UTORSKIE RKUSZE EGZMINYJNE rkusze. i. dostêpne s¹ z papierowym wydaniem Gazety Wyborczej. rkusze zaczerpniêto z ksi¹ ek Wydawnictwa Szkolnego OMEG. rkusz. Do rozwi¹zania jest 5 zadañ, za poprawne rozwi¹zanie wszystkich zadañ zdaj¹cy mo e otrzymaæ maksymalnie 50 punktów. W zadaniach. 5. zdaj¹cy wybiera w³aœciw¹ odpowiedÿ z czterech propozycji. Zadania 6. 5. s¹ zadaniami otwartymi. Zdaj¹cy przedstawia do oceny rozwi¹zanie zawieraj¹ce wszystkie istotne elementy. Zadanie. p. Kwadrat liczby jest równy: 5 5. 5 0. 5 0. D. Zadanie. p. Je eli d³ugoœæ krawêdzi szeœcianu zwiêkszymy o 5%, to pole powierzchni ca³kowitej bry³y zwiêkszy siê o:.,5%. 0,5%. 7,5% D. 0% Zadanie. p. Wartoœæ wyra enia log 7 log jest równa: 89.. 0. D. Zadanie. p. x y z Je eli liczba a ( x y)( x z) ( y z)( y x) ( z x)( z y), to liczba a jest równa: xyz... D. xyz ( x y)( x z)( y z) ( x y)( x z)( y z) Zadanie 5. p. Najwiêksz¹ wartoœci¹ wyra enia sin cos dla 0; 80 jest:. 0.. D. Zadanie 6. p. Do zbioru rozwi¹zañ nierównoœci x 7x nale ¹ wszystkie liczby ze zbioru:. {,5, }. {,,}. {, } D. {,,5} Zadanie 7. p. Wykresy funkcji f( x)x5 i gx ( ) ( m) x maj¹ dok³adnie jeden punkt wspólny dla:. m. m. m D. m Zadanie 8. p. x 5 dla x Zbiorem wartoœci funkcji hx ( )okreœlonej wzorem hx ( ) jest: dla x x. ( ; ). (; ). 5 ; D. ; 5
RKUSZE EGZMINYJNE Zadanie 9. p. Wska wzór funkcji, której fragment wykresu przedstawiony jest na rysunku. y 6 5 0 x. f( x) x. f( x) x. f( x) x D. f( x) x Zadanie 0. p. Funkcja f( x)x mxma dwa ró ne miejsca zerowe dla:. m ( 66 ; ). m 6lub m 6. m ( ; 6) ( 6; ) D. m 06 ; ) Zadanie. p. Funkcja hx ( ) ( x) x 7przyjmuje najmniejsz¹ wartoœæ dla x równego:. 7. 0. D. Zadanie. p. x Dane s¹ dwie funkcje okreœlone dla wszystkich liczb rzeczywistych x wzorami f( x) x oraz gx ( ). Liczba punktów wspólnych wykresów tych funkcji jest równa:. 0.. D. Zadanie. p. K¹t wewnêtrzny dziewiêciok¹ta foremnego jest równy:. 70. 80. 0 D. 60 Zadanie. p. Na p³askim terenie Karol widzi wie ê przekaÿnika pod k¹tem 0. Wie a ma wysokoœæ 0 m. Je eli odleg³oœæ Karola od wie y oznaczymy przez d, to:. d < 0 m. d 70 m. d > 75 m D. d 0 m Zadanie 5. p. Proste : y 5, x 7i D: y ( p ) x zawieraj¹ przeciwleg³e boki równoleg³oboku D dla p równego:. 0,75. 0,75. D. 0,5 Zadanie 6. p. W trójk¹cie o wierzcho³kach: (,, ) ( 8, 5, ), ( 5, 5,, 5) d³ugoœæ (z dok³adnoœci¹ do 0,0) wysokoœci poprowadzonej z wierzcho³ka jest równa:. 5,5.,5.,5 D. 6,75
rkusz. Zadanie 7. p. Równanie dwusiecznej jednego z k¹tów utworzonych przez proste y x oraz y x ma postaæ:. y x 5. y x. y x D. y ( 5) x ( 5 ) Zadanie 8. p. 5a i¹g an, a, jest ci¹giem arytmetycznym dla a równego: 5 5 5. 8.. 8 D. 8 5 Zadanie 9. p. Liczby 6, 8,, s¹ kolejnymi wyrazami ci¹gu geometrycznego. Suma dziesiêciu pocz¹tkowych wyrazów tego ci¹gu jest:. równa. równa. mniejsza od 0 D. wiêksza ni Zadanie 0. p. Suma wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych niepodzielnych przez jest równa:. 77. 905. 88 D. 59 Zadanie. p. Œrednia arytmetyczna wyników w konkursie skoków narciarskich trzech skoczków wynosi 8 m. by dru yna objê³a prowadzenie, œrednia d³ugoœæ skoków wszystkich czterech skoczków musi byæ wiêksza ni m. Skok ostatniego zawodnika musi mieæ d³ugoœæ:. 50 m. wiêcej ni 50 m. m D. mniej ni 50 m, ale wiêcej ni 5 m Zadanie. p. Pole rombu o d³ugoœci boku 7 i k¹cie ostrym 75 jest równe P. Wobec tego:. P >5. P <0. P ( ; ) D. P ( 0; ) Zadanie. p. Na potrzeby rajdu rowerowego wszystkie uczestnicz¹ce w nim pojazdy zosta³y oznaczone numerami z³o onymi z trzech liter (z 6 alfabetu ³aciñskiego) i dwóch dowolnych cyfr. W rajdzie mo e uczestniczyæ maksymalnie p pojazdów, zatem p mo e byæ równe:. 0800. 67600. 75760 D. 757600 Zadanie. p. Stosunek pól powierzchni dwóch kul jest równy 9. Stosunek d³ugoœci promieni tych kul jest równy:.,5. 9. D. 6 Zadanie 5. p. Magda przygotowuje pisanki wielkanocne. Ma do dyspozycji jajka pomalowane na trzy kolory i 7 kolorów pisaków. W ilu ró nych kolorach (nie uwzglêdniaj¹c malowanych wzorów) dziewczynka mo e przygotowaæ pisanki, je eli ka de jajko pomaluje dwoma ró nymi pisakami?. 6. 6. 0 D. 8
