MATEMATYKA STOSOWANA W INŻYNIERII CHEMICZNEJ

MATEMATYKA STOSOWANA W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wkład 4 Matematcze opracowwae wków ekspermetalch Cz. I. Metoda ajmejszch kwadratów Cz. II. Metod statstcze

UWAGI OGÓLNE Ekspermet wkowae w auce moża podzelć a dwe kategore: ekspermet jakoścowe, którch wkem jest potwerdzee lub zaprzeczee określoej tez ekspermet loścowe, którch wkem jest szereg lczb wzaczoch dla określoch parametrów. Lczb te ajczęścej dają wartośc pewch fukcj a ogół ewadomch. Wk ekspermetów jakoścowch są opracowwae metodam statstk matematczej. W żer chemczej ekspermet jakoścowe są przeprowadzae rzadko dlatego w dalszm cągu e będzem sę zajmować ch opracowwaem. Wększość ekspermetów ma charakter loścow. Odpowede opracowae takch loścowch wków pozwala zarówo a loścow ops badaego procesu, jak a pewe jakoścowe wosk dotczące aukowego wjaśea różch zjawsk. W toku opracowwaa wków loścowch bardzo ważą rolę odgrwa fakt, że e są oe dokłade ale są zawsze obarczoe pewm błędem.

UWAGI OGÓLNE W przpadku badaa przebegu jakejś fukcj możlwe jest jej dośwadczale wzaczee tlko w określoch puktach. Badae ajczęścej polega a tm, że po ustaleu wartośc zmeej ezależej w pukce dokouje sę pomaru wartośc fukcj a wk zapsuje sę jako. Ab dobrze uchwcć przebeg fukcj wkouje sę szereg pomarów w różch puktach. Wkem ekspermetu jest zatem zbór par {, }. Tak zbór jest to dośwadczale wzaczoa fukcja =f( w postac dskretej.

UWAGI OGÓLNE Najczęścej fukcja taka przedstawaa jest w postac tabel. Przkładowo może to bć zależość stężea produktu pewej reakcj chemczej od czasu: X=Czas [s] Y=Stężee [kmol/m 3 ] 0 0.0 00 0.53 00 0. 500 0.50

UWAGI OGÓLNE Ops jedak fukcj w postac dskretej jest a ogół mało przdat. W zastosowaach bardzej użtecze są fukcje cągłe określoe dla dowolch argumetów. W postac cągłej za pomocą wzorów przedstawae są a ogół zależośc otrzmae za pomocą modelowaa matematczego, p. zoterma Lagmura.

UWAGI OGÓLNE Zagadee zastępowaa fukcj dskretej otrzmaej dośwadczale, pewą fukcją cągłą mającą a ogół podstawę teoretczą, azwam aproksmacją. Jedą z metod aproksmacj bardzo szeroko stosowaą w żer jest tzw. metoda ajmejszch kwadratów. W dalszm cągu omówę tę metodę dla przpadku fukcj jedej zmeej. W łatw sposób moża rozważaa uogólć a fukcje welu zmech.

APROKSYMACJA FUNKCJI ZA POMOCĄ METODY NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Zakładam, że w dam probleme wstępuje fukcja jedej zmeej, która jest określoa za pomocą k stałch parametrów a j : f (, a, a,..., a,..., a j k W celu wzaczea wartośc parametrów przeprowadza sę ekspermetów dla pewego zboru wartośc zmeej merząc odpowede wartośc : ekspermet,..., [,,...,,..., ] [,,..., ] aproksmac ja [ a, a,... a k ]

APROKSYMACJA FUNKCJI ZA POMOCĄ METODY NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Rozważm wzajeme relacje mędz k tz. mędz lczbą ewadomch parametrów a lczbą ezależch ekspermetów. Przpadek I <k (lczba ekspermetów jest mejsza ż lczba parametrów. W takm przpadku a ogół proces aproksmacj e będze jedozacz. Przpadek II =k (lczba ekspermetów jest rówa lczbe parametrów Dla każdego ezależego ekspermetu moża apsać rówae, w którm prawa stroa jest wkem ekspermetu.

