Kaów O Póbah Rozwiązania Kwantowego agadnienia Tzeh Ciał Emil Ża
agadnienia. Pzedtawienie poblemu na pzyładzie atomu Helu. Metody pzybliżone w ozwiązywaniu zagadnienia tzeh iał. W ieunu doładnej i analityznej funji falowej Rozwinięie V. Foa dołóż niehianą zmienną otzymaj potzy poblem Konepja homogeniznośi Hylleaa 96 & atualne pae
Popawi powzehnie pomijane x z xnu ynu znu x y z y x y z ENERGII POPRAWKA DO 4 m - m - 00 m - 0 m - QED -> Lamb Shift Field Shift Spin Spin-obit pin-pin oupling Pauli-Beit inteation Ma polaization M Hylleaa equation limit G.W.F. Dae Phy. Sipt. 999
Pzetzeń Hilbeta i Hamiltonian Natua tenoowa Pzetzeń jednoeletonowa: jedn. el. L C z y x
Pzetzeń Hilbeta i Hamiltonian Natua tenoowa Pzetzeń jednoeletonowa: jedn. el. L C z x y z y x
Pzetzeń Hilbeta i Hamiltonian Natua tenoowa Pzetzeń jednoeletonowa: Pzetzeń dwueletonowa: jedn. el. L C dwuel. A jedn. el. jedn. el. z x y z x y z x y
Pzetzeń Hilbeta i Hamiltonian Natua tenoowa Pzetzeń jednoeletonowa: Pzetzeń dwueletonowa: Wybieają epezentaję położeń: P Ψ σ σ Ψ σ σ jedn. el. L C dwuel. A jedn. el. { Ψ L } C L C dwuel. jedn. el. x z x y z x y z y
Pzetzeń Hilbeta i Hamiltonian Natua tenoowa Pzetzeń jednoeletonowa: Pzetzeń dwueletonowa: Wybieają epezentaję położeń: P Ψ σ σ Ψ σ σ jedn. el. L C dwuel. A jedn. el. { Ψ L } C L C dwuel. jedn. el. x z x y z x y z y Dołązają jądo pin 0: nu. L C mamy: Hel nu dwuel.
Pzetzeń Hilbeta i Hamiltonian Natua tenoowa Pzetzeń jednoeletonowa: Pzetzeń dwueletonowa: Wybieają epezentaję położeń: P Ψ σ σ Ψ σ σ jedn. el. L C dwuel. A jedn. el. { Ψ L } C L C dwuel. jedn. el. x z x y z x y z xnu ynu znu y Dołązają jądo pin 0: nu. L C mamy: Hel nu dwuel.
Pzetzeń Hilbeta i Hamiltonian Natua tenoowa Pzetzeń jednoeletonowa: Pzetzeń dwueletonowa: Wybieają epezentaję położeń: P Ψ σ σ Ψ σ σ jedn. el. L C dwuel. A jedn. el. { Ψ L } C L C dwuel. jedn. el. x z x y z x y z xnu ynu znu y Dołązają jądo pin 0: nu. L C mamy: Hel nu dwuel. Hamiltonian: H H pae H pin : Hel Hel Po zaniedbaniu pinu: H pin id id id
Pzetzeń Hilbeta i Hamiltonian Natua tenoowa Pzetzeń jednoeletonowa: Pzetzeń dwueletonowa: Wybieają epezentaję położeń: P Ψ σ σ Ψ σ σ jedn. el. L C dwuel. A jedn. el. { Ψ L } C L C dwuel. jedn. el. x z x y z x y z xnu ynu znu y Dołązają jądo pin 0: nu. L C mamy: Hel nu dwuel. Hamiltonian: H H pae H pin : Hel Hel Po zaniedbaniu pinu: H pin id id id H V pae Tnu id id id Tel. id id id Tel. Vne Vne ee
Pzetzeń Hilbeta i Hamiltonian Natua tenoowa Pzetzeń jednoeletonowa: Pzetzeń dwueletonowa: Wybieają epezentaję położeń: P Ψ σ σ Ψ σ σ jedn. el. L C dwuel. A jedn. el. { Ψ L } C L C dwuel. jedn. el. x z x y z x y z xnu ynu znu y Dołązają jądo pin 0: nu. L C mamy: Hel nu dwuel. Hamiltonian: H H pae H pin : Hel Hel Po zaniedbaniu pinu: H pin id id id H V pae Tnu id id id Tel. id id id Tel. Vne Vne ee
