEM a soustavy lineárních rovnic, část 2
GEM a soustavy lineárních rovnic, část Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: B6B0LAG 8.3.09: GEM a soustavy, část / Minulá přednáška Gaussova
Funkce více proměnných: limita, spojitost, derivace
Matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, derivace Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 22. 9. 2014 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Zobrazení a funkce více
CS Návod k použití 2 Chladnička s mrazničkou PL Instrukcja obsługi 23 Chłodziarko-zamrażarka S93820CMX2
CS Návod k použití 2 Chladnička s mrazničkou PL Instrukcja obsługi 23 Chłodziarko-zamrażarka S93820CMX2 2 OBSAH 1. BEZPEČNOSTNÍ INFORMACE... 3 2. BEZPEČNOSTNÍ POKYNY...4 3. POPIS SPOTŘEBIČE...6 4. PROVOZ...7
návod k použití instrukcja obsługi
návod k použití instrukcja obsługi Pračka Pralka EWS 106540 W EWS 126540 W 2 electrolux Obsah Electrolux. Thinking of you. Více o nás naleznete na adrese www.electrolux.com Bezpečnostní informace 2 Popis
Okrajový problém podmínky nejsou zadány v jednom bodu nejčastěji jsou podmínky zadány ve 2 bodech na okrajích, ale mohou být
Obyčejné diferenciální rovnice 1 Úvod Obyčejnou diferenciální rovnici N-tého řádu f ( x,y,y,y,...,y (N)) = g(x) převádíme na soustavu N diferenciálních rovnic 1. řádu. Provedeme substituce y z 1 y z 2...
L 75270 FL L 75470 FL CS PRAČKA NÁVOD K POUŽITÍ 2 PL PRALKA INSTRUKCJA OBSŁUGI 34
L 75270 FL L 75470 FL CS PRAČKA NÁVOD K POUŽITÍ 2 PL PRALKA INSTRUKCJA OBSŁUGI 34 2 OBSAH 4 BEZPEČNOSTNÍ INFORMACE 6 POZNÁMKY K OCHRANĚ ŽIVOTNÍHO PROSTŘEDÍ 6 TECHNICKÉ INFORMACE 7 POPIS SPOTŘEBIČE 8 OVLÁDACÍ
1 Předmluva Značení... 3
Sbírka příkladů k předmětu Lineární systémy Jan Krejčí, korektura Martin Goubej 07 Obsah Předmluva. Značení..................................... 3 Lineární obyčejné diferenciální rovnice s konstantními
Fakulta biomedic ınsk eho inˇzen yrstv ı Teoretick a elektrotechnika Prof. Ing. Jan Uhl ıˇr, CSc. L eto 2017
Fakulta biomedicínského inženýrství Teoretická elektrotechnika Prof. Ing. Jan Uhlíř, CSc. Léto 2017 4. Výpočty v časové oblasti 1 Laplaceova transformace aplikace v analýze elektrických obvodů Obvodové
ó ó ć Ż Ł Ą Ż ó ż ć Ż ó Ą ó ó Ą ć ó ó Ł Ł ó ć ó ż ć ż Śó ó ó ó ć ó ż ć Ą ż ĘĄ ó Ś Ż óź Ż ć ó Ż Ż Ż ć ń Ą ó Ą ż ó Ż ó Ł ó ó Ż ó ó ó ź Ś ó Ą ć Ś ó ó ż ó ż Ł ńę ó ń ó ń ż ć ó Ż Ż ż ć Ż ć ć ć ż ó ń óź ó ć
A71100TSW0 CS MRAZNIČKA NÁVOD K POUŽITÍ 2 PL ZAMRAŻARKA INSTRUKCJA OBSŁUGI 18 SL ZAMRZOVALNIK NAVODILA ZA UPORABO 35
A71100TSW0 CS MRAZNIČKA NÁVOD K POUŽITÍ 2 PL ZAMRAŻARKA INSTRUKCJA OBSŁUGI 18 SL ZAMRZOVALNIK NAVODILA ZA UPORABO 35 2 PRO DOKONALÉ VÝSLEDKY Děkujeme vám, že jste si zvolili výrobek značky AEG. Aby vám
Ą Ś Ś ż Ż ć Ś Ż Ś Ń Ó Ż ć Ź ć ć Ż Ź Ś Ą Ą Ż Ś Ą ĘĄ Ś Ę ŚĘ Ę Ó Ś Ą ć Ś ź Ś ż Ż Ź ć ć ć Ą ć ć Ź ć ć ć ć Ś ć Ż ć ć Ą ć Ż ć Ż ć Ż Ż Ż ć Ż ć Ż ć Ż ż ź Ą ż ć Ż Ź Ż Ś Ż Ś Ą ż Ą Ż ź Ż ż ć Ż Ż Ą Ś Ź ć Ś ż Ź ż Ł
47035VD CS Návod k použití 2 PL Instrukcja obsługi 33
47035VD CS Návod k použití PL Instrukcja obsługi 33 www.aeg.com OBSAH 1. BEZPEČNOSTNÍ INFORMACE............................................. 3. BEZPEČNOSTNÍ POKYNY................................................
SANTO 70318-5 KG. mrazničkou
SANTO 70318-5 KG Návod k použití Instrukcja obsługi Kullanma Kılavuzu Chladnička s mrazničkou Chłodziarkozamrażarka Buzdolabı 2 Obsah Děkujeme, že jste si vybrali jeden z našich vysoce kvalitních výrobků.
Slabá formulace rovnic proudění tekutin
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁC Mark Dostalík Slabá formulace rovnic proudění tekutin Matematický ústav UK Vedoucí bakalářské práce: Studijní program: Studijní
Edita Pelantová, katedra matematiky / 16
Edita Pelantová, katedra matematiky seminář současné matematiky, září 2010 Axiomy reálných čísel Axiomy tělesa Axiom 1. x + y = y + x a xy = yx (komutativní zákon). Axiom 2. x + (y + z) = (x + y) + z a
Operace s funkcemi [MA1-18:P2.1] funkční hodnota... y = f(x) (x argument)
KAPITOLA : Funkce - úvod [MA-8:P.] reálná funkce (jedné) reálné proměnné... f : A R...... zobrazení množin A R do množin reálných čísel R funkční hodnota... = f() ( argument) ( tj. reálná funkce f : A
HAKA watertech 6/2011
HAKA watertech 6/2011 TEPLÁ UŽITKOVÁ VODA CIEPŁA WODA UŻYTKOWA ÚSTŘEDNÍ TOPENÍ OGRZEWANIE CENTRALNE PODLAHOVÉ VY TÁPĚNÍ OGRZEWANIE PODŁOGOWE Watertech Pohled do čistého ohně skrze velké sklo krbu a vytápění
Matematická analýza 2. Kubr Milan
Matematická analýza. Kubr Milan. února 008 Obsah Vektorové funkce jedné reálné proměnné. 3. Základní pojmy...................................... 3. Křivky v R n........................................
Metody, s nimiž se seznámíme v této kapitole, lze použít pro libovolnou
2. Řešení nelineárních rovnic Průvodce studiem Budeme se zabývat výpočtem reálných kořenů nelineární rovnice f(x) =0, (2.0.1) kde f je v jistém smyslu rozumná reálná funkce. Pro některé funkce (kvadratické,