RKUSZE EGZMINYJNE Zadanie 6. p. Pani Kasia z³o y³a w banku 55000 z³ na trzymiesiêczn¹ odnawialn¹ lokatê z rocznym oprocentowaniem,7%. Naliczone odsetki gromadzone s¹ na dodatkowym koncie i nie podlegaj¹ kapitalizacji. Oblicz, jaki bêdzie zysk z tej lokaty po roku. Uwzglêdnij 9% podatku bankowego od dochodów. Zadanie 7. p. 7 6 5 Wyka, e liczba 5 5 75 jest podzielna przez 6. Zadanie 8. p. Wyka, e nierównoœæ( m n)( n p)( m p) 8mnpjest prawdziwa dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych m, n, p. Zadanie 9. p. Punkty = (0, ) i = (5, ) s¹ koñcami ciêciwy okrêgu o œrodku S = (, ) i promieniu r œrodkowego S. 7. Oblicz sinus k¹ta Zadanie 0. p. Suma n wyrazów ci¹gu arytmetycznego a n jest równa n 8n. Oblicz pi¹ty wyraz tego ci¹gu. Zadanie. p. Tomek chce skleiæ z grubej tektury ozdobne pude³ko, którego podstaw¹ jest szeœciok¹t foremny o boku d³ugoœci 0 cm. W tym celu w ka dym wierzcho³ku szeœciok¹ta wyci¹³ trójk¹t równoboczny (patrz rysunek) i sklei³ brzegi otrzymanych prostok¹tów. Jak¹ d³ugoœæ musi mieæ bok ka dego z wyciêtych trójk¹tów, by pojemnoœæ pude³ka by³a równa 600 cm? G H Zadanie. p. Oblicz, dla jakiej wartoœci parametru m punkty: = (0, ), = (7, ) i =(m, ) s¹ wierzcho³kami trójk¹ta prostok¹tnego. Rozwa wszystkie mo liwe przypadki. Zadanie. p. Podstaw¹ ostros³upa jest równoramienny trójk¹t prostok¹tny o przyprostok¹tnych równych. Wszystkie krawêdzie boczne tego ostros³upa s¹ równe 6. Oblicz objêtoœæ bry³y. Zadanie. p. Wind¹, która zatrzymuje siê na 8 piêtrach jedzie 5 pasa erów. Oblicz prawdopodobieñstwo, e adnych dwóch pasa erów nie wysi¹dzie na tym samym piêtrze. Zadanie 5. 5p. Wykresem funkcji kwadratowej f( x)ax bx c jest parabola, do której nale ¹ punkty = (, ), = (, 7). Najmniejsz¹ wartoœæ funkcja osi¹ga dla x. Oblicz wspó³czynniki a, b, c. 6
rkusz. rkusz zawiera zadania; za poprawne rozwi¹zanie wszystkich zadañ zdaj¹cy mo e otrzymaæ maksymalnie 50 punktów. W zadaniach. 5. zdaj¹cy wybiera w³aœciw¹ odpowiedÿ z czterech propozycji. Pozosta³e zadania s¹ zadaniami otwartymi. Zdaj¹cy przedstawia do oceny rozwi¹zanie zawieraj¹ce wszystkie istotne elementy. Zadanie. p. 0 9 Liczba 5 5 jest podzielna przez:.. 7. 8 D. 0 Zadanie. p. Je eli 9 a b dla a 0 i b, to: a. a. a b. a D. a b 9 b b Zadanie. p. Magda i Pawe³ kolekcjonuj¹ widokówki. Magda ma o 8% wiêcej widokówek ni Pawe³. Wska, o ile procent Pawe³ ma mniej widokówek ni Magda:. 78,5%. 8%.,875% D. 7% Zadanie. p. Liczba log log 5 jest równa: 5. log 5. log 5. 58,75 D. log 5 Zadanie 5. p. Liczba 50 jest przybli eniem z nadmiarem liczby x. ³¹d wzglêdny tego przybli enia wynosi. Liczba x to:. 9,98. 50 00. 9 D. 9, Zadanie 6. p. Punkty (, ) i (, 7) s¹ wierzcho³kami trójk¹ta równobocznego. Promieñ okrêgu opisanego na tym trójk¹cie ma d³ugoœæ:. 5 5. 5 6. 5 D. Zadanie 7. p. ( )( )( ) Iloczyn wszystkich pierwiastków równania x x x jest równy: x.. 6. D. 9 Zadanie 8. p. Rowerzysta, jad¹c ze sta³¹ prêdkoœci¹, przeje d a w ci¹gu jednej minuty 500 m. Wska, ile kilometrów przejecha³ rowerzysta, jad¹c z t¹ sam¹ sta³¹ prêdkoœci¹ w ci¹gu,5 godziny:. 5 km. 75 km., km D. 5,5 km 5 6 5
RKUSZE EGZMINYJNE Zadanie 9. p. Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f( x). Zbiorem wartoœci funkcji f( x)jest zbiór: y 5. ; 5. ( ; 5). ; 5) D. 6; ) 6 5 0 x Zadanie 0. p. Do wykresu funkcji f( x) ( m ) xm mnale y punkt P (, 7 ). Zatem:. m. m 5. m 6 D. m 8 Zadanie. p. Wykres funkcji f( x) mx( 9m 6m) przecina oœ OY powy ej punktu ( 0, ). Wobec tego:. m ( 0; ). m. m (; ) D. m 0 Zadanie. p. Wska nierównoœæ, której zbiorem rozwi¹zañ jest zbiór pusty:. ( x ) 0. ( x ) 0. ( x ) 0 D. ( x ) 0 Zadanie. p. Wykres funkcji f( x)x 5x przekszta³cono w symetrii wzglêdem osi OX i otrzymano wykres funkcji g( x). Wykresem funkcji gx ( )jest parabola o wierzcho³ku w punkcie:. W 0,. W 0,. W 0, D. W 0, Zadanie. p. Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji y x 8 f( x) x. Funkcja f( x)przyjmuje wartoœci nieujemne dla:. x ;. x ; 0 5 6 7 8 9 0 x. x ; D. x ; 5 6 7 6
