Jan Korous. Modelování konstitutivních vztahů v termodynamice tekutin a jejich relevance k matematické analýze
|
|
- Weronika Janik
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Jan Korous Modelování konstitutivních vztahů v termodynamice tekutin a jejich relevance k matematické analýze Matematický ústav Univerzity Karlovy Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Miroslav Bulíček, Ph.D. Studijní program: Fyzika, Obecná fyzika 2008
2 Děkuji Mgr. Miroslavovi Bulíčkovi, Ph.D. za ochotu, vstřícnost a velkou trpělivost při vedení této práce. Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci napsal samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce a jejím zveřejňováním. V Praze dne Jan Korous 2
3 Obsah 1 Matematický aparát mechaniky kontinua Prostor a vztažná soustava Změna vztažné soustavy Objektivita Těleso Poloha Pole Diferenciální operace Konkrétní veličiny Konstitutivní teorie Konstitutivní vztahy Klasifikace modelů Axiomatická konstrukce Rozbor axiomů Navier-Stokesův model Implicitní konstitutivní teorie Maximalizace produkce entropie Srovnání různých přístupů Monotonie tenzoru napětí Úvod Podmínky monotonie I Podmínky monotonie II Závěr 37 A Bilance veličin 38 A.1 Bilance hmoty A.2 Bilance hybnosti A.3 Bilance momentu hybnosti A.4 Bilance energie A.5 II. věta termodynamická
4 Název práce: Modelování konstitutivních vztahů v termodynamice tekutin a jejich relevance k matematické analýze Autor: Jan Korous Katedra (ústav): Matematický ústav Univerzity Karlovy Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Miroslav Bulíček, Ph.D. vedoucího: Miroslav.Bulicek@mff.cuni.cz Abstrakt: V předložené práci prezentujeme vybrané přístupy k modelování konstitutivních vztahů v rámci termodynamiky kontinua. Výchozím bodem je klasický přístup spočívající v aplikaci axiomů konstitutivní teorie. Uvádíme dvě možné podoby souboru axiomů, diskutujeme jejich odlišnosti a načrtneme odvození Navier-Stokesova vztahu pro homogenní nestlačitelnou tekutinu. Na konkrétním příkladu zobecnění nestlačitelné Navier-Stokesovy tekutiny s viskozitou závislou na tlaku předvedeme omezení klasického přístupu a zmíníme řešení v podobě implicitního konstitutivního vztahu. První část práce uzavírá metoda maximalizace entropie. Aplikaci této metody předvedeme na příkladu implicitního vztahu odvozeného od Navier-Stokesova modelu. Druhou část práce tvoří odvození postačujících podmínek pro monotonii tenzoru napětí vzhledem k symetrické části gradientu rychlosti. Klíčová slova: konstitutivní vztah, implicitní teorie, produkce entropie, monotonie tenzoru napětí Title: Modeling of Constitutive Relationships in Fluid Thermodynamics and Their Relevance to Mathematical Analysis Author: Jan Korous Department: Mathematical Institute, Charles University Supervisor: Mgr. Miroslav Bulíček, Ph.D. Supervisor s address: Miroslav.Bulicek@mff.cuni.cz Abstract: In the present work we show several approaches to modelling of constitutive relations in continuum thermodynamics. In brief introduction we explain mathematical apparatus of continuum physics and basic concepts. Starting point of the first part is classical approach based on axioms of constitutive theory. We present two common sets of axioms and discuss their differences. We show application of this approach to derivation of constitutive relation for homogeneous incompressible Navier-Stokes fluid. Impossibility to derive certain model of generalized incompressible Navier-Stokes fluid with pressure-dependent viscosity demonstrates limitations of this classical approach. Next we present generalization of classical theory based on implicit constitutive relations and show that we are able to derive pressure-dependent viscosity within this theory. In the closing section of the first part we describe method of entropy production maximization. In the second part of this work we derive sufficient conditions for monotonicity of stress tensor which is dependent on symmetric part of velocity gradient. Keywords: constitutive relation, implicit theory, entropy production, monotonicity of stress tensor 4
5 Typografická poznámka Níže je uveden stručný přehled typografických konvencí používaných v této práci. Materiálové body jsou odlišeny obrysovým řezem písma. (např. X) Tímto řezem písma jsou v souladu s obecnými zvyklostmi značeny také množiny, z kontextu je však vždy jasné o jaký objekt se jedná. Pro snazší orientaci v zápisu budou veličiny vektorového a tenzorového charakteru (vzhledem k určitým vektorovým prostorům) psány písmem s tučným řezem. Složky vektorů a tenzorů vzhledem k nějaké bázi budou označovány pomocí hranatých závorek. Pro tenzor T tedy bude [T ] označovat matici jeho složek vzhledem k nějaké bázi. Báze bude případně specifikována v doprovodném textu. Ohledně zápisu polohových vektorů budeme dodržovat konvenci velkých písmen pro body referenčního tvaru (např. X) a malých písmen pro body aktuálního tvaru (např. x). Konvenci však nebudeme dodržovat v případě, kdy používáme nějaký obecný tvar jako referenční. Duální vektorové prostory budou značeny apostrofem. (např. V ) Funkcionály definované na prostoročasu E 3 T a případně historii vybraných polních veličin budeme značit symbolemˆnebo tildou nad znakem funkcionálu. (např. ˆT) Budeme používat zápisu diferenciálních operací pomocí symbolu nabla. Gradient a divergence pole T tak například budou T a T. 5
6 Kapitola 1 Matematický aparát mechaniky kontinua V této úvodní kapitole si zavedeme formalismus a značení dále používané. Většina značení je konzistentní s obvyklou praxí v oboru (pokud existuje). Matematický formalismus je z větší části inspirovaný knihou [2]. 1.1 Prostor a vztažná soustava Prostor V klasické fyzice bez rozpaků popisujeme makroskopický prostor okolo nás pomocí třírozměrného reálného metrického prostoru {R 3, ρ} s metrikou indukovanou Euklidovskou normou: ρ(x, y) := x y ε := 3 (x i y i ) 2. (1.1) Tento prostor budeme označovat jako E 3. Vztažná soustava V popisu geometrie prostoru pomocí výše uvedeného metrického prostoru E 3 existuje obecně značná volnost. Musíme určit jisté referenční umístění v prostoru, kterému je přiřazen vybraný bod z E 3 (obvykle počátek). Ztotožňujeme tři nezávislé směry v E 3 se třemi různými směry v prostoru. Stejně tak musíme vyřešit škálování: jakou vzdálenost v reálném prostoru mají objekty jejichž reprezentace v E 3 jsou v (např.) jednotkové vzdálenosti. Konkrétní realizaci popisu potom označujeme jako vztažnou soustavu (resp. její prostorovou část) Čas Podobně se popisuje čas pomocí metrického prostoru reálných čísel T := {R, ρ} s metrikou opět indukovanou Euklidovskou normou. Také v popisu času existuje určitá volnost a z ní plynoucí nutnost určit některé podrobnosti. Jediným rozdílem je odlišnost dimenzí obou prostorů. i=1 6
7 Dohromady budujeme kinematiku v prostoročasu E 3 T, a to prostřednictvím vybrané vztažné soustavy. 1.2 Změna vztažné soustavy Pro popis prostoročasu lze použít libovolné vztažné soustavy. Pokud již ale máme zavedenou vztažnou soustavu (čímž je efektivně dáno škálování délkové a časové jednotky), musí být všechny další použité vztažné soustavy s touto kompatibilní - požadujeme, aby měla každá dvojice bodů vzhledem ke každé vztažné soustavě stejnou vzdálenost; totéž požadujeme pro každou dvojici časových okamžiků. Mějme dvě vztažné soustavy. V první z nich budeme souřadnice označovat jako (x, t) a ve druhé (x, t ). Aby byl splněn požadavek zachování vzdáleností a časových intervalů, musí existovat transformace z jedné soustavy do druhé ve tvaru (viz. [1]): t =t a x =Q(t)x + b(t), (1.2) kde Q(t) : T E 3 E 3 je časově závislý ortonormální tenzor typu (1, 1) způsobující rotaci a/nebo zrcadlení polohových vektorů. b : T E 3 je vektorová funkce času určující vzájemnou translaci pevných bodů v obou soustavách. a T určuje konstantní rozdíl času událostí v obou soustavách. 1 Jinou, často uváděnou transformací je (viz. [2]) t =t + a x =Q(t)(x x 0 ) + c(t). (1.3) Jde však pouze o jiné značení téhož, vektoru Q(t)x 0 + c(t) odpovídá b(t) a posun času má pouze opačný směr. Zjevně jsme při splnění výše uvedených požadavků ještě mohli zrcadlit časový vektor. Nicméně doposud se zdá, že čas plyne pouze jedním směrem a tudíž takovou transformaci vyloučíme z fyzikálních důvodů. 1.3 Objektivita V Newtonovské fyzice pevných těles jsou určité veličiny považovány za objektivní neboli nezávislé na použité vztažné soustavě ve třídě soustav spojených Galileovou transformací, což je speciální případ (1.2) bez závislosti na čase. Pojem objektivity pro naše potřeby zobecníme za pomoci vybraných modelových veličin, které jsou intuitivně považovány za objektivní. Budeme odděleně posuzovat objektivitu veličin vzhledem k popisu času a prostoru. Předpokládá se, že všechny veličiny jsou vzhledem k popisu času objektivní. 1 V některých pracích bývá navíc kladena podmínka det(q(t)) = 1, viz. [3]. φ (t ) = φ(t) (1.4) 7
