III. INTERPOLACJA 3.. Ogóe zadae terpoac Nech Φ ozacza fucę zmee x zaeżą od + parametrów a 0, a, K, a, t. Defca 3.. Zadae terpoac poega a oreśeu parametrów a ta, żeby da + da- ych par ( x, f ( x ( 0,,..., czb rzeczywstych ub zespooych tach, że x x da, zachodzło Φ Φ( xa, 0, a, K, a. Φ( x, a, a, K, a f ( x,,, K,. 0 0 Puty x azywamy węzłam terpoac, f ( x wartoścam fuc w węz- łach x, a zbór π { x0, x, K, x } azywamy satą. W zaeżośc od rodzau fuc Φ wyróżamy terpoacę:! ową, w tym " weomaową, a w tym Lagrage a, Hermte a, " trygoometryczą, " fucam seaym,! eową, w tym " wymerą, " wyładczą. W terpoac owe fuca Φ zaeży w sposób owy od współczyów a, t. Φ( xa,, a, K, a aψ ( x. 0 Na przyład, da terpoac weomaowe mamy 0 Przyładem terpoac eowe est terpoaca wymera, w tóre Φ ( xa,, a, K, a ax. 0 0
22 III. Iterpoaca Φ ( xa,, a, K, a, b, b, K, b. 0 0 Iterpoaca est stosowaa m.. do oreśea wartośc fuc zadae tabcą wartośc (p. terpoaca weomaowa, do wyprowadzaa wzorów umeryczego całowaa, różczowaa, rozwązywaa rówań różczowych, przyspeszaa zbeżośc pewych cągów (p. terpoaca weomaowa wymera do aazy Fourera ser pomarów (terpoaca trygoometrycza. m 0 m 0 ax bx 3.2. Iterpoaca Lagrage a Defca 3.2. Zadae terpoacye Lagrage a poega a zaezeu da dae fuc f weomau L stopa e wyższego ż, tórego wartośc w + putach x są tae same, a wartośc terpoowae fuc, tz. L( x f ( x da 0K,,,, gdze x x da. (3. Twerdzee 3.. Zadae terpoacye Lagrage a ma dołade edo rozwązae, t. da dowoych + węzłów x wartośc fuc w tych węzłach f ( x stee dołade ede weoma stopa e węszego od, da tórego zachodz zaeżość (3.. Dowód. W perwsze częśc dowodu poażemy, że weoma, o tórym mowa w twerdzeu, stee, a astępe udowodmy ego edozaczość. Sostruumy astępuące fuce pomoccze: Są to weomay stopa, tae że, gdy, ( x δ 0, gdy ( ozacza symbo Kroecer a. Stąd weoma δ ( x, 0K,,,. 0 L ( x f ( x ( x f ( x 0 0 0 x x (3.2 est weomaem stopa co awyże przymuącym w putach x wartośc f ( x, czy stee weoma spełaący zaeżość (3.. Przypuśćmy, że steą dwa weomay L ( x L 2 ( x stopa e węszego od, da tórych
3.2. Iterpoaca Lagrage a 23 2 2 L ( x L ( x f ( x. Wówczas weoma L( x L( x est weomaem stopa e węszego od, tóry ma co ame + różych perwastów x ( 0,,...,. Ozacza to, że est to weoma tożsa- moścowo rówy 0, t. 2 L ( x L ( x 0, a węc 2 L ( x L ( x, co est sprzecze z przyętym założeem, że weomay L ( x L 2 ( x są róże. # Wzór (3.2 os azwę wzoru terpoacyego Lagrage a, a weoma L ( x azywa sę weomaem terpoacyym Lagrage a. Z wzoru tego wya, że weoma L ( x zaeży owo od wartośc f ( x. Da dużych wartośc wzór te est epratyczy. Przyład 3. Nech da 3 będze daa tabca wartośc 0 2 3 x 0 3 4 f ( x 3 2 Naeży wyzaczyć wartość weomau terpoacyego że L3 ( x f ( x da 0,, 2, 3. Mamy ( x ( x 3( x 4 x 0 x 3 x 4 0( x x ( 0 ( 0 3( 0 4, ( ( ( ( ( 0( 3( 4, ( x 0( x ( x 4 x 0 x x 3 2( x 3 x ( 3 0( 3 ( 3 4, ( ( ( ( ( 4 0( 4 ( 4 3 L 3 w puce x 2 przy założeu, a podstawe wzoru (3.2 otrzymuemy L3 2 0 2 3 2 2 2 2 3 2 3 2 6 3 2 2 3 ( ( + ( + ( + ( + + + 3. 6 # Przy obczau wartośc weomau terpoacyego wygode est posługwać sę agorytmem Neve a, tóry sformułuemy w twerdzeu. Twerdzee 3.2. Nech da daych putów węzłowych ( x, f ( x, 0,,..., P 0 K ozacza weoma stopa e węszego od, ta że P ( x f ( x, 0,, K,. K 0 Wówczas zachodzą wzory reurecye:
24 III. Iterpoaca a P( x f ( x, ( P x x x P x 0 2K ( ( 0K ( b P x 0K (. 0 (3.3 Dowód. Wzór a est oczywsty. W ceu wyazaa wzoru b ozaczmy prawą stroę przez R(x. Poażemy, że weoma R ma własośc weomau P 0 K. Zauważmy, że stopeń weomau R est e węszy od. Z defc weomaów mamy P 2 K P 0 K Rx ( P ( x f ( x, Rx ( P ( x f ( x, K K 2 0 0 0 0 a da, 2,...,! otrzymuemy ( x x f ( x ( x x f ( x 0 Rx ( 0 f ( x. Z twerdzea 3. wya edozaczość terpoac weomaowe, a węc R P # 0 K. Agorytm Neve a poega a tym, że za pomocą wzorów (3.3 ostruuemy tabcę symetryczą, tóra zawera wartośc weomau terpoacyego w ustaoym puce x: P 0 K 0 2 3 x 0 f ( x P ( x 0 0 x f ( x P ( x x 2 f ( x P ( x 2 2 x 3 f ( x P ( x 3 3 P0( x P2 ( x P23 ( x P02 ( x P23 ( x P023 ( x W pratyce weoma P, +, K, + ozaczamy przez P +,, co ułatwa omputerowe zaprogramowae powyższe tabcy (ao tabcy dwuwymarowe. Przymue oa wówczas postać 0 2 3 x 0 f ( x P 0 00 x f ( x P 0 x 2 f ( x P 2 20 x 3 f ( x P 3 30 P P 2 P 3 P 22 P 32 P 33 Stosuąc to ozaczee wzory (3.3 moża zapsać astępuąco:
3.3. Wzór terpoacyy Newtoa 25 P 0 P f ( x, ( x x P ( x x P,, P P P, + x x x x,,,, 0,, K. (3.4 Przyład 3.2 Da daych z przyładu 3. zadźmy wartość L 3 ( 2 stosuąc agorytm Neve a. Korzystaąc z wzorów (3.4 ostruuemy astępuącą tabcę: 0 2 3 0 P 00 P 0 3 3 P 20 2 4 P 30 P 5 5 P 2 2 P 3 3 0 P 22 3 8 P 32 3 P 33 3 Zatem L ( 2 P 3. 3 33 # 3.3. Wzór terpoacyy Newtoa W przypadu wyzaczaa samego weomau terpoacyego ub obczaa weu terpoowaych wartośc orzysta sę z weomau terpoacyego Newtoa. W zapse tego weomau wyorzystue sę orazy różcowe. Defca 3.3. Iorazem różcowym rzędu fuc f opartym a param różych węzłach x, x, K, x, w tórych est oreśoa fuca f (t. zae są wartośc f ( x azywamy wyrażee postac f ( x [ x, x, K, x ; f ], ( (3.5 przy czym przez oraz różcowy rzędu zerowego oparty a węźe my wartość [ x ; f ] f ( x. Poże podaemy podstawowe własośc orazu różcowego. Ioraz różcowy est fucą symetryczą, t. rozumex
26 III. Iterpoaca gdze czby,,, są dowoą permutacą czb, +,..., +. K 2 Ioraz różcowy est fucoałem owym, t. gdze π ozacza satę. [ x, x, K, x ; f ] [ x, x, K, x ; f ], [ π ; αf + βg] α[ π ; f ] + β[ π ; g], 3 Jeś sata π est edostaa, t. x + x0 + ( + h, h cost, 0,,...,!, to f ( x [ π ; f ] 0, h! gdze ozacza operator różcy progresywe zdefoway astępuąco: 0 f ( x f ( x, f ( x f ( x f ( x+ h f ( x, f ( x ( f ( x, 23,, K. Poższe twerdzee podae zwąze reurecyy da orazów różcowych. Twerdzee 3.3. Da dowoego uładu param różych putów x, x, K, x do dzedzy fuc f zachodz zaeżość reurecya Dowód. Z wzoru (3.5 mamy [ x,,, ; ] [,,, ; ] [ x, x,, x ; f x 2 K x f x x K x f K ]. aeżących (3.6 [ x, x, K, x ; f ] [ x, x, K, x ; f ] 2 Ozaczaąc prawą stroę wzoru (3.6 przez P otrzymuemy f ( x P x ( x x f ( x ( f ( x ( f ( x + ( f ( x f x + ( x x x f ( x, ( (. ( x
3.3. Wzór terpoacyy Newtoa 27 + f ( x f ( x ( x x ( x x ( x x f ( x x x x + x + f ( x + x ( x x ( x x x f ( x + ( f ( x + ( Stąd, z uwag a wzór (3.5, otrzymuemy ewą stroę wzoru (3.6. # Możemy teraz zdefować weoma terpoacyy Newtoa. Defca 3.4. Nech π ozacza dowoą satę bez węzłów weorotych. Weomaem - terpoacyym Newtoa da fuc f a satce π azywamy weoma N ( x f ( x0 + [ x0, x; f ]( x x0 + [ x0, x, x2; f ]( x x0( x x (3.7 + K+ [ x0, x, K, x; f ]( x x0( x x K( x x, przy czym N( x f ( x da x π ( 0,,...,. Z twerdzea 3. wya, że zarówo weoma L ( x, a weoma N ( x są rozwązaem tego samego zadaa terpoacyego. Poeważ to rozwązae est edozacze, węc mamy Twerdzee 3.4. Weomay Lagrage a Newtoa są agebracze rówoważe, t. L ( x N ( x. f ( x Zauważmy, że wzór (3.7 est postacą Newtoa weomau (zob. p. 2.. Współczy tego weomau oreśa sę zwye z tabcy orazów różcowych postac ( x x f ( x ( x x f ( x. (
28 III. Iterpoaca 0 2 3 x 0 f ( x [ x ; f ] 0 0 x f ( x [ x ; f ] x 2 f ( x [ x ; f ] 2 2 x 3 f ( x [ x ; f ] 3 3 M M [ x0, x; f ] [ x, x2; f ] [ x2, x3; f ] M [ x0, x, x2; f ] [ x, x2, x3; f ] M [ x0, x, x2, x3; f ] M przy czym odpowede orazy różcowe obczae są oeo ouma po oume z wyorzystaem zaeżośc (3.6. Współczy weomau (3.7 zaduą sę w awyższym uośym werszu. Agorytm te moża zreazować osztem tyo 2 mesc pamęc (szcząc dae wartośc fuc. Przyład 3.3 Da daych z przyładu 3. weoma terpoacyy Newtoa ma postać N3( x f ( x0 + [ x0, x; f ]( x x0 + [ x0, x, x2; f ]( x x0( x x + [ x0, x, x2, x3; f ]( x x0( x x( x x2 + [ 0, ; f ]( x 0 + [ 03,, ; f ]( x 0( x + [ 034,,, ; f ]( x 0( x ( x 3. Iorazy różcowe obczamy w tabcy: 0 2 3 0 2 3 3 2 4 2 5 6 6 6 Szuay weoma est węc astępuący: Łatwo sprawdzć, że 5 3 3 2 0 N3( x + 2x x( x + x( x ( x 3 + x+. 