APROKSYMACJA FUNKCJI ZA POMOCĄ METODY NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW W rezultace otrzmujem układ rówań: f (, a,..., a f (, a,..., a... f (, a,..., a Rozwązae tego układu rówań daje am ewadom wektor parametrów a=[a,a,,ak]. Tak moża postąpć pod warukem, że pomar są absolute dokłade czl obarczoe zerowm błędem. W rzeczwstośc błęd pomarowe mogą bć dosć duże. Ab ukąć przeoszea sę tch błędów a wzaczae parametr, wkouje sę zazwczaj zacze węcej pomarów ż wos lczba parametrów.

APROKSYMACJA FUNKCJI ZA POMOCĄ METODY NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Przpadek III >k (lczba ekspermetów jest wększa ż lczba parametrów. Do tego właśe przpadku stosowaa jest metoda ajmejszch kwadratów. Podobe postępowae jak w przpadku II prowadz do układu rówań, w którm jest węcej rówań ż ewadomch. Take układ rówań są z reguł sprzecze tz. e mają dokładch rozwązań. Możem jedak poszukwać rozwązań przblżoch tz. takch dla którch fukcja będze opswać wk dośwadczeń z pewm błędem. Mmalzację tch błędów zapewa właśe metoda ajmejszch kwadratów. Rozważm prost przkład fukcj lowej o dwu parametrach:

APROKSYMACJA FUNKCJI ZA POMOCĄ METODY NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW a b Wkoajm 5 ekspermetów dla [,, 3, 4, 5 ] otrzmując wk [,, 3, 4, 5 ]. Arbtrale przeprowadzee l prostej daje wektor odchleń (błędów bezwzględch: δ,,,, ] [ 3 4 5 a b gdze

APROKSYMACJA FUNKCJI ZA POMOCĄ METODY NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Rozważm teraz szczegółowo przpadek aproksmacj fukcj z k parametram za pomocą wków ekspermetów, prz czm >k. Poeważ poszczególe ekspermet mogą meć różą dokładość, fakt te uwzględa sę za pomocą tzw. wag. Mam węc:

APROKSYMACJA FUNKCJI ZA POMOCĄ METODY NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW k k a a f w w w w w k a a f,...,, ( ],...,, [ 0 ],...,, [ ],...,, [ ],...,, [,...,, ( W celu mmalzacj wektora błędów wprowadźm fukcję S zdefowaą jako ważoą sumę kwadratów błędów poszczególch pomarów:

APROKSYMACJA FUNKCJI ZA POMOCĄ METODY NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW k k S w w [ f (, a,..., a ] S( a, a,..., a Fukcja S ma swoje głęboke uzasadee w rachuku prawdopodobeństwa. Jest oa ścśle zwązaa z tzw. rozkładem ormalm Gaussa. Istotą metod ajmejszch kwadratów jest poszukwae takch wartośc parametrów a,a,,a k, prz którch wartość S jest ajmejsza. mmum S [ a, a,..., a k ]

APROKSYMACJA FUNKCJI ZA POMOCĄ METODY NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Poszukwaem ekstremalch puktów różch fukcj zajmuje sę osob dzał matematk optmalzacja. W przpadku różczkowach fukcj welu zmech ajprostszą metodą optmalzacj jest porówae do zera wszstkch pochodch cząstkowch. W aszm przpadku ależ przrówać do zera pochode cząstkowe fukcj S względem szukach parametrów. W rezultace otrzmujem układ k rówań z k ewadomm: S 0 a S 0 S( a, a,..., ak mmum a [ a, a... S 0 ak,..., a k W ogólm przpadku rozwązae aaltcze tego układu e jest możlwe. Jedak dla szerokej klas fukcj układ te jest low teraz zajmem sę tm przpadkem. ]

METODY NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW DLA FUNKCJI LINIOWYCH ZE WZGLĘDU NA PARAMETRY Fukcje, w którch parametr a,a,,a k wstępują w postac lowej azwam fukcjam lowm ze względu a parametr. Fukcje take moża zapsać w postac: f (, a, a,..., ak a ( a (... akk ( a j j ( gdze (, (,..., k ( k j są to stosukowo proste ale lowo ezależe tzw. fukcje bazowe.