8 Prostorovou objektivitu si zavedeme zvlášt pro pole různých algebraických objektů Skalární pole Skalární pole φ : E 3 R je objektivní, právě když při změně vztažné soustavy (1.2) je nová hodnota pole vzhledem k nové soustavě stejná jako stará hodnota v odpovídajícím bodě vzhledem ke staré soustavě, krátce: φ (x ) = φ(x). (1.5) Vektorové pole Řekneme, že vektorové pole v : E 3 E 3 je objektivní, právě když je skalární pole každé jeho směrové projekce objektivní. Necht y, z E 3 jsou pevné polohové vektory v jednotkové vzdálenosti. Jejich rozdíl určuje nezávisle na vztažné soustavě geometrický směr. v (x ) (y z ) = v (x ) [{Q(t)y + b(t)} {Q(t)z + b(t)}] = v (x ) Q(t)(y z) = v(x) (y z) Objektivní vektorové pole se tedy při změně vztažné soustavy (1.2) transformuje takto: Tenzorové pole v (x ) = Q(t)v(x). (1.6) Tenzorové pole T : E 3 E 3 E 3 je objektivní, právě když je jeho zúžení s vektorem udávajícím směr objektivní vektorové pole. Necht v(x) je objektivní vektorové pole. Necht je také objektivní vektorové pole, tedy se transformují takto: u(x) := T (x)v(x) (1.7) u (x ) = Q(t)u(x) v (x ) = Q(t)v(x). (1.8) Za těchto předpokladů platí u (x ) = T (x )v (x ) Q(t)u(x) = T (x )Q(t)v(x) Q(t)T(x)v(x) = T (x )Q(t)v(x), (1.9) což znamená, že se objektivní pole T transformuje při změně vztažné soustavy (1.2) takto: T (x ) = Q(t)T (x)q 1 (t) = Q(t)T(x)Q T (t). (1.10) 1.4 Těleso Těleso definujeme jako množinu, která je homeomorfní s uzavřenou oblastí v E 3 s po částech hladkou hranicí. Prvky tělesa nazýváme materiálové body. 8
9 1.5 Poloha Polohou materiálních bodů tělesa rozumíme homeomorfismus tělesa β a uzavřené oblasti v E 3 s po částech hladkou hranicí. ω :β E 3 ω :X ω(x) (1.11) Množinu ω(β) pro libovolnou polohu ω nazýváme tvarem tělesa β. Předpokládáme, že v každém čase se každý bod tělesa nachází v jednoznačně určené poloze. Kinematiku tělesa tedy založíme na časově závislé funkci, která pro každý čas udává polohu všech bodů tělesa: χ :β T E 3 χ :(X, t) χ(x, t). (1.12) Navíc se obvykle předpokládá, že χ je vzhledem k času alespoň dvakrát diferencovatelná, viz. [2]. Množinu {χ(x, t), t (t 1 ; t 2 ) T} pro pevný materiálový bod X nazýváme trajektorií bodu X v časovém intervalu (t 1 ; t 2 ). Jelikož je poloha materiálových bodů zavedená jako homeomorfismus, existuje ke každé poloze funkce inverzní. Uvažujeme-li polohu navíc závisející na čase, pak již striktně řečeno o inverzní funkci nejde. Nicméně podobnou funkci si zavedeme předpisem χ 1 (x, t) : Ω [E 3 T] β [x, t] Ω : χ 1 := χ 1 (, t). (1.13) Ω je, vágně řečeno, množina bodů uvažované části prostoročasu, kde se v daný čas nacházejí materiálové body tělesa β. Nebudeme se pokoušet Ω přesně vymezit, funkci χ 1 budeme uvažovat definovanou na celém prostoročasu E 3 T a tuto bezstarostnost eliminujeme opatrností při jejím používání. 1.6 Pole Polní fyzikální veličiny lze zařadit do jedné ze dvou níže diskutovaných kategorií Funkce tělesa Funkce tělesa jsou veličiny asociovatelné přímo s materiálovými body. ϕ :β S ϕ :X ϕ(x), (1.14) kde S je bud to R, E 3 nebo E 3 E 3. Typickými zástupci jsou poloha a rychlost materiálového bodu. Funkci tělesa lze vyjádřit vzhledem k libovolnému tvaru ω(β) s využitím polohy materiálových bodů: ϕ ω : ω(β) S ϕ ω (X) :=ϕ(ω 1 (X)). (1.15) 9
10 1.6.2 Funkce tvaru Funkce tvaru jsou veličiny, které mají význam pouze vzhledem ke konkrétnímu tvaru tělesa. α ω : ω(β) S α ω : X α ω (X) (1.16) Typickými zástupci budou deformační gradient a (jak z názvu plyne) prostorová hustota libovolné veličiny. S tělesem β je však v každém časovém okamžiku jednoznačně asociován jeho aktuální tvar a tedy lze funkce tvaru rozšířit na funkce tělesa (a daného procesu): α : β T S α : (X, t) α(x, t) α(x, t) :=α χ (χ(x, t), t). (1.17) Pro popis stavů a procesů, kterými těleso prochází, se v mechanice kontinua obvykle využívá jeden ze tří následujících přístupů. (Rozdělení a pojmenování bylo převzato z [2]) Materiálový popis Nejjednodušší avšak nejméně zajímavá je možnost používat veličiny definované pro jednotlivé materiálové body abstraktního tělesa. Příkladem budiž poloha materiálového bodu pro pevný čas t: χ(, t) :β E 3 χ(, t) :X χ(x, t). (1.18) Referenční popis Materiálovému popisu je velmi podobný popis referenční. Spočívá ve výběru jednoho tvaru tělesa jako referenčního a vztahování všech veličin k tomuto tvaru. Materiálové body jsou v podstatě nahrazeny jejich polohou v referenčním tvaru. 2 Referenční tvar označujeme jednoduše jako κ(β). Funkce referenčního tvaru budeme označovat pomocí dolního indexu označujícího referenční polohu. Například poloha materiálových bodů tělesa v pevném čase t vzhledem k referenčnímu tvaru κ(β) tedy bude psána jako: χ κ (, t) : κ(β) E 3 χ κ (X, t) :=χ(κ 1 (X), t). (1.19) Jelikož tedy existuje 1:1 korespondence mezi materiálovým bodem a jeho polohou v referenčním tvaru, dovolíme si někdy tyto věci při slovním popisu zaměňovat. 2 Referenční popis (s počátečním tvarem tělesa coby referenčním) byl údajně zaveden L. Eulerem. Obvykle se však nazývá Lagrangeovským popisem, viz. [2]. 10
11 1.6.5 Prostorový popis V prostorovém popisu uvažujeme jako nezávislé proměnné body prostoru E 3 (namísto materiálových bodů nebo jejich referenční polohy). Komplikací tohoto přístupu ovšem je, že ne všude v prostoru se nutně musí nalézat materiálové body tělesa. Definiční obor prostorových polí se proto obvykle zúží na aktuální tvar tělesa. 3 Prostorová pole (neboli pole vyjádřená vzhledem k aktuální poloze) budeme označovat indexem aktuální polohy a pro alespoň částečnou kompatibilitu se standardní notací budeme používat malá písmena pro prostorový parametr. Například polohu v čase t tedy budeme označovat: χ χ (, t) : E 3 E 3 χ χ (x, t) :=χ(χ 1 (x, t), t) = x. (1.20) Naprosto analogicky k zavedení inverze polohy v materiálovém popisu zavedeme inverzi polohy vzhledem k obecnému tvaru ω(β). χ 1 ω (X, t) : Ω [E 3 T] E 3 [X, t] Ω : χ 1 ω :=χ 1 ω (, t) (1.21) 1.7 Diferenciální operace Před zmínkou o diferenciálních operacích na používaných polích bychom měli obhájit jejich smysluplnost. Uchýlíme se proto k matematicky významnému avšak ve fyzice naprosto běžnému předpokladu o existenci všech derivací, které budeme potřebovat Prostorová změna Mějme pole ϕ vyjádřené vzhledem k obecné poloze, ϕ ω : ω(β) T S. S je zástupný symbol za jeden z prostorů R, E 3, E 3 E Časová změna ϕ ω := ϕ ω (X, t) (1.22) X Necht ϕ : β T S je funkcí tělesa. Pro jednotlivé popisy zavedeme časovou derivaci a nalezneme vztahy mezi nimi. 1. pro pevný materiálový bod ϕ(x, t) := 2. pro materiálový bod určený referenční polohou Z čehož plyne rovnost: dϕ(x, t) dt dϕ(x, t) dt ϕ κ (X, t) := dϕ κ(x, t) dt = dϕ κ(κ(x), t) dt (1.23) (1.24) = dϕ κ (κ(x), t) (1.25) dt ϕ κ (X, t) = ϕ(κ 1 (X), t). (1.26) 3 Prostorový popis byl zaveden D. Bernoullim a J. d Alembertem, nicméně dnes se o něm obvykle mluví jako o Eulerovském popisu, viz. [2]. 11
12 3. pro pevný bod v prostoru dϕ(x, t) = dϕ χ(χ(x, t), t) dt dt Dostáváme tedy vztah: ϕ χ (x, t) := dϕ χ(x, t) dt = ϕ χ dχ (χ(x, t), t) X (1.27) dt (X, t) + ϕ χ (χ(x, t), t) (1.28) t ϕ χ (x, t) = ϕ(χ 1 (x, t), t) ϕ χ dχ (x, t) x dt (χ 1 (x, t), t), (1.29) kde označuje úžení pole ϕχ x (přes část z E3 ) a vektorového pole dχ dt. Vzhledem k referenční poloze potom platí: 1.8 Konkrétní veličiny ϕ χ (x, t) = ϕ κ (χ 1 κ (x, t), t) ϕ χ (x, t) dχ κ dt (χ 1 κ (x, t), t). (1.30) Zásadním předpokladem mechaniky kontinua je spojitost matematických reprezentací reálných objektů. Tato aproximace tedy jasně řadí mechaniku kontinua mezi přibližné fenomenologické teorie. Na druhou stranu umožňuje některé jevy vůbec zkoumat, byt v jen v určité aproximaci. Tímto tedy k předpokladu o existenci derivace tam, kde je jí třeba přibývá předpoklad o spojitosti všeho Poloha Poloha je již zavedena jako funkce tělesa a času udávající polohu materiálových bodů tělesa v jednotlivých časech, viz. (1.12) Rychlost, zrychlení Rychlost materiálového bodu definujeme jako časovou derivaci polohy materiálového bodu. v : β T E 3 v(x, t) := χ(x, t) (1.31) Rychlost je tedy funkcí tělesa, není závislá na žádném konkrétním tvaru. Můžeme ji však vzhledem k různým tvarům vyjadřovat - viz. výše funkce tělesa. Vztah (1.30) mezi časovou derivací funkce tělesa vyjádřenou vzhledem k různým polohám lze s použitím (1.31) přepsat na ϕ χ (x, t) = ϕ κ (χκ 1 (x, t), t) ϕ χ(x, t) v κ (χ 1 κ (x, t), t) = ϕ κ (χκ 1 (x, t), t) ϕ χ(x, t) v χ (x, t). (1.32) Zrychlení materiálového bodu definujeme jako časovou derivaci rychlosti materiálového bodu. a : β T E 3 a(x, t) := v(x, t) (1.33) 12