Pzetzeń Hilbeta i Hamiltonian Natua tenoowa Pzetzeń jednoeletonowa: Pzetzeń dwueletonowa: Wybieają epezentaję położeń: P Ψ σ σ Ψ σ σ jedn. el. L C dwuel. A jedn. el. { Ψ L } C L C dwuel. jedn. el. x z x y z x y z xnu ynu znu y Dołązają jądo pin 0: nu. L C mamy: Hel nu dwuel. Hamiltonian: H H pae H pin : Hel Hel Po zaniedbaniu pinu: H pin id id id H V pae Tnu id id id Tel. id id id Tel. Vne Vne A w badziej pzyjaznej notaji: H pae nu M [a.u.] ee
Pzetzeń Hilbeta i Hamiltonian Natua tenoowa Pzetzeń jednoeletonowa: Pzetzeń dwueletonowa: Wybieają epezentaję położeń: P Ψ σ σ Ψ σ σ jedn. el. L C dwuel. A jedn. el. { Ψ L } C L C dwuel. jedn. el. x z x y z x y z xnu ynu znu y Dołązają jądo pin 0: nu. L C mamy: Hel nu dwuel. Hamiltonian: H H pae H pin : Hel Hel Po zaniedbaniu pinu: H pin id id id H V pae Tnu id id id Tel. id id id Tel. Vne Vne A w badziej pzyjaznej notaji: H pae nu M [a.u.] ee
Pzetzeń Hilbeta i Hamiltonian Natua tenoowa Pzetzeń jednoeletonowa: Pzetzeń dwueletonowa: Wybieają epezentaję położeń: P Ψ σ σ Ψ σ σ jedn. el. L C dwuel. A jedn. el. { Ψ L } C L C dwuel. jedn. el. x z x y z x y z xnu ynu znu y Dołązają jądo pin 0: nu. L C mamy: Hel nu dwuel. Hamiltonian: H H pae H pin : Hel Hel Po zaniedbaniu pinu: H pin id id id H V pae Tnu id id id Tel. id id id Tel. Vne Vne A w badziej pzyjaznej notaji: H pae nu M [a.u.] ee
Wpowadzają uład śoda may oaz wyhyleń względnyh: M MR R R nu S nu nu 9 pzetzennyh topni wobody Pzybliżenia hamiltonianu Uunięie polayzaji may
Wpowadzają uład śoda may oaz wyhyleń względnyh: M MR R R nu S nu nu 9 pzetzennyh topni wobody M M H pae µ Pzybliżenia hamiltonianu Uunięie polayzaji may Ruh śoda may Ruh eletonów Enegia potenjalna polayzaja may
Wpowadzają uład śoda may oaz wyhyleń względnyh: M MR R R nu S nu nu 9 pzetzennyh topni wobody M M H pae µ Pzybliżenia hamiltonianu Uunięie polayzaji may Ruh śoda may Ruh eletonów Enegia potenjalna polayzaja may Stoują pzybliżenie uzaadnione fizyznie: >> M M śiśle: µ Maa zeduowana to patyznie maa eletonu S R nu Śode may zloalizowany w pozyji jąda poząte inejalnego uładu wpółzędnyh z y x z y x x y z 000 z y x nu nu nu z y x
Wpowadzają uład śoda may oaz wyhyleń względnyh: M MR R R nu S nu nu 9 pzetzennyh topni wobody M M H pae µ Pzybliżenia hamiltonianu Uunięie polayzaji may Ruh śoda may Ruh eletonów Enegia potenjalna polayzaja may Stoują pzybliżenie uzaadnione fizyznie: >> M M śiśle: µ Maa zeduowana to patyznie maa eletonu S R nu Śode may zloalizowany w pozyji jąda poząte inejalnego uładu wpółzędnyh z y x z y x x y z 000 z y x nu nu nu z y x