METODY NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW DLA FUNKCJI LINIOWYCH ZE WZGLĘDU NA PARAMETRY Przkład fukcj bazowch: k j (, 0,,,..., k j ( 0... k j0 f a a a a a a a a a k j k (, 0,,,..., k j 0... k j0 f a a a a a e a a e a e a e f (, a, a, a,..., a a s( j 0 0 k j0 a a s( a s(... a s( k k j k k

METODY NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW DLA FUNKCJI LINIOWYCH ZE WZGLĘDU NA PARAMETRY Załóżm teraz że asza fukcja, której parametrów poszukujem ma postać fukcj lowej ze względu a parametr. W celu zalezea parametrów ależ wzaczć pochode cząstkowe fukcj S względem kolejch parametrów skostruować odpowed układ rówań. Fukcja S będze mała postać: S w f a a w a k [ (,,..., k ] j j ( j

METODY NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW DLA FUNKCJI LINIOWYCH ZE WZGLĘDU NA PARAMETRY Pochoda ze względu a parametr a będze mała postać: S w a jj ( w a jj ( a a j a j k k k k k w a j j ( a j j ( w a j j ( ( j a j j w [ a ( a (... akk ( ] ( w ( a w ( ( a w ( (... ak w k ( ( w ( 0 Porówae tej pochodej do zera daje am perwsze rówae z układu rówań. Możem łatwo zauważć, że jest to rówae lowe ze względu a szukae ewadome a,a,,a k. W sposób aalogcz otrzmujem koleje rówaa. Cał układ będze mał postać:

METODY NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW DLA FUNKCJI LINIOWYCH ZE WZGLĘDU NA PARAMETRY k k k k k k k k k k w w a w a w a w w a w a w a w w a w a w a ( ( (... ( ( ( (... ( ( (... ( ( ( ( ( ( (... ( ( ( ( Wprowadzee ozaczeń: ( ( ( j r rj r r w b w c gdze j ozacza umer kolum a r umer rówaa otrzmujem układ rówań w postac:

METODY NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW DLA FUNKCJI LINIOWYCH ZE WZGLĘDU NA PARAMETRY a b a b... a b c k k a b a b... a b c k k... a b a b... a b c k k k kk k

METODY NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW DLA FUNKCJI LINIOWYCH ZE WZGLĘDU NA PARAMETRY Układ te ma bardzo prostą postać macerzową: [ B] [ a] [ c] Układ rówań lowch ma jedozacze rozwązae wted gd wzaczk macerz główej układu jest róż od zera tz. [ B] 0 W takm przpadku rozwązae możem zapsać macerzowo: [ a] [ B] [ c]

METODY NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW DLA FUNKCJI LINIOWYCH ZE WZGLĘDU NA PARAMETRY W aszm przpadku moża wkazać że jeżel: a układ fukcj φ,φ,,φ k jest lowo ezależ b pukt dla którch bł wkowae dośwadczea są róże (e powtarzają sę to wzaczk macerz [B] jest róż od zera układ ma jedozacze rozwązae. W praktce układ rówań lowch rozwązujem albo metodam aaltczm (p. metodą Cramera albo przblżom (p. Gaussa.

METODY NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW DLA FUNKCJI LINIOWYCH ZE WZGLĘDU NA PARAMETRY Jako szczegól przpadek powższej metod wprowadzm wzor określające współczk w rówau l prostej: ],...,, [ ],..., [ ],...,, [ ( (, w w w w k a a Poeważ mam parametr, układ rówań lowch będze układem dwu rówań z dwoma ewadomm. Poszczególe współczk w tm układze będą mał postać:

METODY NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW DLA FUNKCJI LINIOWYCH ZE WZGLĘDU NA PARAMETRY b w b w c w b w b w c w

METODY NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW DLA FUNKCJI LINIOWYCH ZE WZGLĘDU NA PARAMETRY Rozwążm te układ metodą Cramera tz. za pomocą wzaczków: D D a a gdze D D D bb bb w w w D cb bc w w w w D bc cb w w w w