13 1.8.3 Další veličiny odvozené od polohy Gradient polohy vyjádřené vzhledem k poloze ω, tzv. deformační gradient F ω : ω(β) T E 3 E 3 F ω (X, t) := χ ω (X, t) (1.34) Gradient rychlosti vzhledem k poloze ω L ω : ω(β) T E 3 E 3 L ω (X, t) := v ω (X, t) (1.35) Symetrická a antisymetrická část pole L ω jsou definovány jako: D ω : ω(β) T E 3 E 3 D ω (X, t) := 1 2 (L(X, t) + LT (X, t)), W ω : ω(β) T E 3 E 3 W ω (X, t) := 1 2 (L(X, t) LT (X, t)). (1.36) (1.37) Hustota hmotnosti Bylo by přirozené před zavedením hustoty hmotnosti definovat hmotnost samotnou. Hmotnost budeme považovat za pojem převzatý z Newtonovské fyziky a v případě potřeby nalezneme rigorózní zavedení v [2]. Hustota hmotnosti je hustota míry hmotnosti tělesa vzhledem k Lebesgueově objemové míře prostoru a tedy je vždy funkcí konkrétního tvaru. Skoro všude ve tvaru ω(β) lze vyjádřit hustotu hmotnosti vzhledem k ω(β) v limitním smyslu jako: M(ω 1 (B r (X))) ρ ω (X) = lim, (1.38) r 0 B r(x) dx3 kde B r (X) je otevřená koule o poloměru r a středu X, a kde M : β R udává hmotnost jednotlivých částí tělesa, viz. [2]. Speciálně tedy zaved me prostorovou hustotu vzhledem k aktuálnímu tvaru: M(χ 1 (B r (x), t)) ρ χ (x, t) = lim. (1.39) r 0 B r(x) dx3 Abychom mohli sledovat chování hustoty v materiálových bodech v různých časech, rozšíříme hustotu na funkci tělesa: ρ(x, t) := ρ χ (χ(x, t), t). (1.40) 13
14 Síla V mechanice kontinua je zvykem rozlišovat dva druhy sil: Povrchová síla je reprezentována tenzorovým polem napětí: T ω : ω(β) T E 3 E 3 T ω : (X, t) T ω (X, t), (1.41) které po zúžení s normálovým vektorem udává sílu působící v daném bodě na povrch normálou určený. Objemová síla je reprezentována vektorovým polem: f ω : ω(β) T E 3 f ω : (X, t) f ω (X, t). (1.42) Předpokládá se, že síly jsou objektivní. V klasické fyzice je pojem síly zaveden pomocí Newtonových pohybových zákonů a síly jsou rovněž objektivní - v rámci tzv. inerciálních soustav. Koncept objektivity je však v mechanice kontinua mírně odlišný od Newtonovské fyziky, podrobnější diskuzi lze nalézt například v díle [2]. Samozřejmě, že tímto nejsou síly definovány. Definicí síly v klasické fyzice jsou Newtonovy zákony nebo jejich obdoba - pro nás tedy bilanční vztahy, viz. Dodatek A. Termodynamické veličiny V termodynamice kontinua pokládáme jednotlivé materiálové body modelovaného tělesa za otevřené termodynamické systémy. Analogiemi diskrétních veličin známých z termodynamiky jsou níže uvedené spojité polní veličiny, jejichž definicemi jsou opět bilanční vztahy uvedené v Dodatku A. Pole teploty Hustota toku tepla Hustota vnitřní a celkové energie Hustota entropie 14
15 Kapitola 2 Konstitutivní teorie 2.1 Konstitutivní vztahy Kinematika (viz. úvodní kapitola) a termodynamika (viz. Dodatek A) kontinua jsou zavedeny obecně, bez zřetele k materiálu zkoumaných těles. S tím je spojena i skutečnost, že pokud bychom chtěli libovolnou úlohu vyřešit, zjistili bychom že je nedourčená. Logickým východiskem je proto zavedení vztahů mezi fyzikálními veličinami popisujících chování modelovaného materiálu - tzv. konstitutivních vztahů. Doposud zavedené veličiny jsou uvedené v tabulce 2.1. Tabulka 2.1: Přehled veličin veličina značení počet složek definiční vztah poloha χ 3 NE rychlost v 3 ANO zrychlení a 3 ANO def. gradient F 9 ANO grad. rychlosti L 9 ANO sym. část g. r. D 9 ANO antisym. část g. r. W 9 ANO hustota hmotnosti ρ 1 NE objemová síla f 3 NE napětí T 9 NE teplota θ 1 NE tok tepla q 3 NE vnitřní energie u 1 NE entropie s 1 NE Ve sloupci definiční vztah je uvedeno, zda je daná veličina přímo definována vztahem k jiné veličině v tabulce. Sečtením složek veličin bez přímé definice dostáváme 22 nezávislých složek polních veličin. 15
16 Vztahy mezi těmito veličinami (resp. jejich složkami) udává 8 rovnic a 1 nerovnice (viz. Dodatek A): bilance hmoty (1 rovnice) bilance celkové energie (1 rovnice) bilance hybnosti (3 rovnice) bilance momentu hybnosti (3 rovnice) II. věta termodynamická v podobě entropické nerovnosti (1 nerovnice). Zbylých 14 stupňů volnosti tedy musí být odstraněno bud to zadáním omezujících podmínek pro hodnoty daných polí v průběhu uvažovaného procesu (nestlačitelnost, izotermní proces apod.) nebo nalezením dalších nezávislých vztahů (a případným zadáním počátečních podmínek) mezi veličinami. Lze však uvažovat pouze takové hodnoty a závislosti, které nebudou v rozporu s II. větou termodynamickou. Obecnou podobou konstitutivních vztahů je 14 nezávislých vztahů v implicitním tvaru (například v referenčním popisu): Ẑ i [x κ ( ); ρ κ ( ); f κ ( ); T κ ( ); θ κ ( ); q κ ( ); u κ ( ); s κ ( )] = 0, i = 1, 2,..., 14, (2.1) kde ( ) má význam historie veličin na celém tvaru tělesa od času kdy jsou zadané počáteční podmínky t 0 do aktuálního času t (např. x κ ( ) := {x κ (X, τ), X κ(β), τ (t 0 ; t) T}). Tato podoba konstitutivních vztahů je však pro praktické použití příliš obecná - většinou jsou předpokládány jednodušší tvary závislostí. Pro plnou charakterizaci materiálu (a tedy možnost řešení úlohy) je zapotřebí celé sady konstitutivních vztahů. Předmětem zájmu této práce je však především vztah mezi polem napětí a ostatními veličinami. 2.2 Klasifikace modelů Homogenní nestlačitelné těleso je takové těleso, jehož hustota je stejná vždy v celém tvaru tělesa a s časem se nemění. Ze zákona zachování hmoty (A.1) pro takový materiál vyplývá v = 0. Častěji se tento vztah uvádí ve tvaru TrL χ (x, t) = 0 nebo s ním ekvivalentním TrD χ (x, t) = 0. Tekutina je centrálním pojmem celé této práce. S její definicí jsou ale spojeny určité problémy, viz. [4]. Přesto zde tekutinou rozumějme takový materiál, který se spojitě deformuje již při působení libovolně malého smykového napětí. Zde si uvedeme několik vybraných modelů tekutin. homogenní stlačitelná Eulerovská tekutina: T = p(ρ)1 (2.2) 16
17 homogenní nestlačitelná Eulerovská tekutina: homogenní stlačitelná Navier-Stokesova tekutina: T = p1, TrD = 0 (2.3) T = p(ρ)1 + λ(ρ)(trd)1 + 2µ(ρ)D (2.4) Objemová viskozita λ a smyková viskozita µ jsou skalárními funkcemi. homogenní nestlačitelná Navier-Stokesova tekutina: Viskozita µ je kladná konstanta. T = p1 + 2µD, TrD = 0 (2.5) Nyní si ukážeme klasický přístup k odvození konstitutivního vztahu pro pole napětí. 2.3 Axiomatická konstrukce Tento přístup spočívá v profilování obecného tvaru konstitutivních vztahů prostřednictvím určitých fyzikálních úvah. Zatímco tato filozofie se nechá označit jako standardní, konkrétní formulace jednotlivých axiomů již vykazují značnou pestrost. Proto si uvedeme dvě různá pojetí axiomů konstitutivní teorie. Tyto konstrukce byly převzaty z [1] a [2] a v případě odlišnosti konkrétního axiomu jsou různé verze uvedeny právě v tomto pořadí. Přímé srovnání malinko stěžuje fakt, že teorie v knize [2] je čistě mechanická a tedy ani neobsahuje pojem teploty. Odlišnost myšlenek a postupů však lze demonstrovat i za tohoto omezení. Po řadě zde budou uvedeny používané axiomy a jejich vliv na možnou podobu hledaného vztahu. Rozbor těchto axiomů bude uveden v další části Kauzalita, determinismus a ekvipresence Pohyb a teplota materiálových bodů jsou zjevné, pozorovatelné veličiny a všechny ostatní veličiny na nich závisí. Hodnoty konstitutivních funkcí jsou určeny historií polohy a teploty všech materiálových bodů tělesa. Předpokládáme, že všechny konstitutivní funkcionály závisí na stejných proměnných (i když později některé závislosti můžeme vyloučit). Obecný vztah mezi uvažovanými veličinami bude mít na základě těchto předpokladů tvar: T κ (X, t) = ˆT κ [χ κ (Y, τ); θ κ (Y, τ); X; t], (2.6) kde symbolemˆ označujeme funkcionály definované na referenčním poloze κ, času t T a historii polí χ κ (Y, τ) a θ κ (Y, τ) pro Y κ(β) a τ T, τ < t. 17
18 2.3.2 Objektivita Konstitutivní vztahy musí mít tvar nezávislý na použité vztažné soustavě. Pro událost vyjádřenou ve dvou vztažných soustavách jako (x, t) a (x, t ) proto musí při transformaci (1.2) platit: ˆT κ [χ κ (Y, τ); θ κ (Y, τ); X; t] = ˆT κ [χ κ(y, τ ); θ κ(y, τ ); X; t ], (2.7) kde χ κ (Y, τ ) = Q(τ)χ κ (Y, τ) + b(τ) θκ(y, τ ) = θ κ (Y, τ) τ = τ a t = t a. Speciálně tedy musí být tvar funkcionálů stejný pro tyto vybrané transformace: i. translaci prostorové souřadné soustavy, ii. posuv času, iii. rotaci prostorové souřadné soustavy. Parametry transformací a, b, Q volíme libovolně ale pro daný materiálový bod v daném čase pevně. Ad i Příkladem translace souřadné soustavy je transformace χ κ(y, τ ) = χ κ (Y, τ) χ κ (X, τ) τ = τ, t = t odpovídající těmto hodnotám parametrů: Q(τ) = 1 b(τ) = χ κ (X, τ) a = 0. (2.8) (2.9) Pro funkcionál (2.6) tedy musí podle (2.7) platit ˆT κ [χ κ (Y, τ); θ κ (Y, τ); X; t] = ˆT κ [χ κ (Y, τ) χ κ (X, τ); θ κ (Y, τ); X; t]. (2.10) Ad ii Příkladem posuvu času je transformace x (Y, τ ) = x(y, τ) τ = τ t, t = 0 odpovídající takovýmto hodnotám parametrů: Q(τ) = 1 b(τ) = 0 a = t. Musí tedy platit ˆT κ [χ κ (Y, τ); θ κ (Y, τ); X; t] = ˆT κ [χ κ (Y, τ t); θκ(y, τ t); X; 0]. (2.11) (2.12) 18
19 Funkcionál (2.6) zjevně nezávisí explicitně na čase t a lze proto zapsat ve tvaru ˆT κ [χ κ (Y, τ); θ κ (Y, τ); X; t] = T κ [χ κ(y, τ t); θκ(y, τ t); X]. Dosazením do vztahu (2.10) dostáváme T κ [χ κ (Y, τ); θ κ (Y, τ); X] = T κ [χ κ (Y, t τ) χ κ (X, t τ); θκ(y, t τ); X]. (2.13) Ad iii Příkladem rotace souřadné soustavy je transformace x (Y, τ) = Q(τ)x(Y, τ) τ = τ, t = t, (2.14) pro kterou platí: detq(τ) = 1 b(τ) = 0 a = 0. (2.15) Pro funkcionál musí podle (2.6) platit ˆT κ [χ κ (Y, τ); θ κ (Y, τ); X; t] = ˆT κ [Q(τ)χ κ (Y, τ); θ κ (Y, τ); X; t]. Po dosazení do (2.13) dostáváme podmínku T κ [χ κ (Y, τ); θ κ (Y, τ); X] = T κ [Q(t τ){χ κ (Y, t τ) χ κ (X, t τ)}; θκ (Y, t τ); X]. Alternativní formulace Obsah axiomu objektivity je univerzální: tvar konstitutivního vztahu musí být nezávislý na vztažné soustavě. Rozdílná je ovšem matematická formulace tohoto požadavku spočívající v transformaci hodnot funkcionálu (2.6) při změně argumentů dané změnou vztažné soustavy: T (X, t ) = ˆT [χ (Y, τ ); θ (Y, τ ); X; t ]. (2.16) Má-li tedy být pole napětí nezávislé na vztažné soustavě, musí podle definice splňovat transformační vztah (1.10): ˆT[χ (Y, τ ); θ (Y, τ ); X; t ] = Q(t)ˆT[χ(Y, τ); θ(y, τ); X; t]q T (t). (2.17) Materiálová invariance Definice: Dva materiálové body X, Y β nazveme materiálově izomorfní, právě když existují polohy κ a ω (infinitezimálních) okolí bodů X, Y takové, že hustoty hmotnosti a konstitutivní vztahy jsou pro oba body stejné. Axiom materiálové invariance: Konstitutivní vztahy musí být invariantní vzhledem k transformacím převádějící materiálové body na materiálově izomorfní body. 19
20 2.3.4 Vliv okolí a historie Hodnoty konstitutivních funkcionálů nejsou znatelně ovlivněny nezávislými veličinami ve vzdálených bodech prostoru a minulosti. Tento axiom nemá jednoznačnou a přesnou formulaci a proto si jako ukázku uvedeme dvě z obvyklých variant prostorové závislosti a jednu závislost na historii. Hladké okolí Předpokládáme, že pole polohy a teploty lze lokálně aproximovat Taylorovým polynomem. χ κ (Y, τ) = χ κ (X, τ) + F κ (X, τ)(y X) + (2.18) θ κ (Y, τ) = θ κ (X, τ) + θ κ (X, τ)(y X) + (2.19) Po dosazení do vztahu (2.13) dostáváme T κ (X, t) = T κ [F κ (X, τ t); ; θ κ (X, τ t); θ κ (X, τ t); ; (Y X); X]. (2.20) Omezíme-li možné konstitutivní vztahy na lineární závislost na poloze, dojdeme ke vztahu T κ (X, t) = ˆT κ [F κ (X, τ t)(y X); θ κ (X, τ t); θ κ (X, τ t)(y X); X]. (2.21) Princip lokálního působení Další možnou variantou axiomu okolí je předpoklad zmíněný v knize [2]. Napětí v daném materiálovém bodě X nezávisí na historii polohy bodů, které mají v libovolném tvaru od X nenulovou vzdálenost. Necht jsou χ 1, χ 2 polohy tělesa takové, že χ 1 (Y, τ) = χ 2 (Y, τ) τ (t 0 ; t) Y U(X), (2.22) kde U(X) je nějaké okolí bodu X. Potom platí ˆT[χ 1 (Y, τ); X; t] = ˆT[χ 2 (Y, τ); X; t]. (2.23) Hladká pamět Opět předpokládáme možnost aproximace polí závislých na čase pomocí Taylorova rozvoje. V kombinaci s Taylorovým rozvojem hladkého okolí tak dostáváme závislost na aktuálních lokálních hodnotách veličin a jejich prostorových a časových derivacích. Například tedy můžeme uvažovat vztah linearizovaný vzhledem k okolí i historii: T κ (X, t) = ˆT κ [F κ (X, t)(y X); L κ (X, t)(y X)(t τ); θ κ (X, t); θ κ (X, t)(t τ); θ κ (X, t)(y X); θ κ (X, t)(y X)(t τ); X]. (2.24) Přípustnost Všechny konstitutivní vztahy musí být konzistentní s bilančními vztahy a Druhou větou termodynamickou. 20
21 2.4 Rozbor axiomů V této části jsou uvedeny poznámky k jednotlivým axiomům nebo případně k jejich různým podobám. Je zde zejména diskutována funkce jednotlivých tvrzení Objektivita Rozdíl mezi oběma verzemi axiomu objektivity spočívá v odlišné transformaci pole napětí: zatímco v podobě (2.7) zůstávalo konstantní, formulace (2.17) vyjadřuje netriviální transformační vztah. Zápis axiomu objektivity vztahem (2.7) zjevně nevyjadřuje požadavek objektivity pro pole napětí. Definice objektivity pro tenzorové pole (1.10) totiž v obecném případě neimplikuje konstantnost pole. Požadavek na objektivitu konstitutivního funkcionálu je korektně vyjádřen vztahem (2.16) Materiálové invariance Axiom materiálové invariance by byl v rámci hledání podoby konstitutivních vztahů pouze tautologií a jako takový by byl zbytečný. Jeho význam je však klasifikační - pomocí grupy transformací mezi materiálově izomorfními body lze rozlišovat různé třídy materiálů Vliv okolí a historie Axiom ohledně vlivu okolí a historie je obecnou myšlenkou bez konkrétní formulace umožňující dle potřeby použít vhodné přiblížení. Je tedy poněkud nešt astné označovat toto tvrzení jako axiom Shrnutí Na základě výše uvedených poznámek je možné získat nový pohled na axiomy konstitutivní teorie. Zřejmě ne-všechny axiomy mají stejnou důležitost, jednoznačnost a odůvodnění. Možná bychom tedy neměli nahlížet na uvedené axiomy jako na úplný souboru prvotních a univerzálních principů, ale namísto toho s jednotlivými tvrzeními zacházet jako s různými aproximacemi. V některých případech jde pouze o předpoklady zjednodušující nebo vůbec umožňující případné řešení úloh. 2.5 Navier-Stokesův model Ukázku klasického použití souboru axiomů konstitutivní teorie jsme převzali z [2]. Předvedeme si odvození Navier-Stokesova modelu pro stlačitelné i nestlačitelné tekutiny pomocí výše zmíněných axiomů. V odvození je explicitní odkaz pouze na axiom objektivity, podoba ostatních axiomů je určena výchozím předpokladem o tvaru závislosti. Předpokládejme, že konstitutivní vztah pro pole napětí lze vyjádřit pomocí funkce T χ (x, t) = ˆT χ [L χ (x, t); ρ χ (x, t); χ χ (x, t); χ χ (x, t); t]. (2.25) Díky požadavku na transformaci pole napětí plynoucímu z axiomu objektivity (2.17) budou některé možné závislosti vyloučeny. 21
22 Jelikož T závisí pouze na aktuálních lokálních hodnotách ostatních veličin, dovolíme si argument polí ve funkcionálu vynechávat. Všechna pole rovněž vyjadřujeme vzhledem k aktuální poloze χ, notaci tedy zkrátíme i o tuto podrobnost. Dále ještě budeme pro přehlednost vynechávat u objektů souvisejících s transformací souřadné soustavy zápis závislosti na čase. Pro transformaci χ = Q(t)(χ b) + c(t) t = t + a, (2.26) což je pouze jiný tvar transformace (1.2), musí platit: ˆT[L; ρ; χ; χ; t] =Q T { ˆT [L ; ρ (x, t ); χ ; χ ; t ] }Q =Q T { ˆT [D + W ; ρ(x, t); χ ; χ ; t ] }Q. (2.27) Dále použijeme vztahy χ Q χ = ċ + QQ T (χ c) (2.28) a D = QDQ T (2.29) W = QWQ T + QQ T. (2.30) Označíme si A := QQ T. Po dosazení (2.28), (2.29) do (2.27) dostaneme rovnost: ˆT[L; ρ; χ; χ, t] = Q T { ˆT[QDQ T + QWQ T + A; ρ; Q χ + ċ + A(χ c); Q(χ b) + c; t + a] }Q. (2.31) Mějme nyní dané hodnoty L, ρ, χ, χ a t. Má-li být vztah (2.31) platný pro obecnou transformaci vztažné soustavy (1.2), musí platit i pro tento speciální případ: Q(t) = 1 A(t) = Q(t) = W ċ(t) = χ A(t)(χ c(t)) c(t) = 2b χ a = t. (2.32) Po jeho dosazení dostáváme ˆT[L; ρ, χ; χ; t] = ˆT [D; ρ;0; b; 0], (2.33) kde b je libovolný vektor. Z tohoto vyplývá, že pole napětí může být závislé pouze na lokálních hodnotách symetrické části gradientu rychlosti a hustotě. T = ˆT[D; ρ] (2.34) 22
23 Axiom objektivity nyní určuje transformační vztah pro funkci napětí: ˆT[ Q(t)D(X, t)q T (t); ρ(x, t) ] = Q(t){ ˆT[ D(X, t); ρ(x, t) ] }Q T (t). (2.35) Třída funkcí závislých na tenzorovém poli D a transformujících se uvedeným způsobem se nazývá izotropní. Omezíme-li se dále na T lineárně závislé na D, lze dokázat (viz. [2]), že závislost napětí na symetrické části gradientu rychlosti má tvar T = ( p(ρ) + λ(ρ)trd) 1 + 2µ(ρ) D, (2.36) což je Navier-Stokesův vztah pro stlačitelnou tekutinu (2.4). Po dosazení podmínky nestlačitelnosti do vztahu (2.36) tak pro homogenní nestlačitelné lineárně viskózní tekutiny dostáváme Navier-Stokesův vztah (2.5): T = p 1 + 2µ D. (2.37) 23
