Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d n ozwiązanie metodą Cramera: a a a a a a a + a +... + a a a a a a a a a a + a +... + a a a a a a a a a a + a +... + a a a Zastępując pierwszą kolumnę ostatniego wyznacznika przez d, d,, d n dostajemy: n n n n n n n n n n n n nn n n nn n n nn n n nn a a an d a an a a a n d a a n an an ann d n an ann Podobne równania możemy znaleźć dla pozostałych niewiadomych w układzie równań. M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład 6-
Wzory Cramera Wprowadzamy oznaczenia (W wyznacznik główny układu): W a a a a a a n n a a a n n nn W j a a d a a a a d a a j- j + n j- j + n a a d a a n nj- n nj + nn ) Jeśli wyznacznik współczynników W jest różny od zera wtedy układ n równań liniowych z n niewiadomymi ma dokładnie jedno rozwiązanie (układ oznaczony) dane przez tzw. wzory Cramera: Wi i i n W ) Jeśli W, ale nie wszystkie W j, j,, n są jednocześnie równe zero, to układ nie ma rozwiązań (układ sprzeczny). ) Jeśli W, oraz wszystkie W j, j,, n są jednocześnie równe zero, to przynajmniej jedno z równań układu jest kombinacją liniową pozostałych. Odrzucając to równanie (równania) dostajemy układ równoważny (mający te same rozwiązania) układowi pierwotnemu, ale zawierający mniej równań niż niewiadomych. Układ taki może być sprzeczny lub nieoznaczony. M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład 6-
Wzory Cramera - interpretacja geometryczna Przykład: ozwiąż układ równań metodą wyznacznikową (Cramera): ( ) ( ) 6 ( 8) + 6 + 8 ( ) ( ) ( ) 6 + 8 Pola równoległoboków zbudowanych z wektorów ( ) ( ) ( ) ( ) ( 6 8) ( ) + i oraz + i są równe: 6 6 8 8 5 Pola równoległoboków zbudowanych z wektorów ( ) ( ) ( ) ( ) ( 6) + 8 ( ) i oraz + i są równe: 6 6 8 8 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ( 8) 6 ( 8) M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład 6-4
Układ równań liniowych jednorodnych Układ równań liniowych w których wszystkie stałe d i, i,., n są równe zero nazywamy układem jednorodnym: wszystkie W i, i,., n a + a +... + an n a + a +... + a n n an + an +... + ann n jeśli wyznacznik główny W, wtedy jedynym rozwiązaniem układu jednorodnego jest rozwiązanie trywialne tzn. i, i,., n jeśli wyznacznik W, wtedy układ może posiadać rozwiązania nietrywialne. Przykład: Dla jakich wartości parametru λ układ równań ( - λ ) + y posiada również inne rozwiązania poza rozwiązaniem y. 4 + ( 5 λ ) y -λ W λ 8 λ+ 7 ( λ )( λ 7) 4 5 λ λ : ( -) + y 4 + ( 5 ) y y fi układ posiada nietrywialne rozwiązania dla λ lub λ7 λ 7 : ( -7) + y 4 + ( 5 7) y y M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład 6-5
Postać schodkowa macierzy Definicja: Operacje elementarne na wierszach (kolumnach) macierzy to: (E) zamiana miejscami dwóch wierszy (kolumn), (E) pomnożenie wszystkich elementów dowolnego wiersza (kolumny) przez liczbę różną od zera, (E) dodanie do dowolnego wiersza (kolumny) kombinacji liniowej pozostałych wierszy (kolumn). Definicja: Macierz A jest w postaci schodkowej jeśli spełnione są następujące warunki: wszystkie niezerowe wiersze występują powyżej wierszy zerowych, jeśli pierwszy niezerowy element w danym wierszu pojawia się w kolumnie j, to wszystkie elementy w tej kolumnie w kolejnych wierszach są równe zero, pierwszy niezerowy element w każdym niezerowym wierszu, pojawia się w dalszej (bardziej na prawo) kolumnie, niż pierwszy niezerowy element w poprzednim wierszu. element wiodący w pierwszym wierszu jest różny od zera * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * elementy wiodące M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład 6-6