Wpowadzają uład śoda may oaz wyhyleń względnyh: M MR R R nu S nu nu 9 pzetzennyh topni wobody M M H pae µ Pzybliżenia hamiltonianu Uunięie polayzaji may Ruh śoda may Ruh eletonów Enegia potenjalna polayzaja may Stoują pzybliżenie uzaadnione fizyznie: >> M M śiśle: µ Maa zeduowana to patyznie maa eletonu S R nu Śode may zloalizowany w pozyji jąda poząte inejalnego uładu wpółzędnyh z y x z y x x y z 000 z y x nu nu nu z y x
H pae Powzehnie znany hamiltonian atomu helu. H H H Hydogen Hydogen pae Powtaje zagadnienie nieepaowalne. 0 E H H Hydogen Hydogen Nieepaowalne ównanie Shodingea Metody pzybliżone Rahune zabuzeń Rahune waiayjny
Rahune zabuzeń Rząd I 0 H H Hydogen H Hydogen H H 0 h h
Rahune zabuzeń Rząd I 0 H H Hydogen H Hydogen H H 0 h Stany zeowego zędu: 0 Ψ σ σ! A h 0 E E E 08 ev n l m m n l m m n n 8 Dla tanu podtawowego
Rahune zabuzeń Rząd I 0 H H Hydogen H Hydogen H H 0 h Stany zeowego zędu: 0 Ψ σ σ! A Enegia piewzego zędu: 0 E E E 08 ev n l m m n l m m n n 8 Dla tanu podtawowego 0 0 5 E Ψ σ σ h Ψ σ σ 00 00 00 00 00 00 4 04 ev 8 0 5 E total E E 74 8eV 8 h
Rahune zabuzeń Rząd I 0 H H Hydogen H Hydogen H H 0 h Stany zeowego zędu: 0 Ψ σ σ! A Enegia piewzego zędu: 0 E E E 08 ev n l m m n l m m n n 8 Dla tanu podtawowego 0 0 5 E Ψ σ σ h Ψ σ σ 00 00 00 00 00 00 4 04 ev 8 0 5 E total E E 74 8eV 8 h Ja związać enegię oblizoną z infomają dotępną epeymentalnie? Np. popzez enegię jonizaji: W. E jednoel E total
Rahune zabuzeń Poównanie wyniów dla óżnyh zędów 0 H H Hydogen H Hydogen H H 0 h h Enegia jonizaj ji [ev] 4.587 87 Epeyment G.W.F. Dae 999 Diagam doładnośi
Rahune zabuzeń Poównanie wyniów dla óżnyh zędów 0 H H Hydogen H Hydogen H H 0 h h Enegia jonizaj ji [ev] 7 % 0.4 Rah. ab.. I-ząd I 4.587 87 Epeyment G.W.F. Dae 999 Diagam doładnośi
Rahune zabuzeń Poównanie wyniów dla óżnyh zędów 0 H H Hydogen H Hydogen H H 0 h h Enegia jonizaj ji [ev] Rah. ab.. -ząd 4.59 004% %.8 Rah. ab.. II-ząd 7 % 0.4 Rah. ab.. I-ząd I 4.587 87 Epeyment G.W.F. Dae 999 Diagam doładnośi
Metoda waiayjna Standadowa funja póbna: 00 00 e π Funjonał enegii: 8 5 00 00 00 00 H E Pzyównują pohodną funjonału po paametze waiayjnym do zea: 0 E 688 Podejśie waiayjne Eanowany ładune jąda po paametze waiayjnym do zea: W 6eV Enegia jonizaji:
Podejśie waiayjne Eanowany ładune jąda Metoda waiayjna Standadowa funja póbna: 00 00 e π 688 W 6eV Enegia jonizaj ji [ev] Rah. ab.. ząd 4.59 004% %.8 Rah. ab.. II-ząd 7 % 0.4 Rah. ab.. I-ząd I 4.587 87 Epeyment G.W.F. Dae 999 Diagam doładnośi
Podejśie waiayjne Eanowany ładune jąda Metoda waiayjna Standadowa funja póbna: 00 00 e π 688 W 6eV Enegia jonizaj ji [ev] 4.59 %.8 Rah. ab.. I-ząd I Rah. ab.. ząd 004% Rah. ab.. II-ząd 7 % 0.4 58 %.6 Waiayjnie ładune efetywny 4.587 87 Epeyment G.W.F. Dae 999 Diagam doładnośi