METODY NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW DLA FUNKCJI LINIOWYCH ZE WZGLĘDU NA PARAMETRY w w w w w w w D D a w w w w w w w D D a

METODY NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW DLA FUNKCJI LINIOWYCH ZE WZGLĘDU NA PARAMETRY Wprowadźm jako ozaczea tzw. średe ważoe: m m w w w w m ( m ( w w w w

METODY NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW DLA FUNKCJI LINIOWYCH ZE WZGLĘDU NA PARAMETRY Wprowadzee średch ważoch pozwala a zapsae otrzmach wcześej wzorów w postac łatwej do stosowaa zapamętaa: a ( ( m m m m ( ( m m a ( m m m ( ( m m

METODY NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW FUNKCJE NIELINIOWE ZE WZGLĘDU NA PARAMETRY W praktce żerskej często parametr wchodzą do fukcj w sposób elow. W takm przpadku układ rówań wkając z przrówaa pochodch do zera też jest elow. Moża te układ rozwązwać umercze. W praktce jedak często stosuje sę metodę learzacj. Metodka postępowaa jest astępująca: Zasadcze zmee zastępujem owm zmem X Y w tak sposób, ab po podstaweu przekształceu otrzmać fukcję lową ze względu a parametr.

METODY NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW FUNKCJE NIELINIOWE ZE WZGLĘDU NA PARAMETRY f (, a, a,..., a Y F( X, A, A,..., A A ( X k k j j j [,,..., ] X [ X, X,..., X ] [,,..., ] Y [ Y, Y,..., Y ] a [ a, a,..., a ] learzacja learzacja learzacja learzacja A [ A, A,..., A ] k mmalzacja S w Aj j ( X Y j A [ A, A,..., A ] a [ a, a,..., a ] k k k

METODY NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW FUNKCJE NIELINIOWE ZE WZGLĘDU NA PARAMETRY Należ zwrócć uwagę, że learzacja co prawda ułatwa rozwązae problemu, ale wprowadza pewe dodatkow błąd zwąza z przekształceem fukcj. Mmalzuje sę tutaj e odchlea badaej fukcj ale odchlea fukcj przekształcoej. Na ogół te dodatkow błąd jest ewelk pomjal. Moża go jedak skorgować wprowadzając odpowedą wagę: w Y W przpadku gd fukcja learzacja Y( jest fukcją logartmczą learzacja prowadz do mmalzacj błędów względch fukcj.

w METODY NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW FUNKCJE NIELINIOWE ZE WZGLĘDU NA PARAMETRY Przkład Załóżm, że fukcja aproksmowaa ma postać: f ( l( a e a Fukcję tę moża łatwo zlearzować za pomocą astępującch przekształceń: X e l( ae a Y e e a e a a X a Korekta błędów learzacj za pomocą wag będze mała postać: Y e Y 4 / Y

Cz. II Matematcze opracowwae wków ekspermetalch Metod statstcze

UWAGI OGÓLNE W II częśc wkładu chcałbm Państwu przedstawć podstawowe wadomośc zwązae z aalzą błędów ekspermetalch za pomocą metod statstczch.

BŁĘDY POMIAROWE Podstawowe formacje o błędach pomarowch. Najczęścej użwam pojęcam określającm epewość wków pomarowch są: błąd bezwzględ (absolut oraz błąd względ (procetow. Błąd bezwzględ jest to po prostu różca mędz uzskaą wartoścą zmerzoą a wartoścą rzeczwstą. Dokłada wartość merzoej welkośc a ogół e jest zaa (jej wzaczee jest celem pomaru. Błąd bezwzględ ma te sam wmar, co welkość merzoa może bć dodat lub ujem.

BŁĘDY POMIAROWE Błąd względ jest to stosuek błędu bezwzględego do wartośc rzeczwstej: Błąd względ jest bezwmarow może bć dodat lub ujem. W popularm zastosowau jest jego wartość pomożoa przez 00 azwaa względm błędem procetowm.

BŁĘDY POMIAROWE Bardzo stote z puktu wdzea statstk są pojęca błędu sstematczego przpadkowego. Błędem sstematczm azwam część błędu bezwzględego, która pojawa sę w każdm pomarze której e moża welmować za pomocą powtarzaa pomarów. Przczą błędów sstematczch a ogół jest ukrta wada przrządów pomarowch lub ewłaścwa procedura pomarowa. Błąd przpadkow jest to atomast ta część błędu bezwzględego, która powstaje a skutek welu przcz pojawającch sę losowo podczas określoego pomaru. ( ( W zwązku z tm, że błędów sstematczch e moża zmejszć za pomocą powtarzaa pomarów w dalszch rozważaach e będzem sę tm błędam zajmować tz. będzem przjmować, że cał błąd ma charakter losow. s p

Rozkład prawdopodobeństwa Rozkład prawdopodobeństwa stosowae w aalze statstczej ekspermetu fzkochemczego. Powtarzae daego pomaru daje róże wk, dlatego zarówo wk pomaru, błąd bezwzględ jak względ moża traktować jako zmee losowe o pewm rozkładze prawdopodobeństwa. Spośród welu rozkładów prawdopodobeństwa stosowach w statstce matematczej fudametale zaczea ma tzw. rozkład ormal Gaussa, którego postać aaltcza jest astępująca: ( Welkość ( Ilocz ep ( 0 jest to tzw. gęstość rozkładu zmeej losowej. ( d ozacza prawdopodobeństwo, że wartość zmeej losowej zajdować sę będze mędz a +d.

Rozkład prawdopodobeństwa Rozkład ormal jest określo za pomocą dwu parametrów: 0 ozacza środek rozkładu, - ozacza szerokość rozkładu. Moża wkazać, że środek rozkładu ormalego jest jedocześe wartoścą oczekwaą (w zaczeu teor prawdopodobeństwa zmeej losowej, atomast szerokość rozkładu σ jest jedocześe odchleem stadardowm zmeej losowej. Kwadrat odchlea stadardowego σ azwa jest waracją rozkładu zmeej losowej.

Rozkład prawdopodobeństwa Przkładow wkres rozkładu ormalego: ρ( 0.4 0.3 0. 0. -3 - - 3 Przedstawo rozkład ma parametr: 0 =0, σ=

Rozkład prawdopodobeństwa Odchlee stadardowe wskazuje, że prawdopodobeństwo tego że wk pomaru będze zawerał sę w gracach: wos 68,6 %. 0 0 Wartość ta określa tzw. pozom ufośc często stosowa w statstce. Podwższee pozomu ufośc skutkuje dopuszczeem, że błąd będze wększ ż wartość σ. Np. przedzał 0 posada pozom ufośc 95,45 %. Zależość mędz pozomem ufośc a dopuszczalm zakresem błądu określa tzw. fukcja błędu będąca całką rozkładu ormalego: P( gdze 0 t z t 0 erf ( ep t t Wrażee po lewej stroe (3.45 ozacza dz prawdopodobeństwo (pozom ufośc otrzmaa wku w zakrese 0

Aalza statstcza pomarów Aalza statstcza pomaru jedej welkośc. W ektórch ekspermetach fzkochemczch wzacza sę jedą welkość za pomocą pomarów prowadzoch w podobch warukach. Zakładając, że błęd wpłwające a wk pomaru mają charakter losow moża wkazać, że rozkład zmeej losowej będącej wkem pomarów jest rozkładem ormalm, którego środek jest dobrą marą welkośc merzoej, a odchlee stadardowe jest dobrą marą wartośc bezwzględej średego błędu bezwzględego. Załóżm, że wkoalśm pomarów, którch wk tworzą dskret zbór { } {,,..., } Założee o ormalm rozkładze wków prowadz do wosku, że ajlepszą marą środka rozkładu, czl rzeczwstej wartośc jest średa artmetcza......

