Liczby pierwsze na straży tajemnic

Transkrypt

1 Liczby pierwsze na straży tajemnic Barbara Roszkowska-Lech MATEMATYKA DLA CIEKAWYCH ŚWIATA

2 Liczby rzadzą światem

3 Ile włosów na głowie? Dowód z wiedzą zerową Reszty kwadratowe Dzielenie sekretu

4 Ile włosów na głowie? Dowód z wiedzą zerową Ali-Baba Reszty kwadratowe Dzielenie sekretu

5

6

7

8 Szukamy pierwiastów kwadratowych mod n Mamy daną liczbę całkowitą 1 y n 1

9 Szukamy pierwiastów kwadratowych mod n Mamy daną liczbę całkowitą 1 y n 1 Chcemy znaleźć liczbę całkowitą x, taką że y n x 2

10 Szukamy pierwiastów kwadratowych mod n Mamy daną liczbę całkowitą 1 y n 1 Chcemy znaleźć liczbę całkowitą x, taką że y n x 2

11 Przykład Niech n = 7. Kongruencja y n x 2 ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy y {1, 4, 2}. Ponadto, dla każdego y z tego zbioru bedą istniały dokładnie dwa rozwiązania tej kongruencji.

12 Przykład Niech n = 7. Kongruencja y n x 2 ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy y {1, 4, 2}. Ponadto, dla każdego y z tego zbioru bedą istniały dokładnie dwa rozwiązania tej kongruencji.

13 Definicja Liczbę całkowitą a względnie pierwszą z liczbą n nazywamy resztą kwadratową modulo n, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba całkowita x, taka że x 2 n a.

14 Przykład Resztami kwadratowymi mod 11 są:

15 Przykład Resztami kwadratowymi mod 11 są: 1, 4, 9, 5, 3.

16 Przykład Resztami kwadratowymi mod 11 są: Reszty kwadratowe mod 15 to 1, 4, 9, 5, 3.

17 Przykład Resztami kwadratowymi mod 11 są: Reszty kwadratowe mod 15 to 1, 4, 9, 5, 3. 1, 4.

18 Przykład Resztami kwadratowymi mod 11 są: Reszty kwadratowe mod 15 to 1, 4, 9, 5, 3. 1, 4.

19 Reszty kwadratowe modulo liczby pierwsze Twierdzenie Jest dokładnie p 1 reszt kwadratowych mod liczba pierwsza 2 p > 2.

20 Reszty kwadratowe modulo liczby pierwsze Twierdzenie Jest dokładnie p 1 reszt kwadratowych mod liczba pierwsza 2 p > 2. Twierdzenie Niech p będzie liczbą pierwszą a 0. Kongruencja x 2 p a ma dwa rozwiązania, jeśli a jest resztą kwadratową mod p.

21 Przykład ,

22 Przykład , ,

23 Przykład , , ,

24 Przykład , , ,

25 Reszty kwadratowe mod n=pq Niech n = pq, gdzie p oraz q liczby pierwsze. Jeśli liczba całkowita y jest kwadratem pewnej liczby całkowitej x modulo n to istnieją dokładnie cztery takie liczby x.

26 Reszty kwadratowe mod n=pq Niech n = pq, gdzie p oraz q liczby pierwsze. Jeśli liczba całkowita y jest kwadratem pewnej liczby całkowitej x modulo n to istnieją dokładnie cztery takie liczby x. Wynika stąd, że wśród liczb od 1 do n-1 istnieje dokładnie n 1 4 liczb będacych kwadratami mod n.

27 Reszty kwadratowe mod n=pq Niech n = pq, gdzie p oraz q liczby pierwsze. Jeśli liczba całkowita y jest kwadratem pewnej liczby całkowitej x modulo n to istnieją dokładnie cztery takie liczby x. Wynika stąd, że wśród liczb od 1 do n-1 istnieje dokładnie n 1 4 liczb będacych kwadratami mod n. Załóżmy, że liczba y jest kwadratem mod n i chcemy znaleźć którąkolwiek liczbę całkowitą x taką, że y n x 2.

28 Chińskie Twierdzenie o resztach Twierdzenie Dla parami względnie pierwszych modułów m 1, m 2,..., m r, oraz liczb całkowitych a 1, a 2,... a r układ kongruencji x m1 a 1 x m2 a 2. x mr ma dokładnie jedno rozwiązanie modulo M = m 1... m r. a r

29 Nie jest znana żadna efektywna metoda znajdowania któregokolwiek pierwiastka z y modulo n, jeśli znamy tylko n oraz y.

30 Nie jest znana żadna efektywna metoda znajdowania któregokolwiek pierwiastka z y modulo n, jeśli znamy tylko n oraz y. Umiemy znaleźć wszystkie cztery pierwiastki z liczby y modulo n, jeśli dane są liczby p, q, y

31 Nie jest znana żadna efektywna metoda znajdowania któregokolwiek pierwiastka z y modulo n, jeśli znamy tylko n oraz y. Umiemy znaleźć wszystkie cztery pierwiastki z liczby y modulo n, jeśli dane są liczby p, q, y Znajomość wszystkich czterech pierwiastków jest równoważna znajomości rozkładu liczby n na iloczyn.