ząd macierzy Uwaga: Aby doprowadzić macierz do postaci schodkowej, wykonujemy operacje elementarne tylko na jej wierszach. Definicja: Kolumny oryginalnej macierzy, w których znajdują się elementy wiodące nazywamy kolumnami podstawowymi. Definicja: Macierz A jest w postaci schodkowej zredukowanej E A, jeśli jest w postaci schodkowej i jeśli dodatkowo elementy wiodące są równe, a wszystkie pozostałe elementy w kolumnach podstawowych są równe zero. Uwaga: W postaci schodkowej zredukowanej, zarówno forma macierzy jak i jej poszczególne elementy są określone jednoznacznie. Definicja: zędem macierzy nazywamy (poniższe definicje są równoważne): liczbę niezerowych wierszy, po przekształceniu macierzy do postaci schodkowej, albo liczbę kolumn podstawowych w oryginalnej macierzy, albo liczbę liniowo niezależnych wektorów, których współrzędne w pewnej bazie stanowią kolumny macierzy, albo liczbę liniowo niezależnych wektorów, których współrzędne w pewnej bazie stanowią wiersze macierzy. albo wymiar największego niezerowego minora macierzy. M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład 6-7
Przykład: Znajdź rząd macierzy: A 4 8 6 8 7 5 / 4 / 7 7 ząd macierzy / 4 / 8 / + / 7 / 4 / 4 9 7 7 5 / ząd macierzy A wynosi rz(a) 4 6 Kolumny podstawowe macierzy A:,, 4 7 / M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład 6-8 Każda nie podstawowa kolumna k macierzy A oraz E A daje się zapisać jako kombinacja liniowa kolumn podstawowych znajdujących się na lewo od niej, ze współczynnikami określonymi przez elementy k-tej kolumny macierzy E A : E* 5 4E* + E* + E* 4 E* E* + E * A* A* + A A * * 4A* + A* + A* 5 4
Jednocześnie widać, że nie istnieje minor stopnia 4. M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład 6-9 ząd macierzy Widać, że istnieją minory stopnia i różne od zera, a więc rz(a) Przykład: Znajdź metodą wyznacznikową rząd macierzy: A 4 5 6 7 8 9 Należy sprawdzić czy istnieją niezerowe minory stopnia : 4 5 6 4 5 4 6 5 6 7 8 9 7 8 7 9 8 9 Ponieważ wszystkie minory stopnia są równe zero więc rz(a). Przykład: Znajdź rząd macierzy: A 4 6 4 Kolumny podstawowe E ząd macierzy A wynosi rz(a)
Układy równań liniowych ozważmy układ m równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a + a +... + a n n d a + a +... + a d m m mn n m a a an d a a a n d am am a mn n d m W postaci macierzowej powyższy układ równań zapisujemy jako: A d jeśli wszystkie d i są jednocześnie równe zero, wtedy układ nazywamy jednorodnym, jeśli choć jedno d i jest różne od zera, wtedy układ nazywamy niejednorodnym, istnieją dokładnie trzy możliwości dotyczące zbiorów rozwiązań i układu liniowego rozwiązanie jednoznaczne, tzn. istnieje dokładnie jeden zbiór wartości i spełniający jednocześnie wszystkie równania układu (układ oznaczony) brak rozwiązań, tzn. nie istnieje zbiór wartości i spełniający jednocześnie wszystkie równania układu (układ sprzeczny) nieskończenie wiele rozwiązań, tzn. istnieje nieskończenie wiele zbiorów wartości i spełniających jednocześnie wszystkie równania układu (układ nieoznaczony) M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład 6-
Metoda eliminacji Gaussa Definicja: Dwa układy równań są równoważne, jeśli mają te same zbiory rozwiązań. Twierdzenie: Zamiana miejscami dwóch równań lub pomnożenie stronami równania przez stałą różną od zera lub dodanie do równania kombinacji liniowej innych równań przekształca dany układ równań w układ równoważny. Przykład: ozwiąż układy równań: + y + z 9 + y + z 9 + y + z 9 + 4 y z y 5z 7 y 5z 7 + 6 y 5z y 8z 7 z Stosując wsteczne podstawianie otrzymujemy: z, y, 7. + y + y + y 4 5 + y 5 y 5 5 y 5 + y 4 y 4 Stosując wsteczne podstawianie otrzymujemy: y,. + y + y + y 4 5 + y 5 y 5 5 y 5 + y 4 y Brak rozwiązań. M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład 6-
