2. Struktury i pierwistki N zjęcich zjmiemy się pierwistkmi i strukturmi krystlicznymi. O ile w przypdku tych pierwszych, temt poruszny był w trkcie wykłdu, to drugie zgdnienie może wymgć krótkiego przybliżeni/przypomnieni. Krysztłem nzywmy (def. strukturln) substncję stłą zbudowną z tomów, jonów lub cząsteczek uporządkownych w czsie i przestrzeni. Równowżnym sposobem zdefiniowni substncji krystlicznej (def. rentgenostrukturln), jest stwierdzenie, że jest to ciło stłe zbudowne z powtrzjących się w przestrzeni identycznych jednostek strukturlnych, którego dyfrktogrm chrkteryzują ostre refleksy. N początek zjmiemy się włśnie tymi jednostkmi. 2.1. Komórki elementrne i ukłdy krystlogrficzne Aby opisć strukturę krystliczną, konieczne jest określenie jej części skłdowych: sieci przestrzennej orz bzy tomowej. Siecią przestrzenną nzywmy zbiór punktów (tzw. węzłów) wyznczonych przez wszystkie wektory sieciowe (wektory trnslcji sieci) T. Jest to twór stricte mtemtyczny. Wektory trnslcji sieci generujemy według wzoru: Gdzie: n1, n2, n - liczby cłkowite T n1 1 n22 n (0.1),, - podstwowe wektory trnslcji (wersory sieci) definiujące sieć 1 2 Bz tomow jest tomem lub ich grupą, związnym z kżdym węzłem sieci. Położenie środk tomu j bzy tomowej względem węzł sieci z którym bz jest związn, opisuje wektor: rj x j1 y j2 z j gdzie :0 x j, y j, z j 1 (0.2) Rys.2.1. Elementy skłdowe struktury krystlicznej. Jk było to wspomnine n początku, krysztł zbudowny jest z wielu podstwowych jednostek, które nzywmy komórkmi elementrnymi. Tutj pojwi się pewien problem z nomenklturą: u niektórych utorów (np. Kittels) komórk elementrn jest komórką o njmniejszej objętości i zwierjącą tylko pojedynczy tom. U innych komórk elementrn jest kżdą komórką odtwrzjącą pełną symetrię sieci, ntomist komórk zwierjąc tylko jeden tom (czyli njmniejsz komórk elementrn) nzywn jest komórką prymitywną. My będziemy stosowć tę drugą konwencję.
Komórk prymitywn zdefiniown jest przez wektory tzw. bzy podstwowej. Objętość tkiej komórki może zostć obliczon n podstwie iloczynu miesznego: V ( ) (0.) 1 2 Innym sposobem n wyznczenie komórki prymitywnej, jest komórk Wigner-Seitz. Wyzncz się ją poprzez poprowdzenie z dnego węzł odcinków łączących go z njbliższymi sąsidmi nstępnie przecięciu ich w połowie długości prostopdłymi płszczyznmi. Istnieje 7 nierównowżnych typów komórek elementrnych, które pozwlją n cłkowite wypełnienie przestrzeni trójwymirowej, czyli n utworzenie sieci przestrzennej. Typy te nzywmy ukłdmi krystlogrficznymi. Kżdy ukłd możemy opisć z pomocą 6 prmetrów: - krwędź komórki równoległ do kierunku X, b - krwędź komórki równoległ do kierunku Y, c - krwędź komórki równoległ do kierunku Z, α - kąt między b i c, β - kąt między i c, γ - kąt miedzy i b. Długości,b,c nzywmy periodmi identyczności. Rys.2.2. Prmetry opisujące komórkę elementrną. Rys.2.. Ukłdy krystlogrficzne.
Tb.2.1. Ukłdy krystlogrficzne Ukłd Prmetry sieciowe Ksztłt komórki trójskośny b c, 90 Równoległościn ukośnokątny jednoskośny b c, 90, 90 Równoległościn z jedną prą ścin ukośnych ortorombowy b c, 90 Prostopdłościn tetrgonlny b c, 90 Prostopdłościn o podstwie kwdrtu regulrny b c, 90 Sześcin romboedryczny b c, 90 heksgonlny b c, 90, 120 Równoległościn ukośnokątny o bokch równej długości Grnistosłup o podstwie sześciokąt Ze względu n symetrie, w rmch wspomninych 7 ukłdów krystlogrficznych istnieje 14 typów sieci szczególnych, zwnych siecimi Brvis'go. W rmch tych sieci możemy wyróżnić 7 rodzjów rozmieszczeni węzłów w komórce: P - prymitywn, węzły wyłącznie w nrożch, 1 tom n komórkę. I - przestrzennie centrown, węzły w nrożch plus węzeł w środku komórki, 2 tomy n komórkę. F - płsko centrown, węzły w nrożch plus węzeł w środku komórki, 4 tomy n komórkę. A, B, C - komórki centrowne n jednej prze ścin (odpowiednio równoległych do osi x, y,z), 2 tomy n komórkę. R - romboedryczn - z dwom dodtkowymi tommi wewnątrz, tomy n komórkę. Rys.2.4. Sieci Brvis'go w trzech wymirch wrz z symbolmi. Zwróćmy uwgę, że sieci Brvis'go nie opisują komórek prymitywnych - mogą zwierć więcej niż jeden tom n komórkę.
Przykłd 2.1. Oblicz dl komórki elementrnej typu sc: objętość komórki elementrnej liczbę węzłów w tej komórce liczbę njbliższych sąsidów (koordyncyjną) odległość między njbliższymi sąsidmi współczynnik upkowni Rozwiąznie komórk sc: o wektory podstwowe: 1 2,0,0 0,,0 0,0, o wyznczmy objętość zgodnie ze wzorem 2.: 0 0 V 0 0 0 0 Liczb węzłów w komórce - 8 węzłów w nrożch sześcinu, kżdy uwspólniony przez 8 1 komórek (ptrz kolejny przykłd): n 8 8 Liczb njbliższych sąsidów: n 6
Odległość między njbliższymi sąsidmi: d o z tego wynik, że promień tomu (stosujemy model sztywnych kul), wynosi: r 2 Współczynnik upkowni - czyli stosunek objętości tomu do objętości komórki którą zjmuje: 4 2 0,524 6