Aalza statstcza pomarów Zajomość zboru pomarowego { } pozwala róweż a oblczee dobrego oszacowaa waracj rozkładu ormalego σ : Welkośc lm ( mają waże własośc gracze: ( ( 0 lm Ozacza to, że rozkład ormal jest rozkładem graczm prz eskończoej lczbe pomarów. W rzeczwstośc zazwczaj wstarczająca lczba pomarów to klka lub klkaaśce.

Aalza statstcza pomarów W praktce bardzo stote jest oszacowae waracj. Pozwala oo a oblczee odchlea stadardowego będącego marą epewośc (czl błędu wzaczaej welkośc: ( Wzór powższ określa oszacowae odchlea stadardowego pojedczego pomaru w ser pomarowej. Średa artmetcza wszstkch pomarów jest oczwśce dokładejsza a oszacowae dla ej odchlee stadardowe dae jest wzorem: ( ( Zauważm, że pojawają sę tutaj sum kwadratów różc wartośc merzoej średej artmetczej. Zatem zastosowae metod ajmejszch kwadratów prowadz do mmalzacj odchlea stadardowego merzoej welkośc. (

Aalza statstcza pomarów Zasad przeoszea kumulacj błędów. W welu przpadkach ostatecz wk ekspermetu powstaje a skutek pewego przekształcea wku pomarowego. Przkładowo, objętość kul otrzmam po zmerzeu jej średc zastosowau odpowedego wzoru. W takm przpadku zmae ulege róweż błąd. Zasada przeoszea błędu, w przpadku przekształcea jedej welkośc polega a zastosowau wzoru: q dq( d gdze merzoą welkoścą jest, a końcow wk q otrzmujem a podstawe fukcj q(

Aalza statstcza pomarów Jako przkład rozpatrzm zagadee wzaczea objętośc kul za pomocą pomaru jej średc. Ab otrzmać objętość ależ zastosować wzór V 3 D dv 3D stąd 6 dd 6 D V D

Aalza statstcza pomarów Zasad przeoszea kumulacj błędów. Dosć często, końcow wk q jest rezultatem ezależch pomarów różch welkośc,,..., N q q(,,..., N,,..., N oraz fukcj welu zmech: Załóżm, że zam oszacowaa błędów pomarów poszczególch zmech: Oszacowae błędu końcowej welkośc jest dae wzorem: q q q q... N N

Aalza statstcza pomarów Przkładowo rozpatrzm błąd popeło podczas wzaczaa gęstośc pewego materału za pomocą pomaru mas próbk w kształce sześcau. Mam tutaj dwa ezależe pomar: mas m a pomocą wag długośc boku a za pomocą p. suwmark. Te dwa pomar mają określoe błęd: m a. Błąd bezwzględ gęstośc ρ oblczm stosując powższ wzór z uwzględeem wzoru określającego gęstość:

Aalza statstcza pomarów m m ma a ma V a m a 3 3 4 3 3 m a m a a 3 m 9 m a a Dzeląc obustroe przez gęstość moża otrzmać wzór określając błąd względ pomaru gęstośc: m 9 a

Aalza statstcza pomarów Aalza statstcza ekspermetu wzaczającego zależość fukcją. W ogromej wększośc, ekspermet polegają a dośwadczalm wzaczau wartośc pewej fukcj jedej lub welu zmech. Celem ekspermetu jest albo sama fukcja (p. zależość prężośc par ascoej od temperatur, albo jej parametr (p. wartość eerg aktwacj w zależośc Arrheusa. Fukcję (lub jej parametr wzacza sę prowadząc szereg pomarów w wbrach z dzedz fukcj puktach. Pomar w różch puktach, ścśle rzecz borąc, są pojedczm ekspermetam opsam przez pojedcze zmee losowe (róże dla różch pomarów. Ab przeprowadzć aalzę statstczą takch pomarów, zakłada sę że prowadzoe są oe z taką samą dokładoścą a zmea losowa opsująca ch błęd bezwzględe ma rozkład ormal o środku 0 pewej szerokośc rówej średemu odchleu stadardowemu. Na podstawe tego założea moża przeprowadzć aproksmację fukcj metodą ajmejszch kwadratów oraz oszacować średe błęd wartośc fukcj jej parametrów.

