EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/05 FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIZA ZADA ARKUSZ MMA-R CZERWIEC 05
Schemt ocenini zd otwrtych Zdnie ( pkt) Wyzncz wszystkie wrtoci prmetru m, dl których równnie x m x m m 0 m dw różne pierwistki rzeczywiste x, x tkie, że x x x x x x Rozwiznie Zpisujemy ukłd wrunków Rozwiązujemy nierównoć 0 0 x x x x x x, czyli m m m 4 4 0 Przeksztłcmy w sposób równowżny tę nierównoć do postci m 0 i stąd otrzymujemy rozwiąznie: m x x x x x x do postci Przeksztłcmy w sposób równowżny nierównoć x x x x x x x x, nstępnie x x xx 0 Uwg Dną nierównoć możemy przeksztłcić w inny sposóbś x x x x x x, stąd x x x x x x x x x x x xx x x x x x x xx x 0 x x x x 0 Wykorzystując wzory Viete' otrzymujemy nierównoć m m m 0, nstępnie 5 5 m m m 0 5 5 m Stąd otrzymujemy,, Stąd i z poprzedniego wrunku otrzymujemy rozwiąznie zdni 0 5 5 m,
Schemt ocenini Rozwiąznie zdni skłd się z trzech etpów Pierwszy z nich poleg n rozwiązniu nierównoci 0 Z poprwne rozwiąznie tego etpu zdjący otrzymuje punkt Uwg Jeżeli zdjący zpisze 0, to z ten etp otrzymuje Ń punktów Drugi etp poleg n rozwiązniu nierównoci x x x x x x Z tę częć rozwiązni zdjący może otrzymć 4 punkty Podził punktów z drugi etp rozwiązniś x x x x zdjący otrzymuje punkt - Z zpisnie nierównoci w postci 0 - Z zpisnie nierównoci w postci m m m 0 zdjący otrzymuje punkty 5 5 0 zdjący - Z zpisnie nierównoci w postci m m m otrzymuje punkty 5 5 m - Z rozwiąznie tej nierównoci,, 4 punkty zdjący otrzymuje Trzeci etp poleg n wyznczeniu częci wspólnej rozwiązń nierównoci z etpu pierwszego i drugiego Z tę częć rozwiązni zdjący może otrzymć punkt 5 5 OdpowiedźŚ m, Uwg W przypdku rozwiązni z usterkmi, z osttni etp przyznjemy punkt jedynie wówczs, gdy zdjący poprwnie wykon etp I i popełni błędy w rozwiązniu nierównoci z etpu II gdy popełni błędy w etpie I i dobrze rozwiąże nierównoć z etpu II x x x x x x x x x x lub Jeżeli zdjący obie strony nierównoci xx x x 0 podzieli bez uzsdnieni przez x x i rozwiąże zdnie do końc, to z rozwiąznie zdni otrzymuje 4 punkty
Zdnie (4 pkt) x Funkcj f jest okrelon wzorem f x dl wszystkich liczb rzeczywistych x tkich, x że x 0 Rozwiąż nierównoć f 4 x Rozwiznie x f x x x dl kżdego x, więc nierównoć Poniewż x f 4 możemy zpisć w postci x 4 Stąd x x 4 i x 4, x 7 i x Drug z otrzymnych nierównoci jest prwdziw dl kżdej liczby x, pierwszą spełniją tkie liczby x, że x 7 i x 7 Skąd x 4, Uwzględnijąc złożenie OdpowiedźŚ x 4,, Schemt ocenini x 4,, x, otrzymujemy osttecznie Rozwiznie, w którym jest istotny postęp p wyznczy f x x dl x zpisze nierównoć w postci równowżnejś f 7 i f x x Pokonnie zsdniczych trudności zdni p zpisze koniunkcję nierównociś x 7 i x Rozwiznie prwie pełne p rozwiąże koniunkcję nierównociś x 4, Rozwiznie pełne 4 p wyznczy zbiór rozwiązń nierównoci f 4 x x 4,, : 4