24 2.6 Implicitní konstitutivní teorie Tento přístup k modelování konstitutivních vztahů byl původně rozpracován v článku [5]. V předchozím textu bylo předvedeno odvození Navier-Stokesova konstitutivního vztahu pro pole napětí. Prvním krokem v celém postupu byl předpoklad ohledně tvaru konstitutivního vztahu pro napětí, kdy jsme od obecné podoby (2.1) přešli ke speciálnímu tvaru (2.25). Předpoklad explicitního vztahu je důsledkem axiomů kauzality, determinismu a ekvipresence a při používání výše uvedené axiomatické konstrukce je tedy nevyhnutelný. V této části bude na konkrétním příkladu tekutiny s viskozitou závislou na tlaku předvedeno omezení explicitního tvaru konstitutivního vztahu. Dále si ukážeme, že zmíněný model spadá do kategorie implicitních konstitutivních vztahů (2.1). Na závěr poté rozebereme možnost zobecnění teorie a zahrnutí diskutovaného modelu mezi platné konstitutivní vztahy Motivace Motivací pro uvažování obecnější podoby konstitutivních vztahů nám nyní bude nestlačitelný homogenní materiál, jehož viskozita µ může být závislá na tlaku. Takovéto modely jsou běžně aplikovány ve fyzice například při studiu chování látek za vysokých tlaků. Jelikož tlak jako přímo zavedená veličina se v mechanice kontinua nevyskytuje, pokusíme se tuto závislost do konstitutivního vztahu uměle doplnit - předem prozrad me, že neúspěšně. Omezíme se na vratné izotermické děje a předpokládáme, že konstitutivní vztah pro pole napětí lze vyjádřit pomocí funkce T χ (x, t) = ˆT χ [L χ (x, t); ρ χ (x, t); χ χ (x, t); χ χ (x, t); t]. (2.38) (Stejně jako při odvození Navier-Stokesova modelu budeme i zde vynechávat argument polí ve funkcionálu a značení referenčního tvaru.) Postupem z předchozí části odvodíme z tohoto předpokladu za pomoci souboru axiomů Navier- Stokesův model (2.36): T(x, t) = p(ρ) 1 + λ(ρ)(trd) 1 + 2µ(ρ) D. (2.39) Nyní si rozebereme možnost závislosti viskozity µ na tlaku p. Necht jsme schopni vyjádřit hustotu jako funkci tlaku: ρ(x, t) = ˆρ(p(x, t)), tlak považujme za nezávislou proměnnou. Vztah pro napětí lze tedy přepsat do podoby T(x, t) = p 1 + λ(ˆρ(p))(trd) 1 + 2µ(ˆρ(p)) D (2.40) a alespoň opticky tak nechat zmizet závislost na hustotě. T(X, t) = p1 + λ(p)(trd) µ(p) D (2.41) Pro nestlačitelné homogenní tekutiny potom dostáváme konstitutivní vztah s viskozitou µ závislou na tlaku. T(x, t) = p µ(p) D (2.42) 24
25 Problém se však skrývá v přechodu k nestlačitelným homogenním tekutinám: požadavek ρ(x, t) = ρ 0 totiž implikuje p(x, t) = p 0. Původně byl totiž tlak funkcí teploty a požadovali jsme existenci inverzní funkce. Nicméně maje tuto chybu na vědomí, můžeme se pokusit zkonstruovat jakýsi pseudo-implicitní vztah dosazením stopy rovnice (2.42) znovu do (2.42) TrT(x, t) = p (2.43) T(x, t) = 1 (TrT) µ((trt)) D. (2.44) 3 Tímto jsme tedy nekorektním způsobem dospěli k zajímavému implicitnímu vztahu pro pole napětí. Je zjevné, že tento vztah nemá tvar závislosti předpokládaný v začátku postupu a v rámci použité teorie tedy není přípustný. Bylo by proto žádoucí nějakým způsobem stávající teorii rozšířit a o tento vztah ji obohatit Rozšíření Za účelem rozšíření třídy možných konstitutivních vztahů se proto vrátíme k obecnému tvaru konstitutivního vztahu (2.1). Uvažujme implicitní vztah mezi aktuální lokální hodnotou napětí a gradientu rychlosti kde levá i pravá strana je (1, 1) tenzorové pole. ˆF(T ; L) = 0, (2.45) Ukážeme, že model (2.44) náleží právě mezi implicitní vztahy ve tvaru (2.45). Omezme se na vztah mezi napětím a gradientem rychlosti lineární vzhledem k oběma proměnným spadající mezi (2.45): T + α(trt)1 + β(trt)l = 0, (2.46) kde zároveň uvažujeme nestlačitelnost materiálu: TrD = 0. Stopa této rovnice je TrT + α(trt)3 = 0 (2.47) a tedy α = 1 3. (2.48) Závislost (2.46) obsahuje (lokálně) součet dvou symetrických tenzorů a násobku obecného tenzoru L. Abychom dostali obecně platný vztah, je potřeba závislost na neznámém poli L symetrizovat: T 1 3 (TrT)1 + β(trt)(l + LT ) = 0. (2.49) Přeznačením skalární funkce β a za použití definice (1.36) lze tento vztah upravit do podoby: která je ekvivalentní s (2.44). T = 1 (TrT)1 + 2µ(TrT)D, (2.50) 3 25
26 Ukázali jsme tedy, že vztah pro pole napětí homogenního nestlačitelného materiálu s viskozitou závisející na tlaku (2.42) je právoplatný implicitní konstitutivní vztah. Obecná podoba konstitutivních vztahů (2.1) tedy dovoluje obohacení teorie o diskutovaný model. Zobecnění klasické teorie vycházející z explicitní podoby konstitutivních vztahů je však samozřejmě mnohem významnější nežli zahrnutí jednoho konkrétního modelu, umožňuje nám zabývat se konstitutivními vztahy v jejich obecné podobě. 26
27 2.7 Maximalizace produkce entropie Tato metoda byla převzata z [4]. Hlavní myšlenkou je, jak název metody napovídá, předpoklad, že hustota produkce entropie je za daných podmínek maximální možná. Fyzikální interpretací tohoto předpokladu je snaha tělesa co nejrychleji dospět do rovnovážného stavu, ten odpovídá maximum entropie, a proto by měla být její produkce maximální možná. Tato maximalizace se předpokládá pro každý materiálový bod. Z pohledu matematika tedy nahradíme odvozování podoby tenzorového pole napětí pro daný materiál zkoumáním dvou skalárních polí - hustoty produkce entropie a hustoty Helmholtzovy volné energie; tyto by již spolu s uvedeným principem měly napětí určit jednoznačně. Skalární pole je jistě algebraicky mnohem jednodušší objekt nežli pole tenzorové, nicméně požadavek experimentálního zjištění produkce entropie by mohl přivést do rozpaků nejednoho fyzika. Použití této metody si předvedeme na dalším zobecnění Navier-Stokesova konstitutivního vztahu pro nestlačitelné tekutiny. Konkrétně zkusíme odvodit model s viskozitou závislou na tlaku, hustotě a gradientu rychlosti. V celé této části operujeme výhradně s veličinami vyjádřenými vzhledem k aktuální poloze χ, pro přehlednost proto budeme vynechávat u polních veličin jak notaci polohy, tak argumenty pole. Výchozími vztahy jsou II. věta termodynamická ve tvaru a bilance celkové energie ρθṡ q + q ( θ) θ (2.51) ρ u = T v q. (2.52) Zavedeme si pole hustoty Helmholtzovy volné energie ψ := u θs. Derivací podle času a vynásobením hustotou hmotnosti dostáváme z definice vztah ρ ψ = ρ u ρ θs ρθṡ, (2.53) který nám spolu s bilancí energie (2.52) umožní přepsat II. větu termodynamickou do tvaru T L + ρ ψ ρ θs q ( θ) θ 0. (2.54) Výraz na levé straně interpretujeme a zadefinujeme jako hustotu specifické produkce entropie ξ. K dalšímu postupu si položme předpoklad, že teplota bude v celém tělese stále stejná. Tím jsou dva členy vyjádření ξ identicky nulové a dostáváme: ξ = T L + ρ ψ = T D + ρ ψ 0. (2.55) 27
28 2.7.1 Předpoklady Nyní již máme k dispozici veličiny skrze které bychom nepřímo chtěli najít konstitutivní vztah pro pole napětí: hustotu Helmholtzovy volné energie ψ a produkci entropie ξ. Na základě konstitutivních vztahů pro známé materiály nyní můžeme přibližně odhadnout jaké požadavky bychom mohli klást na ψ a ξ za účelem získání smysluplných vztahů pro složitější materiály. Hustota Helmholtzovy volné energie Jako první se zaměříme na hustotu Helmholtzovy volné energie pro stlačitelnou Eulerovskou tekutinu. Tento materiál je určen konstitutivním vztahem pro napětí (2.2). Eulerovská tekutina je ideální tekutinou: chová se elasticky a dodanou energii neproměňuje na teplo, její produkce entropie ξ zůstává nulová během libovolného procesu. Dosazením konstitutivního vztahu (2.2) do rovnice (2.55) s nulovou pravou stranou dostáváme rovnost ρ ψ = p(ρ)trl = p(ρ)trd. (2.56) Na základě tohoto vztahu proto učiníme první z předpokladů: necht je hustota Helmholtzovy volné energie funkcí hustoty hmotnosti. ψ = Ψ(ρ). (2.57) Časovou změnu hustoty Helmholtzovy volné energie lze díky uvedenému předpokladu vyjádřit jako ψ = ψ ρ. (2.58) ρ Produkce entropie Nyní se podíváme jak vypadá hustota produkce entropie pro nestlačitelnou Navier-Stokesovu tekutinu. Napětí v takovém materiálu je určeno vztahem (2.5) který po dosazení do vztahu (2.55) odhalí, že Odvození T = p1 + 2µD, (2.59) ξ = ( p1 + 2µD) D = ptrl + 2µD D = 2µD D. (2.60) Pokusíme se nyní odvodit konstitutivní vztah pro napětí v nestlačitelných tekutinách, který bude zobecněním Navier-Stokesova modelu. Výchozím bodem pro odvození obecnějšího vztahu nám bude tvar hustoty produkce entropie pro Navier-Stokesovu tekutinu (2.60). Zkusíme předpokládat, že hustota produkce entropie by mohla být funkcí závislou na TrT, ρ a D. Konkrétně předpokládejme, že analogie viskozity ve vyjádření hustoty produkce entropie by mohla být závislá právě na těchto veličinách ve tvaru ξ = 2ν(TrT,ρ, D D)D D. (2.61) 28
29 Zároveň budeme předpokládat závislost hustoty Helmholtzovy volné energie na hustotě hmotnosti stejnou jako v případě stlačitelné Eulerovy tekutiny. Díky tomu přejde (pro nestlačitelné těleso a izotermní procesy) vztah pro hustotu produkce entropie (2.55) za použití (2.58) a nestlačitelnosti na ξ = T D. (2.62) Nyní použijeme princip maximalizace produkce entropie. Necht tedy máme dané pole napětí T a zadanou funkci udávající hustotu produkce entropie (2.61) spolu s podmínkou na nestlačitelnost tekutiny a výraz pro produkci entropie (2.62). Ptáme se jaká hodnota pole gradientu rychlosti D odpovídá maximální hustotě produkce entropie ve vybraném bodě. 1 Jde tedy o úlohu ohledně hledání vázaného extrému a odpověd nalezneme za použití metody Lagrangeových multiplikátorů. Maximalizovanou funkcí je (2.61): ξ(d) = 2ν(TrT, ρ, D D)D D, vazbové podmínky jsou: G 1 (D) := TrD = 0 (2.63) G 2 (D) := T D ξ = 0. (2.64) Podle věty o Lagrangeových multiplikátorech platí pro derivaci funkce ξ(d) v extremalizující hodnotě argumentu D max : λ 1, λ 2 R : ξ D (D G 1 max) = λ 1 D (D G 2 max) + λ 2 D (D max) G 1 (D max ) = 0 G 2 (D max ) = 0. (2.65) Konkrétně tedy dosazením získáme Rovnici (2.66) upravíme na tvar ξ D = λ 11 + λ 2 (T ξ ). (2.66) D (1 + λ 2 ) ξ D = λ 11 + λ 2 T T = λ 1 λ λ 2 λ 2 (2.67) ξ D. První multiplikátor určíme po provedení derivaci zapsané v (2.67) ( ) ξ D = 4 ν(p, ρ, D D) ν(p, ρ, D D) + D D D D D. (2.68) Po aplikaci operace stopy na rovnici (2.67) je vzhledem k rovnosti (2.68) a nestlačitelnosti tekutiny příspěvek derivace ξ D nulový a výsledek tedy je TrT = λ 1 λ 2 3. (2.69) 1 Pro přiblížení bychom si mohli představovat, že na těleso zapůsobíme určitým napětím a nyní je na tělese, aby se deformovalo způsobem produkujícím nejvíce entropie. 29
