Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
9.. Logarytmy. Niech a R + \ {}, b R +. Logarytmem liczby b przy podstawie a nazywamy liczbę c wtedy i tylko wtedy, gdy a c = b. Piszemy log a b = c b = a c. log a = 0 log a a = a log a b = b log = log 0 a logarytm dziesiętny ln a = log e a logarytm naturalny (e, 78888) Działania na logarytmach log a (b b ) = log a b + log a b, a R + \ {}, b, b R + log a ( b b ) = log a b log a b, a R + \ {}, b, b R + log a b m = m log a b, a R + \ {}, b R +, m R log a b = log c b log c a, a, c R + \ {}, b R + log a b = log b a, a, b R + \ {}.. to funkcja postaci f(x) = log a x, gdzie a R + \ {}, x R +. WŁASNOŚCI: dziedzina R + ; zbiór wartości R; funkcja różnowartościowa; funkcja ciągła; funkcja odwrotna do funkcji wykładniczej o tej samej podstawie; jeśli a >, to funkcja jest rosnąca; jeśli 0 < a <, to funkcja jest malejąca. 4
. Równanie logarytmiczne Jeżeli f(x) > 0, g(x) > 0, a R + \ {}, to log a f(x) = b f(x) = a b. lub log a f(x) = log a g(x) f(x) = g(x). 4. Nierówności logarytmiczne Jeśli 0 < a <, to log a f(x) > log a g(x) f(x) < g(x). Jeśli 0 < a <, to Jeśli a >, to Jeśli a >, to log a f(x) log a g(x) f(x) g(x). log a f(x) > log a g(x) f(x) > g(x). log a f(x) log a g(x) f(x) g(x). Przykładowe zadania. Obliczyć log. log = log 5 = 5 log = 5 Odpowiedź: 5.. Obliczyć log 7. log 7 = log = log Odpowiedź:. ( ) =. Obliczyć log 5 log 5 8. log 5 log 5 8 = log 5 log 8 log 5 = log 5 log 4 log 5 = log 5 4 log log 5 = 4 = Odpowiedź:. 4. Obliczyć 4 log. 4 log = ( ) log = log = log = = 9 Odpowiedź: 9. 4
5. Rozwiązać równanie log 4 x =. Założenia: x > 0. Z definicji logarytmu otrzymujemy x = 4 = 64 Odpowiedź: x = 64. 6. Rozwiązać równanie log (x + ) + log (x + ) =. Założenia: x + > 0, czyli x > oraz x + > 0, czyli x >. Zatem D = (, + ). Korzystamy ze wzoru log a (x y) = log a x + log a y log ((x + )(x + )) = Z definicji logarytmu (x + )(x + ) = x + 4x 5 = 0 = 6, x = 5 / D, x = Odpowiedź: x =. 7. Rozwiązać równanie log 4 (x + ) log 4 (x ) = log 4 8. Założenia: x + > 0, czyli x > oraz x > 0, czyli x >. Zatem D = (, + ). Korzystamy ze wzoru log a ( x y ) = log a x log a y oraz x = log a a x x+ log 4 x = log 4 4 log 4 8 x+ log 4 x = log 4 6 8 x+ log 4 x = log 4 x+ x = x + = (x ) x = 5 Odpowiedź: x = 5. 8. Rozwiązać równanie log (x + 4x + ) =. Założenia: x + 4x + > 0, = < 0, D = R. Z definicji logarytmu x + 4x + = x + 4x + = 0 = 4, x =, x = Odpowiedź: x {, }. 9. Rozwiązać równanie log x log(5x 4) =. Założenia: x > 0 oraz 5x 4 > 0, czyli x > 4 5 x oraz log(5x 4) 0, log(5x 4) log, 5x 4, 4
Zatem D = ( 4 5, + ) \ {}. Mnożymy obie strony przez log(5x 4) log x = log(5x 4) log x = log(5x 4) x = 5x 4 x 5x + 4 = 0 = 9, x = / D, x = 4 Odpowiedź: x = 4. 0. Rozwiązać nierówność log (x + ) >. Założenia: x + > 0, czyli x >, zatem D = (, + ). Korzystamy ze wzoru log a b m = m log a b log (x + ) > log x + > 8, czyli x > 6 Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy, że x (6, + ). Odpowiedź: x (6, + ).. Rozwiązać nierówność log (x ) <. Założenia: x > 0, czyli x >, zatem D = (, + ). Korzystamy ze wzoru log a b m = m log a b ( log (x ) < log ) x > 4 (bo (0, )) x > 5 4 ( ) Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy x 5 4, + ( ) Odpowiedź: x 5 4, +.. Rozwiązać nierówność log (x 7) log (8 x). Najpierw wyznaczamy dziedzinę: x 7 > 0, czyli x > 7 oraz 8 x > 0, czyli x < 8. Zatem D = ( 7, 8). log (x 7) + log (8 x) Korzystamy ze wzoru log a (x y) = log a x + log a y oraz log a a k = k log ((x 7)(8 x)) log ((x 7)(8 x)) log 6x x 56 + 7x 9 x + x 65 0 x x + 65 0 = 9, x = 5, x = x (, 5] [, + ) ( ] [ ) Po uwzględnieniu dziedziny x 7, 5, 8. 44
5 x Odpowiedź: x ( ] [ 7, 5 )., 8. Rozwiązać nierówność log x x >. Najpierw wyznaczamy dziedzinę: Założenie: x > 0 oraz x > 0, czyli x > oraz x, czyli x. Zatem D = (, ) (, + ). Rozważamy dwie sytuacje: gdy podstawa logarytmu jest większa od lub gdy jest z przedziału (0, ). a) x >, czyli x > wtedy funkcja logarytmiczna jest rosnąca, zatem log x x > log x (x ) x > x, czyli x < Po uwzględnieniu założeń x (, ). b) 0 < x <, czyli < x < 4, więc zatem log x x > log x (x ) x < x ( ) x > nie należy do przedziału, Odpowiedź: x (, ). < x < wtedy funkcja logarytmiczna jest malejąca, Zadania Obliczyć:. log 8. 4. log. 7. log 9.. log. 9 log 4. 64. 5. log 8 7. 6. log 5 log 5 7. 8. log 0, gdy log 5 = a. 9. log 6 6, gdy log 7 = a. Rozwiązać równanie: 0. log x 8 = 4.. log 4 ( x) =.. log 9 ( x) =.. log (x + 4x + ) =. 4. log (x + ) =. 4 5. log(x ) log(4 x) = log( x). 6. + log x+ = log (x + ). 7. log 4 ( log (x 5) ) =. 8. log x =. 9. log x + = 4 log x. 0. log x log(4x 5) =.. log (4 x ) =. 45
Rozwiązać nierówność: (. log 4x+6 ) x > 0.. log x + log x 4. 4. log x < 0. 5. log(x ) + log(7 x) <. 6. log +x +x <. 7. log (x 5) >. 8. log x (x ) <. 9. log ( log0,4 (x ) ) < 0. 0. log x 7 >.. log x ( x) > 0.. log x >.. log x <. 4. log x >. x+ 5. log x >. Naszkicować wykresy funkcji: 6. f(x) = log (x ). 7. f(x) = log 4 (x + ). 8. f(x) = log x. 9. f(x) = log (x + 4) +. 0 Wyznaczyć dziedzinę funkcji: 40. f(x) = +log x + 5 log x. 4. f(x) = 4 log0, x x. 4. f(x) = log (5 x ) + 4. 4. f(x) = log(x x+) x. 44. f(x) = log x. 45. f(x) = log x+ (x 5x + 6). 46