rkusz. Zadanie 5. p. Wyra enie ( a )( a ) ( a ) ( 7) mo na zapisaæ w postaci sumy algebraicznej:. a 6. a 8a 7. 0 a a 7 D. a 8a 7 Zadanie 6. p. Trójk¹t jest trójk¹tem równobocznym. Punkt P nale y do wysokoœci D trójk¹ta i P D. Sinus k¹ta PD jest równy:. 9. 9. Zadanie 7. p. Je eli k¹ty,,, s¹ kolejnymi k¹tami w pewnym trapezie, przy czym k¹t jest k¹tem ostrym, to:. sin sin sin sin. cos cos cos cos. cos cos cos cos D. cos cos cos cos Zadanie 8. p. Punkty (,, ) (, 6, ) (, 6) s¹ wierzcho³kami trójk¹ta. Trójk¹t DEF jest podobny do trójk¹ta w skali k. Obwód trójk¹ta DEF jest równy:. 9. 8 8. 5 D. 9 5 Zadanie 9. p. Punkty,, nale ¹ do okrêgu o œrodku w punkcie S (zobacz rysunek). K¹t zaznaczony na rysunku ma miarê:. 68.. 8, 6 D. 5 Zadanie 0. p. i¹g (a n ) jest dziesiêciowyrazowym ci¹giem arytmetycznym. Suma wszystkich wyrazów ci¹gu (a n ) jest równa 8. Wobec tego:. a a8. a a8 8. a a8 56, D. a a8, Zadanie. p. O rosn¹cym ci¹gu geometrycznym wiemy, e a ia 5. Ósmy wyraz tego ci¹gu jest równy:. a 8. a 8. a 8 D. a 8 6 6 Zadanie. p. Pole trapezu jest równe 7 cm, a odcinek ³¹cz¹cy œrodki ramion tego trapezu ma d³ugoœæ,85 dm. Wysokoœæ tego trapezu ma d³ugoœæ:. h cm. h dm. h 6 cm D. h 8 cm 6 D. S 8 7
RKUSZE EGZMINYJNE Zadanie. p. Powierzchnia boczna sto ka po rozwiniêciu jest pó³kolem o promieniul. Objêtoœæ tego sto ka jest równa:. 7. 7. 6 D. 6 Zadanie. p. W dwudziestodwuk¹cie narysowano wszystkie boki i wszystkie przek¹tne, a nastêpnie wylosowano jeden z narysowanych odcinków. Prawdopodobieñstwo, e wylosowany odcinek nie jest przek¹tn¹ jest równe:.. 09. Zadanie 5. p. Marek, trenuj¹c skok w dal, wykona³ trzy skoki o d³ugoœci: 5 cm, 50 cm i 5 cm. Odchylenie standardowe w tej serii skoków Marka jest liczb¹ z przedzia³u:. ;. ;. ; D. ; Zadanie 6. p. Rozwi¹ nierównoœæ ( x )( x ) ( x ). Zadanie 7. p. Wyka, e je elia 7 bi a b, to trzywyrazowy ci¹g( cn) a b,, jest ci¹giem geometrycznym. a b ( a b)( a b ) Zadanie 8. p. Punkt S jest wspólnym œrodkiem okrêgów o promieniach r S i R S, r R (zobacz rysunek). Wyka, e je eli zwiêkszymy promieñ du ego okrêgu tak, e d³ugoœæ tego okrêgu wzroœnie o a 0, to d³ugoœæ odcinka wzroœnie o wartoœæ, która nie zale y od d³ugoœci promieni r i R. D. 85 S Zadanie 9. p. Wartoœæ samochodu maleje wraz z up³ywem lat. Nowy samochód marki M kosztuje w salonie 80000 z³. Wartoœæ tego x samochodu po up³ywie x lat opisuje wzór funkcji f( x) 80000. 5 a) Pan Pawe³ kupi³ nowy samochód marki M. Oblicz, o ile z³otych wartoœæ tego samochodu zmniejszy siê po dwóch latach. b) Pani Monika kupi³a kilka lat temu nowy samochód marki M w salonie. Wartoœæ tego samochodu wynosi obecnie 768 z³. Ile lat temu kupi³a ten samochód pani Monika? Zadanie 0. p. Punkt jest obrazem punktu ( 7, ) w symetrii wzglêdem prostej k o równaniu x y 0. Wyznacz wspó³rzêdne punktu. 8
rkusz. Zadanie. p. zworok¹t D jest rombem o k¹cie ostrym 0i polu równym. Punkty i D nale ¹ do okrêgu o œrodku w punkcie. Oblicz pole i obwód figury f zacieniowanej na rysunku. D f 0 Zadanie. p. Wœród 50 klientów pewnego sklepu zoologicznego przeprowadzono badania zwi¹zane z zakupami. Na diagramie przedstawiono informacjê o tym, ile osób kupi³o karmê dla psów, ile osób kupi³o karmê dla kotów oraz ile osób dokona³o innego zakupu. liczba osób, które dokona³y danego zakupu 50 00 50 0 0 karma dla psów karma dla kotów inny zakup Uwaga: Osoby, które dokona³y innego zakupu, nie kupi³y ani karmy dla psów, ani karmy dla kotów. Oblicz prawdopodobieñstwa zdarzeñ: osoba losowo wybrana spoœród ankietowanych kupi³a zarówno karmê dla psów, jak i karmê dla kotów, osoba losowo wybrana spoœród ankietowanych kupi³a karmê dla psów i nie kupi³a karmy dla kotów. Wyniki zapisz w postaci nieskracalnych u³amków zwyk³ych. Zadanie. 5p. S Podstaw¹ ostros³upa prostego jest ostrok¹tny trójk¹t równoramienny, w którym 0 oraz. Wszystkie krawêdzie boczne s¹ nachylone do p³aszczyzny podstawy pod k¹tem ostrym takim, e cos (zobacz rysunek). Oblicz objêtoœæ tego ostros³upa. Zaznacz na rysunku k¹t miêdzy œcian¹ boczn¹ S i p³aszczyzn¹ podstawy i oblicz tg. S' Zadanie. p. Funkcja kwadratowa f( x)jest okreœlona wzorem f( x)x mx. a) Wyka, e dla ka dej rzeczywistej wartoœci m funkcja f ma dwa ró ne miejsca zerowe, których iloczyn jest równy. b) Wyznacz te wartoœci m, dla których suma miejsc zerowych funkcji f jest równa 0. 9
