ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15
Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych 17 5 Maªe Twierdzenie Fermata 19 6 Twierdzenie Eulera 22 7 Twierdzenie Lagrange'a 26 8 Chi«skie Twierdzenie o Resztach 29 9 RSA i gra w orªa i reszk przez telefon 34 10 Kongruencje wy»szych stopni 38 11 Liczby pseudopierwsze 44 12 Pierwiastki pierwotne 49 13 Istnienie pierwiastków pierwotnych 53 14 Logarytm dyskretny 58 15 Pewne zastosowania pierwiastków pierwotnych 61 2
Wykªad 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci Podstawow ide arytmetyki modularnej jest zredukowanie skomplikowanych oblicze«. Jednym ze sposobów jest zast pienie dziaªa«na liczbach przez dzia- ªania na resztach z dzielenia tych liczb przez inn liczb. Na przykªad, aby stwierdzi jaka jest ostatnia cyfra sumy 145328 + 334245 nie trzeba wykonywa caªego dodawania, tylko doda ostatnie cyfry tych liczb, tj. reszty z dzielenia przez 10. Otrzymujemy 8+5 = 13, czyli ostatni cyfr naszej sumy jest 3. Sprawd¹my teraz, czy liczba 223837653 jest kwadratem innej liczby. Je±li tak, to jej ostatni cyfr jest jedna z ostatnich cyfr liczb 0 0 = 0, 1 1 = 1, 2 2 = 4, 3 3 = 9, 4 4 = 16, 5 5 = 25, 6 6 = 36, 7 7 = 49, 8 8 = 64, 9 9 = 81, czyli 0, 1, 4, 5, 6 lub 9 (dodatkowo zauwa»my,»e je±li liczba n jest kwadratem i jej ostatni cyfr jest zero, to liczba zer na ko«cu jest parzysta). Poniewa» cyfry 3 nie ma na powy»szej li±cie, wi c 223837653 nie jest kwadratem liczby caªkowitej. Wprowad¹my teraz oznaczenie m mod n dla reszty z dzielenia liczby caªkowitej m przez liczb caªkowit n ró»n od zera. Z dziaªania tego korzystamy cz sto w»yciu codziennym: Je±li teraz jest godzina 10.45, to za póª godziny b dzie godzina 11 minut (45 + 30) mod 60, czyli 15. Symbol,, mod oznacza dziaªanie arytmetyczne. Kiedy w nast pniku tego dziaªania ustalimy liczb m, a za poprzednik b dziemy brali kolejne liczby caªkowite, to zauwa»ymy,»e wynik dziaªania powtarza si co m liczb. Liczby, które daj ten sam wynik, gdy podziaªa si na nie t sam liczb m, nazywamy przystaj cymi modulo m. Przypu± my,»e a, b, m 0 s liczbami 3
caªkowitymi. Mówimy,»e a przystaje do b modulo m, co zapisujemy a b (mod m), (1.1) je±li m a b. Zapis (1.1) nazywamy kongruencj. moduªem kongruencji. Liczb m nazywamy 1.1 Przykªad. Poniewa» 9 23 14, wi c 23 14 (mod 9). Mamy te» 23 14 (mod 3). Ka»de dwie liczby ze zbioru {..., 4, 5, 14, 23, 32,... } przystaj do siebie modulo 9. Ka»de dwie liczby caªkowite a oraz b przystaj do siebie modulo 1 oraz modulo 1. Mamy wi c a b (mod 1) oraz a b (mod 1). Dlatego nie warto rozwa»a kongruencji o module 1. Poniewa» a b (mod m) implikuje a b (mod m), wi c rozwa»amy tylko dodatnie moduªy. Od tej pory zakªadamy,»e moduª kongruencji jest liczb caªkowit dodatni wi ksz od 2. Przypomnimy teraz znany fakt o dzieleniu z reszt. 1.2 Twierdzenie. Je±li a, m Z oraz m 0, to istniej jednoznacznie zdeniowane liczby q Z oraz r {0, 1,..., m 1}, takie»e a = q m + r. Dowód. Je±li m = 1, to a = a m + 0 i liczby a oraz 0 s wyznaczone jednoznacznie. Podobnie mamy w sytuacji, gdy m = 1: a = ( a)m + 0. Zaªó»my wi c,»e m > 1 i rozwa»my zbiór R = {a xm : x Z}. W zbiorze R istnieje przynajmniej jedna liczba dodatnia. Aby to zauwa»y, wystarczy rozwa»y kilka przypadków, np. gdy a < 0 oraz m > 0, to za x mo»na wzi liczb a. Wtedy a xm a. Niech y b dzie najmniejsz liczb nieujemn nale» c do R. Wówczas a xm = y, czyli a = xm + y. Poka»emy,»e y < m. Istotnie, gdyby y byªo wi ksze od m 1, to y m 0 oraz y m = a (x + 1)m, czyli y m R i y m < y, sk d sprzeczno±. Zatem pokazali±my istnienie liczb q oraz r. Zaªó»my,»e istniej dwa ró»ne zapisy a = q 1 m + r 1 oraz a = q 2 m + r 2, przy czym r 1, r 2 R. Wówczas (q 1 q 2 )m = r 2 r 1. Ale r 2 r 1 < m oraz m r 2 r 1, wi c r 2 r 1 = 0. Dalej, (q 1 q 2 )m = 0, wi c skoro m 0, tak»e q 1 q 2 = 0. 4
