Geometria analityczna Wektory Zad Dane są wektory #» a, #» b, #» c Znaleźć długość wektora #» x (a #» a = [, 0, ], #» b = [0,, 3], #» c = [,, ], #» x = #» #» a b + 3 #» c ; (b #» a = [,, ], #» b = [,, ], #» c = [0,, 3], #» x = #» #» a + b #» c ; Zad Dla jakich wartości α i β wektory #» a = 5 #» i 3 #» j + α #» k i #» b = β #» i + 9 #» j #» k są kolinearne? Zad 3 Dane są punty A = (, 3,, B = ( 5,,, C = (7,, Na płaszczyźnie OXY znaleźć taki punkt D aby wektor CD #» był kolinearny z wektorem AB #» Zad Znaleźć wersor wektora: (a #» a = [ 3,, ]; (b #» a = [,, ]; Zad 5 Znaleźć cosinusy kierunkowe wektora: (a #» a = [,, ]; (b #» a = [, 3, 5]; Zad Obliczyć iloczyn skalarny wektorów #» a i #» b, jeżeli #» a =, #» ( b = oraz kąt między wektorami #»a #», b = π 3 Zad 7 Obliczyć długość przekątnych równoległoboku zbudowanego wektorach #» a, #» b jeżeli: (a #» a = #» p + #» q, #» b = #» p #» q, gdzie #» p i #» q są jednostkowymi wektorami tworzącymi kąt π 3 ; (b #» a = 5 #» m + #» n, #» b = #» m 3 #» n, jeżeli wiadomo, że #» m =, #» n = 3, ( #» m, #» n = π Zad 8 Dany jest wektor #» a = 3 #» p + #» q, gdzie #» p =, #» q = 3, ( #» p, #» q = π 3 Obliczyć ( #» a, #» p oraz ( #» a, #» q Zad 9 Znaleźć kąt między przekątnymi równoległoboku zbudowanego na wektorach #» a = #» i + #» j #» k i #» b = #» i + #» j + #» k Zad 0 Wykazać, że trójkąt ABC o wierzchołkach A = (5,, B = (3,, C = (, 5 jest prostokątny Zad Znaleźć kąty trójkąta o wierzchołkach: (a A = (,, B = (, 3, C = (, ; (b A = (,, 5, B = (,,, C = (0, 0, 5 Zad Wykazać, że czworokąt A = ( 3, 5,, B = (, 5, 7, C = (8, 3,, D = (, 7, jest kwadratem Zad 3 Znaleźć rzut wektora #» a na oś o kierunku wektora #» b, jeżeli: (a #» a = [,, ], #» b = [,, ]; (b #» a = [3,, 0], #» b = [, 3, 3] Zad Dany jest trójkąt o wierzchołkach A = (, 0, B = (, 3, C = ( 5, Znaleźć wektor dwusiecznej kąta wewnętrznego przy wierzchołku B Zad 5 Znaleźć wektor jednostkowy prostopadły jednocześnie do wektora #» a = [3,, 8] i do osi OX Zad Dla jakiej wartości parametru α wektory #» a = [, 3, ], #» b = [α, 7, + α] są wzajemnie prostopadłe? Zad 7 Znaleźć wektor #» x prostopadły do wektorów #» a = [,, 3], #» b = [, 3, ] i spełniający warunek #» x [,, ] = Zad 8 Uprość wyrażenia: (a #» p ( #» q #» r + #» p + ( #» r + #» q ( #» p #» r ; (b #» i ( #» i + #» j #» ( #»i #» ( #»i #» ( k + + k + + k #» i #» j + #» k ; (c (3 #» p #» r ( #» p + #» q 3 #» r, gdzie #» p = #» q = #» r =, #» p #» q #» r, ( #» p, #» q, #» r zgodnie zorientowane z przestrzenią Zad 9 Obliczyć pole równoległoboku zbudowanego na wektorach #» a, #» b jeżeli: Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie 8 Created by LATEX: 0 kwietnia 05 - :3
