PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F 2 Ω nazywamy σ-ciałem lub σ-algebrą podzbiorów Ω, jeśli Ω F; A Ω A F = A c F; A 1, A 2,... Ω, A 1, A 2,... F = i=1 A i F. 3. Funkcję P : F [0, 1] nazywamy prawdopodobieństwem (miarą probabilistyczną), jeśli P (Ω) = 1; A 1, A 2,... F : A i A j = i j = P ( i=1 A i) = i=1 P (A i) (przeliczalna addytywność). 4. Funkcję X : Ω R nazywamy zmienną losową, jeśli X 1 (B) F B B(R), gdzie B(R) to σ-ciało podzbiorów borelowskich w R, czyli najmniejsze σ-ciało, zawierające wszystkie podzbiory otwarte w R, X 1 (B) = {ω : X(ω) B} = {X B}. Przykład. Jeśli F = 2 Ω, to każda funkcja X: Ω R jest zmienną losową. Jeśli F={, Ω}, to X: Ω R jest zmienną losową tylko wtedy, gdy jest funkcją stałą. 1
5. Jeśli X jest zmienną losową, a g : R R taką funkcją, że g 1 ((, a]) B(R) a R, to g(x) jest zmienną losową. 6. Rozkładem zmiennej losowej X nazywamy prawdopodobieństwo P X : B(R) [0, 1] zdefiniowane wzorem P X (B)=P (X 1 (B))=P ({ω : X(ω) B}), B B(R) Uwaga. Rozkład P X wyznacza się na podstawie prawdopodobieństwa P oraz zmiennej losowej X. 7. Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F X : R [0, 1] określoną wzorem F X (x) = P X ((, x]) = P (X x), x R. Wśród rozkładów wyróżniamy 2 podstawowe typy: dyskretne i ciągłe (absolutnie ciągłe). 8. Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład dyskretny (lub że P X jest rozkładem dyskretnym), jeśli istnieje zbiór S R, co najwyżej przeliczalny, taki, że P X (S)=1. Niech S = {x 1,..., x n,...}. Wówczas rozkład zmiennej losowej X jest określony poprzez zadanie ciągu par liczb {(x k, p k ), k =1,..., n,...}, gdzie p k =P (X =x k ) dla k = 1,..., n,... 2
Przykłady rozkładów dyskretnych. 1. Rozkład dwupunktowy: S = {x 1, x 2 }, czyli P (X = x 1 ) = p, P (X = x 2 ) = 1 p, p (0, 1). Jeśli x 1 = 1, x 2 = 0, to taki rozkład nazywamy zerojedynkowym. 2. Rozkład równomierny: S = {x 1, x 2,..., x n }, P (X = x k ) = 1/n dla k = 1,..., n. 3. Rozkład dwumianowy (Bernoulliego) B(n, p) : S = {0, 1,..., n}, P (X = k) = ( n k) p k (1 p) n k, p (0, 1). 4. Rozkład Poissona P(λ) : S = {0, 1,..., n,...}, P (X = k) = λk k! e λ, λ > 0. 9. Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład ciągły (lub że P X jest rozkładem ciągłym), jeśli istnieje funkcja nieujemna całkowalna f X : R R taka, że P X (B) = f X (x)dx, B B(R). B Funkcja f X nazywa się gęstością rozkładu P X lub zmiennej losowej X. W szczególności, F X (x) = x f X (t)dt. 10. Zachodzi: F X (x) = f X(x) dla wszystkich punktów x R, w których funkcja f X jest ciągła. 3
Przykłady rozkładów ciągłych. 1. Rozkład jednostajny na odcinku [a, b] (oznaczenie U(a, b)): f(x) = 1 b a 1 [a,b](x), x R. 2. Rozkład wykładniczy, λ > 0 (oznaczenie E(λ)): f(x) = λe λx 1 (0,+ ) (x), x R. 3. Rozkład normalny (Gaussa), a R, σ > 0 (oznaczenie N (a, σ 2 )): f(x) = 1 2πσ exp( (x a)2 2σ 2 ), x R. Pożyteczne własności rozkładu normalnego: (a) funkcja liniowa niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie normalnym ma rozkład normalny; (b) standaryzacja - jeśli X ma rozkład N (a, σ 2 ), to X a σ ma rozkład N (0, 1). 11. Wartością oczekiwaną zmiennej losowej X nazywamy liczbę EX = x k p k (o ile istnieje), k gdy X ma rozkład dyskretny wyznaczony przez {(x k, p k ), k = 1, 2,...}, oraz liczbę EX = xf X (x)dx (o ile istnieje), gdy X ma rozkład ciągły o gęstości f X. 4
12. Wartością oczekiwaną zmiennej losowej g(x) nazywamy liczbę Eg(X) = g(x k )p k (o ile istnieje), k gdy X ma rozkład dyskretny wyznaczony przez {(x k, p k ), k = 1, 2,...}, oraz liczbę Eg(X) = g(x)f X (x)dx (o ile istnieje), gdy X ma rozkład ciągły o gęstości f X. 13. Jeśli zmienna losowa X posiada wartość oczekiwaną, to zmienna losowa ax+b (gdzie a, b R) też posiada wartość oczekiwaną oraz E(aX + b) = aex + b. 14. Jeśli zmienne losowe X 1, X 2,..., X n posiadają wartości oczekiwane, to zmienna losowa X 1 +X 2 + + X n też posiada wartość oczekiwaną oraz E(X 1 + X 2 + + X n ) = EX 1 + EX 2 + + EX n. 15. Wariancją zmiennej losowej X nazywamy liczbę VarX = E(X EX) 2 = EX 2 (EX) 2 (o ile istnieje): (dyskretny) VarX = x 2 kp k ( k k (ciągły) VarX = x 2 f X (x)dx ( x k p k ) 2, xf X (x)dx) 2. 5
16. Jeśli zmienna losowa X posiada wariancję, to zmienna losowa ax + b (gdzie a, b R) też posiada wariancję oraz Var(aX + b) = a 2 VarX. 17. Zmienne losowe X 1, X 2,..., X n nazywamy niezależnymi, jeśli dla dowolnych zbiorów B 1, B 2,..., B n B(R) zachodzi P (X 1 B 1, X 2 B 2,..., X n B n ) = = P (X 1 B 1 )P (X 2 B 2 )... P (X n B n ). 18. Dla niezależnych zmiennych losowych: E(X 1 X 2... X n ) = EX 1 EX 2... EX n ; Var(X 1 +X 2 +...+X n )=VarX 1 +VarX 2 +...+VarX n. 19. Mówimy, że ciąg zmiennych losowych X 1, X 2,..., X n,... jest zbieżny według prawdopodobieństwa do zmiennej losowej X, jeśli ε > 0 lim P ({ω Ω : X n (ω) X(ω) ε}) = 0. n 20. Mówimy, że ciąg zmiennych losowych X 1, X 2,..., X n,... jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 do zmiennej losowej X, jeśli ( ) P {ω Ω : lim X n (ω) = X(ω)} = 1. n 21. Mówimy, że ciąg zmiennych losowych X 1, X 2,..., X n,... o dystrybuantach odpowiednio F X1, F X2,..., 6
F Xn,... jest zbieżny według rozkładu do zmiennej losowej X o dystrybuancie F, jeśli F Xn (x) F (x), n, dla każdego punktu ciągłości x dystrybuanty F. 22. Mówimy, że ciąg zmiennych losowych X 1,..., X n,... spełnia słabe prawo wielkich liczb (SPWL), jeśli zmienne te posiadają wartości oczekiwane oraz X 1 +... + X n EX 1... EX n 0, n n według prawdopodobieństwa. 23. Mówimy, że ciąg zmiennych losowych X 1,..., X n,... spełnia mocne prawo wielkich liczb (MPWL), jeśli zmienne te posiadają wartości oczekiwane oraz X 1 +... + X n EX 1... EX n 0, n n z prawdopodobieństwem 1. Uwaga. Jeśli ciąg zmiennych losowych spełnia MPWL, to spełnia też SPWL. Uwaga. Jeśli wartości oczekiwane wszystkich zmiennych losowych X 1,..., X n,... są równe i wynoszą µ, to ten ciąg spełnia SPWL(MPWL), gdy X 1 +... + X n µ, n n według prawdopodobieństwa (z prawdopodobieństwem 1). 7
24. Jeśli X 1,..., X n,... jest ciągiem parami niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie z wartością oczekiwaną µ, to spełnia on MPWL (a zatem i SPWL). 25. Jeśli X 1,..., X n,... jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie z wartością oczekiwaną EX 1 = µ oraz wariancją VarX 1 = σ 2, to spełnia on centralne twierdzenie graniczne (CTG), czyli dla niego zachodzi: X 1 + + X n nµ nσ X, n według rozkładu, gdzie X jest zmienną losową o rozkładzie normalnym standardowym N (0, 1). 26. Szczególnym przypadkiem CTG jest twierdzenie de Moivre a-laplace a: jeśli X 1,..., X n,... jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie zero-jedynkowym z parametrem p = P (X 1 = 1), to X 1 + + X n np X, n np(1 p) według rozkładu, gdzie X jest zmienną losową o rozkładzie normalnym standardowym N (0, 1). 8