Zdnie (4 pkt) Rozwiąż równnie sin x sin x 0 w przedzile 0, 5 Rozwiznie Poniewż sin x sin x cos x, to równnie sin x sin x 0 możemy zpisć w postci równowżnej sin x cos x sin x 0, Stąd sin x cos x 0 sin x 0 lub cos x W przedzile 0, równnie sin x 0 m trzy rozwiązniś x 0 lub x lub x Równnie cos x m w przedzile 0, dw rozwiązniś x 5 lub x 7 Ztem równnie sin x sin x 0 m w przedzile 0, pięć rozwiązńś x 0, x 5, x, x 7, x Schemt ocenini Rozwiznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwizni p zpisze równnie w zleżnoci od funkcji trygonometrycznych tego smego rgumentu, np: sin x cos x sin x 0 i n tym zkończy Pokonnie zsdniczych trudności zdni p zpisze lterntywę sin x 0 lub cos x błędy i n tym zkończy lub dlej popełni Rozwiznie prwie pełne p rozwiąże równnie sin x 0 w przedzile 0, : x 0, x, x rozwiąże równnie cos x w przedzile 0, : x 5 lub x 7 rozwiąże ob równni sin x 0 orz cos x w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych: x k, x 5 l, x 7 m, gdzie k, l, m to liczby cłkowite Rozwiznie pełne 4 p zpisze wszystkie rozwiązni równni sin x sin x 0 w przedzile 0, : x 0, x 5, x, x 7, x ( x 0, x 50, x 80, x 0, x 0) Uwg Jeżeli zdjący dzieli stronmi równnie sin xcos x sin x 0 przez sin x bez rozptrzeni dwóch przypdków i poprwnie rozwiąże równnie cos 0 x, to otrzymuje z cłe rozwiąznie punkty
Zdnie 4 ( pkt) W trpez ACD wpisno okrąg o rodku S Okrąg ten jest styczny do rmion AD i C tego trpezu w punktch odpowiednio P i Q (zobcz rysunek) P D C Q S A Uzsdnij, że trójkąt ASD jest prostokątny Wykż, że Rozwiznie Oznczmy przez r promień dnego okręgu D C Q AP DP Q CQ P r S r A Sum kątów przy rmieniu trpezu jest równ 80, czyli AD CDA 80 orz AC DC 80 rodek okręgu wpisnego w trpez leży n dwusiecznych kątów AD i CDA, więc SAD SDA AD CDA 80 90 ASD 80 SAD SDA 80 90 90, czyli trójkąt ASD jest Ztem prostokątny Tk smo uzsdnimy, że trójkąt SC jest prostokątny W trójkącie prostokątnym kwdrt wysokoci poprowdzonej z wierzchołk kąt prostego jest równy iloczynowi długoci odcinków, n jkie spodek tej wysokoci dzieli przeciwprostokątną Ztem AP DP r orz Q CQ r Stąd AP DP Q CQ, co kończy dowód Schemt ocenini Zdjcy otrzymuje p gdy uzsdni, że trójkąt ASD jest prostokątny
7 Zdjcy otrzymuje p gdy zpisze jedną z równoci wynikjącą z twierdzeni o podzile przeciwprostokątnej trójkąt prostokątnego spodkiem wysokociś AP DP r lub Q CQ r Zdjcy otrzymuje p gdy uzsdni, że trójkąt ASD jest prostokątny, zpisze, że trójkąt SC jest prostokątny orz wykże równoć AP DP Q CQ Zdnie 5 ( pkt) Wykż, że dl kżdej dodtniej i różnej od jednoci liczby i dl kżdej dodtniej i różnej od jednoci liczby b spełnion jest równoć 55 log b log b log b log b log b log b 9 0 I sposób rozwizni Stosując wzór n zminę podstw logrytmu otrzymujemyś logb log b, logb log b,, 0 logb log 0 b Stąd i ze wzoru n logrytm potęgi lewą stronę równoci możemy zpisć w postci logb log b 0log b Lew stron równoci jest więc równ 55 0logb 55logb log b To kończy dowód II sposób rozwizni Wykorzystujemy wzór n zminę podstwy logrytmu Możemy zpisć, że log b log b logb logb log b log b log b, log b,, log 0 b 0 log log log 0 Zuwżmy, że przy podnych złożenich log b 0 i mnożymy obie strony równni przez log b log b log b log b Wówczs otrzymujemy: 55 log b log b log b 0 Po przeksztłceniu otrzymujemy: 0 55, co kończy dowód Schemt ocenini rozwizni Zdjcy otrzymuje p gdy zstosuje wzór n zminę podstw logrytmu i zpisześ logb log b, logb log b,, 0 logb log 0 b log b log b log b logb logb log b log b, log b,, log 0 b 0 log log log 0