Błęd parametrów wzaczoch metodą ajmejszch kwadratów W przpadkach, ked dokładośc poszczególch pomarów są stote róże, słuszość powższego założea moża zachować, wprowadzając odpowede wag sprowadzające róże rozkład losowe do jedego rozkładu ważoego. Załóżm, że wkoao pomarów w różch puktach. Pukt te tworzą dskret zbór { }. Wag poszczególch pomarów są określoe przez eujeme lczb w. Wk pomarów dają dskret zbór { }. Następe za pomocą metod ajmejszch kwadratów aproksmujem dskretą fukcję ekspermetalą, otrzmując cągłą fukcję modelową: f (, a, a,..., a k Zajomość tej fukcj pozwala a oszacowae średch wartośc waracj odchlea stadardowego pojedczego pomaru welkośc :

Błęd parametrów wzaczoch metodą ajmejszch kwadratów w [ f (, a, a,..., ak ] ( k w w [ f (, a, a,..., ak ] ( k w

Błęd parametrów wzaczoch metodą ajmejszch kwadratów W częstm przpadku, gd pomar są jedakowo waże a lczba parametrów wos, wzór określając odchlee stadardowe przjmuje postać: [ f (, a, a] (

Błęd parametrów wzaczoch metodą ajmejszch kwadratów Nepewośc parametrów w metodze ajmejszch kwadratów Wzaczoe metodą ajmejszch kwadratów parametr a,a,,a k fukcj aproksmującej f( są róweż obarczoe epewoścą. Zakładając, że pukt są ustaloe dokłade moża apsać a f (,,...,,..., j Postać powższej fukcj f wka z zastosowaej procedur ajmejszch kwadratów wzaczającej wartośc parametrów. Każd pomar jest wkoa z określoą dokładoścą, którą moża oszacować za pomocą wzorów a σ. Błęd poszczególch pomarów przeoszą sę a wartośc parametrów. Trzeba zatem zastosować wzór określając to przeoszee a j a j a j j a j a

Błęd parametrów wzaczoch metodą ajmejszch kwadratów Mam zatem wzór uzależając epewośc parametrów z waracją zmeej : a j a j Dla fukcj lowej ze względu a parametr k a j j( j postać fukcj określającej da parametr moża określć za pomocą metod Cramera rozwązującej układ rówań metod ajmejszch kwadratów. Odpowede podstawea przekształcea prowadzą do wzorów:

Błęd parametrów wzaczoch metodą ajmejszch kwadratów w det j ( B a j det B j,,..., k gdze B jest macerzą główą układu rówań opsującch współczk atomast B j( jest macerzą kwadratową rzędu k, powstałą przez zastąpee j tej kolum w macerz B wektorem: [ (, (,..., (,..., ( ] r k

Błęd parametrów wzaczoch metodą ajmejszch kwadratów Przpomam, że fukcja lowa ze względu a parametr ma postać: f (, a, a,..., ak a ( a (... akk ( a j j ( k j gdze (, (,..., k ( są to stosukowo proste ale lowo ezależe tzw. fukcje bazowe.

Błęd parametrów wzaczoch metodą ajmejszch kwadratów gdze: Natomast low układ rówań określając współczk ma postać: a b a b... a b c k k a b a b... a b c k k... a b a b... a b c k k k kk k w ( ( b j r rj w ( c r r

Błęd parametrów wzaczoch metodą ajmejszch kwadratów W przpadku pomarów jedakowo ważch gd w = oraz w wzór określając waracje poszczególch parametrów moża uproścć do wrażea: det B jj a,,..., j j k det B gdze: B jj ozacza macerz k- rzędu powstałą przez skreślee w macerz B j tej kolum oraz j tego wersza.

Błęd parametrów wzaczoch metodą ajmejszch kwadratów Dla fukcj lowej postac f(=a +a w przpadku pomarów jedakowo ważch wrażea określające waracje parametrów przjmują astępującą postać: [ ( aa ] a ( a [ ( aa ] (

Na tm kończm dzsejsz wkład Dzękuję bardzo Państwu za uwagę