32 Ali-Baba udowadnia, że zna pierwiastek kwadratowy mod n = pq Ali-Baba wybiera losowo liczbę x, 1 x n 1 oraz oblicza x 2 n y.

33 Ali-Baba udowadnia, że zna pierwiastek kwadratowy mod n = pq Ali-Baba wybiera losowo liczbę oraz oblicza x, 1 x n 1 x 2 n y. Liczbę y ogłasza publicznie i twierdzi, że zna conajmniej jeden pierwiastek kwadratowy z tej liczby i potrafi każdego przekonać, że taki pierwiastek zna.

34 Ali-Baba udowadnia, że zna pierwiastek kwadratowy mod n = pq Ali-Baba wybiera losowo liczbę w, 1 w n 1 oraz oblicza w 2 n z. Liczbę z przesyła Weryfikatorowi.

35 Ali-Baba udowadnia, że zna pierwiastek kwadratowy mod n = pq Ali-Baba wybiera losowo liczbę w, 1 w n 1 oraz oblicza w 2 n z. Liczbę z przesyła Weryfikatorowi. Weryfikator prosi Ali-Babę o podanie liczby w lub iloczynu xw mod n.

36 Ali-Baba udowadnia, że zna pierwiastek kwadratowy mod n = pq Ali-Baba wybiera losowo liczbę w, 1 w n 1 oraz oblicza w 2 n z. Liczbę z przesyła Weryfikatorowi. Weryfikator prosi Ali-Babę o podanie liczby w lub iloczynu xw mod n. Weryfikator sprawdza: w pierwszym przypadku czy w 2 n z, a w drugim czy (xw) 2 n yz?

37 Ali-Baba udowadnia, że zna pierwiastek kwadratowy mod n = pq Ali-Baba wybiera losowo liczbę w, 1 w n 1 oraz oblicza w 2 n z. Liczbę z przesyła Weryfikatorowi. Weryfikator prosi Ali-Babę o podanie liczby w lub iloczynu xw mod n. Weryfikator sprawdza: w pierwszym przypadku czy w 2 n z, a w drugim czy (xw) 2 n yz? Powtarzają procedurę kilkakrotnie. Jeśli za każdym razem odpowiednia równość jest prawdziwa Weryfikator jest przekonany, że Ali-Baba zna pierwiastek kwadratowy z y

38

39 Cel Dzielimy sekret pomiędzy n osób z których każde k jest w stanie odtworzyć D. D

40 Użyteczne wielomiany Wybieramy dużą liczbę pierwszą p taką, że p > n oraz p > D,

41 Użyteczne wielomiany Wybieramy dużą liczbę pierwszą p taką, że p > n oraz p > D, Wybieramy losowo k-1 liczb w 1,..., w k 1 mniejszych od p,

42 Użyteczne wielomiany Wybieramy dużą liczbę pierwszą p taką, że p > n oraz p > D, Wybieramy losowo k-1 liczb w 1,..., w k 1 mniejszych od p, k 1 Definiujemy funkcję w(x) = D + w i x i, i=1

43 Użyteczne wielomiany Wybieramy dużą liczbę pierwszą p taką, że p > n oraz p > D, Wybieramy losowo k-1 liczb w 1,..., w k 1 mniejszych od p, k 1 Definiujemy funkcję w(x) = D + w i x i, i=1 Obliczamy wartości w(1), w(2),..., w(n) mod p

44 Użyteczne wielomiany Wybieramy dużą liczbę pierwszą p taką, że p > n oraz p > D, Wybieramy losowo k-1 liczb w 1,..., w k 1 mniejszych od p, k 1 Definiujemy funkcję w(x) = D + w i x i, i=1 Obliczamy wartości w(1), w(2),..., w(n) mod p i-tej osobie przekazujemy wartość w(i).

45 Dzielenie sekretu po chińsku Ustalamy ciag liczb parami względnie pierwszych 1 < m 1 < m 2 <... < m n, spełniających warunek m 1 m 2... m k > D > m n m n 1... m n k+2.

46 Dzielenie sekretu po chińsku Ustalamy ciag liczb parami względnie pierwszych 1 < m 1 < m 2 <... < m n, spełniających warunek m 1 m 2... m k > D > m n m n 1... m n k+2. Obliczamy fragmenty sekretu do podziału S i, takie że D mi S i.

47 Dzielenie sekretu po chińsku Ustalamy ciag liczb parami względnie pierwszych 1 < m 1 < m 2 <... < m n, spełniających warunek m 1 m 2... m k > D > m n m n 1... m n k+2. Obliczamy fragmenty sekretu do podziału S i, takie że D mi S i. Obliczamy M = m 1 m 2... m n

48 Dzielenie sekretu po chińsku Ustalamy ciag liczb parami względnie pierwszych 1 < m 1 < m 2 <... < m n, spełniających warunek m 1 m 2... m k > D > m n m n 1... m n k+2. Obliczamy fragmenty sekretu do podziału S i, takie że D mi S i. Obliczamy M = m 1 m 2... m n Udział i-tej osoby to (S i, m i, M)

49 Dziękuję za uwagę