(a #» a = #» p #» q i #» b = #» p + #» q, gdzie #» p = #» q = i #» p #» q ; (b #» a = #» p #» q i #» b = #» p + #» q, gdzie #» p =, #» q = i ( #» p, #» q = π 3 (c #» a = 3 #» i + #» j + #» k, #» b = #» i #» j + #» k Zad 0 Wiedząc, że pole równoległoboku zbudowanego na wektorach #» p i #» q jest równe obliczyć pole równoległoboku zbudowanego na wektorach #» a = #» p #» q i #» b = #» p + 3 #» q Zad Obliczyć pole równoległoboku zbudowanego na wektorach #» p i #» q wiedząc, że pole równoległoboku zbudowanego na wektorach #» a = #» p + #» q i #» b = #» p #» q jest równe Zad Wyznacz wektor #» ( #»b a #» c, jeżeli #» a = [3,, ], #» b = [,, ], #» c = [ 3,, ] Zad 3 Oblicz długość wektora #» a = ( #» p + #» q #» r ( #» p + #» q #» r, gdzie #» p #» q #» r, #» p = #» q = #» r = Zad Obliczyć #» ( #»b a #» c, jeżeli #» a = #» i + #» j, #» b = 3 #» k 5 #» j, #» c = #» i + #» j #» j Zad 5 Obliczyć sinus kąta między wektorami #» a = [0,, ], #» b = [,, ] Zad Obliczyć tangens kąta między wektorami #» a = [0,, ], #» b =],, 0] Zad 7 Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach A = (3,, 3, B = (,, 3, C = (0,, 5 Zad 8 Dane są wierzchołki A = ( 3,,, B = (,, 5, C = (,, Obliczyć długość wysokości opuszczonej z wierzchołka B Zad 9 Znaleźć wektor jednostkowy #» m prostopadły do wektorów #» a = [,, ], #» b = [,, ] Zad 30 Wiedząc, że wektory #» p, #» q, #» r nie są komplanarne, sprawdzić komplanarność wektorów: (a #» a = 3 #» p + #» q #» r, #» b = #» p #» q + #» r, #» c = #» p + #» q #» r ; (b #» a = #» p + #» q #» r, #» b = #» p + #» q + #» r, #» c = 3 #» p + 8 #» q 7 #» r Zad 3 Obliczyć pole powierzchni i objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach #» a, #» b, #» c jeżeli: (a #» a = [,, ], #» b = [0, 3, ], #» c = [,, 0]; (b #» a = [0,, ], #» b = [, 0, ], #» c = [,, ] Zad 3 Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach #» a, #» b, #» c jeżeli: (a #» a = #» p 3 #» q + #» r, #» b = #» p + #» q 3 #» r, #» c = #» p + #» q + #» r, gdzie #» p = #» q = #» r = i #» p #» q #» r ; (b #» a = 3 #» m + #» n, #» b = #» m #» n, #» c = #» m + 7 #» n, gdzie #» m =, #» n = 3 i ( #» m, #» n = 3π Zad 33 Objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach #» p, #» q, #» r jest równa 3 Obliczyć objętość czworościanu zbudowanego na wektorach #» a = #» p + #» q + #» r, #» b = #» p #» q + #» r, #» c = #» p + #» q 3 #» r Zad 3 Sprawdzić komplanarność wektorów #» a = [3,, ], #» b = [,, ], #» c = [3,, ] Zad Wykazać, że punkty A = (,,, B = (0,, 5, C = (,,, D = (,, 3 leżą na jednej płaszczyźnie Zad 3 Dany jest czworościan o wierzchołkach w punktach A = (3,,, B = (,,, C = (,, 7, D = (3,, 9 Oblicz jego objętość oraz wysokość poprowadzoną z wierzchołka D Zad 37 Objętość czworościanu ABCD o trzech wierzchołkach A = (, 0,, B = (3,,, C = (,, 3 jest równa 5 Znaleźć współrzędne czwartego wierzchołka wiedząc, że leży on na osi OY Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie 9 Created by LATEX: 0 kwietnia 05 - :3
Wektory - odpowiedzi Zad (a #» x = 5 5; (b #» x = 90 Zad α = 3, β = [ 5 #» Zad 3 D = ( 5, 0, 0 Zad (a a #» a = 3 [ ] [ 5 Zad 5 (a,, ; (b 5, 30 0, ] ; Zad #» a #» b = Zad 7 (a 7, 3; (b 5, 593 Zad 8 Zad 9 π Zad 0 Zad (a (b Zad Zad 3 (a (b Zad Zad 5 [ 0, 5, 3 5], [ 0, 5, 3 5] Zad α = Zad 7 #» x = [ 3, 3, 3] Zad 8 (a (b (c Zad 9 (a P = 3; (b P = 3; (c P = 5 3 Zad 0 P = ; Zad P = ; Zad ],, Zad 3 Zad ( Zad 5 sin #»a #» (, b = Zad tg #»a #», b = ; (b #» a #» a = [ 3, 3, ] 3 Zad 7 P =, 5 Zad 8 h = 5 [ ] [ ] Zad 9 3, 5,,, 3, 5 Zad 30 (a Nie są komplanarne, (b są komplanarne Zad 3 Zad 3 (a V = 5; (b V = 0 Zad 3 Nie są komplanarne Zad Zad 3 V =, h = Zad 37 D = (0, 8, 0, D = (0, 7, 0 Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie 0 Created by LATEX: 0 kwietnia 05 - :3
Prosta i płaszczyzna Płaszczyzna Zad Dane są punkty A = (, 5, i B = (, 3, 7 Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A i prostopadłej do wektora AB Zad Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A = (0,, i B = (, 0, i prostopadłej do płaszczyzny x + y z = 0 Zad 3 Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A = (,, 3 i B = (3,, i równoległej do wektora a = [ 3,, ] Zad Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A = (, 0,, B = (0, 0,, C = (,, Zad 5 Dla jakiej wartości parametrów m i k płaszczyzny x 3y + kz 8 = 0 i mx + y z = 0 są równoległe? Zad Dla jakiej wartości parametru m płaszczyzny 7x y z 8 = 0 i mx + y 3z = 0 są prostopadłe? Zad 7 Obliczyć kąt między płaszczyznami x y + z = i x + y z = 3 Zad 8 Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A = (,,, B = (,, 5 i prostopadłej do płaszczyzny x y + z = Zad 9 Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A = (3,, 5 i równoległej do płaszczyzny 0yz Zad 0 Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A = (, 5, i przez oś 0y Zad Napisać równanie płaszczyzny odcinającej na osi 0x odcinek a = 5, na osi 0z odcinek c = 5 i przechodzącej przez punkt M = (,, Zad Znaleźć kąty jakie normalna do płaszczyzny x y z = 5 tworzy z osią 0z Zad 3 Znaleźć odległość punkty P od płaszczyzny π: (a P = (5,, π : x y z = ; (b P = (3,, π : x + y 0z = 5 Zad Znaleźć odległości między płaszczyznami 30x 3y + z = 7 i 5x y + z = 5 Prosta Zad Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkty A = (,, 3, B = (,, Zad Wyznacz prostą przechodzącą przez punkt A = (,, 3 i równoległą do prostej x = t, y = t, z = + t Zad 3 Napisać równanie prostych przechodzących przez punty przecięcia płaszczyzny 3x y + z = z osiami układu współrzędnych Zad Przedstawić prostą l w postaci parametrycznej: (a l : 3x y + 5z = x + y z = ; (b l : 3x + y + z = 5 x 3y + z = 5 ; Zad 5 Jakie kąty tworzy prosta l : x y + z = 0 x + y z = 0 z osiami układu współrzędnych? Zad Znaleźć punkty przecięcia prostej x = y+ = z 5 z płaszczyznami układu współrzędnych? Zad 7 Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A = (,, i prostopadłej do prostej x y + z 3 = 0 l : x + y z + = 0 Zad 8 Wyznaczyć kąt między prostymi: l : x = t y = t z = t i l : x y z = x + y + 9z = Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie Created by LATEX: 0 kwietnia 05 - :3