Z powy»szego twierdzenia wynika,»e kongruencja (1.1) oznacza,»e a oraz b daj takie same reszty przy dzieleniu przez m, czyli a mod m = b mod m. Je»eli m a b, to fakt ten zapisujemy a b (mod m) i mówimy,»e a nie przystaje do b modulo m. Ustalmy teraz liczb m i zdeniujmy na zbiorze Z relacj ρ nast puj co: aρb a b (mod m) (1.2) 1.3 Twierdzenie. Relacja zdeniowana w (1.2) jest relacj równowa»no±ci. Klasy abstrakcji tej relacji tworz zbiór reszt modulo m. Dowód. Wystarczy pokaza,»e relacja (1.2) jest zwrotna, symetryczna i przechodnia, czyli»e 1. a a (mod m); 2. je±li a b (mod m), to b a (mod m); 3. Je±li a b (mod m) oraz b c (mod m), to a c (mod m). Aby pokaza 1, zauwa»my,»e a a = 0, zatem m a a. Symetryczno±, czyli 2, wynika z faktu,»e b a = (a b), wi c je±li m a b, to m b a. Aby pokaza 3, zapiszmy m a b oraz m b c. St d m (a b) + (b c), czyli m a c. Zbiór ilorazowy relacji (1.2) oznaczamy Z/mZ lub Z m. Zatem Z 5 skªada si z nast puj cych zbiorów: [0] = {..., 10, 5, 0, 5, 10, 15,... }, [1] = {..., 9, 4, 1, 6, 11, 16,... }, [2] = {..., 8, 3, 2, 7, 12, 17,... }, [3] = {..., 7, 2, 3, 8, 13, 18,... }, [4] = {..., 6, 1, 4, 9, 14, 19,... }. Zazwyczaj uto»samiamy elementy 0, 1, 2, 3, 4 z klasami abstrakcji, które s przez nie reprezentowane. Piszemy wi c Z 5 = {0, 1, 2, 3, 4}. Okazuje si,»e kongruencjami mo»na manipulowa bez wyra»ania liczb za pomoc reszt i ilorazów cz ±ciowych. Przy ustalonym module m, kongruencje mo»na dodawa, odejmowa i mno»y stronami. 5
1.4 Twierdzenie. Dla dowolnych liczb caªkowitych a, b, c, d oraz m 0 je±li a b (mod m) oraz c d (mod m), to równie» (a) a + c b + d (mod m), (b) a c b d (mod m), (c) ac bd (mod m). Dowód. Poniewa» m a b oraz m c d, wi c m a b + c d, co dowodzi (a), oraz m a b (c d), co dowodzi (b). Aby pokaza (c), zapiszmy ms = a b oraz mr = c d i rozwa»my ac bd. Mamy ac bd = ac ad + ad bd = a(c d) + d(a b) = mra + msd = m(ra + sd). St d m ac bd, czyli teza (c) jest prawdziwa. Poniewa» c c (mod m), wi c punkt (c) powy»szego twierdzenia implikuje nast puj cy wniosek. 1.5 Wniosek. Dla dowolnych liczb caªkowitych a, b, c oraz m 0, je»eli a b (mod m), to ac bc (mod m). Pot gowanie o wykªadniku naturalnym jest wielokrotnym mno»eniem. Dlatego mamy kolejny wniosek. 1.6 Wniosek. Dla dowolnych liczb caªkowitych a, b, m 0 oraz liczby naturalnej k, je»eli a b (mod m), to a k b k (mod m). Twierdzenie 1.4 oraz wnioski po nim implikuj nast puj ce twierdzenie, które b dziemy pó¹niej cz sto u»ywa. 1.7 Twierdzenie. Przypu± my,»e dany jest wielomian f(x) o wspóªczynnikach w zbiorze liczb caªkowitych. Je±li a b (mod m) jest prawdziwa, to zachodzi te» kongruencja f(a) f(b) (mod m). 6
Przykªady 1.8. Jaka jest ostatnia cyfra liczby 3 23? Poniewa» 3 3 (mod 10), 3 2 9 (mod 10), 3 3 9 3 7 (mod 10), 3 4 7 3 1 (mod 10), 3 5 1 3 3 (mod 10), wi c cyfry w kolejnych pot gach liczby 3 powtarzaj si cyklicznie co cztery. Zatem 3 23 ma ostatni cyfr tak sam jak 3 3, czyli 7. 1.9. Znajdziemy 2 32 mod 17. Zauwa»my,»e 2 4 1 (mod 17). Zatem 2 8 = 2 4 2 4 ( 1) ( 1) = 1 (mod 17). Podobnie dostajemy 2 16 1 (mod 17) oraz 2 32 1 (mod 17). Zatem 2 32 mod 17 = 1. Kongruencji nie mo»na dzieli stronami. Istotnie, zauwa»my»e zachodz kongruencje 48 30 (mod 6) oraz 8 2 (mod 6), ale 6 15 (mod 6). 7