30 Dosazením zpět do (2.67) jsme získali vyjádření s jedinou neznámou: T = TrT λ 2 ξ λ 2 D. (2.70) Hodnotu druhého multiplikátoru zjistíme zúžením rovnice (2.70) s polem D za současného využití obou vazebních podmínek ξ = 1 + λ ( ) 2 ξ D λ 2 D 1 + λ 2 ξ (2.71) =. λ 2 ( ξ D ) D Zpětným dosazením do vztahu (2.70) a rozepsáním derivace (2.68) T = TrT ξ 4( )D 4( )D D = = TrT ν(TrT,ρ, D D)D (2.72) tedy dostáváme konstitutivní vztah pro tenzor napětí. Můžeme si povšimnout, že předpoklad o podobnosti úlohy viskozity ve výrazu pro hustotu produkce entropie v právě odvozeném vztahu a modelu nestlačitelné Navier-Stokesovy tekutiny (2.5) byl správný. 2.8 Srovnání různých přístupů Zásadní rozdíl mezi axiomatickou a implicitní teorií konstitutivních vztahů spočívá ve tvaru uvažovaných funkcionálů. Zcela zjevně je implicitní tvar obecnější nežli explicitní tvar předpokládaný na základě axiomů kauzality, determinismu a ekvipresence, nebot tento je pouze speciálním případem z množiny implicitních vztahů. Univerzální platnost axiomů vedoucích k explicitnímu tvaru je tedy dodatečně zpochybněna protože jsou v rozporu s implicitními vztahy, které vychází z empirické zkušenosti (např. již zmíněná fyzika vysokých tlaků, geofyzika apod.). Metoda maximalizace entropie je konkrétním způsobem jak ze dvou skalárních závislostí (pro produkci entropie a Helmholtzovu volnou energii) odvodit jednu tenzorovou (vztah mezi napětím a symetrickou částí gradientu rychlosti). Musíme však tyto skalární závislosti nějakým způsobem získat. Experimentální přístup v tomto případě zcela jistě selže. Je tedy nutné teoreticky odvodit zmíněné vztahy pro každý modelovaný materiál, což by v konečném důsledku mohlo znamenat nutnost uvažovat mikroskopickou strukturu modelované látky a značný nárůst složitosti odvození. 30
31 Kapitola 3 Monotonie tenzoru napětí 3.1 Úvod Obsahem této části práce je zkoumání podmínek monotonie tenzoru napětí závislého na symetrické části gradientu rychlosti. Motivem našeho zájmu je skutečnost, že monotonie tenzoru hraje významnou úlohu v matematické analýze modelů tekutin. Ačkoliv jsme v první polovině této práce s tenzory běžně prováděli všechny potřebné operace a jejich znalost jsme u čtenáře mlčky předpokládali, zde si pro pořádek některé definice operací s tenzory a vybraná tvrzení uvedeme. Pro zjednodušení zápisu budeme opět vynechávat notaci argumentu polních veličin a tvaru vzhledem ke kterému je vyjadřujeme. Def: Stopa tenzoru Stopa (1, 1) tenzoru je zobrazení Tr : E 3 E 3 R 3 pro které platí: Tr(a b) = a a. (3.1) Def: Násobení tenzorů Necht S, T E 3 E 3. Symbolem ST označujeme takový tenzor z E 3 E 3, pro který platí v E 3 : (ST)v = S(Tv). (3.2) Zavedeme si symbol mocniny tenzoru S n := SS n 1. Pro libovolný tenzor S je nultá mocnina identickým tenzorem, S 0 := 1. Mějme v prostoru E 3 E 3 zvolenu libovolnou bázi. Pro složky násobených tenzorů vzhledem vyjádřené vzhledem k této bázi platí (viz. [3]): Def: Úžení tenzorů Necht S, T E 3 E 3. Úžení tenzorů S T definujeme jako: Úžení budeme příležitostně značit také takto: (S; T). [ST] = [S][T]. (3.3) S T := Tr(S T T ). (3.4) 31
32 Takto zavedená operace je skalárním součinem na prostoru E 3 E 3, viz. [3]. Def: Monotonie tenzorové funkce tenzorového argumentu Tenzorová funkce S : E 3 E 3 E 3 E 3 je monotónní, právě když pro libovolné dva tenzory D 0, D 1 E 3 E 3 platí (S(D 1 ) S(D 0 ); D 1 D 0 ) 0. (3.5) Pokud platí ostrá nerovnost pro všechna D 1 D 2, nazveme S striktně monotónní. Uvedeme bez důkazu dvě triviální tvrzení z lineární algebry. Lemma 1 Necht v je vlastní vektor matice A příslušející vlastnímu číslu λ. Potom v je také vlastním vektorem matice AA a přísluší vlastnímu číslu λ 2. Lemma 2 Necht A je čtvercová matice typu n n s reálnými prvky. Necht {λ 1 (A), λ n (A)} je spektrum A. Potom TrA = n i=1 λ i(a). Lemma 3 Necht D je symetrický tenzor. Zúžení dvou jeho mocnin lze vyjádřit pomocí vlastních čísel D jako: D i D j := Tr((D i ) T D j ) = Tr(D i D j ) = Tr(D i+j ) = Tr([D i+j ]) 9 9 = λ k ([D i+j ]) = (λ k ([D])) i+j. k=1 k=1 (3.6) V tomto postupu bylo po řadě využito definice úžení tenzorů, symetrie D a tedy i jeho mocnin, definice mocniny tenzoru, definice stopy tenzoru a dvou výše uvedených tvrzení z lineární algebry. 3.2 Podmínky monotonie I Problémem řešeným v této části tedy budou postačující podmínky pro monotonii tenzoru napětí. Konkrétně budeme předpokládat polynomiální závislost lokální aktuální hodnoty pole tenzoru napětí na lokální aktuální hodnotě pole tenzoru symetrické části gradientu rychlosti. Dalším předpokladem bude nulovost stopy argumentu funkce napětí, neboli naše zkoumání omezujeme na nestlačitelná tělesa. Nejprve se podíváme na funkce ve speciálním tvaru: T(D) = n α i (D)D i, (3.7) i=0 kde koeficienty α i jsou skalárními polynomiálními funkcemi stopy různých mocnin tenzoru D, tedy: α i (D) = α i (TrD, TrD 2, ). Modely si rozdělíme podle mocnin D obsažených ve výrazu pro napětí (bez ohledu na podobu koeficientů). 32
1 Soustava lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Soustava lineárních rovnic 2 Řešitelnost soustavy lineárních rovnic 3 Gaussova eliminační metoda 4 Jordanova eliminační
Bardziej szczegółowoMATEMATIKA 3. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATIKA 3 Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Osnova: Komplexní funkce - definice, posloupnosti, řady Vybrané komplexní funkce
Bardziej szczegółowoFunkce zadané implicitně. 4. března 2019
Funkce zadané implicitně 4. března 2019 Parciální derivace druhého řádu Parciální derivace druhého řádu funkce z = f (x, y) jsou definovány: Parciální derivace 2 f 2 = ( ) f 2 f 2 = ( ) f 2 f a 2 f 2 f
Bardziej szczegółowoAproximace funkcí 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885. Body proložíme lomenou čarou.
Příklad Známe následující hodnoty funkce Φ: u Φ(u) 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885 Odhadněte přibližně hodnoty Φ(1,02) a Φ(1,16). Možnosti: Vezmeme hodnotu v nejbližším bodě. Body proložíme lomenou čarou.
Bardziej szczegółowoNecht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f(b) f(a) b a. Geometricky
Monotónie a extrémy funkce Diferenciální počet - průběh funkce Věta o střední hodnotě (Lagrange) Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f (ξ)
Bardziej szczegółowoKomplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18
Komplexní analýza Mocninné řady Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18 Posloupnosti komplexních čísel opakování
Bardziej szczegółowoKapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu
Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1 řádu Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter
Bardziej szczegółowoNumerické metody minimalizace
Numerické metody minimalizace Než vám klesnou víčka - Stříbrnice 2011 12.2. 16.2.2011 Emu (Brkos 2011) Numerické metody minimalizace 12.2. 16.2.2011 1 / 19 Obsah 1 Úvod 2 Základní pojmy 3 Princip minimalizace
Bardziej szczegółowoÚvodní informace. 18. února 2019
Úvodní informace Funkce více proměnných Cvičení první 18. února 2019 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Úvodní informace. Komunikace: e-mail: olga@majling.eu nebo olga.majlingova@fs.cvut.cz
Bardziej szczegółowoKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text
Bardziej szczegółowoLinea rnı (ne)za vislost
[1] Lineární (ne)závislost Skupiny, resp. množiny, vektorů mohou být lineárně závislé nebo lineárně nezávislé... a) zavislost, 3, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010,
Bardziej szczegółowoEdita Pelantová, katedra matematiky / 16
Edita Pelantová, katedra matematiky seminář současné matematiky, září 2010 Axiomy reálných čísel Axiomy tělesa Axiom 1. x + y = y + x a xy = yx (komutativní zákon). Axiom 2. x + (y + z) = (x + y) + z a
Bardziej szczegółowo(1) Derivace. Kristýna Kuncová. Matematika B2 17/18. Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35
(1) Derivace Kristýna Kuncová Matematika B2 17/18 Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35 Růst populací Zdroj : https://www.tes.com/lessons/ yjzt-cmnwtvsq/noah-s-ark Kristýna Kuncová (1) Derivace 2 / 35 Růst
Bardziej szczegółowoKristýna Kuncová. Matematika B2
(3) Průběh funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 1 / 26 Monotonie (x 2 ) = 2x (sin x) = cos x Jak souvisí derivace funkce a fakt, zda je funkce rostoucí nebo klesající?
Bardziej szczegółowoMatematika (KMI/PMATE)
Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam (smysl) koeficientů lineární
Bardziej szczegółowoNumerické metody 8. května FJFI ČVUT v Praze
Obyčejné diferenciální rovnice Numerické metody 8. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Základní metody Pokročilejší metody Soustava Vyšší řád Program 1 Úvod Úvod - Úloha Základní úloha, kterou řešíme
Bardziej szczegółowoKristýna Kuncová. Matematika B2 18/19
(6) Určitý integrál Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 1 / 28 Newtonův integrál Zdroj: https://kwcalculus.wikispaces.com/integral+applications Kristýna Kuncová (6)
Bardziej szczegółowoMatematika 2, vzorová písemka 1
Matematika 2, vzorová písemka Pavel Kreml 9.5.20 Přesun mezi obrazovkami Další snímek: nebo Enter. Zpět: nebo Shift + Enter 2 3 4 Doporučení Pokuste se vyřešit zadané úlohy samostatně. Pokud nebudete vědět
Bardziej szczegółowoDiferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se
Diferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se separovanými proměnnými. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské
Bardziej szczegółowokontaktní modely (Winklerův, Pasternakův)
TÉMA 7: Pružný poloprostor, modely podloží pružný poloprostor základní předpoklady pružný poloprostor Boussinesqueovo řešení kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův) 1 Pružný poloprostor (1) vychází z
Bardziej szczegółowoStochastické modelování v ekonomii a financích Konzistence odhadu LWS. konzistence OLS odhadu. Předpoklady pro konzistenci LWS
Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě Stochastické modelování v ekonomii a financích 7. 12. 2009 Obsah Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě 1 Whitův 2 pro 3 heteroskedasticitě
Bardziej szczegółowoMatematika III Stechiometrie stručný
Matematika III Stechiometrie stručný matematický úvod Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík Ústav matematiky Přednášky LS 2015-2016 Obsah 1 Zápis chemické reakce 2 umožňuje jednotný přístup
Bardziej szczegółowoKomplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32
Komplexní analýza Úvod Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32 Základní informace Stránky předmětu: http://math.feld.cvut.cz/bohata/kan.html
Bardziej szczegółowoStavový popis Stabilita spojitých systémů (K611MSAP) Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT. čtvrtek 20. dubna 2006
Modelování systémů a procesů (K611MSAP) Přednáška 4 Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT Pravidelná přednáška K611MSAP čtvrtek 20. dubna 2006 Obsah 1 Laplaceova transformace Přenosová funkce
Bardziej szczegółowoCo nám prozradí derivace? 21. listopadu 2018
Co nám prozradí derivace? Seminář sedmý 21. listopadu 2018 Derivace základních funkcí Tečna a normála Tečna ke grafu funkce f v bodě dotyku T = [x 0, f (x 0 )]: y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) Normála: y
Bardziej szczegółowoPrůvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více
5 Diferenciální počet funkcí více proměnných Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více proměnných, především budeme pracovat s funkcemi dvou proměnných Ukážeme
Bardziej szczegółowo5. a 12. prosince 2018
Integrální počet Neurčitý integrál Seminář 9, 0 5. a. prosince 08 Neurčitý integrál Definice. Necht funkce f (x) je definovaná na intervalu I. Funkce F (x) se nazývá primitivní k funkci f (x) na I, jestliže
Bardziej szczegółowoVybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2018-2019 Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 1 / 11 Křivkový integrál Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 2 / 11 Parametricky zadaná křivka v R 3 :
Bardziej szczegółowoCauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici
Řešení ODR v MATLABu Přednáška 3 15. října 2018 Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 Víme, že v intervalu a, b existuje jediné řešení. (f (x, y) a f y jsou spojité
Bardziej szczegółowoInverzní Z-transformace
Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 9. přednáška 11MSP úterý 16. dubna 2019 verze: 2019-04-15 12:25
Bardziej szczegółowoGEM a soustavy lineárních rovnic, část 2
GEM a soustavy lineárních rovnic, část Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: B6B0LAG 8.3.09: GEM a soustavy, část / Minulá přednáška Gaussova
Bardziej szczegółowoRovnice proudění Slapový model
do oceánského proudění Obsah 1 2 3 Co způsobuje proudění v oceánech? vyrovnávání rozdílů v teplotě, salinitě, tlaku, ρ = ρ(p, T, S) vítr - wind stress F wind = ρ air C D AU 2 10 slapy produkují silné proudy,
Bardziej szczegółowoGeometrická nelinearita: úvod
Geometrická nelinearita: úvod Opakování: stabilita prutů Eulerovo řešení s využitím teorie 2. řádu) Stabilita prutů Ritzovou metodou Stabilita tenkých desek 1 Geometrická nelinearita Velké deformace průhyby,
Bardziej szczegółowo(A B) ij = k. (A) ik (B) jk.
Příklady z lineární algebry Michael Krbek 1 Opakování 1.1 Matice, determinanty 1. Je dána matice 1 2 0 M = 3 0 1. 1 0 1 Určete M 2, MM T, M T M a vyjádřete M jako součet symetrické a antisymetrické matice!
Bardziej szczegółowoElementární funkce. Edita Pelantová. únor FJFI, ČVUT v Praze. katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze
Elementární funkce Edita Pelantová FJFI, ČVUT v Praze Seminář současné matematiky katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze únor 2013 c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor 2013 1 / 19 Polynomiální
Bardziej szczegółowoDFT. verze:
Výpočet spektra signálu pomocí DFT kacmarp@fel.cvut.cz verze: 009093 Úvod Signály můžeme rozdělit na signály spojité v čase nebo diskrétní v čase. Další možné dělení je na signály periodické nebo signály
Bardziej szczegółowoTeorie plasticity. Varianty teorie plasticity. Pružnoplastická matice tuhosti materiálu
Teorie plasticity Varianty teorie plasticity Teorie plastického tečení Přehled základních vztahů Pružnoplastická matice tuhosti materiálu 1 Pružnoplastické chování materiálu (1) Pracovní diagram pro případ
Bardziej szczegółowoUrčitý (Riemannův) integrál a aplikace. Nevlastní integrál. 19. prosince 2018
Určitý (Riemnnův) integrál plikce. Nevlstní integrál Seminář 9. prosince 28 Určitý integrál Existence: Necht funkce f (x) je definovná n uzvřeném intervlu, b. Necht je splněn n tomto intervlu kterákoliv
Bardziej szczegółowoKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 8. přednáška: Kvadratické formy Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la Text byl vytvořen
Bardziej szczegółowo(a). Pak f. (a) pro i j a 2 f
Připomeň: 1. Necht K R n. Pak 1. Funkce více proměnných II 1.1. Parciální derivace vyšších řádů K je kompaktní K je omezená a uzavřená. 2. Necht K R n je kompaktní a f : K R je spojitá. Pak f nabývá na
Bardziej szczegółowoFunkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál
Matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 29. 9. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura
Bardziej szczegółowoFunkce více proměnných: limita, spojitost, derivace
Matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, derivace Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 22. 9. 2014 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Zobrazení a funkce více
Bardziej szczegółowoPeriodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzích
Periodický pohyb obecného ve dvou dimenzích Autor: Šárka Petříčková (A05221, sarpet@students.zcu.cz) Vedoucí: Ing. Petr Nečesal, Ph.D. Matematické metody v aplikovaných vědách a ve vzdělávání, Fakulta
Bardziej szczegółowopodle přednášky doc. Eduarda Fuchse 16. prosince 2010
Jak souvisí plochá dráha a konečná geometrie? L ubomíra Balková podle přednášky doc. Eduarda Fuchse Trendy současné matematiky 16. prosince 2010 (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince 2010
Bardziej szczegółowo(2) Funkce. Kristýna Kuncová. Matematika B2. Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25
(2) Funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25 Sudá a lichá funkce Určete, které funkce jsou sudé a které liché: liché: A, D, E sudé: B Kristýna Kuncová (2) Funkce 2 / 25
Bardziej szczegółowoAnna Kratochvílová Anna Kratochvílová (FJFI ČVUT) PDR ve zpracování obrazu / 17
Parciální diferenciální rovnice ve zpracování obrazu Anna Kratochvílová FJFI ČVUT 10. 6. 2009 Anna Kratochvílová (FJFI ČVUT) PDR ve zpracování obrazu 10. 6. 2009 1 / 17 Obsah 1 Motivace 2 Vyšetření pomocí
Bardziej szczegółowoSlabá formulace rovnic proudění tekutin
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁC Mark Dostalík Slabá formulace rovnic proudění tekutin Matematický ústav UK Vedoucí bakalářské práce: Studijní program: Studijní
Bardziej szczegółowoKapitola 2. Nelineární rovnice
Kapitola. Nelineární rovnice Formulace: Je dána funkce f : R! R definovaná na intervalu ha; bi. Hledáme x ha; bi tak, aby f(x) = 0. (x... kořen rovnice) Poznámka: Najít přesné řešení analyticky je možné
Bardziej szczegółowoZápadočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky bakalářská práce vícebodové okrajové úlohy Plzeň, 18 Hana Levá Prohlášení Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracovala
Bardziej szczegółowoOperace s funkcemi [MA1-18:P2.1] funkční hodnota... y = f(x) (x argument)
KAPITOLA : Funkce - úvod [MA-8:P.] reálná funkce (jedné) reálné proměnné... f : A R...... zobrazení množin A R do množin reálných čísel R funkční hodnota... = f() ( argument) ( tj. reálná funkce f : A
Bardziej szczegółowoTeorie. kuncova/ Definice 1. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže existuje.
8. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Definice. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže eistuje h 0 fa + h) fa), h pak tuto itu nazýváme derivací funkce f v bodě
Bardziej szczegółowoLineární algebra - iterační metody
Lineární algebra - iterační metody Numerické metody 7. dubna 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Rozdělení Metody Zastavení SOR Programy 1 Úvod Úvod - LAR Mějme základní úlohu A x = b, (1) kde A R n,n je
Bardziej szczegółowoEuklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU
Bardziej szczegółowoMatematická analýza 2. Kubr Milan
Matematická analýza. Kubr Milan. února 008 Obsah Vektorové funkce jedné reálné proměnné. 3. Základní pojmy...................................... 3. Křivky v R n........................................
Bardziej szczegółowoPetr Beremlijski, Marie Sadowská
Počítačová cvičení Petr Beremlijski, Marie Sadowská Katedra aplikované matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB - Technická univerzita Ostrava Cvičení : Matlab nástroj pro matematické modelování
Bardziej szczegółowoSb ırka pˇr ıklad u z matematick e anal yzy II Petr Tomiczek
Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah 0 Diferenciální rovnice. řádu 0. Separace proměnných Příklad : Najděte obecné řešení (obecný integrál) diferenciální rovnice y = tg x tg y.
Bardziej szczegółowoLaplaceova transformace
Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 5. přednáška 11MSP 219 verze: 219-3-17
Bardziej szczegółowoObsah. Limita posloupnosti a funkce. Petr Hasil. Limita posloupnosti. Pro a R definujeme: Je-li a < 0, pak a =, a ( ) =. vlastní body.
Obsah a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I Úvod 2 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 2 / 90 Úvod Úvod Pro a R definujeme:
Bardziej szczegółowoalgebrou úzce souvisí V druhém tematickém celku se předpokládá základní znalosti z matematické analýzy
1 Úvodem Prezentace předmětu VMP je vytvořena pro nový předmět, který si klade za cíl seznámit studenty se základy lineární algebry a se základy numerické matematiky. Zejména v prvním tématu budeme pracovat
Bardziej szczegółowofakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Extrémy Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného
Bardziej szczegółowoStatistika (KMI/PSTAT)
Statistika (KMI/PSTAT) Cvičení deváté aneb Důležitá rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 15 Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina
Bardziej szczegółowoOdpřednesenou látku naleznete v kapitolách skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.
Lineární prostor Lineární kombinace Lineární prostory nad R Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 1.1 1.4 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: Lineární algebra 01A-2018: Lineární
Bardziej szczegółowoAutomatové modely. Stefan Ratschan. Fakulta informačních technologíı. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
Automatové modely Stefan Ratschan Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Stefan
Bardziej szczegółowoEnergetické principy a variační metody ve stavební mechanice
Energetické principy a variační metody ve stavební mechanice Přetvárná práce vnějších sil Přetvárná práce vnitřních sil Potenciální energie Lagrangeův princip Variační metody Ritzova metoda 1 Přetvárná
Bardziej szczegółowoZákladní elektrotechnická terminologie,
Přednáška č. 1: Základní elektrotechnická terminologie, veličiny a zákony Obsah 1 Terminologie 2 2 Veličiny 6 3 Kirchhoffovy zákony 11 4 Literatura 14 OBSAH Strana 1 / 14 1 TERMINOLOGIE Strana 2 / 14 1
Bardziej szczegółowoObsah. 1.2 Integrály typu ( ) R x, s αx+β
Sbírka úloh z matematické analýzy. Čížek Jiří Kubr Milan. prosince 006 Obsah Neurčitý integrál.. Základní integrály...................................... Integrály typu ) R, s α+β γ+δ d...........................