i n tym zkończy lub dlej popełni błędy Zdjcy otrzymuje p gdy przedstwi lewą stronę równoci w postciś log log 0log lub b b b log b log b log b 55 i n tym zkończy lub dlej popełni błędy log b log b log b 0 Zdjcy otrzymuje p gdy przedstwi kompletny dowód podnej równoci 8
Zdnie (5 pkt) Prost l, n której leży punkt A,5 różnych punktch x, y i C x, y, przecin prbolę o równniu prostej l, przy której sum y y osiągnie wrtoć njmniejszą y 9 x w dwóch Oblicz wrtoć współczynnik kierunkowego Rozwiznie Wyznczmy równnie rodziny prostych przechodzących przez punkt A Niech ozncz współczynnik kierunkowy dowolnej prostej l tej rodziny, ztem jej równnie przyjmuje postćś y 5 x, czyli y x 5 Prost o równniu x nie spełni wrunków zdni, gdyż przecin prbolę o równniu C y x tylko w jednym punkcie -5-4 - - - 0 4 - Współrzędne punktów i C to rozwiązni ukłdu równń y x, y x 5 z którego otrzymujemy równnie kwdrtowe z niewidomą x 8 7 5 4 y A y = x x x 5 0 Dl kżdej wrtoci równnie to m dw rozwiązni (kżd z prostych opisnych równnie y 5 x przecin prbolę w dwóch punktch o różnych odciętych) Z tego, że punkty i C leżą n prboli wnioskujemy, żeś y x i y y y x x x x x x Ze wzorów Viète możemy tę sumę zpisć w postci 5 y y 4 0 Otrzymlimy w ten sposób funkcję okreloną wzorem dl kżdej liczby rzeczywistej f 4 0 x Ztem Funkcj f jest kwdrtow, współczynnik przy jest dodtni, więc przyjmuje on wrtoć 4 njmniejszą dl Odpowiedź Wyrżenie y y przyjmuje njmniejszą wrtoć, gdy współczynnik kierunkowy prostej l jest równy
0 Schemt ocenini Rozwiznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do cłkowitego rozwizni zdni p zpisze równnie rodziny prostych przechodzących przez punkt A i przecinjących prbolę y x y 5 x lub y x 5 i n tym poprzestnie lub dlej popełni błędy w punktch i C: Rozwiznie, w którym jest istotny postęp p y x zpisze ukłd równń y x 5 Uwg Jeżeli zdjący zpisze równnie x x 5 0, to otrzymuje punkty Pokonnie zsdniczych trudności zdni 4 p wykorzyst wzory Viète i zpisze wyrżenie y y jko funkcję zmiennej : f 4 0 Rozwiznie pełne 5 p obliczy, dl którego wyrżenie y y przyjmuje wrtoć njmniejsząś
Zdnie 7 ( pkt) Trzy liczby, których sum jest równ 05, są kolejnymi wyrzmi rosnącego ciągu geometrycznego Pierwsz z tych liczb jest jednoczenie pierwszym, drug szóstym, trzeci dwudziestym szóstym wyrzem pewnego ciągu rytmetycznego Oblicz te liczby I sposób rozwizni Niech, b i c oznczją odpowiednio pierwszą, drugą i trzecią z szuknych liczb Sum tych liczb jest równ 05, czyli b c 05 Z włsnoci ciągu geometrycznego otrzymujemy równnie b c Niech d n będzie ciągiem rytmetycznym, w którym d, d Ze wzoru n n-ty wyrz ciągu rytmetycznego otrzymujemy b d 5r, c d 5r Otrzymlimy ztem ukłd równń 5r 5r 05 5r 5r Pierwsze równnie przeksztłcmy równowżnie i otrzymujemy 0r 05, 0r 5, 5 0r Ztem drugie równnie możemy zpisć w postci 5 5r 5 0r5 5r, 5 7 r 57 r57 r, 7 r 7 r7 r, b, d 5 0r 5r 5 0r 5 0r 5r, 49 4 49 4 7r r 0, 7r r 0 r r r r r, c Stąd wynik, że r 0 lub r Gdy r 0, to 5, b 5r 5 orz c 5r 5 Ztem ciąg jest stły Gdy r to 5, b 55 0 orz c 5 5 80 OdpowiedźŚ Jest jedn trójk tkich liczb: 5, 0, 80 Schemt ocenini I sposobu rozwizni Rozwiznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwizni p zpisze równnie wynikjące z włsnoci ciągu geometrycznego bc,,, np: zpisze liczby, b i c w zleżnoci od różnicy ciągu rytmetycznego d, np: d, b d 5r, c d 5r n b c
Rozwiznie, w którym jest istotny postęp p zpisze równnie wynikjące z włsnoci ciągu geometrycznego bc,,, np: b c orz zpisze zleżnoci między liczbmi, b i c orz różnicy r ciągu rytmetycznego d n, np: d, b d 5r, c d 5r Uwg Jeżeli zdjący zpisze ukłd równń pozwljący obliczyć i r, np: 5r 5r 05, 5r 5r to otrzymuje punkty Pokonnie zsdniczych trudności zdni 4 p zpisze równnie z jedną niewidomą, npś 5 0r 5r 5 0r 5 0r 5r Rozwiznie zdni do koc, lecz z usterkmi, które jednk nie przekreślj poprwności rozwizni (np błędy rchunkowe) 5 p zpisze równnie z jedną niewidomą w postci uporządkownej i n tym zkończy, npś 7r r 0 rozwiąże zdnie do końc i nie odrzuci przypdku ciągu stłego, czyli r 0 rozwiąże zdnie do końc, le w trkcie rozwiązywni zdni popełni błędy rchunkowe Rozwiznie pełne p wyznczy szukną trójkę liczb: 5, 0, 80 II sposób rozwizni Niech, b i c oznczją odpowiednio pierwszą, drugą i trzecią z szuknych liczb, których sum jest równ 05, stąd b c 05 Z włsnoci ciągu geometrycznego otrzymujemy równnie b c Wyrzy ciągu rytmetycznego d n, to: d, d b, d c Korzystjąc z definicji ciągu rytmetycznego otrzymujemy d, b d 5r, c d 5r Stąd otrzymujemy ukłd równń 5r 5r 05 5r 5r Pierwsze równnie przeksztłcmy równowżnie i otrzymujemy 0r 05, 0r 5, Drugie równnie możemy zpisć w postci 5r 5r,
, 5r 5r 0, 5r 5r 0 0r 5r 5r Stąd wynik, że r 0 lub r 5 Gdy r 0, to 5, wtedy b 5 orz c 5 Ztem wtedy ciąg jest stły Gdy r 5 to 0 5 5, wtedy 5 orz r Ztem b 55 0, c 55 80 OdpowiedźŚ Jest jedn trójk tkich liczb: 5, 0, 80 Schemt ocenini II sposobu rozwizni Rozwiznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwizni p zpisze równnie wynikjące z włsnoci ciągu geometrycznego bc,,, np: zpisze liczby, b i c w zleżnoci od różnicy ciągu rytmetycznego d, np: d, b d 5r, c d 5r n b c Rozwiznie, w którym jest istotny postęp p zpisze równnie wynikjące z włsnoci ciągu geometrycznego bc,,, np: b c orz zpisze zleżnoci między liczbmi, b i c orz różnicy r ciągu rytmetycznego d n, np: d, b d 5r, c d 5r Uwg Jeżeli zdjący zpisze ukłd równń pozwljący obliczyć i r, np: 5 5 05 i 5r 5r r r, to otrzymuje punkty Pokonnie zsdniczych trudności zdni 4 p zpisze równnie kwdrtowe (nwet w postci nieuporządkownej) z jedną niewidomą, npś 5 5r 5 0r5 5r równnie pozwljące wyznczyć r, np: lub r 5 i n tym zkończy orz wywnioskuje, że r 0 5r 5r 0 Rozwiznie zdni do koc, lecz z usterkmi, które jednk nie przekreślj poprwności rozwizni (np błędy rchunkowe) 5 p rozwiąże zdnie do końc i nie odrzuci przypdku ciągu stłego, czyli r 0 rozwiąże zdnie do końc, le w trkcie rozwiązywni zdni popełni błędy rchunkowe Rozwiznie pełne p wyznczy szukną trójkę liczb: 5, 0, 80
Zdnie 8 ( pkt) Punkt M 5, jest rodkiem rmieni C trójkąt równormiennego AC, w którym AC C Podstw A tego trójkąt jest zwrt w prostej o równniu A,0 Oblicz współrzędne wierzchołk tego trójkąt I sposób rozwizni Odcinek AM jest rodkową trójkąt AC Niech S x, y trójkąt A 8 7 5 4 y -5-4 - - - 0 4 5 7 8 9 - Z twierdzeni o rodku ciężkoci trójkąt wynik, że S D S S M AS 4 y x orz będzie rodkiem ciężkoci tego x AM, czyli xs, ys 5,, xs, ys,4, xs orz ys 4 7 7 Stąd xs orz ys 4, czyli S,4 Poniewż trójkąt AC jest równormienny i A jest jego podstwą, więc prost zwierjąc rodkową CS tego trójkąt jest jednoczenie symetrlną podstwy A Jej równnie m ztem postć 7 y x 4, y x Rozwiązując ukłd równń y x i y x obliczymy współrzędne rodk D odcink A Porównując prwe strony równń tych prostych mmy x x, 0 0 x,
x Ztem D, y, więc Współrzędne rodk D odcink A są równe xa x ya y xd orz yd, więc x 0 y orz Stąd x 9 orz y 4, czyli 9,4 5 II sposób rozwizni 0 9 Prost AM m równnie postci y x, czyli y x 5 4 4 9 rodek ciężkoci S xs, ys trójkąt AC leży n prostej AM, więc S xs, xs 4 4 i x S 5 Z twierdzeni o rodku ciężkoci trójkąt wynik, że AS AM Stąd s 4 x x 5 0 s 9 8 s, x x s 5 x s 00, 5 x 4 s 00, 9 x s, xs lub xs, 7 xs 8 lub xs Tylko drugie z tych rozwiązń spełni wrunek x S 5, więc xs, 7 Ztem 7 7 9 7 S,,4 4 4 Poniewż trójkąt AC jest równormienny i A jest jego podstwą, więc prost zwierjąc rodkową CS tego trójkąt jest jednoczenie symetrlną podstwy A Jej równnie m ztem postć 7 y x 4, y x
Rozwiązując ukłd równń y x i y x obliczymy współrzędne rodk D odcink A Porównując prwe strony równń tych prostych mmy x x, Ztem y, więc 0 0 x, x D, Współrzędne rodk D odcink A są równe xa x ya y xd orz yd, więc x 0 y orz Stąd x 9 orz y 4, czyli 9,4 Schemt ocenini I i II sposobu rozwizni Rozwiznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwizni p zpisze równnie lub zleżnoć pozwljąc obliczyć współrzędne punktu S, przecięci rodkowych trójkąt, npś AS AM lub AS AM Rozwiznie, w którym jest istotny postęp p 7 obliczy współrzędne rodk ciężkoci trójkąt AC: S,4 Pokonnie zsdniczych trudności zdni 4 p zpisze ukłd równń pozwljący obliczyć współrzędne rodk podstwy A trójkąt y x AC, np: y x Uwg Jeżeli zdjący zpisze równnie prostej zwierjącej wysokoć trójkąt AC opuszczoną z wierzchołk C, to otrzymuje punkty Rozwiznie zdni do koc, lecz z usterkmi, które jednk nie przekreślj poprwności rozwizni (np błędy rchunkowe) 5 p zpisze ukłd równń pozwljący obliczyć współrzędne wierzchołk : x 0 y orz obliczy współrzędne wierzchołk z błedmi rchunkowymi Rozwiznie pełne p obliczy współrzędne wierzchołk : 9,4
7 III sposób rozwizni Przyjmujemy oznczeni jk n rysunku C M A D E Długoć rodkowej AM jest równ AM 5 0 0 Równnie prostej A możemy zpisć w postci xy 0 Długoć odcink ME jest równ odległoci punktu M od prostej A, więc 5 0 ME 0 Z twierdzeni Pitgors dl trójkąt AME otrzymujemy Stąd AE 00 0 0 AM AE ME 0, czyli 0 AE 0 Punkt D jest rodkiem boku A, gdyż trójkąt AC jest równormienny Poniewż M jest rodkiem C, odcinki CD i ME są równoległe, więc punkt E jest rodkiem odcink D 4 4 Ztem AE A Stąd wynik, że A AE 0 4 0 4 Punkt x, y leży n prostej A, więc x, x, gdzie x 5 Poniewż A 4 0, więc stąd i ze wzoru n odległoć między dwom punktmi otrzymujemy x x 4 0, 0, 9 0 x 0, 9 x x x 9, x lub x, x 9 lub x 5
Tylko pierwsze z tych rozwiązń spełni wrunek x 5, więc x 9 Ztem 9, 9 9, 4 Schemt ocenini III sposobu rozwizni Rozwiznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwizni p obliczy długoć rodkowej AM: AM 0 obliczy odległoć punktu M od prostej A: ME 0 zpisze, że punkt E jest rodkiem odcink D Rozwiznie, w którym jest istotny postęp p obliczy długoci odcinków AM i ME: AM 0, ME 0 obliczy długoć jednego z odcinków AM lub ME i zpisze, że punkt E jest rodkiem D obliczy długoć jednego z odcinków AM lub ME i zpisze współrzędne punktu w zleżnoci od jednej zmiennej, npś x, x Pokonnie zsdniczych trudności zdni 4 p zpisze równnie z jedną niewidomą współrzędną punktu, np: x x 4 0 Uwg Jeżeli zdjący obliczy długoć boku A, to otrzymuje punkty Rozwiznie zdni do koc, lecz z usterkmi, które jednk nie przekreślj poprwności rozwizni (np błędy rchunkowe) 5 p zpisze równnie kwdrtowe z jedną niewidomą i n tym zkończy, np: 0 x 0 9 obliczy współrzędne punktu z błędmi rchunkowymi Rozwiznie pełne p obliczy współrzędne wierzchołk : 9,4 8
Zdnie 9 (5 pkt) Dny jest szecin ACDEFGH o krwędzi długoci Punkt P jest rodkiem krwędzi C Płszczyzn AHP przecin krwędź CG w punkcie R (zobcz rysunek) Oblicz pole przekroju tego szecinu płszczyzną przechodzącą przez punkty A, H, R i P H G 9 E F R A D P C Rozwiznie Niech R będzie punktem, w którym krwędź boczn CG szecinu przebij płszczyznę APH szuknego przekroju H G E F R D C P A Poniewż płszczyzny cin ADHE i CGF są równoległe, więc kżd płszczyzn, któr nie jest do nich równoległ przecin te płszczyzny wzdłuż dwóch prostych równoległych
0 Wynik stąd, że przekrój APRH jest trpezem o podstwch AH i PR Poniewż odcinek G jest równoległy do AH, odcinek AH jest równoległy do PR, więc PR jest równoległy do G Stąd i z fktu, że P jest rodkiem C wynik, że R jest rodkiem CG To z kolei ozncz, wobec przystwni trójkątów AP i HGR, że trpez APRH jest równormienny, długoć podstwy PR jest połową długoci podstwy AH Z twierdzeni Pitgors dl trójkąt AP otrzymujemy AP A P 5 Stąd AP HR 5 Podstwy AH i PR mją długoci AH, PR Nrysujmy trpez HAPR i jego wysokoć RS opuszczoną z wierzchołk R R P h Poniewż jest to trpez równormienny, więc HS AH PR Z twierdzeni Pitgors dl trójkąt HSR otrzymujemy Stąd H HR h HS, h 5 9 h 5 5 Pole przekroju jest więc równe P APRH 9 Schemt punktowni Rozwiznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwizni p zpisze, że przekrój jest trpezem obliczy długoć rmieni trpezu: AP 5 obliczy długoć krótszej podstwy trpezuś PR S Rozwiznie, w którym jest istotny postęp p obliczy długoci boków trpezu: AH, PR, AP 5 A
Pokonnie zsdniczych trudności zdni 4 p obliczy długoć wysokoci trpezuś h Uwg Jeli zdjący popełni błędy rchunkowe przy wyznczniu wysokoci trpezu, to otrzymuje punkty Rozwiznie pełne 5 p obliczy pole przekrojuś 9 Zdnie 0 (4 pkt) Wyzncz wszystkie wrtoci prmetru m, dl których liczb jest jedynym cłkowitym W x mx x m 9 x m pierwistkiem wielominu Rozwiznie Poniewż liczb jest pierwistkiem wielominu W, więc równnie Stąd wynik, że m 4 lub m Gdy 4 m m m 9 0, m m8 0, m m 4 0 W x 4x x 7x 4 m, to wielomin W m postć W 0 Otrzymujemy ztem Poniewż liczb jest pierwistkiem wielominu, ztem wielomin W jest podzielny przez dwumin x Wykonując to dzielenie, otrzymujemy Poniewż trójmin 4x x 4 4x x 7x 4 x 4x x 4 m współczynniki wymierne i różne od 0, jego wyróżnik 4 4 4 9 4 7 nie jest kwdrtem liczby wymiernej, więc pierwistki tego 7 7 trójminu są liczbmi niewymiernymi ( x, x ) Ztem dl m 4 liczb 8 8 jest jedynym cłkowitym pierwistkiem wielominu W Gdy ntomist W x x x 5x Liczb jest pierwistkiem wielominu, m, to ztem wielomin W jest podzielny przez dwumin x Wykonując to dzielenie, otrzymujemy Obliczmy pierwistki trójminu x x : x x 5x x x x 4 9 5, 5, 5 5 x, x, 4 4
Jeden z pozostłych pierwistków jest cłkowity, ztem dl m nie są spełnione wrunki zdni Uwg Te wrtoci prmetru m, dl których liczb jest pierwistkiem wielominu W możemy też wyznczyć dzieląc wielomin W przez dwumin x, nstępnie otrzymną resztą przyrównując do zer Dzielenie możemy wykonć stosując np lgorytm Horner Reszt jest równ m m m 9 m m m m m 8 m m 8 m8 0 Ztem m 4m 0, więc m 4 lub m Schemt ocenini Rozwiznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwizni p m m 9 m 0 zpisze równnie z niewidomą m, np podzieli wielomin W przez dwumin x otrzym resztę z tego dzieleni równą m m 8 Rozwiznie, w którym jest istotny postęp p obliczy wrtoci prmetru m: m 4 lub m Pokonnie zsdniczych trudności zdni p podzieli wielominy: W x 4x x 7x 4 i W x x x 5x przez dwumin x i otrzym odpowiednio ilorzy: 4x x 4 orz x x, obliczy pozostłe pierwistki tych wielominów i n tym zkończy lub dlej popełni błędy W x x x 5x x i otrzym ilorz podzieli wielomin przez dwumin x x, sprwdzi, że liczb jest pierwistkiem tego trójminu i nie odrzuci prmetru m podzieli wielomin W x x x 5x przez dwumin x i otrzym ilorz x x, sprwdzi, że liczb jest pierwistkiem tego trójminu i nie odrzuci prmetru m Rozwiznie pełne 4 p wyznczy wszystkie wrtoci prmetru m, dl których liczb jest jedynym cłkowitym pierwistkiem wielominu W: m 4
Zdnie (4 pkt) Kżd z urn oznczonych liczbmi,, zwier po kule czrne i 4 biłe, kżd urn oznczon liczbmi 4, 5, zwier po czrne i biłe kule Rzucmy szecienną kostką do gry, nstępnie z urny o numerze równym liczbie wyrzuconych oczek losujemy bez zwrcni kule Co jest brdziej prwdopodobneś wylosownie dwóch kul czrnych, czy dwóch kul biłych? Rozwiznie Przyjmujemy oznczeni: n n, b wylosownie kuli biłej, c wylosownie kuli czrnej, zdrzenie polegjące n wylosowniu dwóch kul biłych, C zdrzenie polegjące n wylosowniu dwóch kul czrnych U urn, z której losujemy, gdzie,,, 4, 5, W pierwszej częci dowidczeni rzucmy szecienną kostką do gry Liczb oczek wyrzucon n kostce wskzuje numer urny, z której losujemy kule Prwdopodobieństwo wyboru urny do losowni jest jednkowe dl wszystkich szeciu urn i jest równe Rysujemy drzewo probbilistyczne dl pierwszego etpu dowidczeni, z okrelonymi prwdopodobieństwmi przy głęzich Jeli n kostce wypdnie liczb oczek równ, lub, drzewo probbilistyczne, obrzujące drugą częć dowidczeni, będzie wyglądło nstępującoś Ztem prwdopodobieństwo wylosowni dwóch kul biłych z urn U, U, U jest równe 4 P (,, ) 7 7 Ntomist prwdopodobieństwo wylosowni dwóch kul czrnych z urn U, U, U jest równe P (,, C) 7 4 Jeli n kostce wypdnie liczb oczek równ 4, 5 lub, drzewo probbilistyczne, obrzujące drugą częć dowidczeni, będzie wyglądło nstępującoś
4 Prwdopodobieństwo wylosowni dwóch kul biłych z urn U 4, U 5, U jest równe P ( 4,5, ) 5 4 0 Ntomist prwdopodobieństwo wylosowni dwóch kul czrnych z urn U 4, U 5, U jest równe P ( 4,5, C) 5 4 0 Ztem prwdopodobieństwo wylosowni dwóch kul biłych w tym dowidczeniu jest 0 7 7 równe P ( ) P,, P4,5,, z prwdopodobieństwo 7 0 40 40 40 wylosowni dwóch kul czrnych jest równe 0 P ( C) P,,C P4,5, C 4 0 40 40 40 Poniewż P( C) P( ), więc brdziej prwdopodobne w tym dowidczeniu jest wylosownie dwóch kul czrnych Schemt ocenini Rozwiznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do cłkowitego rozwizni zdni p nrysuje drzewo probbilistyczne i zpisze prwdopodobieństw n głęzich i n tym zkończy lub dlej rozwiązuje błędnie zdjący nrysuje drzewo probbilistyczne, wskże istotne głęzie drzew i tylko n nich zpisze prwdopodobieństw, i n tym zkończy lub dlej rozwiązuje błędnie Uwg Ocenimy rozwiąznie n Ń punktów, gdy w dlszej częci rozwiązni zdjący dod prwdopodobieństw wzdłuż głęzi zmist mnożyć pomnoży otrzymne iloczyny zmist je dodć Rozwiznie, w którym jest istotny postęp p obliczy P ( C) lub 40 P ( ) 7 40 4 obliczy P (,, ) i P 7 7 C) 7 (,, 4
obliczy P ( 4,5, ) i 5 4 0 P ( 4,5, C) 5 4 0 Pokonnie zsdniczych trudności zdni p 7 obliczy P( C) i P ( ) 40 40 Rozwiznie pełne 4 p zpisześ P( C) P( ) i wskże brdziej prwdopodobne zdrzenieś wylosownie dwóch kul czrnych Uwgi Jeżeli zdjący rozwiąże zdnie do końc i otrzym P C 0 lub P C lub P 0 lub P, to otrzymuje z cłe zdnie Ń punktów Jeżeli zdjący popełni błąd rchunkowy podczs obliczni prwdopodobieństw i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zdnie do końc, to otrzymuje punkty 5