Hylleaa 99 exp m l n m l n nlm u t u t u t Podejśia waiayjne Podejśie waiayjne Ry hitoyzny & limit doładnośi
Podejśia waiayjne Wielomian Eponenta wodoopodobna Podejśie waiayjne Ry hitoyzny & limit doładnośi Hylleaa 99 exp m l n m l n nlm u t u t u t
Podejśia waiayjne Wielomian Eponenta wodoopodobna Podejśie waiayjne Ry hitoyzny & limit doładnośi Hylleaa 99 exp m l n m l n nlm u t u t u t W 56eV 4 6 złonowa funja póbna e u t u u t 5 4
Podejśia waiayjne Podejśie waiayjne Ry hitoyzny & limit doładnośi Enegia jonizaj ji [ev] 4.59 %.8 Rah. ab.. I-ząd I Rah. ab.. ząd 004% Rah. ab.. II-ząd 7 % 0.4 58 %.6 Waiayjnie ładune efetywny 4.587 87 Epeyment G.W.F. Dae 999 Diagam doładnośi
Podejśia waiayjne Podejśie waiayjne Ry hitoyzny & limit doładnośi Enegia jonizaj ji [ev] 4.59 %.8 Rah. ab.. I-ząd I Rah. ab.. ząd 004% Rah. ab.. II-ząd 7 % 0.4 58 %.6 0 % 4.56 Waiayjnie Hylleaa 6-złonów Waiayjnie ładune efetywny 4.587 87 Epeyment G.W.F. Dae 999 Diagam doładnośi
Podejśia waiayjne Wielomian Eponenta wodoopodobna Podejśie waiayjne Ry hitoyzny & limit doładnośi Hylleaa 99 exp m l n m l n nlm u t u t u t W 56eV 4 6 złonowa funja póbna e u t u u t 5 4 Fanowi & Peei 966 Wpowadzenie logaytmu uwolni od oobliwośi pzy zdezeniu tójzątowym: exp ln j m i l n j i m l n nlmij t u t u t
Podejśia waiayjne Wielomian Eponenta wodoopodobna Podejśie waiayjne Ry hitoyzny & limit doładnośi Hylleaa 99 exp m l n m l n nlm u t u t u t W 56eV 4 6 złonowa funja póbna e u t u u t 5 4 Fanowi & Peei 966 Wpowadzenie logaytmu uwolni od oobliwośi pzy zdezeniu tójzątowym: exp ln j m i l n j i m l n nlmij t u t u t Naatuji 007 New logaithm exp ln j m i l n j m l n nlmij u u t u t
Podejśia waiayjne Podejśie waiayjne Ry hitoyzny & limit doładnośi Enegia jonizaj ji [ev] 4.59 %.8 Rah. ab.. I-ząd I Rah. ab.. -ząd 004% Rah. ab.. II-ząd 7 % 0.4 58 %.6 0 % 4.56 Waiayjnie Hylleaa 6- złonów Waiayjnie ładune efetywny 4.587 87 Epeyment G.W.F. Dae 999 Diagam doładnośi
Podejśia waiayjne Podejśie waiayjne Ry hitoyzny & limit doładnośi Enegia jonizaj ji [ev] 4.59 %.8 Rah. ab.. I-ząd I Rah. ab.. -ząd 004% Rah. ab.. II-ząd 7 % 0.4 58 %.6 0 % 4.56 Waiayjnie Hylleaa 6- złonów Waiayjnie ładune efetywny Waiayjnie Full CI- 40 yf 007% 4.5959 4.587 87 Epeyment G.W.F. Dae 999 Diagam doładnośi
Podejśie waiayjne Ry hitoyzny & limit doładnośi
; e Włana funja póbna Podejśie waiayjne włana funja póbna H
; e Włana funja póbna Atom wodoopodobny z eanowanym ładuniem jąda Podejśie waiayjne włana funja póbna H
; e Włana funja póbna Atom wodoopodobny z eanowanym ładuniem jąda Uwzględniona intuiyjna oelaja międzyeletonowa; z paametem eanowania oddziaływania eleton-eleton Podejśie waiayjne włana funja póbna H
5 8 4 4 4 6 7 5 8 ; ; ; ; H E 0 E E 0 0 0 4 5 6 80 47 80 60 80 0 0 5 9 5 5 80 9 5 6 0 4 64 4 4 4 5 4 4 5 Podejśie waiayjne włana funja póbna 0 E 0 0 0 4 5 6 80 47 80 60 80.8554 0.55 W 09eV 4
Podejśie waiayjne włana funja póbna Enegia jonizaj ji [ev] 4.59 %.8 Rah. ab.. I-ząd I Rah. ab.. -ząd 004% Rah. ab.. II-ząd 7 % 0.4 58 %.6 0 % 4.56 Waiayjnie Hylleaa 6- złonów Waiayjnie ładune efetywny Waiayjnie Full CI- 40 yf 007% 4.5959 4.587 87 Epeyment G.W.F. Dae 999 Diagam doładnośi
Podejśie waiayjne włana funja póbna Enegia jonizaj ji [ev] 4.59 %.8 Rah. ab.. -ząd 004% Rah. ab.. II-ząd 7 % 58 %.6 0 % 4.56 Waiayjnie Hylleaa 6- złonów Waiayjnie ładune efetywny Waiayjnie Full CI- 40 yf 007% 0% 4.09 4.5959 Waiayjnie Emilowa funja 4.587 87 Epeyment G.W.F. Dae 999 0.4 Rah. ab.. I-ząd I Diagam doładnośi
; e atg ε ε Rozwinięie pomyłu: Do polizenia Podejśie waiayjne włana funja póbna
agadnienie tzeh iał motywaja Co da nam ozwiązanie zagadnienia tzeh iał? Koelaja eletonowa mogła by być epezentowana w poób śiły i jawny > Funjonały DFT Obitale atomu helu mogły by tanowić bazy funyjne do oblizeń moleulanyh uwzględniona oelaja dwueletonowa Jeżeli znajdziemy ozwiązanie dla helu to łatwiej będzie zuać ozwiązań uładów N-eletonowyh pzełom onepyjny
agadnienie tzeh iał layznie hitoyznie Klayzny poblem N iał: Poblem iał ozwiązany: Kal Sundman in 9 K. Sundman Ata Mathematia 6 05-79 9 Poblem n iał ozwiązany: Quidong Wang in 99 Q. Wang Celetial Mehani 50 7-88 99 Kwantowy poblem N iał: Rozwiązywalny ale nie ozwiązany. The main eaon behind thi diffeene between the two and many-body poblem i that the Shödinge equation fo N patile ytem ontain a multi-ente potential fo N > and a non-ental inteation geneate in the olution logaithmi tem in addition to powe in the elevant patile vaiable.
Rozwinięie Foa Wpółzędne hipefeyzne θ θ ϕ Wpółzędne hipefeyzne: x inα inθ oφ y inα inθ inφ z inα oθ u oα hipepomień θ α * E α o α in 0 inα oθ
Rozwinięie Foa α θ p 0 p ln f α p θ Wpółzędne hipefeyzne
Rozwinięie Foa p 0 Wpółzędne hipefeyzne p ln f α θ f f f ln f f ln f... α θ p 0 / 0 0 5/ 5/ 0
... ln ln ln 0 5/ 5/ 0 0 / 0 0 f f f f f f f p p p θ α θ α bieżność puntowa zeegu Mogan 986 Rozwinięie Foa Wpółzędne hipefeyzne 0 o in in o * θ α α α E p p p p p p Ef Uf f p p f p f f *
... ln ln ln 0 5/ 5/ 0 0 / 0 0 f f f f f f f p p p θ α θ α bieżność puntowa zeegu Mogan 986 Rozwinięie Foa Wpółzędne hipefeyzne 0 o in in o * θ α α α E p p p p p p Ef Uf f p p f p f f * Relaja euenyjna na wpółzynnii funje ozwinięia. Te ównania da ię już ozwiązać!