Zad 9 Zbadać wzajemne położenie prostych: x + y z = 0 x + y z = 3 (a l : i l : x + y 3z = 0 x y + z = (c l : x = 9t y = 5t z = 3 + t i l : x y + z = 3 x 3y 3z = 9 Zad 0 Znaleźć punkt przecięcia prostych:l : x = y+ = z 3 i l : ; (b l : x = y+ = z 3 i l : x = + t y = + t z = + t ; (d l : x+3 = y 3 = z 3 i l : x 8 = y+ 3 = z+7 3 x = + t y = + t z = + t Zad Znaleźć punkt przecięcia płaszczyzny x + 3y + z = z prostą x = y+ = z Zad Dany jest punkt A = (,, 3 i prosta l : x 3 = y+7 = z Znaleźć (a rzut punktu A na prostą l; (b odległość punktu A od prostej l; (c punkty symetryczny do punktu A względem prostej l Zad 3 Dany jest punkt A = (, 3, 0 i prosta l : x = y = z 3 5 Znaleźć (a rzut punktu A na prostą l; (b odległość punktu A od prostej l; (c punkty symetryczny do punktu A względem prostej l Zad Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu P względem płaszczyzny π (a P = (, 0,, π : x + y + 3z 5 = 0; (b P = (,,, π : x + y 3z + 5 = 0 Zad 5 Znaleźć odległość między prostymi: (a l : x = y 3 = z+ 3 i l : x = y = z 3 ; (b l : x+ = y = z 3 (c l : x 9 = y+ 3 Zad Pokazać, że prosta = z i l x : = y+7 9 = z ; (d l : x+3 = y 3 5x 3y + z = 5 x y z = leży w płaszczyźnie 3x y + z = Zad 7 Znaleźć rzut prostej l na płaszczyznę π, jeżeli: (a l : x = y = z+ i π : x + y = ; (b l : x 3 5 = y+ = z (c l : x 3 5 = y = z 8 i π : z = 0; Zad 8 Dane są dwie proste skośne: l : x = y = z i l : x = y poprowadzoną przez prostą l i równoległą do prostej l = z i l : x = y = z ; = z 3 i l : x 8 = y+ 3 = z+7 3 ; i π : x y + 3z = 5; Znaleźć rzut prostej l na płaszczyznę π Zad 9 Znaleźć równanie płaszczyzny w której leżą proste l i l : (a l : x = y+ = z i l : x = y+ = z ; (b l : x = y = z i l : x = y = z; (c l : x 3 = y = z+ i l : x+ = y 9 = z ; Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie Created by LATEX: 0 kwietnia 05 - :3
Prosta i płaszczyzna - odpowiedzi Płaszczyzna Zad 5x 8y 3z 33 = 0; Zad x y + z + = 0; Zad 3 9x y + 7z = 0; Zad x y + z = 8; Zad 5 m = 3, k = ; Zad m = 7 ; Zad 7 π 3 ; Zad 8 x + y + z = 5; Zad 9 x = 3; Zad 0 x + z = 0; Zad 3x y + 5z = 5 Zad 3π ; Zad 3 (a 3; (b 3 ; Zad 0, 5; Prosta Zad ; Zad ; Zad 3 l : x = + t, y = 3t, z = 0; l : x = 0, y = 3 + t, z = ; l 3 : x =, y = 0, z = t; Zad ; Zad 5 cos α =, cos β = 3, cos γ = 5 ; Zad ( 9,, 0, (, 0,, (0,, 9 ; Zad 7 x + y + 3z = 3; Zad 8 ; Zad 9 (a równoległe; (b przecinają się; (c pokrywają się; (d skośne; Zad 0 ; Zad ; Zad (a A = (, 7, 0; (b ; (c ; Zad 3 (a A = (, 9, ; (b ; (c ; Zad (a A = (,, 7; (b ; (c ; Zad 5 (a A = (,, 7; (b ; (c ; Zad (a 7 9 ; (b ; Zad 7 (a 7; (b 3; Zad 8 ; Zad 9 (a x z =, x + y = ; (b 5x 3y z = 0, x y + 3z = 5; (c x + 5y = 38, z = 0; Zad 0 ; Zad (a 5x + 3y = ; (b 3x 7y + 5z = 3; (c x 3y = ; Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie 3 Created by LATEX: 0 kwietnia 05 - :3