MODEL ODPOWIEDZI rkusz. Propozycja schematu oceniania zadañ zamkniêtych W ka dym z zadañ. 5. zdaj¹cy otrzymuje p. za wybranie poprawnej odpowiedzi. Zadanie. 9 6 8 8 6 5 0. 6 9 7 9 8 OdpowiedŸ. Zadanie. Pole powierzchni szeœcianu o krawêdzi a jest równe 6a. Pole powierzchni szeœcianu o krawêdzi,05a jest równe 6(, 05a) 0, 5% 6a, czyli zwiêkszy siê o 0,5%. OdpowiedŸ. Zadanie. log 7 log log 7 7 log. 89 OdpowiedŸ. Zadanie. x y z x y z y ( ) ( x z) z ( x y) ( x y)( x z) ( y z)( y x) ( z x)( z y) ( x y)( x z)( y z) x y x z xy zy xz yz ( x y)( xy yz zx z ) ( x y)( x z)( y z). ( x y)( x z)( y z) ( x y)( x z)( y z) ( x y)( x z)(y z) OdpowiedŸ D. Zadanie 5. Odpowiedzi, i nie s¹ prawdziwe, gdy na przyk³ad dla 0wartoœæ wyra enia sin cos jest równa i jest to liczba wiêksza od ka dej z liczb: 0,,. Je eli 5,tosin cos. OdpowiedŸ D. y 0 y = sin 90 80 x y = cos Zadanie 6. Sprawdzamy, która para liczb spe³nia nierównoœæ x 7x : ( 5, ) 7( 5, ) 80, wiêc odpowiedÿ nie jest prawdziwa, ( ) 7( ) 8 0, czyli nie s¹ prawdziwe odpowiedzi i. OdpowiedŸ D. Zadanie 7. Wykresami funkcji f( x)x5 i gx ( ) ( m) x s¹ proste. Proste te maj¹ dok³adnie jeden punkt wspólny wtedy i tylko wtedy, gdy m, czyli m. OdpowiedŸ. 0
rkusz. Zadanie 8. x 5 Dla x wyra enie przyjmuje wszystkie wartoœci wiêksze od, natomiast dla x wyra enie x przyjmuje wszystkie wartoœci z przedzia³u ; OdpowiedŸ., zatem zbiorem wartoœci funkcji hx ( )jest (;. ) Zadanie 9. Wykres funkcji przedstawiony na rysunku powsta³ z przesuniêcia wykresu funkcji gx ( ) x o wektor [, ]. OdpowiedŸ. Zadanie 0. Funkcja f( x)x mx ma dwa ró ne miejsca zerowe, je eli wyró nik trójmianu kwadratowego m jest dodatni, czyli m 6 0 m( ; 6) ( 6; ). OdpowiedŸ. Zadanie. hx ( ) ( x) x 7 x x x 7 x. Najmniejsz¹ wartoœæ funkcja hx ( )przyjmuje dla x 0. OdpowiedŸ. Zadanie. Funkcja f( x) x jest funkcj¹ liniow¹ rosn¹c¹ i jej zbiorem wartoœci jest zbiór liczb rzeczywistych. Funkcja x gx ( ) jest funkcj¹ wyk³adnicz¹ malej¹c¹ i jej zbiorem wartoœci jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich. Z tych w³asnoœci funkcji f( x)i gx ( ) wynika, e ich wykresy przetn¹ siê dok³adnie w jednym punkcie. OdpowiedŸ:. Zadanie. Korzystamy ze wzoru na miarê k¹ta wewnêtrznego wielok¹ta foremnego o n wierzcho³kach: 80( 9 ) 0. 9 OdpowiedŸ. 80( n ), czyli n Zadanie. Wie a ustawiona jest pionowo do pod³o a, wiêc trójk¹t K jest prostok¹tny, st¹d K tg 0 0, 76, czyli K 0 m 70 m. 076, OdpowiedŸ. = 0 K Zadanie 5. oki i D równoleg³oboku D zawieraj¹ siê w prostych równoleg³ych, zatem wspó³czynniki kierunkowe obu prostych musz¹ byæ równe, czyli 5, p, st¹d p 075,. OdpowiedŸ.
MODEL ODPOWIEDZI Zadanie 6. Równanie prostej ma postaæ: x y 5 0. Odleg³oœæ punktu od prostej jest równa 55, 5, 5 95, 9, 5, 5. 5 5 OdpowiedŸ. y 5 0 H 5 6 7 8 x Zadanie 7. Punktem wspólnym prostych y x i y x jest punkt o wspó³rzêdnych (, 0). Punkt ten nie nale y do prostej y x 5 ani do prostej y x, ani do prostej y x, wiêc odpowiedzi, i nie s¹ prawdziwe. Zatem równanie jednej z dwusiecznych ma postaæ y ( 5) x ( 5. ) OdpowiedŸ D. Zadanie 8. i¹g jest arytmetyczny, je eli spe³niony jest warunek a 5 5 5a a a a 8. 5 5 OdpowiedŸ. 5a a 5 5 Zadanie 9. Suma dziesiêciu pocz¹tkowych wyrazów ci¹gu geometrycznego o wyrazie pierwszym 6 i ilorazie jest równa S 0 6 OdpowiedŸ. 0 0. Zadanie 0. 0 99 Suma wszystkich liczb dwucyfrowych jest równa 90 905. Liczby dwucyfrowe podzielne przez tworz¹ ci¹g arytmetyczny o wyrazie pierwszym i ró nicy. Jest ich. Suma 96 tych liczb jest równa 88. 905 88 77. OdpowiedŸ. Zadanie. x d³ugoœæ skoku ostatniego zawodnika 8 x x 50. OdpowiedŸ.
rkusz. Zadanie. P 7 7 sin 75 9 0, 966 7,. OdpowiedŸ. Zadanie. Z 6 liter mo na utworzyæ 6 trójek, które mo na po³¹czyæ z ka d¹ z 0 dwójk¹ cyfr. Wszystkich tak utworzonych numerów jest 00 6 757600. OdpowiedŸ D. Zadanie. Pole kuli o promieniu r jest równe r. Skoro r r OdpowiedŸ. 9,to r 9, czyli r. r r Zadanie 5. Kolory pisaków na pisance nie mog¹ siê powtarzaæ, wiêc ró nych mo liwoœci u ycia dwóch kolorów z dostêpnych siedmiu jest. Ka dy zestaw kolorów mo e byæ powtórzony na trzech ró nych kolorach pisanki. OdpowiedŸ. Zadanie 6. 55000,% 7 85 85 9% 8, 5 85 8, 5 0, 85. OdpowiedŸ: Po roku oszczêdzania Pani Kasia zyska 0,85 z³. Zdaj¹cy obliczy zysk z lokaty bez uwzglêdnienia podatku bankowego p. Zdaj¹cy obliczy zysk z lokaty po uwzglêdnieniu podatku bankowego p. Zadanie 7. p. 5 7 5 6 7 5 5 5 5 ( 50 5 7) 5 5 8 5 5 6 Jednym z czynników iloczynu 5 5 7 6 5 6jest 6, wiêc liczba 5 5 75 jest podzielna przez 6. nd. 7 6 5 Zapisanie liczby 5 5 75 w postaci iloczynu o jednym z czynników równym 6 p. Zapisanie pe³nego uzasadnienia p. Zadanie 8. Dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych m i n prawdziwa jest nierównoœæ m n mn, wiêc ( m n)( n p)( m p) mn np mp 8 m n p 8mnp. nd. Przeprowadzenie pe³nego uzasadnienia p.
MODEL ODPOWIEDZI Zadanie 9. 5 Punkt, jest œrodkiem odcinka, wiêc S jest wysokoœci¹ trójk¹ta równoramiennego S. S S S sins Pole S jest równe P, 5 P S 5, 5 7 sins, st¹d sins 5 7. y 5 0 S 5 6 7 8 x Zdaj¹cy zauwa y, e sinus k¹ta œrodkowego S mo na obliczyæ ze wzoru na pole trójk¹ta S i zapisze odpowiednie zwi¹zki p. Zdaj¹cy obliczy wartoœæ sinusa k¹ta œrodkowego S p. Zadanie 0. Na podstawie definicji sumy ci¹gu liczbowego a5 S5 S, czyli a 5 5 85 ( 8) 6. Zapisanie zale noœci umo liwiaj¹cej obliczenie pi¹tego wyrazu ci¹gu, np. w postaci a5 S5 S p. Obliczenie wartoœci a 5 6 p. Zadanie. Wysokoœci¹ pude³ka jest d³ugoœæ boku wyciêtego trójk¹ta równobocznego, np. H. Pole podstawy jest równe P 6 0 50. 600 Objêtoœæ graniastos³upa jest równa V P H 600, st¹d H 50. Obliczenie pola podstawy graniastos³upa p. Obliczenie d³ugoœci wysokoœci pude³ka p. Zadanie. I przypadek k¹t prosty trójk¹ta jest w wierzcho³ku y 0 5 6 7 8 x
rkusz. 7 Równanie prostej ma postaæ: y x, równanie prostej prostopad³ej do prostej ma postaæ: y x. 7 Punkt =(m, ) nale y do tej prostej dla m 8 7. II przypadek k¹t prosty trójk¹ta jest w wierzcho³ku y 0 5 6 7 8 x 7 Równanie prostej prostopad³ej do prostej ma postaæ: y x m 5 7. 5, punkt =(m, ) nale y do tej prostej dla III przypadek k¹t prosty trójk¹ta jest w wierzcho³ku. y y 0 5 6 7 8 x 0 5 6 7 8 x 7 7 m ( m 7) 5 m 7m 8 0 m lub m 7 7. 8 Odp. Warunki zadania spe³niaj¹ cztery punkty o wspó³rzêdnych: 7,, 5,, 7 7 7,, 7 7 Zauwa enie, e wiêcej ni jeden punkt spe³nia warunki zadania p. Obliczenie wspó³rzêdnych punktu w jednym przypadku p. Obliczenie wspó³rzêdnych dwóch punktów spe³niaj¹cych warunki zadania p. Obliczenie wspó³rzêdnych czterech punktów spe³niaj¹cych warunki zadania p.,. 5
MODEL ODPOWIEDZI Zadanie. Wysokoœci¹ ostros³upa jest wysokoœæ h œciany bocznej S. h S D D 6 h 56 7 8 i h 0, czyli h 8 7 8 V 8 6. Zapisanie, e spodek wysokoœci ostros³upa jest w po³owie przeciwprostok¹tnej podstawy p. Obliczenie d³ugoœci wysokoœci ostros³upa i jego objêtoœci p. Zadanie. Ka dy z 5 pasa erów mo e wysi¹œæ na jednym z oœmiu piêter, wiêc 8 5. zdarzenie polegaj¹ce na tym, e adnych dwóch pasa erów nie wysi¹dzie na tym samym piêtrze. 8765 670. 670 05 P( ). 5 8 5 Obliczenie liczby zdarzeñ elementarnych oraz liczby zdarzeñ sprzyjaj¹cych zdarzeniu adnych dwóch pasa erów nie wysi¹dzie na tym samym piêtrze p. Obliczenie prawdopodobieñstwa zdarzenia adnych dwóch pasa erów nie wysi¹dzie na tym samym piêtrze p. Zadanie 5. Najmniejsz¹ wartoœæ funkcja osi¹ga dla x, wiêc jej wzór mo na zapisaæ w postaci kanonicznej: f( x)a x q. 6 6 Punkty = (, ), = (, 7) nale ¹ do wykresu funkcji f, wiêc a q 6 a 7 a q q 6 6 8 a 6 f( x) x x x5, wiêc b. 6 8 c 5 OdpowiedŸ: a, b, c 5. Zdaj¹cy wykorzysta informacjê o najmniejszej wartoœci funkcji kwadratowej p. Zdaj¹cy zapisze dwa z trzech warunków umo liwiaj¹cych obliczenie wspó³czynników a, b i c p. Zdaj¹cy zapisze trzy warunki umo liwiaj¹ce obliczenie wspó³czynników a, b i c p. Zdaj¹cy, rozwi¹zuj¹c uk³ad równañ, wyznaczy poprawnie dwa spoœród trzech szukanych wspó³czynników p. Zdaj¹cy wyznaczy poprawnie wspó³czynniki a, b i c 5p. S h D 6
rkusz. Propozycja schematu oceniania zadañ zamkniêtych W ka dym z zadañ. 5. zdaj¹cy otrzymuje p. za wybranie poprawnej odpowiedzi. Zadanie. 0 9 9 9 5 5 5 ( 5 ) 5 7, czyli jest podzielna przez liczbê 7. OdpowiedŸ:. Zadanie. 9a b ab 9a ab 9a a( b 9) a a b. 9 OdpowiedŸ:. Zadanie. Przyjmujemy oznaczenia: x liczba widokówek Magdy, y liczba widokówek Paw³a. 8y 00x x 8% y x y 78, 5% x, 00% 78, 5%, 875%. 00 8 OdpowiedŸ:. Zadanie. 5 5 log log log log log 5 log 5 log 5 log 5. 5 5 OdpowiedŸ:. Zadanie 5. 50 x x 650x x 9,. x OdpowiedŸ: D. Zadanie 6. ( ) ( 7 ) 50 5. D³ugoœæ promienia okrêgu opisanego na trójk¹cie równobocznym o boku d³ugoœci wyra a siê wzorem 5 R OdpowiedŸ:. 5 6. Zadanie 7. Mianownik u³amka jest ró ny od 0, wiêc x 0 x. ( x )( )( ) ( )( )( ) ( Dla x : x x x x x x )( x ) 0 0 0 x {, },. x ( x ) OdpowiedŸ:. 7
MODEL ODPOWIEDZI Zadanie 8. m 500 0, 00 km V 500 0 min 60 h OdpowiedŸ:. Zadanie 9. km h. Rowerzysta jedzie z prêdkoœci¹ 0 km h, wiêc s 0 km h. 5, h= 5 km. Z wykresu funkcji odczytujemy, e funkcja f( x)przyjmuje wartoœci y i jednoczeœnie y 5, zatem zbiorem wartoœci funkcji f( x)jest zbiór ; 5). OdpowiedŸ:. Zadanie 0. f( ) 7 ( m ) m m 7 m 9 m m 7 m 6 m 8. OdpowiedŸ: D. Zadanie. Wykres funkcji f( x) mx( 9m 6m) przecina oœ OY powy ej punktu ( 0, ) wtedy, gdy ( 9m 6m ) 9m 6m 9m 6m 0 9mm ( ) 0 m( 0; ). OdpowiedŸ:. Zadanie. Zbiorem wartoœci funkcji f( x) ( x) jest zbiór ( ;, wiêc wyra enie ( x ) przyjmuje zarówno wartoœci ujemne, jak i dodatnie, czyli nierównoœci ( x ) 0 oraz ( x ) 0maj¹ rozwi¹zania. Zbiorem wartoœci funkcji f( x) ( x) jest zbiór ( ;, zatem wyra enie ( x ) przyjmuje tylko wartoœci ujemne, czyli zbiorem rozwi¹zañ nierównoœci ( x ) 0 jest zbiór liczb rzeczywistych, a zbiorem rozwi¹zañ nierównoœci ( x ) 0jest zbiór pusty. OdpowiedŸ:. Zadanie. 5 5 x W 6, y f 5 W 5 5 75 75 8 5, czyli wierzcho³kiem paraboli bêd¹cej wykresem funkcji f( x)x 5xjest punktw,. Obrazem punktuw, wsymetriiwzglêdemosiox 5 8 5 8 5 8 jest punkt W 0,,. OdpowiedŸ:. Zadanie. by odczytaæ z wykresu zbiór rozwi¹zañ nierównoœci f( x) 0, obliczamy miejsce zerowe funkcji f( x): x 8 9 f( x)0 0 i x x 8 0i x x x. f( x) 0 x ;. OdpowiedŸ:. 8
rkusz. Zadanie 5. ( a )( a ) ( a ) ( 7) a ( a a ) ( 7 7 ) a a 8a 7 7 a 8a 7. OdpowiedŸ:. Zadanie 6. Niech PD oraz a oznacza d³ugoœæ boku trójk¹ta, wtedy D a, D a. a a P D 8, czyli PD D P a a a a a 8 8 8 8. Z twierdzenia Pitagorasa w trójk¹cie prostok¹tnym DP mamy P D PD, czyli P a a 8 a 9 P. 8 P D a PD sin 8 P a 9 8 9. OdpowiedŸ:. Zadanie 7. Z treœci zadania wynika, e 80 oraz 80, wobec tego sin sin, sinsin, cos cos i cos cos, czyli sin sin sin sin sin sin sin sin (sin sin) 0, poniewa k¹ty i s¹ k¹tami ostrymi, czyli sin 0 i sin0. Równoœæ w punkcie jest fa³szywa. cos cos cos cos cos cos cos cos 0, równoœæ w punkcie jest fa³szywa. cos cos cos cos cos cos cos cos, czyli równoœæ w punkcie jest prawdziwa, a w punkcie D fa³szywa. OdpowiedŸ:. Zadanie 8. ( ) ( 6) 8 8, ( ) ( 66), ( ) ( 6) 5. Obwód trójk¹ta jest równyl 8 5 8 8. Trójk¹t DEF jest podobny do trójk¹ta w skali k, wiêc LDEF L ( 8 8 ) 9. OdpowiedŸ:. Zadanie 9. K¹t wypuk³y S jest k¹tem œrodkowym opartym na tym samym ³uku co k¹t wpisany, wiêc S oraz 60 S 8, wobec tego 60 8 68. OdpowiedŸ:. 9
MODEL ODPOWIEDZI Zadanie 0. a a0 S0 8 0 8 a a0 5, 6. a a8 a r a 7r a a 9r a a0 56,. OdpowiedŸ:. Zadanie. a q a q a q a q a q a q q q q 0q 0 q 0q 0 q a q a q a a q lub q q 0q q q 7 7 a8 aq. OdpowiedŸ: D. Zadanie. Wprowadzamy oznaczenia: a, b d³ugoœci podstaw trapezu, h d³ugoœæ wysokoœci trapezu. Wszystkie jednostki d³ugoœci zamieniamy na centymetry, wiêc,85 dm 8,5 cm. Z treœci zadania: a b 8, 5, P OdpowiedŸ:. a b h 8, 5 h 7 h cm. Zadanie. Wprowadzamy oznaczenia: r d³ugoœæ promienia sto ka, h d³ugoœæ wysokoœci sto ka, l d³ugoœæ tworz¹cej sto ka (i promieñ powierzchni bocznej sto ka), r, h 0. l r r l r 6. Z twierdzenia Pitagorasa h r l, czyli h 6 h 6. V r h 6 6 7. OdpowiedŸ:. Zadanie. 9 Dwudziestodwuk¹t ma boki i 09 przek¹tnych, wobec tego jest wszystkich narysowanych odcinków, wœród których to nie s¹ przek¹tne. Prawdopodobieñstwo, e wylosowany odcinek nie jest przek¹tn¹ jest równe. OdpowiedŸ:. 0
rkusz. Zadanie 5. 5 50 5 Œrednia skoków jest równa 59, wariancja jest równa ( 5 59) ( 50 59) ( 5 59) 5 89 58, odchylenie standardowe wynosi OdpowiedŸ:. 58 6, ;. Zadanie 6. Nierównoœæ ( x )( x ) ( x ) jest równowa na nierównoœci x x 0. Wykresem funkcji y x x jest parabola o ramionach skierowanych w górê i miejscach zerowych równych: x, x. Wobec tego x x 0 x ;. OdpowiedŸ: x ;. Zdaj¹cy obliczy pierwiastki trójmianu kwadratowego x, x i na tym zakoñczy lub dalej pope³ni b³êdy p. Zdaj¹cy poda zbiór rozwi¹zañ nierównoœci, np. w postaci x ; p. Zadanie 7. Je eli a b i a b,toc a b, c a b i c i wszystkie wyrazy ci¹gu s¹ ró ne od 0. ( a b)( a b ) c c a b, a b a b c c ( a b)( a b ) a b. ( a b)( a b ) a b a b Wobec tego, je eli a b i a b,to c c c, wiêc ci¹g (c n ) jest geometryczny, cnd. c Zdaj¹cy wyznaczy iloraz c c a b albo wyznaczy iloraz c c a b i na tym zakoñczy lub dalej pope³ni b³êdy p. Zdaj¹cy przeprowadzi pe³ny dowód p.
MODEL ODPOWIEDZI Zadanie 8. Wprowadzamy oznaczenia jak na rysunku. Mamy wykazaæ, e wartoœæ x 0, o jak¹ wzroœnie d³ugoœæ odcinka, nie zale y od promieni r S i R S. D³ugoœæ pocz¹tkowa okrêgu o promieniu R S jest równa L R. Niech R oznacza promieñ du ego okrêgu, gdy d³ugoœæ okrêgu wzroœnie o a 0, czyli R' R x. D³ugoœæ tego okrêgu jest równa L R' ( R x) R x a oraz L L a R a, zatem R a R x, czyli x wartoœæ ta zale y tylko od a, nie zale y od d³ugoœci promieni okrêgów, cnd. S x Zdaj¹cy zapisze d³ugoœæ okrêgu o promieniu R, np. L R, i zapisze d³ugoœæ okrêgu, gdy wzroœnie ona o a 0 w zale noœci od R, np. L R x, i na tym zakoñczy lub dalej pope³ni b³êdy p. Zdaj¹cy przeprowadzi pe³ny dowód p. Zadanie 9. a) Wartoœæ samochodu pana Paw³a po dwóch latach bêdzie wynosiæ f( x) 80000 500, czyli zmaleje 5 o 80000 500 8800 z³. b) 768 80000 56 x 0096 x 5 x, 5 65 5 x x. 5 5 OdpowiedŸ: Wartoœæ samochodu pana Paw³a zmaleje o 8800 z³. Pani Monika kupi³a samochód cztery lata temu. Zdaj¹cy obliczy, o ile z³otych zmniejszy siê wartoœæ samochodu pana Paw³a po dwóch latach albo obliczy, ile lat temu kupi³a samochód pani Monika i na tym zakoñczy lub dalej pope³ni b³êdy p. Zdaj¹cy obliczy, o ile z³otych zmniejszy siê wartoœæ samochodu pana Paw³a po dwóch latach i obliczy, ile lat temu kupi³a samochód pani Monika p. Zadanie 0. Równanie prostej k zapisujemy w postaci kierunkowej x y 0.. Wyznaczamy równanie prostej, która jest prostopad³a do prostej k, wiêc a i przechodzi przez punkt, wiêc ( 7) bb. Prosta ma równanie y x.. Wyznaczamy wspó³rzêdne punktu S przeciêcia siê prostych i k: y x x x x S (, ). y x y y x. Wyznaczamy wspó³rzêdne punktu ( x, y ). Punkt S (, ) jest œrodkiem odcinka, wiêc 7 x y x y OdpowiedŸ: ( 5, ). 5 ( 5, ).
rkusz. Zdaj¹cy wyznaczy równanie prostej : y x i obliczy wspó³rzêdne punktu przeciêcia siê prostych i k: S (, ) i na tym zakoñczy lub dalej pope³ni b³êdy p. Zdaj¹cy wyznaczy wspó³rzêdne punktu : ( 5, ) Zadanie. Niech a 0 oznacza d³ugoœæ boku rombu i jednoczeœnie d³ugoœæ promienia okrêgu o œrodku w punkcie. PD a sin, czyli a sin 0 a a, czyli a. Pole wycinka ko³owego o k¹cie œrodkowym 0jest równe 0 P w. 60 Pole figury f jest równe 66 Pf PD Pw. D³ugoœæ ³uku D wyznaczonego przez k¹t œrodkowy 0jest równa 0 L D 60. Obwód figury f jest równy Lf a LD. 66 OdpowiedŸ: Pole figury f jest równe, a jej obwód jest równy. Zdaj¹cy wyznaczy d³ugoœæ boku rombu: a i obliczy pole wycinka ko³owego o k¹cie œrodkowym : P w albo wyznaczy d³ugoœæ boku rombu: a i obliczy d³ugoœæ ³uku D wyznaczonego przez k¹t œrodkowy : L D i na tym zakoñczy lub dalej pope³ni b³êdy p. 66 Zdaj¹cy obliczy pole figury f: i obwód figury f: p. Zadanie. p. 50 0 0 osób kupi³o przynajmniej jedn¹ z karm dla psów oraz kotów. 0 6 osób kupi³o tylko karmê dla kotów. 0 96 osób kupi³o tylko karmê dla psów. 96 6 8 osób kupi³o zarówno karmê dla psów, jak i karmê dla kotów. 8 P( ) 50 75, P ( ) 96 6 50 5. OdpowiedŸ: P( ) 75, P 6 ( ) 5. p.
MODEL ODPOWIEDZI Zdaj¹cy obliczy ile osób kupi³o przynajmniej jedn¹ z karm dla psów oraz kotów: 0 i obliczy ile osób kupi³o tylko karmê dla kotów: 6 oraz obliczy ile osób kupi³o tylko karmê dla psów: 96 i na tym zakoñczy lub dalej pope³ni b³êdy p. Zdaj¹cy obliczy, ile osób kupi³o przynajmniej jedn¹ z karm dla psów oraz kotów: 0 i obliczy, ile osób kupi³o tylko karmê dla kotów: 6 oraz obliczy, ile osób kupi³o tylko karmê dla psów: 96 i obliczy, ile osób kupi³o zarówno karmê dla psów, jak i karmê dla kotów: 8 i na tym zakoñczy lub dalej pope³ni b³êdy p. Zdaj¹cy obliczy P( ) 75 albo obliczy P ( ) 6 i na tym zakoñczy lub dalej pope³ni b³êdy p. 5 Zdaj¹cy obliczy: P( ) 75 i P 6 ( ) p. 5 Zadanie. Odcinek M jest wysokoœci¹ trójk¹ta równoramiennego poprowadzon¹ do podstawy. Punkt M jest œrodkiem odcinka, czyli M M 6. S K¹t miêdzy œcian¹ boczn¹ S i p³aszczyzn¹ podstawy jest to k¹t SM zaznaczony na rysunku. Z twierdzenia Pitagorasa w trójk¹cie prostok¹tnym M: M M, czyli 6 M 0 M 8. Pole trójk¹ta (i jednoczeœnie podstawy ostros³upa) jest równe Pp M 8 8. Wszystkie krawêdzie boczne s¹ nachylone do p³aszczyzny podstawy pod tym samym k¹tem, wiêc S S S R, gdzie R 0 jest promieniem okrêgu opisanego na trójk¹cie. M S' P p 0 0 5, czyli 8 R. R R W trójk¹cie prostok¹tnym SS : cos S S, czyli 5 S 5. S Z twierdzenia Pitagorasa w trójk¹cie SS : S SS S, gdzie SS jest wysokoœci¹ H 0 ostros³upa. Wobec tego 5 5 5 H 5 H. 5 5 5 5 SS ' Objêtoœæ ostros³upa jest równa V Pp H 8 00 5. tg SM ' 5 8 OdpowiedŸ: V 00 5 [j ], tg 5 5. 7 5 5 7 5 5. 7
rkusz. : Zdaj¹cy poprawnie zinterpretuje treœæ zadania oraz zaznaczy na rysunku k¹t albo wyznaczy M 8 i obliczy pole podstawy ostros³upa P p 8 i na tym zakoñczy lub dalej pope³ni b³êdy p. 5 5 Zdaj¹cy obliczy d³ugoœæ wysokoœci ostros³upa H i na tym zakoñczy lub dalej pope³ni b³êdy p. 5 5 Zdaj¹cy obliczy d³ugoœæ wysokoœci ostros³upa H i objêtoœæ ostros³upa V 00 5 albo 5 5 5 5 obliczy d³ugoœæ wysokoœci ostros³upa H i obliczy tg, i na tym zakoñczy lub dalej pope³ni b³êdy, 7 albo rozwi¹ e zadanie do koñca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreœlaj¹ poprawnoœci rozwi¹zania, np. pope³ni b³êdy rachunkowe p. 5 5 Zdaj¹cy poprawnie obliczy objêtoœæ ostros³upa:v 00 5 i obliczy tg 7 5p. Zadanie. a) Funkcja kwadratowa ma dwa ró ne miejsca zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy wyró nik jest dodatni. ( m) ( ) m, wyra enie m jest dodatnie dla ka dej rzeczywistej wartoœci m, zatem funkcja f( x)x mx ma dwa ró ne miejsca zerowe dla ka dej rzeczywistej wartoœci m. m m m m x, x s¹ miejscami zerowymi funkcji f, wiêc m m m m m ( m ) m m xx, cnd. 6 6 6 m m m m m b) x x 0 0 0 m 0. OdpowiedŸ: m 0. Zdaj¹cy obliczy wyró nik trójmianu kwadratowego: m i uzasadni, e dla ka dej wartoœci m wyró nik jest dodatni, czyli funkcja f( x)x mx dla ka dej wartoœci m ma dwa ró ne miejsca zerowe i na tym zakoñczy lub dalej pope³ni b³êdy p. Zdaj¹cy wyka e, e funkcja f( x) ma dla ka dej wartoœci m dwa ró ne miejsca zerowe, obliczy miejsca zerowe funkcji: m m m m x, x i obliczy iloczyn miejsc zerowych xx albo obliczy sumê miejsc zerowych m x x i na tym zakoñczy lub dalej pope³ni b³êdy p. Zdaj¹cy wyka e, e funkcja f( x) ma dla ka dej wartoœci m dwa ró ne miejsca zerowe, obliczy miejsca zerowe funkcji: x m m, x m m i obliczy iloczyn miejsc zerowych xx oraz obliczy sumê miejsc zerowych m x x i na tym zakoñczy lub dalej pope³ni b³êdy p. Zdaj¹cy wyka e, e funkcja f( x)ma dla ka dej wartoœci m dwa ró ne miejsca zerowe, których iloczyn jest równy, oraz wyznaczy, e suma miejsc zerowych funkcji f jest równa 0 dla m 0. p. Uwaga: Je eli zdaj¹cy poprawnie rozwi¹ e zadanie korzystaj¹c ze wzorów Viete a, to otrzymuje p. 5