Rozwinięie Foa p 0 Wpółzędne hipefeyzne p ln f α θ f f f ln f f ln f... α θ p 0 / 0 0 5/ 5/ 0 f 0 α α f/ 0 o in inα oθ 958 f π 6π inα oθ 96 f f p p f p p p f p Uf p Ef p * p
Rozwinięie Foa p 0 Wpółzędne hipefeyzne p ln f α θ f f f ln f f ln f... α θ p 0 / 0 0 5/ 5/ 0 π f 0 α θ 4 E π 8 π 4 π 4 ln π ln π 4 ln π ain ln π ain ln ain ln α L α L π α L π α L 986
Rozwinięie Foa aleta podejśia In patiula it ha been hown that the Foexpanion an be extended to an abitay ytem of haged patile and to tate of any ymmety. In fat Leaypoved that evey olution of the N eletonshödinge equation an be witten in the fom of the Foexpanion. Howeve an expliit numeial invetigation of the expanion oeffiient fo an abitay numbe of eleton i till outtanding. Pełne ozwinięie Foa pełnia Kato up ondition dla zdezeń dwu- i tój-zątowyh. Nietety obięte ozwinięie Foa tyh waunów już nie pełnia
Konepja homogeniznośi E 0 Konepja Homogeniznośi [Hylleaa 960]: Hom Hom Hom Hom e n ln n 0 bo : ln 0 0... miezana bo : e...... Hom Hom V Hom E 0
M 0 0 0 0 E E V Konepja homogeniznośi i i i E V Rozwiązanie tego nieońzonego uładu ównań fomalne ozwiązanie ównania Hylleaaa Piewze dwa ozwiązania łatwo znaleźć:... o : 0 θ P Paa Oto
Konepja homogeniznośi Kato upondition: Cup ondition 0
Konepja homogeniznośi Kato upondition: Cup ondition 0 i 0 i 0 0 i 0 Koaleenja jądo-eleton Koaleenja eleton-eleton Toio Kato[Comm. Pue Appl. Math. 0 5957] E lo H MaTowle Dummond and Need[J. Chem. Phy. 4005]
o o in o in o ln 6 4 atgh atgh E α α α α α α Kato upondition: Konepja homogeniznośi Stan obeny i pepetywy pa
Konepja homogeniznośi Kato upondition: Stan obeny i pepetywy pa 4 E oα atgh 6 inα oα α atg ln inα oα atgh pof. H. Wite oα lizy ię.
o o in o in o ln 6 4 atgh atgh E α α α α α α Kato upondition: Konepja homogeniznośi Stan obeny i pepetywy pa pof. H. Wite pof. H. Wite pof. H. Wite pof. H. Wite atg α lizy ię. b a A φ 4 b a b a b a b a b b a a φ
o o in o in o ln 6 4 atgh atgh E α α α α α α Kato upondition: Konepja homogeniznośi Stan obeny i pepetywy pa pof. H. Wite pof. H. Wite pof. H. Wite pof. H. Wite atg α lizy ię. b a A φ 4 b a b a b a b a b b a a φ 0! o x x 0 x x atgh l l n n l n l n n ln < >
Podumowanie pepetywy Kwantowe zagadnienie tzeh iał jet ompliowane jedna ozwiązywalne Rozwinięie Foa utuje ompliowanymi wpółzynniami Badziej naiwne jedna dająe więze nadzieje podejśie związane jet z onepją homogeniznośi Dotyhza oblizono jedynie piewze funje ozwinięia Wydaje ię że olejne funje w zwatej fomie to wetia zau. ahęam do wpółpay nad tematem
Wybana liteatua. Hylleaa EA 99. Phy 54 47. Hylleaa EA 96 Rev Mod Phy 5: 4. J. Bigeleien 996 J. Am. Chem. So. 8 676-680 4. H. Naahima and H. Naatujia 007 J. Chem. Phy. 7 404 5. N. H. Mah 986 Phy. Rev. A 6. N. Yamanaa 00 J. Phy. B: At. Mol. Opt. Phy. 4 47 477 7. V.A. Fo 954 Izv. Aad. Nau SSSR Se. Fiz. 8 6
Rahune zabuzeń Rząd I Dla jonów helopodobnyh i wyżzyh tanów wzbudzonyh % lepze zgodnośi: