Estymowany model DSGE dla wybranych państw OECD o różnej strukturze instytucjonalnej

Esymowany model DSGE dla wybranych pańsw OECD o różnej srukurze insyucjonalnej www.ibs.org.pl Marek Anosiewicz, Maciej Bukowski, Paweł Kowal, Pior Lewandowski IBS WORKING PAPER #4/211

Sreszczenie W pracy zaprezenowano rozbudowany model klasy DSGE z mechanizmem poszukiwań na rynku pracy, endogeniczną desrukcją miejsc pracy, uwzględniający wysępowanie rzech sanów na rynku pracy oraz kompleną macierz przepływów pomiędzy nimi. Dodakowo w modelu uwzględniono isnienie zagranicy, banku cenralnego oraz poliyki monearnej, sekora bankowego oraz rządowego. Do rozwiązania modelu wykorzysujemy nowaorską meodę numeryczną zaproponowaną w pracy Anosiewicz e al. (211b), umożliwiającą wprowadzenie rozbudowanej heerogeniczności agenów. Z kolei rójsanowość na rynku pracy modelowana jes meodą próbkowania zgodnie z pracą Anosiewicz e al. (211a). Model jes esymowany na podsawie danych makroekonomicznych meodami bayesowskimi osobno dla ośmiu pańsw grupy OECD - Czech, Francji, Hiszpanii, Niemiec, Polski, Szwecji, Wielkiej Bryanii i Sanów Zjednoczonych, dzięki czemu możliwe jes idenyfikowanie różnic w przebiegu procesów gospodarczych pomiędzy nimi oraz ich źródeł. Pokazujemy, że model cechuje się wysoką zdolnością do odwzorowania zachowania się głównych makroekonomicznych agregaów w cyklu koniunkuralnym. Dodakowo, dla wszyskich pańsw udaje się uzyskać zbliżone do rzeczywisych wielkości przepływów na rynku pracy oraz jakościowo poprawną krzywą Beveridge a. JEL classificaion: C63; E24; E32; J22; J64 Keywords: labor supply; labor marke fricions; Beveridge curve; endogenous desrucion. Insyu Badań Srukuralnych, marek.anosiewicz@ibs.org.pl Insyu Badań Srukuralnych i Szkoła Główna Handlowa, maciej.bukowski@ibs.org.pl Insyu Badań Srukuralnych, pawel.kowal@ibs.org.pl Insyu Badań Srukuralnych, pior.lewandowski@ibs.org.pl 2

1 Wprowadzenie Współczesna eoria makroekonomii zosała w osanim ćwierćwieczu zdominowana przez meodologię realnego cyklu koniunkuralnego (RBC) i wywodzącą się z niej radycję budowy dynamicznych sochasycznych modeli równowagi ogólnej (DSGE). W modelach RBC rynki co do zasady są rynkami walrasowskimi, w kórych brak jes realnych, nominalnych czy informacyjnych frykcji, a ceny, płace i przepływy między podmioami gospodarującymi są doskonale elasyczne, podobnie jak w pierwonym arykule Kydlanda i Prescoa (1982). W myśl założeń nuru DSGE, część lub całość ych założeń powinna zosać uchylona, ze względu na szereg problemów, jakie modele budowane w radycji RBC napoykają w odzwierciedlaniu prawidłowości empirycznych. Doyczy o w szczególności rynku pracy, na kórym obserwujemy jednoczesne współwysępowanie osób poszukujących pracy i niezapełnionych sanowisk w firmach. Pozbawione frykcji modele realnego cyklu koniunkuralnego nie pozwalają na analizowanie ego ypu zjawiska, bowiem ograniczają się do modelowania walrasowskiego wyboru między czasem wolnym a pracą. Srukury eoreycznej, umożliwiającej pokonanie ych rudności w modelach DSGE, dosarczył model równowagi częściowej zaproponowany przez Morensena i Pissaridesa (1994), z wbudowanym mechanizmem poszukiwań i dopasowań na rynku pracy. Niedługo poem Merz (1995) oraz Andolfao (1996) zaproponowali sposób włączenia ego mechanizmu w srukurę modelu cyklu koniunkuralnego budowanego w równowadze ogólnej. Od ego czasu szereg auorów zaproponowało dalsze rozszerzenia, włączające w srukury modelu akie mechanizmy jak endogeniczna desrukcja miejsc pracy (por. van Roye i Wesselbaum, 29), poszukiwanie pracy przez osoby zarudnione (ang. on-he-job search, por. Krause i Lubik, 26) czy szywności płacowe (por. Anosiewicz, Bukowski i Kowal, 211c). W ypowym modelu DSGE, w kórym wysępują frykcje na rynku pracy, w duchu Merz (1995) oraz Andolfao (1996), rozróżnienie między bezrobociem a biernością zawodową jes nieosre ze względu na przyjęy sposób przedsawienia podaży pracy. Albo jes ona w pełni elasyczna i de faco wszyscy członkowie gospodarswa domowego są akywni ekonomicznie, j. zarudnieni lub bezroboni, albo pewna ich grupa znajduje się permanennie poza rynkiem pracy, worząc odrębną subpopulację osób biernych. Rozróżnienie między wszyskimi rzema sanami (ang. margins) na rynku pracy - zarudnieniem, bezrobociem i biernością zawodową - pojawia się jedynie u Tripiera (23), Ebell (28) i Veraciero (28), jednak w ych arykułach forma endogenizacji decyzji o akywności ekonomicznej uniemożliwia odworzenie pełnej macierzy przepływów rynkowych. Z kolei Garibaldi i Wasmer (25) oraz Krussel e al. (211) zbudowali prosą wersję neoklasycznego modelu wzrosu z szokami rynku pracy lub produkywności doykającymi idiosynkraycznie poszczególne jednoski. Wadą ich meody jes konieczność odwołania się do koszownych obliczeniowo globalnych meod rozwiązywania modelu, narzucających silne ograniczenia na rozmiar całego modelu, a więc akże na jego realizm. Auorzy ci ograniczyli się akże ylko do analizy zdolności modelu do odzwierciedlenia sacjonarnych wielkości przepływów na rynku pracy. Rozwiązanie ego problemu zaproponowali w pracy siosrzanej do niniejszej, Anosiewicz, Bukowski i Kowal (211a). W ich specyfikacji osoby niepracujące wysyłają swoje ofery zgodnie z procesem Poissona o inensywności, kórą mogą modyfikować za cenę zmniejszenia własnej konsumpcji. Dekompozycja grupy niepracujących na osoby bezrobone oraz bierne dokonuje się zgodnie z prakyką saysyczną sosowaną w badaniach akywności ekonomicznej ludności ypu LFS w Unii Europejskiej czy CPS w USA, czyli na podsawie ego, czy dana jednoska w przeciągu osa- 3

niego miesiąca przed momenem wykonywania badania wysłała przynajmniej jedną oferę pracy, czy nie. 1 Zaleą ego podejścia jes nie ylko odzwierciedlenie sacjonarnych warości przepływów pomiędzy sanami na rynku pracy, lecz akże odworzenie cyklicznych własności bezrobocia, bierności zawodowej, zarudnienia, płac oraz wakaów. W szczególności, zaproponowany w pracy Anosiewicz e al. (211a) mechanizm umożliwia odzwierciedlenie wyraźnej anycykliczności bezrobocia i ujemnej korelacji między bezrobociem i wakaami, a więc jakościowo poprawnej krzywej Beveridge a. Własności ej nie mają sandardowe modele poszukiwań i dopasowań, w kórych korelacja między wakaami i bezrobociem jes dodania, a zmienność bezrobocia w cyklu koniunkuralnym niska. W prezenowanym u modelu rójsanowy model przepływów na rynku pracy, w duchu Anosiewicza e al. (211a), inegrujemy z mechanizmem sprawiającym, że desrukcja miejsc pracy nie jes wyłącznie egzogenicznym procesem, lecz wynika z decyzji firm, czyli saje się endogeniczna. Czynimy o w sposób w pełni srukuralny, wprowadzając do modelu silną heerogeniczność po sronie gospodarsw domowych. W odróżnieniu od pokrewnego modelu van Roye a i Wesselbauma (29), idiosynkrayczne procesy sochasyczne serujące indywidualną produkywnością nie są u nas procesami bez pamięci o rozkładzie lognormalnym, lecz ogólnymi procesami błądzenia losowego. Podobnie jak w innych modelach ego ypu, podsawową grupą osób poszukujących pracy są osoby bezrobone, kórych część znajduje ją napoykając niezapełniony waka w firmie i podejmując negocjacje płacowe. W chwili zawarcia konraku ujawniany jes losowy poziom produkywności, kóry w nasępnych okresach może podlegać modyfikacji w ślad za zmieniającą się indywidualną produkywnością pracownika na danym sanowisku. Dopuszczamy by w modelowanej gospodarce, obok agregaowych szoków echnologicznych, wysępowały idiosynkrayczne zaburzenia zmieniające efekywność pracy poszczególnych osób. Jej poziom ewoluuje przy ym w zgodzie z geomerycznym procesem błądzenia losowego, ak, że u części zarudnionych dochodzi z czasem do wzrosu, a u części do spadku wydajności w porównaniu z odnoowaną w chwili zawarcia konraku. Jednoski, kórych produkywność spadnie poniżej pewnego, endogenicznie określanego poziomu progowego, są zwalniane przez firmy. W odróżnieniu od van Roye a i Wesselbauma (29) nie musimy uciekać się do empirycznie nieugrunowanych uproszczeń umożliwiających analiyczne obliczenie warości oczekiwanych niezbędnych do uzyskania zamknięych, rekurencyjnych formuł w problemach decyzyjnych pracowników i firm, a ą drogą wyznaczenie rozwiązania perurbacyjnego w modelu. Przy modelowaniu endogenicznych decyzji firm o desrukcji miejsc pracy posługujemy się specyfikacją oraz meodą rozwiązania zaproponowanymi przez Anosiewicza, Bukowskiego i Kowala (211b), rezygnując jednak z równoległego modelowania mechanizmu on-he-job search, co miało miejsce w amej pracy. O ile bowiem w wypadku cyowanego arykułu celem było przedsawienie sposobu numerycznego na uwzględnienie silnej heerogeniczności ex-pos w srukurze modeli DSGE rozwiązywanych meodami perurbacyjnymi, o naszym głównym celem jes zbudowanie modeli empirycznie wiarygodnych i esymowanych dla gospodarek wybranych pańsw OECD oraz analiza źródeł cyklu koniunkuralnego w ych krajach 1 Zgodnie z meodologią ILO i Komisji Europejskiej, rozróżnienie między osobą bierną a akywną, w szczególności bezroboną, w badaniach empirycznych opiera się jeszcze na kryerium zdolności i goowości do podjęcia pracy w ciągu dwóch ygodni nasępujących po ygodniu badanym. Za bezrobonych uznaje się eż osoby niepracujące i nieposzukujące pracy, ale deklarujące że mają one pracę załawioną i oczekujące na jej rozpoczęcie przez okres nie dłuższy niż 3 miesiące oraz goowe ę pracę podjąć. Z modelowego punku widzenia e dodakowe kryeria nie mają znaczenia - każda jednoska poszukująca pracy zarazem jes goowa i chęna ją podjąć, a dopasowanie ofery do wakau jes równoważne z podjęcie negocjacji płacowych i rozpoczęciem pracy. 4

na przesrzeni osanich kilkudziesięciu la. 2 Wpisujemy się w en sposób w oczoną w lieraurze przedmiou dyskusję wokół źródeł wahań zarudnienia i bezrobocia w odpowiedzi na szoki makroekonomiczne. Zgodnie z wynikami zaprezenowanymi w pracy Lewandowski (211) za wahania sopy bezrobocia w USA odpowiadają przede wszyskim zmiany skłonności firm do zarudniania, 3 podczas gdy w Europie wkład do zmienności bezrobocia wnoszą zarówno wahania inensywności zarudniania jak i zwalniania. 4 W Unii Europejskiej inensywność zwolnień rośnie bardzo silnie w okresach kryzysowych mimo, że pozosaje relaywnie sabilna w pozosałych fazach cyklu. Wskazuje o na poencjalne znaczenie jakie może mieć endogeniczna desrukcja miejsc pracy dla wyjaśnienia krókorwałych epizodów wzrosu bezrobocia w Europie. Z ego względu w opisanym dalej modelu inegrujemy mechanizm desrukcji miejsc pracy jako ważne źródło zmian zarudnienia w okresach kryzysowych. Endogenizując, podobnie jak w pokrewnym arykule Anosiewicza e al. (211b), decyzje o desrukcji miejsc pracy po sronie firm poprzez wprowadzenie silnej heerogenizacji produkywności ex-pos pracowników, wyraźnie odróżniamy się od gros lieraury DSGE zajmującej się modelowaniem gospodarki w równowadze ogólnej. Rozwiązywane meodą perurbacyjną modele DSGE nie dają bowiem bezpośrednio możliwości rozparywania szoków nieagregaowych, gdyż worzące je problemy opymalizacyjne muszą zawierać równania w posaci srice rekurencyjnej, w kórej warość danej zmiennej w chwili jes definiowana przez wielkości znane w ym okresie i warość oczekiwaną skończonego zbioru zmiennych z okresu nasępnego. Zaproponowana przez Anosiewicza e al. (211b) meoda numeryczna łączy aproksymację rozkładów prawdopodobieńswa wielomianami Chebysheva i kwadraurową meodę obliczania warości całek oznaczonych, z meodologią perurbacyjną Judda (1993) rozwiązywania modeli DSGE. Sosujemy ją w niniejszym arykule, łącząc silną heerogeniczność jednosek z szerszym modelem makroekonomicznym, w kórym wysępują: (1) srukuralna reprezenacja dziewięcioelemenowej macierzy przepływów pomiędzy sanami na rynku pracy, (2) wymiana handlowa i kapiałowa z zagranicą, (3) sekor bankowy uwzględniający podsawowe frykcje pieniężne i płynnościowe, (4) bank cenralny prowadzący równolegle zgodną z regułami i dyskrecjonalną poliykę monearną, a akże (5) rząd wpływający na gospodarkę poprzez poliykę fiskalną. Dzięki zróżnicowanej srukurze wewnęrznej modelu, możemy zadać pyanie o relaywną wagę rożnych mechanizmów ekonomicznych dla cyklicznych własności rzeczywisych gospodarek wybranych ośmiu pańsw OECD: Czech, Francji, Hiszpanii, Niemiec, Polski, Szwecji, Wielkiej Bryanii i Sanów Zjednoczonych. W ym celu przedsawiony w kolejnych sekcjach model esymujemy dla poszczególnych krajów meodami bayesowskimi. Pokazujemy, że wykazuje on dobre dopasowanie do momenów empirycznych zarówno w esymacji bazowej, w kórej dopuszczamy różną posać procesów sochasycznych w poszczególnych krajach, jak i w esymacji zakładającej ich wspólną formę. Dowodzimy, że model jes zdolny zarówno do odwzorowania przepływów na rynku pracy jak i do jakościowo i ilościowo poprawnego odzwierciedlenia cyklicznych własności produku, konsumpcji, inwesycji, bezrobocia, 2 Jak wykazali Anosiewicz e al. (211b), mechanizm on-he-job search, sam w sobie nie poprawia cyklicznych własności modelu poszukiwań i dopasowań w zakresie obserwowalnych zmiennych rynku pracy akich jak np. zarudnienie czy bezrobocie. Dosępne bazy danych pozwalają co najwyżej na oszacowanie sacjonarnej warości przepływów pracowników pomiędzy firmami (por. Fallick i Fleischman, 24). Nie są naomias znane własności cykliczne ych przepływów. Wobec braku informacji o zmienności zjawiska on-he-job search w cyklu koniunkuralnym w przekroju analizowanych krajów, nie moglibyśmy zidenyfikować ewenualnych innowacji w ym mechanizmie w podobny sposób jak czynimy o w niniejszym ekście z endogeniczną desrukcją miejsc pracy. 3 Zgodnie z obserwacjami Halla (25) i Shimera (27). 4 Co dla kilku krajów UE15 pokazali eż Elsby e al.(29). 5

bierności zawodowej, zarudnienia, płac oraz wakaów. W szczególności, w modelu wysępuje bliska obserwowanej skala przepływów pomiędzy sanami na rynku pracy, a akże wyraźna anycykliczność bezrobocia i ujemna korelacja między wakaami a bezrobociem, a więc jakościowo poprawna krzywa Beveridge a. Jak pokazujemy w kolejnym rozdziale, wahania cykliczne głównych zmiennych obserwowanych niemal w całości wyjaśniane są przez zaledwie kilka zaburzeń makroekonomicznych, na czele z szokami echnologicznymi. Wskazuje o dodakowo na bardzo dobrą zdolność modelu do odzwierciedlania rzeczywisych procesów gospodarczych, gdyż endogenizuje on w swojej srukurze wewnęrznej źródła dużej części zmienności głównych obserwowanych agregaów akich jak PKB, konsumpcja, inwesycje, zarudnienie, bezrobocie czy akywność zawodowa. Wyesymowane paramery modeli krajowych są jednocześnie do siebie nawzajem zbliżone,co wskazuje na podobieńswo srukuralne gospodarek OECD, a jednocześnie na yle zróżnicowane, by wywołać różną siłę i rwałość reakcji gospodarek na różne ypy zaburzeń makroekonomicznych. Wskazuje o na możliwość idenyfikacji za pomocą zaproponowanego modelu insyucjonalnych i nieinsyucjonalnych deerminan cyklu koniunkuralnego w krajach rozwinięych. Niniejsza praca zorganizowana jes nasępująco. W sekcji 2 przedsawiamy srukurę modelu. Sekcja 3 omawia zaproponowaną numeryczną procedurę wyznaczania rozwiązania, 4 opisuje procedurę i wyniki esymacji modelu. W sekcji 5 omawiamy główne jego własności dynamiczne. Sekcja 6 zawiera podsumowanie 2 Model 2.1 Gospodarswo domowe Modelowana gospodarka zasiedlona jes przez coninuum jednosek rozłożonych na odcinku (, 1), kóre ubezpieczają się wzajemnie od wahań dochodu spowodowanych epizodami bezrobocia, bierności zawodowej i zarudnienia. W obrębie całej zbiorowości rozróżniamy przy ym rzy różne grupy osób, różniących się między sobą relaywną rynkową produkywnością pracy. Niech J = {H, M, L} oznacza zbiór wszyskich możliwych ypów członków gospodarswa domowego. Wedy ϕ j 1 dla j J jes odsekiem osób o produkywności A j, a ym samym j J ϕ j = 1. Zakładamy, że osoby należące do grupy L są rwale bierne zawodowo, gdyż ich produkywność A L = (rwała niezdolność do pracy). Pozosałe osoby mogą być albo bierne, albo bezrobone albo zarudnione, zaś ich produkywność spełnia 1 = A M < A H. W dalszej części eksu posługujemy się oznaczeniem I = {H, M} dla wyróżnienia grup uczesniczących w rynku pracy. Jednoski formują reprezenaywne gospodarswo domowe maksymalizujące w chwili zero warość oczekiwaną zdyskonowanego srumienia użyeczności z konsumpcji efekywnej, C, zadaną rekursywnie równaniem U = 1 σ C 1 + βe {U +1 } 1 σ w kórym paramer β oznacza subiekywną sopę preferencji czasowej, zaś paramer σ określa międzyokresową elasyczność subsyucji między konsumpcją dziś a konsumpcją juro. Na konsumpcję efekywną C składa się konsumpcja dóbr rynkowych C i nierynkowych H, przy czym C = (C ϵ CH + H ϵ CH ) 1 ϵ CH 6

gdzie ϵ CH jes elasycznością między konsumpcją jednoski dobra rynkowego i nierynkowego, wywarzanego bezpośrednio w gospodarswie domowych przez osoby nieakywne zawodowo posługujące się liniową funkcją produkcji H = b j J NE j gdzie NE j jes liczbą osób biernych zawodowo należących do grupy j J. Osoby z grup I = {H, M} mogą być albo zarudnione, albo bezrobone, albo bierne zawodowo, przy czym dopuszczamy możliwość zmiany sanu na rynku pracy każdej z nich z okresu na okres. W modelu rozważamy heerogeniczność pracowników pod względem ich indywidualnej produkywności. W ym celu przyjmujemy, że każda pracująca osoba o [, 1] z grupy i I cechuje się w okresie z produkywnością A i (o) = A i e ai (o), gdzie a i (o) jes zależne od a i 1 (a) oraz realizacji idiosynkraycznego szoku produkywności η(o) i zgodnie z równaniem a i (o) = a i 1(o) + η i (o) gdzie η i (o) N(, σ A ) jes zmienną losową o rozkładzie normalnym. Tym samym w rakcie obowiązywania umowy o pracę poziom indywidualnej produkywności pracowników podlega geomerycznemu procesowi błądzenia losowego. W rezulacie produkywność części pracowników rośnie powyżej począkowego poziomu, a części się obniża. Po ujawnieniu się szoku modyfikującego indywidualną produkywność, firmy oraz pracownicy mogą zdecydować o rozwiązaniu sosunku pracy oraz negocjują płacę na dany okres. Część sanowisk pracy ulega akże egzogenicznej desrukcji. Niech zmienna N oznacza łączną liczbę pracujących w gospodarce w okresie. Wedy N = i I N i gdzie N i jes liczebnością pracujących o grupowej produkywności A i. W okresie członek o (, 1) grupy i I może albo pracować lub nie. Ze względu na wysępowanie subpopulacji różniących się poziomem produkywności, a akże z powodu niejednorodnej produkywności poszczególnych jednosek w obrębie danej grupy, można mówić nie ylko o eksensywnej podaży pracy N i lecz akże o podaży efekywnej Ñ i oraz o przecięnej efekywnej produkywności jednoski należącej do grupy i I, kórą oznaczamy symbolem Ãi. Każdą z ych wielkości definiujemy nasępująco N i = N i 1 N i (o)do, Ñ i = N i 1 A i (o) N i (o)do, à i = Ñ i N i (1) gdzie N i (o) {, 1} przyjmuje warość 1, jeśli dana osoba pracuje, i w przeciwnym wypadku, zaś N i jes paramerem definiującym odseek osób o grupowej produkywności A i w całej populacji. Zauważmy, że przecięna produkywność jednoski à i jes różna od poziomu produkywności grupowej A i, gdyż wpływa na nią akże rozkład indywidualnej produkywności a(o). Dla j J zachodzi akże NE j = N j N j gdzie N L = jes podażą pracy jednosek należących do grupy L. Zróżnicowanie produkywności jednosek na poziomie indywidualnym sprawia, że akże płaca każdej z nich jes różna. Można jednak mówić akże o płacy średniej W i, kórą definiujemy w dalszej części. Na dochody gospodarswa domowego składają się: (i) dochody z pracy i I W i N i, (ii) zyski przekazane przez firmy, Π, oraz banki, Π B, (iii) ransfery pieniądza od 7

banku cenralnego, M, a akże (iv) dochody z loka bankowych, M d oraz pozbawionych ryzyka obligacji krajowych, B H, i zagranicznych, B F, oprocenowanych odpowiednio wg nominalnych sóp R d, R H i R F. Z kolei sronę wydakową budżeu gospodarswa domowego w okresie worzą wydaki konsumpcyjne, P C C, podaki ryczałowe T, koszy ransakcyjne zmiany kompozycji porfela akywów pieniężnych Ω oraz koszy poszukiwania pracy przez osoby bezrobone Ξ = i I Ξi. Kosz poszukiwania pracy w grupie i I jes funkcją wysiłku wkładanego w en proces zn. ( Ξ i = c U (e i e i ) + ψ u (e i e i ) 2) NE; i (2) Osaecznie ograniczenie budżeowe gospodarswa domowego w okresie przybiera posać P C C + T + Ξ + Ω = B + M + Π + Π B + i I W i N i. (3) gdzie ( B B H = 1 M π BH R H = M 1 π M + ) + BF 1 π F ( R d 1 Ω = P C ψm ( M q 2 M q π π 1 q ( B F ) q 1 R F RP ) ( M 1 ) M q π ) 2 przy czym symbolem M q oznaczamy realną warość goówki znajdującej się w rękach gospodarsw domowych zaś π oraz π F są odpowiednio warościami inflacji krajowej i zagranicznej, RP jes premią za ryzyko inwesowania w obligacje zagraniczne, zaś M q zasobem goówki w porfelu spełniającym M q = M 1 π M d Goówka i depozyy, obok roli ezauryzacyjnej, pełnią w modelu akże funkcję ransakcyjną poprzez ograniczenie cash-in-advance posaci P C C = ( ) 1 ω q (M q )ϵ Q + ω d (M d ) ϵ Q ϵ Q gdzie ϵ Q jes paramerem określającym wzajemną subsyucyjność obu form pieniądza, zaś paramery ω q i ω d określają preferencję gospodarswa domowego względem goówki (agregau pieniężnego M) i depozyów, pozwalając na wyznaczenie sacjonarnych warości odpowiednio M q i sopy R d. 2.2 Produkcja dobra podsawowego Doskonale konkurencyjny sekor produkcyjny wywarza jednorodne dobro podsawowe, Y, w coninuum ex-ane i ex-pos idenycznych przedsiębiorsw. Oznacza o, że możemy rozparywać w ich zasępswie jeden reprezenaywny podmio maksymalizujący bieżącą warość oczekiwaną srumienia przyszłych zysków Π Π = Π + E {Λ +1 Π+1 } gdzie Λ = β λ λ 1 jes czynnikiem dyskonującym (ang. pricing kernel) będącym pochodną krańcowej użyeczności gospodarswa domowego z konsumpcji dóbr, λ. 8

Reprezenaywna firma wykorzysuje w procesie produkcji pracę, maeriały i, będący jej własnością, kapiał - dzięki czemu osiąga akże niezerowe zyski. Produkcja przebiega dwueapowo. W eapie pierwszym echnologia produkcji jes dana sandardową funkcją Cobba-Douglasa, zależną od poziomu zainsalowanego w okresie 1 kapiału oraz efekywnej pracy Y NK = K α 1Ñ 1 α gdzie K jes zasobem zainsalowanego kapiału, α jego krańcową produkywnością, zaś Ñ oznacza efekywną liczbę jednosek pracy zaangażowanych w produkcję w okresie. Kapiał worzony jes w wyniku procesu akumulacji uwzględniającego niepełną subsyucyjność nowych i sarych środków produkcji K = (1 1 ( I ) ϵk δ)k 1 + K 1 ϵ K K 1 przy czym I jes poziomem inwesycji, zaś paramer ϵ K określa zakres szywności inwesycyjnych. W drugiej fazie procesu wywórczego konglomera kapiału i pracy Y NK łączony jes z maeriałami Z za pomocą echnologii produkcji ypu CES, worząc homogeniczne dobro podsawowe Y Y = A Y (θ 1 ϵ Z (Y NK ) ϵ Z 1 ) ϵ Z + (1 θ) 1 ϵ Z (Z ) ϵ Z 1 ϵ Z ) ϵ Z ϵ Z 1 gdzie ϵ Z jes paramerem definiującym elasyczność subsyucji między konglomeraem kapiału i pracy z jednej srony, a maeriałami z drugiej, zaś θ określa poziom produkcji sprzedanej P Y w sanie sacjonarnym, kóra różni się od poziomu produku, GDP, o warość maeriałów zużyych w procesie produkcji zgodnie z równaniem GDP = P Y P Z Z Zakładamy, że poziom echnologii A Y jes dany paramerem, kóry może być poencjalnie zaburzony szokiem echnologicznym. W celu zarudnienia nowych pracowników przedsiębiorswo owiera, począkowo niezapełnione, wakay, V, ponosząc jednoskowy kosz P C ϖ urzymania jednego wakau w jednosce czasu. Wydaki bieżące firmy obejmują akże zakup maeriałów Z po cenie P Z, wydaki inwesycyjne P I I, wydaki na płace i I W i N i oraz koszy obsługi kredyu obroowego M F oprocenowanego wg sopy R c 1. Zysk chwilowy firmy Π wynosi więc Π = P Y P Z Z P I I i I W i N i P C ϖv (R c 1)M F gdzie równaniem ( M F = ψ F P Z Z + P I I + ) W i N i i I zdefiniowane jes ograniczenie monearne przedsiębiorswa, zgodnie z kórym firma musi dysponować kapiałem obroowym M F niezbędnym do pokrycia części ψ F swoich wydaków operacyjnych. Firma produkująca dobro podsawowe dysponuje siłą monopolisyczną dzięki czemu może usalić cenę P biorąc pod uwagę funkcję popyu Y D na swoje dobro posaci Y = ( P P D ) ϵp Y D gdzie cena zewnęrzna P D jes z punku widzenia firmy dana, będąc jednocześnie usalana przez równowagowy warunek Y D = Y. 9

2.3 Produkcja dóbr finalnych Rozróżniamy czery ypy dóbr finalnych: (1) konsumpcyjne, Y C Y I, (3) rządowe, Y G, oraz (4) maeriałowe, Y M sekorze f {C, I, G, M} wykorzysane są dobra krajowe Y f,h łączące się w konglomera Y f w echnologii ypu CES, (2) inwesycyjne,. Przy produkcji dobra finalnego w i zagraniczne Y f,f, Y = A f ((θ f H ) 1 ϵ ϵ f (Y f,h f 1 ϵ ) f + (1 θ f H ) 1 ϵ ϵ f (Y f,f f 1 ) ϵ ) f ) ϵ f ϵ f 1 gdzie A f oznacza poziom echnologii w sekorze f {C, I, G, M}, paramer θ f H jes udziałem dobra krajowego w funkcji produkcji, definiującym relaywną rolę imporu w produkcji danego dobra finalnego. Producenci dóbr finalnych maksymalizują chwilowy (jednookresowy) zysk posaci Π f = P f Y f P Y f,h P F q Y f,f gdzie q jes realnym kursem waluowym, P f jes wyrażoną ceną danego dobra finalnego, P wyrażoną w walucie krajowej ceną homogenicznego dobra krajowego, zaś P F jes analogiczną ceną homogenicznego dobra zagranicznego wyrażoną w walucie zagranicznej. 2.4 Wymiana z zagranicą Ponieważ głównym celem modelu jes analiza zmian na rynku pracy, handel zagraniczny analizujemy w sposób uproszczony. Zakładamy, że imporerem są firmy produkujące dobra finalne, a eksporerem firmy worzące dobro podsawowe. Przyjmujemy, że wolumen eksporu jes pochodną popyu zagranicznego Y F oraz relaywnych warunków wymiany (erms of rade) w eksporcie. W konsekwencji, impor, IM oraz ekspor EX, definiujemy nasępująco IM = f IM f IM f = P F q Y f,f ( EX = P EX V EX V P ) ϵf = Y F P F q Y F = A F Y F CA = EX IM gdzie paramer ϵ F definiuje elasyczność eksporu względem erms of rade, A F jes poziomem echnologii zagranicznej, zaś CA saldem obroów bieżących. Zakładamy, że cena dobra homogenicznego jes numeraire w zagranicznej gospodarce j., że P F = 1. Podobnie przyjmujemy, że zagraniczna inflacja (zmiana relaywnej ceny pieniądza zagranicznego względem numeraire) jes dana egzogenicznie π F = π F. Obok wymiany handlowej, na krajową gospodarkę oddziałują akże przepływy kapiału, kóre ograniczamy do zakupów obligacji zagranicznych przez krajowe gospodarswa domowe. KA = BF 1 π F q q 1 B F log(rp ) = ϕ RP GDP BF R F RP gdzie ϕ RP jes elasycznością reakcji premii za ryzyko na zwiększenie relaywnego udziału zadłużenia zagranicznego w produkcie. W długim okresie spełniony jes 1

akże parye sóp procenowych między rynkiem krajowym i zagranicznym, zn. R F = R H. Przejściowo, pod wpływem zaburzeń makroekonomicznych możliwe jes odejście od ej zależności. Zachodzi akże co pozwala wyznaczyć kurs waluowy. 2.5 Rząd i bank cenralny CA + KA = Ze względu na cele sawiane przed modelem, reprezenację sekora rządowego i banku cenralnego ograniczamy do segmenów umożliwiających idenyfikację szoków konsumpcji publicznej i monearnych. Z ego względu, działanie rządu opisane jes przez dwa równania ( GDP ) ϵgv G = G T = P G G GDP Innymi słowy zakładamy, że rząd kieruje się prosą regułą fiskalną, zgodnie z kórą dososowuje wolumen konsumpcji publicznej do odchyleń produku od sanu sacjonarnego. Elasyczność ych dososowań zadana jes przez paramer ϵ GV. Jednocześnie, całość konsumpcji publicznej finansowana jes za pomocą podaków ryczałowych. Zakładamy więc, że zadłużenie rządowe jes zerowe, B H =, co jednak w związku z obowiązywaniem ekwiwalencji Ricardo-Barro w modelach ypu RBC, nie powoduje uray ogólności. Z kolei bank cenralny prowadzi poliykę monearną za pośrednicwem emisji obligacji dla sekora bankowego B CB sopy procenowej R CB i usalania koszu pieniądza w posaci bankowej. Posługuje się przy ym regułą Taylora posaci ( ) ϱ π log(π ) + ϱ y log(gdp ) log(r CB ) = ϕ R + ν R log(r 1) CB + (1 ν R ) gdzie paramer ϕ R, poprzez wpływ na sopę procenową, usala sacjonarny poziom inflacji. Zaburzenie ego parameru idenyfikujemy z szokiem monearnym, opisującym odchylenie poliyki banku od sacjonarnej posaci reguły Taylora (dyskrecjonalny wymiar poliyki pieniężnej). Z kolei paramer ν R określa względną wagę, jaką, na poziomie reguły, bank cenralny przykłada do odchyleń bieżącej inflacji i bieżącego PKB od ich warości sacjonarnych. 5 Podobnie, paramery ϱ π i ϱ Y opisują relaywną rolę obu odchyleń w obrębie reguły. Opis zachowania banku cenralnego dopełnia równanie M = M 1 π + M zgodnie z kórym realny zasób pieniądza w obiegu M jes równy zasobowi wczorajszemu M 1 pomniejszonemu o inflację i uzupełnionemu przez nowo wykreowany przez bank cenralny pieniądz M. 2.6 Sekor bankowy Rolę pośrednika między gospodarswami domowymi a firmami w przepływie kapiału pełnią, przyjmujące depozyy i udzielające kredyów, banki. Wielkość depozyów, jakie przyjmie sekor bankowy, zależy od wielkości rezerw depozyowych RES d 5 Zauważmy, ( że ak określoną regułę Taylora ) można zapisać log(r CB ) = ϕ R + ν R log(r 1) CB + (1 ν R ) ϱ π log(π /π) + ϱ y log(gdp /GDP ) dla innej warości parameru ϕ R, a więc inkorporowanie odchyleń bezpośrednio w regułę nie jes konieczne. 11

oraz usług zewnęrznych zakupionych w sekorze produkującym homogeniczne dobro podsawowe Y M. Funkcja produkcji depozyów ma przy ym posać funkcji Cobba-Douglasa M d = A d (RES d ) µ (Y M ) 1 µ gdzie paramer µ określa krańcową produkywność rezerw RES d przy worzeniu depozyów M d. Razem z paramerem A d pozwala ona usalić sacjonarne warości zmiennych RES d i Y M. Popy na dobro podsawowe ze srony sekora bankowego pozwala domknąć równowagę na rynku dóbr równaniem Y = f Y f + EX V + Y M Innymi słowy, cała produkcja dobra podsawowego znajduje nabywców bądź w sekorach finalnych, bądź za granicą, bądź w sekorze bankowym. Ponado banki maksymalizują jednookresowy zysk Π B posaci Π B = RES + RM c F R d M d R CB B CB P Y M gdzie całkowiy poziom rezerw bankowych RES spełnia równania RES = ωmy d M RES = M + Y M + RES d + B CB M F Na wolne akywa pieniężne znajdujące się w chwili w dyspozycji sekora bankowego składają się więc (i) nieobjęe rezerwami depozyy gospodarsw domowych, (1 ωm d )Y, (ii)obligacje banku cenralnego, B CB, oraz (iii) przyros bazy monearnej w wyniku kreacji pieniądza przez bank cenralny, M. Akywa e dzielone są między kredyy, M F, oraz rezerwy depozyowe, RES d. Oprocenowanie depozyów, R d, usalane jes jako wypadkowa podaży oszczędności ze srony gospodarsw domowych i popyu na nie ze srony banków. Podobnie oprocenowanie kredyów, R, c jes wynikiem zrównoważenia się popyu na kredy ze srony firm i podaży kredyów ze srony banków. Różnica między oprocenowaniem obligacji rządowych i depozyów bankowych, SP R, wyznaczana jes więc przez udział depozyów w finansującym konsumpcję porfelu gospodarsw domowych, ω d. Z kolei oprocenowanie akywów banku cenralnego usala en osani, serując podażą obligacji, B CB. 2.7 Rynek pracy Rozparujemy nie-walrasowski rynek pracy wyposażony w zmodyfikowaną wersję mechanizmu poszukiwań i dopasowań zaproponowanego przez Morensena i Pissaridesa (1994). W każdym okresie dochodzi więc zarówno do desrukcji części sarych miejsc pracy, jak i uworzenia nowych. Liczba osób pracujących w grupie i I zmienia się zgodnie z równaniem N i = (1 ρ)(1 s i ) ( ) N 1 i + M 1 i gdzie s i jes zagregowaną sopą endogenicznej desrukcji zdefiniowaną w dalszej części. Egzogeniczna desrukcja, ρ, gwaranuje, że rozkład indywidualnej produkywności pracowników jes dobrze określony. Liczba zapełnianych nowych sanowisk, M i, jes pochodną całkowiej liczby wakaów zgłoszonych przez firmy, V, oraz liczby ofer pracy, O i, wysłanych przez niepracujących o grupowej produkywności A i między chwilą i + 1. Zakładamy przy ym, że niepracujący należący do grupy i I 12 (4)

wysyłają ofery pracy zgodnie z procesem Poissona o sałej (w danym okresie) inensywności ϑ i e i Ψ, przy czym ϑ i e i jes usaloną w sposób endogeniczny liczbą ofer pracy o sandardowej skueczności, wysyłanych przecięnie przez jedną osobę niepracującą ypu i I w nieskończenie krókim odcinku czasu dτ, zaś ϑ i jes charakerysyczną dla danej grupy relaywną skuecznością jej ofery względem innych grup. Paramer ϑ i modyfikuje więc efekywność ak samo inensywnego procesu poszukiwania pracy pomiędzy grupami M i H. Z kolei Ψ jes egzogeniczną, z punku widzenia gospodarswa domowego, skuecznością dowolnej (j. niezależnej od i) pojedynczej ofery pracy o wysandaryzowanej skueczności grupowej. Innymi słowy ϑ i e i Ψ jes średnią liczbą skuecznych ofer pracy w jednosce czasu wśród osób o grupowej produkywności A i. Niech NE(τ), i dla τ [, 1), oznacza liczbę osób niepracujących, kóre do chwili + τ nie znalazły zarudnienia. Tym samym NE() i = NE. i Zapełnianie wolnych wakaów w rakcie rwanie okresu (, + 1) odbywa się w sposób ciągły, jednak osoby niezarudnione w okresie, kóre znalazły pracę w rakcie jego rwania, podejmują ją i włączają się w proces produkcji w okresie nasępnym + 1. Ponieważ proces wysyłania skuecznych ofer pracy jes procesem Poissona z paramerem e i Ψ, o wewnąrzokresowa dynamika liczby osób bez zarudnienia jes zadana równaniem różniczkowym zwyczajnym posaci dne i (τ) dτ = ϑ i e i Ψ NE i (τ), NE i () = NE i, (5) gdzie NE i = 1 N 1 i oznacza liczbę osób ypu i I niepracujących w okresie. Rozwiązując powyższe równanie różniczkowe orzymujemy dla τ [, 1): NE i (τ) = e ϑi e i Ψ τ NE i. (6) Zauważmy, że liczba wszyskich efekywnych (j. skorygowanych o skueczność ϑ i ) ofer pracy wysłanych w całym okresie (j. między chwilą i + 1) przez osoby niepracujące ypu i I o: Õ i = ϑ i e i 1 NE i (τ)dτ = 1 e ϑi e i Ψ Ψ NE i. (7) Liczba dopasowań ofer pracy wysyłanych przez osoby niepracujące do oferowanych przez firmy wakaów definiuje liczbę nowych miejsc pracy M uworzonych w okresie, zgodnie z echnologią dopasowań opisaną funkcją Cobba-Douglasa: M = ΥÕψ V 1 ψ, (8) gdzie Õ = i I Õi jes całkowią liczbą zgłoszonych ofer pracy, zaś paramer Υ określa efekywnością procesu poszukiwań i dopasowań na rynku pracy. Nowo zarudnione osoby będą produkywne dopiero w okresie nasępnym. Jednocześnie M = i I M i gdzie M i = (1 e ϑi e i Ψ ) NE i, (9) jes liczbą wakaów zapełnionych przez osoby o grupowej produkywności A i. Zauważmy, że skueczność poszukiwania pracy Ψ przez osobę wkładającą w o wysiłek, będący odwronością grupowej skueczności poszukiwania pracy ϑ i e i = 1, jes akże przecięną, makroekonomiczną szansą powodzenia, zdefiniowaną jako iloraz liczby nowo zarudnianych pracowników do całkowiej liczby wysłanych ofer. Podobnie, 13

prawdopodobieńswo zapełnienia wakau Φ można zdefiniować jako sosunek liczby nowych miejsc pracy do liczby owarych wakaów. Formalnie rzecz biorąc Ψ = M Õ, Φ = M V. (1) Podobnie, dla osób o grupowej produkywności A i, można zdefiniować prawdopodobieńswa zapełnienia wakau Φ i oraz prawdopodobieńswo znalezienia pracy przez jedną osobę niepracującą Ψ i : Φ i = M i V, Ψi = M i NE i. (11) Zmienne Φ i, Φ oraz Ψ są brane przez firmy oraz osoby poszukujące pracy jako dane. Z ekonomicznego punku widzenia isona jes zmienna definiująca zw. zagęszczenie na rynku pracy w okresie. θ = V Õ. (12) 2.8 Przepływy na rynku pracy Za osobę bezroboną uznaje się kogoś ko nie ma pracy, a jednocześnie akywnie jej poszukuje. Osoby bezrobone i pracujące są z definicji akywne na rynku pracy. Pozosałą część populacji klasyfikuje się jako zawodowo bierną (nieakywną). Te, sosunkowo prose, definicje wiążą się z prakycznymi rudnościami pomiaru. W krajach Unii Europejskiej prowadzi się w ym celu opare na jednoliej meodologii badanie ankieowe akywności ekonomicznej ludności - Labor Force Survey - w kórym respondenom w wieku 15-74 la zadaje się pyania sprawdzające, czy: i) w okresie badanego ygodnia były osobami pracującymi czy eż nie, ii) czy akywnie poszukiwały pracy, zn. podjęły konkrene działania w ciągu 4 ygodni (wliczając jako osani - ydzień badany), aby znaleźć pracę, iii) były goowe (zdolne) podjąć pracę w ciągu dwóch ygodni nasępujących po ygodniu badanym. Spełnienie ych rzech kryeriów kwalifikuje daną osobę do grupy bezrobonych. Zalicza się do niej akże osoby, kóre nie poszukiwały pracy, ponieważ miały pracę załawioną i oczekiwały na jej rozpoczęcie przez okres nie dłuższy niż 3 miesiące od chwili badania i były goowe ją podjąć. Zauważmy, że w zgodzie z ą prakyczną definicją, za bezroboną nie zosanie uznana osoba, kóra nie miała pracy, a kórej osania akywność w kierunku jej znalezienia nasąpiła wcześniej niż miesiąc przed momenem badania. Cechę ę wykorzysujemy w modelu, dzieląc niepracujących na nieakywnych i bezrobonych na podsawie ego, czy w przeciągu osaniego miesiąca wysłali przynajmniej jedną oferę pracy. Czas oczekiwania pomiędzy kolejnymi wydarzeniami (w ym przypadku wydarzeniem jes wysłanie ofery pracy) dla procesu Poissona dany jes przez rozkład wykładniczy. Tym samym, liczba nieakywnych oraz bezrobonych osób ypu i I będzie dana odpowiednio przez ogon dysrybuany oraz dysrybuanę w punkcie rozkładu wykładniczego z paramerem e i. Ponieważ model kalibrowany jes do danych kwaralnych, a więc między i + 1 upływają rzy miesiące, o ineresującym nas punkem będzie τ = 1 3. Osobami nieakywnymi zawodowo są e osoby niepracujące, kóre w przeciągu osaniego miesiąca nie wysłały ani jednej ofery. Prawdopodobieńswo, że czas oczekiwania na wysłanie pierwszej e ofery będzie dłuższy niż jeden miesiąc wynosi i 3. Oznacza o, że liczby osób 14

biernych NA i, NA i bezrobonych U i, U i dane są równaniami: NA i = e ei 3 NE i, NA = i I NA i (13) U i = (1 e ei 3 ) NE i U = U i. (14) i I Dla sandardowego modelu rynku pracy z poszukiwaniami, określenie przepływów pomiędzy pracującymi i niepracującymi jes prose. Prawdopodobieńswo przepływu ze sanu zarudnienia do niepracujących jes dla osób o produkywności A i wyznaczone bezpośrednio przez sopę desrukcji θ N,i = 1 s i. Z kolei prawdopodobieńswo przepływu przeciwnego wynosi θ NE,i = 1 e ϑi e i Ψ. Dekomponując grupę niepracujących na bezrobonych i nieakywnych sajemy przed dwoma problemami. Po pierwsze, rzeba określić przepływy od bezrobonych i nieakywnych do zarudnienia, a po drugie przepływy z zarudnienia należy rozbić na dwa oddzielne srumienie - do bezrobonych i biernych. W pierwszym przypadku bezpośrednio wykorzysujemy przyjęą definicję osoby nieakywnej między i + 1 jako akiej, kóra w przeciągu osaniego miesiąca przed momenem rejesracji jej sanu nie wysłała żadnej ofery pracy. Osoba a mogła jednak wysłać oferę w okresie wcześniejszym. Ze względu na niezależność ankieowania od wysyłania ofer, zachodzi efek próbkowania sygnału w czasie, j. możliwość zaklasyfikowania jako biernych osób, kóre wysłały oferę pracy wcześniej niż miesiąc przed momenem wykonywania ankiey. Oznacza o, że akże osoby zaklasyfikowane jako nieakywne będą znajdować pracę, choć w ich populacji należy oczekiwać o mniejszego prawdopodobieńswa znalezienia pracy niż w wypadku całej populacji osób niezarudnionych. Formalnie rzecz biorąc = 1 e 2 3 ϑi e i Ψ. Z kolei prawdopodobieńswo znalezienia pracy przez bezrobonego jes równe sosunkowi liczby osób bez pracy, kóre znalazły pracę w okresie, a kóre nie były zaklasyfikowane jako osoby bierne ze względu na efek próbkowania, do całkowiej liczby bezrobonych na począku ego okresu. Innymi słowy jes ono θ NA,i równe θ U,i = θne,i NE i θna,i NA i U i. Wyznaczenie napływów do zarudnienia umożliwia wyznaczenie napływów do pozosałych sanów na rynku pracy, dzięki podzieleniu ich pomiędzy nieakywnych i bezrobonych proporcjonalnie do wielkości obydwu grup. Oznaczmy symbolem Θ i (p, q) dla i I oraz p, q {N, U, NA} wielkość przepływu na rynku pracy między sanem p i q ograniczonego do osób o produkywności A i. Przykładowo Θ i (N, N) = θ N,i Θ i (U, NA) = (1 θ U,i ) NAi NE i jes przepływem zarudnienie-zarudnienie, zaś przepływem bezrobocie-bierność w obrębie grupy i I. Całą macierz przepływów na rynku pracy dla osób o produkywności i I przedsawia ablica 1: Tablica 1: Przepływy między sanami na rynku pracy w modelu dla osób o produkywności i I N i U i NA i N+1 i U+1 i NA i +1 (1 θ N,i ) U i (1 θ N,i NE i ) NAi NE i (1 θ U,i ) U i (1 θ U,i ) NAi θ N,i θ U,i θ NA,i (1 θ NA,i NE i ) U i NE i (1 θ NA,i NE i ) NAi NE i Posługując się przepływami w obrębie poszczególnych grup osób, różniących się 15

poziomem produkywności pracy, możliwe jes nauralne określenie przepływów zagregowanych Θ (p, q): Θ (p, q) = i I Θ i (p, q) pi p. (15) gdzie za indeksy p, q należy dokonać formalnego podsawienia symboli N, U, N A. 2.9 Negocjacje płacowe Oznaczmy przez V E,i,o, V U,i i V F,i,o odpowiednio: (i) warość, w jednoskach użyeczności gospodarswa domowego, jaką w chwili ze swojej pracy czerpie o-a osoba pracująca w grupie należąca do grupy i I, (ii) wyrażoną akże w jednoskach użyeczności saysfakcję, jaką dla osoby bezrobonej należącej do grupy i I przynosi jej san na rynku pracy oraz (iii) warość dla firmy z zarudnienia osoby o [, 1] z grupy i I. Zmienne V E,i,o, oraz V F,i,o zależą wyłącznie od indywidualnej produkywności pracy o-ego pracownika pod koniec okresu, j. od zmiennej a i (o). Poziom produkywności jes cechą osób pracujących, ulegającą zaarciu w chwili uray pracy. Z ego względu V U,i jes jednakowe dla wszyskich osób bezrobonych w danej grupie (por. równanie (21)), podczas gdy V E,i,o i V F,i,o mogą się różnić u różnych osób pracujących nawe w obrębie grupy i I. Niech zmienna S i,o +1 {, 1} przyjmuje warość 1, jeżeli miejsce pracy o-ego pracownika nie zosało endogenicznie zniszczone, oraz warość w przeciwnym wypadku. W akim wypadku saysfakcja z pracy o-ej osoby zarudnionej oraz warość dla firmy z ego zarudnienia dane są w okresie rekurencyjnymi zależnościami V E,i,o V F,i,o = λ W i,o + βe {V U,i +1 } { )} + β(1 ρ) E S i,o E,i,o +1 (V+1 V U,i +1 ) = λ (X i,o W i,o ) + β(1 ρ) E {S i,o +1 V F,i,o +1 } (16) gdzie zmienna X i,o określa krańcową produkywność efekywnej jednoski pracy o- ego pracownika, kóra jes brana przez firmę oraz pracownika jako dana i wynosi X i,o = A i (o) (1 α) Y Ñ Równania (16) można zinerpreować w nauralny sposób. Warość konraku zarudnieniowego jes dla pracownika ym większa, im większa jes użyeczność czerpana z płacy. Jednocześnie, zwiększa ją zdyskonowana warość oczekiwana poencjalnej nadwyżki warości zarudnienia nad warością bezrobocia. Przy ym, w warościach ych uwzględnione jes o, czy pracownik uraci pracę, czy eż pozosanie na doychczasowym sanowisku. Podobnie w wypadku firmy, warość umowy o pracę rośnie wraz z ym, im większa jes nadwyżka jego krańcowej produkywności nad wypłacaną mu płacę, oraz im większa jes (po zdyskonowaniu) przyszła oczekiwana warość ego konraku, po uwzględnieniu koreky o prawdopodobieńswo rozwiązania umowy z przyczyn egzogenicznych lub przyczyn leżących po sronie firmy (endogeniczna desrukcja). Warości konraku zarudnieniowego dla firmy i pracownika brane są pod uwagę w procesie negocjacji wynagrodzeń. Podobnie jak w sandardowym modelu RBC z mechanizmem poszukiwań i dopasowań na rynku pracy, zakładamy, że płaca W i,o pracownika należącego do grupy i I i cechującego się indywidualną produkywnością A i (o) jes wyznaczona zgodnie z mechanizmem indywidualnych negocjacji 16

Nasha podejmowanych przez firmy i pracowników w każdym okresie W i,o = arg max W i,o (V E,i,o V U,i pod warunkiem możliwości realizacji posaci V E,i,o o ym samym V F,i,o V F,i,o < V E,i,o ) ν (V F,i,o V U,i ) 1 ν, V F,i,o. Implikuje = 1 ν (V E,i,o V U,i ) (17) ν V U < i warunek możliwości realizacji jes spełniony, jeżeli ylko V F,i,o. Równanie (17) oraz dynamiki V E,i,o i V F,i,o pozwalają nam na wyrażenie płacy w nasępującej formule W i,o = νx i,o + 1 ν λ ( ) V U,i βe {V U,i +1 } Zauważmy, że warość pracy dla o-ego pracownika z grupy i I oraz warość o-ego pracownika dla firmy zależą wyłącznie od indywidualnej produkywności pracownika. Tym samym, wynegocjowana płaca W i,o oraz endogeniczna desrukcja miejsca pracy S i,o akże zależą jedynie od logarymu poziomu indywidualnej produkywności a i (o) oraz agregaów ekonomicznych. Tak więc, przy danym sanie zmiennych makroekonomicznych, możemy zdefiniować funkcje warości dla pracownika, V E,i (a), oraz firmy V F,i (a), kórych argumenem jes a. Zajmujemy się ym w nasępnej sekcji. 2.1 Funkcje warości Oznaczmy przez W i (a), S i (a) i X i (a) funkcyjne zależności między płacą, endogeniczną desrukcją miejsc pracy i krańcową produkywnością efekywnej jednoski pracy osoby należącej do zbiorowości i I o logarymie poziomu indywidualnej produkywności a. Wymagamy przy ym, aby W i,o = W i (a i (o)) S i,o = S(a i i (o)) X i,o = X(a i i (o)) Zdefiniujmy dla i I funkcje V E,i (a) oraz V F,i (a) w en sposób aby V E,i,o (18) = V E,i (a i (o)) V F,i,o = V F,i (a i (o)) (19) Niech zmienna losowa a (a, η) określa ewolucję logarymu produkywności osoby zarudnionej w kolejnych dwóch okresach a = a + η. gdzie η N(, σ A ) jes czyso losowym zaburzeniem. Proces sochasyczny, zgodnie z kórym ewoluuje indywidualna wydajność pracownika, jes geomerycznym procesem błądzenia losowego. Funkcje V E,i i V F,i dla i I definiujemy nasępująco { } V E,i (a) = λ W i (a) + βe V U,i +1 + β E V E,i, +1 (a ) V U,i +1 a gdzie V F,i (a) = λ (X(a) i W i (a)) { } + β(1 ρ)e S+1(a i )V F,i +1 (a ) a V E,i, (a) = (1 ρ)s(a) i (V E,i (a) V U,i ) + V U,i (2) 17

Dokonując odpowiednich podsawień nierudno sprawdzić, że ak zdefiniowane funkcje warości V E,i (a) i V F,i (a) spełniają warunki (19). Ich inerpreacja ekonomiczna jes akże aka sama jak równań (16). O ile jednak zmienne losowe V E,i,o, V F,i,o są zdefiniowane ylko, gdy miejsce pracy o-ego pracownika nie zosało zniszczone w okresie, o funkcje warości możemy zdefiniować dla dowolnego a. Przyjmujemy dla uproszczenia, że specyficzne umiejęności zgromadzone w okresie zarudnienia znikają w momencie uray pracy. Oznacza o, że nowo zarudnieni bezroboni w okresie cechują się losowo określoną indywidualną produkywnością A = exp(a ) gdzie a N(, σ A ). Warość bezrobocia, V U,i, nie zależy więc od poziomu produkywności danej osoby bezrobonej w czasie, gdy była ona zarudniona, lecz jedynie od nadwyżki użyeczności, jaką produkcja domowa w chwili przynosi nad koszem poszukiwania pracy Ξ i (e i ), oraz od (zdyskonowanej na momen ) warości oczekiwanej sanu na rynku pracy w kolejnym okresie - bezrobocia V+1 U lub zarudnienia V E, +1 (a ). Spełnia ona zaem nasępującą, rekursywną zależność funkcyjną V U,i = b U,i λ Ξ i (e i ) + β(1 ϑ i e i Ψ ) E {V U,i +1 } + βϑi e i Ψ E {V E,i, +1 (a )} (21) gdzie b U,i jes krańcowym przyrosem użyeczności z yułu zaangażowania w produkcję domową kolejnej osoby należącej do zbiorowości i I, danym równaniem b U,i = λ C NE i Z kolei ϑ i e i Ψ jes prawdopodobieńswem znalezienia pracy przez bezrobonego poszukującego jej z inensywnością e i i grupową skuecznością wysyłanych ofer ϑ i. Podobnie, warość usanowienia wakau w chwili przez firmę, oznaczona symbolem J, wynosi J = λ ϖ + β(1 ρ) { } E Φ i S+1(a i ) V F,i +1 (a ) (22) i I gdzie a jes poziomem produkywności osób nowo zarudnionych w okresie + 1, po wysąpieniu szoku produkywności pracy. Opymalność usalenia liczby wakaów oraz warunek braku barier wejścia firm wymaga J = (23) Oznacza o, że w opimum jednoskowy kosz owarcia wakau ϖ jes równy zdyskonowanej na chwilę bieżącą oczekiwanej warości, jaką z punku widzenia firmy przyniesie zarudnienie nowych pracowników. 2.11 Inensywność poszukiwania pracy Osoby bezrobone będą zwiększały inensywność poszukiwania pracy e do chwili, U,i V e gdy (ei ) =. Oznacza o, że warunek określający opymalny poziom e i można orzymać różniczkując prawą sronę równania (21) względem e i, a nasępnie przyrównując ją do zera. Uzyskujemy wedy (Ξ i ) (e i ) = βϑ i Ψ E {V E,i, +1 (a ) V U,i +1 }. (24) można upro- Zauważmy, że wykorzysując równanie (17) oraz definicje Ṽ E,i, ścić wyrażenie (24) uzyskując i Ṽ F,i (Ξ i ) (e i ) = ν 1 ν (1 ρ) βϑi Ψ Ṽ F (a ) (25) 18

2.12 Endogeniczna desrukcja Opymalność decyzji firmy o zwolnieniu pracownika należącego do grupy i I i cechującego się indywidualną produkywnością a, wymaga ego, aby S(a) i = jeżeli V F,i (a) oraz S(a) i = 1 w przeciwnym wypadku. Pracownik nie dokona desrukcji miejsca pracy, jeżeli nie zrobi ego firma. Zakładamy, że V F,i (a) jes funkcją rosnącą względem a. Założenie o jes weryfikowane numerycznie. Wedy { S(a) i, jeżeli a ā i = ; (26) 1, w przeciwnym wypadku. gdzie ā i jes granicznym poziomem indywidualnej produkywności w grupie i I, spełniającym V F,i (ā i ) = λ ζ (27) gdzie ζ jes sacjonarnym poziomem koszu zwolnienia pracownika, kóry bez sray ogólności może być usalony na zero. Wykorzysując równanie (26), deerminujące posać funkcji endogenicznej desrukcji miejsc pracy w firmach, możemy wyrazić w sposób bardziej bezpośredni niż w równaniu (2) warość, jaką firma uzyskuje z zarudnienia nowego pracownika o produkywności a gdzie V F,i (a) = λ (X(a) i W i (a)) + β(1 ρ) Ṽ F,i (a) (28) { Ṽ F,i } (a) = E V F,i +1 (a )df (a ; a) ā i +1 zaś df (a ; a) jes gęsością prawdopodobieńswa zmiennej losowej a danej przez a = a + η, η N(, σ A ), j. (29) df (x; a) = 1 2πσA 2 e (x a) 2 2σ A 2 Podobnie, korzysając z definicji (29), równania (17) oraz wprowadzonych w poprzedniej sekcji zależności (24) wiążących krańcowe koszy owarcia wakau z oczekiwaną nadwyżką, wynikającą z faku podjęcia pracy przez osobę bezroboną, można uprościć wyrażenia (2) i (21), uzyskując nasępujące równania definiujące funkcje warości pracownika i bezrobonego V E,i (a) = λ W i (a) + βe V U,i +1 V U,i = b U,i + λ ((Ξ i ) (e i ) Ξ i (e i ) ν + β(1 ρ) 1 ν Ṽ F,i (a) ) +β E {V+1} U Podobnie równanie (22), określające warość zapełnienia wakau z punku widzenia firmy, można zapisać w posaci J = λ ϖ + β(1 ρ) i I (3) Φ i Ṽ F,i (a ) = (31) Na koniec, wykorzysanie równań (17), (19), (21) i (25), pozwala warunek na opymalną płacę należącego do grupy i I pracownika o poziomie indywidualnej produkywności a (18), zapisać jako W i (a) = [ ν ( ) X(a) i + β(1 ρ)ϑ i Ψ Ṽ F (a ) + (1 ν) ( )] b U,i Ξ i λ (e i ) (32) 19

Równanie (32) ma nauralną inerpreację. Wynagrodzenie pracownika z grupy i I o indywidualnej wydajności A(a) = e a jes ym większe, im większa jes średnia ważona siłą przeargową pracownika z (1) krańcowej produkywności pracy X(a) i powiększonej o warość, jaką zarudnienie bezrobonego przyniesie firmie β(1 ρ)ϑ i Ψ Ṽ F (a ), oraz (2) z produkcji domowej b U,i /λ, pomniejszonej o kosz poszukiwania pracy przez bezrobonego Ξ i (e i ). Relaywna rola obu czynników w deerminowaniu płacy zależy od siły przeargowej pracowników ν. Im jes ona większa, ym opcja zewnęrzna w posaci produkcji dóbr nierynkowych ma mniejsze znaczenie. Osaecznymi posaciami równań definiujących funkcje warości firmy, pracownika, bezrobonego i wakau uwzględnianymi w modelu są odpowiednio równania (28), (3) oraz (31). Rozkład płac zadany jes równaniem (32), a opymalny poziom wysiłku wkładanego przez bezrobonych w poszukiwanie pracy (liczby wysyłanych ofer) równaniem (25). Co więcej, do wyznaczenia wszyskich ych wielkości wysarcza znajomość posaci funkcji Ṽ F. Wyznaczamy ją numerycznie w algorymie opisanym w sekcji 3. 2.13 Agregacja Wysępująca w modelu znaczna heerogeniczność pracujących pod względem poziomu indywidualnej produkywności implikuje konieczność wyznaczenia wielkości zagregowanych. Odgrywają one w modelu rolę ekonomiczną, j. pozwalają wyznaczyć poziomy brakujących zmiennych, w ym m.in. produkcji P Y i produku GDP, czy liczby nowo zapełnionych sanowisk pracy M i oraz innych zmiennych wobec nich pochodnych. Poszukiwanymi agregaami są zaem: liczba osób pracujących N i, efekywny nakład pracy Ñ i, zagregowane prawdopodobieńswo endogenicznej desrukcji s i, prawdopodobieńswo zapełnienia wakau Ψ oraz łączne wydaki na płace (zagregowany fundusz płac) W i N i, gdzie W i jes przecięnym poziomem wynagrodzeń w grupie i I. Znając agregay we wszyskich zbiorowościach i I można bezpośrednio wyrazić agregay całej gospodarki. Załóżmy chwilowo, że znamy podsawowy rozkład prawdopodobieńswa pozwalający na wyznaczenie poszukiwanych agregaów, j. rozkład indywidualnej produkywności w grupie i Ĩ przed dokonaniem endogenicznej i egzogenicznej desrukcji miejsc pracy, dg i (a). Jego wyznaczenie odbywa się numerycznie na podsawie wzorów i procedury aproksymacyjnej opisanej w sekcjach 2.14 i 3. Zagregowane koszy pracy spełniają W i N i 1 W i,o N i,o do W i = 1 1 s i ā W i (a)dg i (a) Efekywna liczba jednosek pracy oferowana w okresie przez pracujących należących do grupy i I, dana przez (1), wynosi N i Ñ i = 1 s i ā A i e a dg i (a) Równanie (4) wyznacza dynamikę liczby pracujących. Zgodnie z definicją rozkładu indywidualnej produkywności dg i (a), zagregowane prawdopodobieńswo endogenicznej desrukcji w grupie i I, s i spełnia s i = 1 ā i dg i (a) Mamy eż U i = 1 N i. Warości wszyskich agregaów wyznaczane są numerycznie w sposób opisany w sekcji 3. 2