Bardziej szczegółowoReferenční plochy. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.
Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Obsah 1 2 Souřadnice na elipsoidu Zeměpisné souřadnice Kartografické souřadnice Izometrické (symetrické) souřadnice Pravoúhlé a polární souřadnice 3 Ortodroma Loxodroma
Bardziej szczegółowo7. Aplikace derivace
7. Aplikace derivace 7A. Taylorův polynom 7. Aplikace derivace Verze 20. července 207 Derivace funkce se využívá při řešení úloh technické prae i teorie. Uvedeme několik z nich: vyčíslení hodnot funkce,
Bardziej szczegółowoÚVOD DO ARITMETIKY Michal Botur
ÚVOD DO ARITMETIKY Michal Botur 2011 2 Obsah 1 Algebraické základy 3 1.1 Binární relace.................................. 3 1.2 Zobrazení a operace............................... 7 1.3 Algebry s jednou
Bardziej szczegółowoParadoxy geometrické pravděpodobnosti
Katedra aplikované matematiky 1. června 2009 Úvod Cíle práce : Analýza Bertrandova paradoxu. Tvorba simulačního softwaru. Osnova 1 2 3 4 Osnova 1 2 3 4 Osnova 1 2 3 4 Osnova 1 2 3 4 V rovině je zadán kruh
Bardziej szczegółowoUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta
Univerzita arlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAALÁŘSÁ PRÁCE Matěj Novotný Operátory skládání na prostorech funkcí atedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Jiří Spurný
Bardziej szczegółowoLogika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
Bardziej szczegółowoKatedra fyziky. Dvourozměrné sigma modely. Two-Dimensional Sigma Models
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská Katedra fyziky Obor: Matematické inženýrství Zaměření: Matematická fyzika Dvourozměrné sigma modely Two-Dimensional Sigma Models
Bardziej szczegółowoKvalitativní analýza nelineárních rovnic typu reakce-difuze
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Diplomová práce Kvalitativní analýza nelineárních rovnic typu reakce-difuze Plzeň, 2018 Bc. Martin Kaisler cistylist listzadani1
Bardziej szczegółowoheteroskedasticitě Radim Navrátil, Jana Jurečková Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky, MFF UK, Praha
Pořadové testy v regresi při rušivé heteroskedasticitě Radim Navrátil, Jana Jurečková Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky, MFF UK, Praha Robust 2014, Jetřichovice 22.1.2014 Radim Navrátil,
Bardziej szczegółowoNekomutativní Gröbnerovy báze
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Zuzana Požárková Nekomutativní Gröbnerovy báze Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: RNDr. Jan Št ovíček, Ph.D. Studijní
Bardziej szczegółowoInternet a zdroje. (Zdroje na Internetu) Mgr. Petr Jakubec. Katedra fyzikální chemie Univerzita Palackého v Olomouci Tř. 17.
Internet a zdroje (Zdroje na Internetu) Mgr. Petr Jakubec Katedra fyzikální chemie Univerzita Palackého v Olomouci Tř. 17. listopadu 12 26. listopadu 2010 (KFC-INTZ) Databáze, citování 26. listopadu 2010
Bardziej szczegółowoMATEMATIKA 1 ALEŠ NEKVINDA. + + pokud x < 0; x. Supremum a infimum množiny.
MATEMATIKA ALEŠ NEKVINDA DIFERENCIÁLNÍ POČET Přednáška Označíme jako na střední škole N, Z, Q, R a C postupně množinu přirozených, celých, racionálních, reálných a komplexních čísel R = R { } { } Platí:
Bardziej szczegółowoUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Lukáš Perůtka Hledání optimálních strategií číselného síta Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: Prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc.,
Bardziej szczegółowoFAKULTA STAVEBNÍ. Stavební statika. Telefon: WWW:
VYSOKÁ ŠKOA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA AKUTA STAVEBNÍ Stavební statika Pohyblivé zatížení Jiří Brožovský Kancelář: P H 406/3 Telefon: 597 32 32 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz WWW: http://fast0.vsb.cz/brozovsky
Bardziej szczegółowoPlyny v dynamickém stavu. Jsou-li ve vakuovém systému různé teploty, nebo tlaky dochází k přenosu energie, nebo k proudění plynu.
Plyny v dynamickém stavu Jsou-li ve vakuovém systému různé teploty, nebo tlaky dochází k přenosu energie, nebo k proudění plynu. Difuze plynu Mechanismus difuze závisí na podmínkách: molekulární λ L viskózně
Bardziej szczegółowoPowyższe reguły to tylko jedna z wersji gry. Istnieje wiele innych wariantów, można też ustalać własne zasady. Miłej zabawy!
Krykiet W krykieta może grać od 2 do 4 osób, którzy albo grają każdy przeciw każdemu, albo dzielą się na dwie drużyny. Bramki oraz palik startowy i powrotne umieszcza się tak, jak pokazano na rysunku.
Bardziej szczegółowostudijní text Jaroslav Vlček Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB-TU Ostrava
Matematické modelování studijní text Jaroslav Vlček Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB-TU Ostrava 2. února 2018 Obsah 1 Principy matematického modelování 3 1.1 Motivační úlohy.....................................
Bardziej szczegółowo1 Definice. A B A B vlastní podmnožina. 4. Relace R mezi množinami A a B libovolná R A B. Je-li A = B relace na A
1 Definice 1. Množiny: podmnožina: A B x(x A x B) průnik: A B = {x A x B} sjednocení: A B = {x x A x B} rozdíl: A B = {x A x B} A B A B vlastní podmnožina 2. uspořádaná dvojice: (x, y) = {{x}, {x, y}}
Bardziej szczegółowoJednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.
Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Obsah 1 2 Obsah 1 2 Společné vlastnosti jednoduchých zobrazení: Zobrazovací ref. plocha je rovina - souřadnice X, Y, případně ρ, ɛ Zobrazovaná ref. plocha je eliposid
Bardziej szczegółowoMendelova univerzita v Brně user.mendelu.cz/marik
INŽNÝRSKÁ MATMATIKA Robert Mařík Mendelova univerzita v Brně marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik ABSTRAKT. Učební text k mým přednáškám z předmětu Inženýrská matematika. Text je poměrně hutný a není
Bardziej szczegółowoPetr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187
Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými
Bardziej szczegółowoKarel Vostruha. evolučních rovnic hyperbolického typu
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Diplomová práce Karel Vostruha Asymptotické chování nelineárních evolučních rovnic hyperbolického typu Katedra matematické analýzy Vedoucí diplomové
Bardziej szczegółowox2 + 2x 15 x 2 + 4x ) f(x) = x 2 + 2x 15 x2 + x 12 3) f(x) = x 3 + 3x 2 10x. x 3 + 3x 2 10x x 2 + x 12 10) f(x) = log 2.
Příklady k 1 zápočtové písemce Definiční obor funkce Určete definiční obor funkce: x + x 15 1 f(x x + x 1 ( x + x 1 f(x log x + x 15 x + x 1 3 f(x x 3 + 3x 10x ( x 3 + 3x 10x f(x log x + x 1 x3 + 5x 5
Bardziej szczegółowostudijní text Jaroslav Vlček Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB-TU Ostrava
Matematické modelování studijní text Jaroslav Vlček Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB-TU Ostrava 15. září 216 Obsah 1 Principy matematického modelování 3 1.1 Motivační úlohy.....................................
Bardziej szczegółowoObsah. 1 Konstrukce (definice) Riemannova integrálu Výpočet Newtonova Leibnizova věta Aplikace výpočet objemů a obsahů 30
Určitý integrál Robert Mřík 6. září 8 Obsh 1 Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. Výpočet Newtonov Leibnizov vět. 18 3 Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo 19 4 Aplikce výpočet objemů obshů 3 c Robert
Bardziej szczegółowoMetody, s nimiž se seznámíme v této kapitole, lze použít pro libovolnou
2. Řešení nelineárních rovnic Průvodce studiem Budeme se zabývat výpočtem reálných kořenů nelineární rovnice f(x) =0, (2.0.1) kde f je v jistém smyslu rozumná reálná funkce. Pro některé funkce (kvadratické,
Bardziej szczegółowoObecná orientace (obvykle. Makroskopická anizotropie ( velmi mnoho kluzných rovin )
Fyzikální zdůvodnění plasticity (1) Změny v krystalické mřížce Schmidtův zákon : τ τ τ max (1) Dosažení napětí τ max vede ke změnám v krystalické mřížce Deformace krystalické mřížky pružná deformace Změny
Bardziej szczegółowoZobecněné metriky Různé poznámky 12. METRIZACE. Miroslav Hušek, Pavel Pyrih KMA MFF UK. 12. Poznámky
12. METRIZACE Poznámky Miroslav Hušek, Pavel Pyrih KMA MFF UK 2009 Jak bylo zmíněno v úvodních kapitolách tohoto textu, axiómy metrik (nebo pseudometrik) se často oslabují, aby bylo možné popsat další
Bardziej szczegółowoObsah. Zobrazení na osmistěn. 1 Zobrazení sféry po částech - obecné vlastnosti 2 Zobrazení na pravidelný konvexní mnohostěn
Obsah 1 2 3 Použití Zobrazení rozsáhlého území, ale hodnoty zkreslení nesmí přesáhnout určitou hodnotu Rozdělením území na menší části a ty pak zobrazíme zvlášť Nevýhodou jsou však samostatné souřadnicové
Bardziej szczegółowoJan Kotera. Vlnky a zpracování obrazu
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PÁCE Jan Kotera Vlnky a zpracování obrazu Katedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: doc. NDr. Miloš Zahradník, CSc. Studijní
Bardziej szczegółowoOkrajový problém podmínky nejsou zadány v jednom bodu nejčastěji jsou podmínky zadány ve 2 bodech na okrajích, ale mohou být
Obyčejné diferenciální rovnice 1 Úvod Obyčejnou diferenciální rovnici N-tého řádu f ( x,y,y,y,...,y (N)) = g(x) převádíme na soustavu N diferenciálních rovnic 1. řádu. Provedeme substituce y z 1 y z 2...
Bardziej szczegółowoPojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je. Nejprve shrneme pojmy a fakta, které znáte ze střední školy.
1 Kapitola 1 Množiny 1.1 Základní množinové pojmy Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je souhrn, nebo soubor navzájem rozlišitelných objektů, kterým říkáme prvky. Pro známé množiny
Bardziej szczegółowoRobotika. Kinematika 13. dubna 2017 Ing. František Burian Ph.D.
Robotika Kinematika 13. dubna 2017 Ing. František Burian Ph.D., Řízení stacionárních robotů P P z q = f 1 (P) q z Pøímá úloha q U ROBOT q P R q = h(u) P = f (q) DH: Denavit-Hartenberg (4DOF/kloub) A i
Bardziej szczegółowo1 Předmluva Značení... 3
Sbírka příkladů k předmětu Lineární systémy Jan Krejčí, korektura Martin Goubej 07 Obsah Předmluva. Značení..................................... 3 Lineární obyčejné diferenciální rovnice s konstantními
Bardziej szczegółowo