Metoda eliminacji Gaussa + y + z 9 + y + z 9 + y + z 9 + 4 y z y 5z 7 y 5z 7 + 5 y z y 5z 7 Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań: y ( 5z 7), y z + 9 ( 7z + 9) Definicja: W każdym wierszu (równaniu) pierwszą niezerową zmienną nazywamy zmienną wiodącą. Układ jest w postaci schodkowej jeśli każda zmienna wiodąca znajduje się na prawo od zmiennej wiodącej w równaniu powyżej (nie dotyczy pierwszego równania). Wnioski: W metodzie Gaussa doprowadzamy układ równań do postaci schodkowej. Jeśli każda zmienna jest zmienną wiodącą wtedy układ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Jeśli choć jedna zmienna nie jest zmienną wiodącą i układ nie jest sprzeczny to ma nieskończenie wiele rozwiązań. W celu uproszczenia zapisu przedstawiamy układ równań a a an d a a a n d A d za pomocą tzw. macierzy uzupełnionej U [A d] am am amn d m Twierdzenie: Zastosowanie operacji elementarnych (E, E i E) do wierszy macierzy uzupełnionej, przekształca dany układ równań w układ równoważny. M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład 6-
Metoda eliminacji Gaussa-Jordana Metoda eliminacji Gaussa polega na doprowadzeniu macierzy uzupełnionej do postaci schodkowej za pomocą operacji elementarnych stosowanych do jej wierszy. Przykład: ozwiąż układ równań: + y + z y z + + 5 / / 7 / + y + 4z 4 / / 5 / 5 7 5 5 7 5 54 / 5 8 / 5 zędy macierzy współczynników i uzupełnionej są równe i wynoszą rz(a) rz(u) ozwiązania: ( 7 ) ( ) 5 Metoda eliminacji Gaussa-Jordana polega na dodatkowym wyzerowaniu wszystkich elementów znajdujących się w kolumnie nad elementami wiodącymi. 5 54 5 7 5 Math Player M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład 6-
Metoda eliminacji Gaussa Układy równań o nieskończonej liczbie rozwiązań opis zbioru rozwiązań. Przykład: ozwiąż układy równań: + + + + 4 4 4 Sposoby zapisu zbioru rozwiązań: 4 4 Zmienne wiodące wyrażamy za pomocą zmiennych 4 swobodnych, które traktujemy jako parametry: 4 4 { },,, 4 4 / / 4 + zędy macierzy współczynników i uzupełnionej są równe i wynoszą rz(a) rz(u) < 4 Definicja: Zmienne, które nie są wiodące w postaci schodkowej, nazywamy swobodnymi. M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład 6-4
Istnienie i liczba rozwiązań układu Przykład: ozwiąż układy równań: + y + y + y Układ nie ma rozwiązań (ukł. sprzeczny). Twierdzenie (o istnieniu i liczbie rozwiązań układu równań liniowych) Układ m równań liniowych z n niewiadomymi ma rozwiązania wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy współczynników A jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej U. Jeśli rz(a) rz(u) r oraz r < n to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n-r parametrów. ozwiązanie ogólne układu niejednorodnego ma postać: p + h + h + + h Jeśli rz(a) rz(u) r oraz r n to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Jeśli rz(a) rz(u) to układ nie ma rozwiązań. 5 5 4... n r n r i i i i i i 4 5 zędy macierzy współczynników i uzupełnionej są różne rz(a) rz(u) 5 5 ( p i h i to wektory kolumnowe nä; i to zmienne traktowane jako parametry) M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład 6-5
Jednorodny układ równań liniowych Jednorodny układ równań liniowych a + a +... + an n a + a +... + a n n am + am +... + amn n układ jednorodny ma zawsze rozwiązanie trywialne tzn. i, dla i,., n jeśli rz(a) r oraz r n to układ jednorodny ma tylko rozwiązanie trywialne. jeśli rz(a) r oraz r < n to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n-r parametrów. Ogólne rozwiązanie ma postać: Przykład: ozwiąż układ równań: h + h + + h... n r n r i i i i i i + y + z + 5 y + 7z A 5 7 E + 6 y + 8z 6 8 Ponieważ rz(a) n więc układ ma tylko rozwiązanie trywialne. ónież z postaci macierzy [E ] stosując podstawienia widać, że y z M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład 6-6
Metoda eliminacji Gaussa Przykład: ozwiąż układ równań: + + + 4 + 4 + + 4 + 6 + + 4 4 A 4 E 6 4 5 5 oznacza to, że wyjściowy układ równań jest równoważny układowi dwóch równań: + + + 4 4 Wybieramy dwie wiodące zmienne i wyrażamy poprzez dwie pozostałe: ozwiązanie zapisujemy w postaci: 4 4 + 4 4 M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład 6-7