6 6 6 2 3 N 3 ( 2 3. # 3.4. Iterpoaca Lagrage a da węzłów rówoodegłych Załóżmy, że węzły x, 0,,...,, są rzeczywste rówoodegłe (tz. sata π est e- dostaa, czy x x0 + h, gdze h ozacza stałą długość rou. Jeś we wzorze (3.2 podsta- wmy x x + th to otrzymamy 0,
3.4. Iterpoaca Lagrage a da węzłów rówoodegłych 29 Przy węzłach rówoodegłych szczegóe wygoda est postać weomau terpoacyego, tórego współczy są wyrażoe za pomocą tzw. różc sończoych fuc f. Wprowadźmy teraz odpowede poęca. Defca 3.5. Nech M(R ozacza asę fuc ograczoych a całe os rzeczywste, t. a Różcą zwyłą (progresywą fuc f M( R azywamy operacę, tóre wartoścą est f, zdefowaą wzorem gdze x R, h R, przy czym h cost. Podobe defuemy pozostałe operace. b Operaca przesuęca: Ef ( x f ( x + h. c Różca wstecza: f ( x f ( x f ( x h. d Różca cetraa: δf ( x f ( x+ h/ 2 f ( x h/ 2. Odpowede różce rzędu oreśamy ao różce z różc rzędu!, p.. przy czym 0 f ( x f ( x. Poże podao a podstawowych własośc różc sończoych. Ich udowodee pozostawamy Czyteow. f ( x ( E I f ( x Ef ( x If ( x (I ozacza operacę detyczośc: If(x f(x df 2 ( o f ( x ( f ( x ( f ( x 3 δ 2 f ( x ( f ( x 4 o f ( x o f ( x df m m 5 ( αf ( x + βg( x α f ( x + β g( x 6 ( f ( x g( x g( x f ( x + f ( x+ h g( x f ( x 7 gx ( gx ( f( x f( x gx (, gx (, gx ( + h 0 gxgx ( ( + h 8 E f ( x f ( x+ h f ( x t L( x L( x0 + th L( t f ( x. 0 Korzystaąc z poęca różcy progresywe różcy wstecze moża udowodć 0 f M( R sup f ( x <. x R f ( x f ( x+ h f ( x, 0 f ( x ( f ( x, 2K,,,
30 III. Iterpoaca Twerdzee 3.5. Jeże węzły są rówoodegłe, to gdze f ( x0 L( x0 + th L( t q (, t (3.8! 0 q ( t, q ( t ( t,, 2, K, 0 0 oraz f ( x0 L( x th L( t q~ 0 + (, t (3.9! 0 gdze q ~ ( t, q ~ ( t ( t +,, 2, K,. 0 0 Dowód. Udowodmy wzór (3.8 (dowód wzoru (3.9 przebega podobe. Stosuąc zasadę duc matematycze moża poazać, że da węzłów rówoodegłych mamy Jeś x x0 + th, to f ( x0 [ x0, x, K, x ; f ]. (3.0 h! 0 ( x x h ( t. 0 Stąd oraz z wzorów (3.7 (3.0 otrzymuemy wzór (3.8. # Przyład 3.4 Daa est astępuąca tabca wartośc fuc: 0 2 3 4 x 3,50 3,55 3,60 3,65 3,70 f ( x 33,5 34,83 36,598 38,475 40,447 Naeży obczyć wartość weomau terpoacyego w puce x 3,58. Poeważ węzły są rówoodegłe, możemy użyć wzoru (3.8 ub (3.9. Wyberaąc perwszy z tych wzorów sporządzamy aperw tabcę różc progresywych: