nez Kamńska Aleksaner Szwe oelowane konsystentnego termoynamczne materału sprężysto-plastycznego z uszkozenem JEL: L9 DO: 436/atest849 Data zgłoszena: 98 Data akceptacj: 58 W artykule omówono sposób formułowana relacj konstytutywnych materałów sprężysto-plastycznych z uwzglęnenem uszkozena na postawe wóch potencjałów: potencjału energetycznego potencjału yssypacj Uzyskany moel materałowy jest termoynamczne spójny o le przyjęte funkcje spełnają określone warunk rzestawona metoa została zlustrowana przykłaem jenowymarowym oraz przykłaem relacj trójwymarowych z wykorzystanem warunku plastycznośc Beltramego-chella Słowa kluczowe: uszkozene plastyczność relacje konstytutywne termoynamka funkcja yssypacj energa swobona Helmholtza naprężena uogólnone Wstęp W sformułowanu klasycznym moele materałowe uwzglęnające poza sprężystoścą plastyczność egraację wymagają poana relacj konstytutywnej łączącej tensory naprężena okształcena warunków plastycznośc uszkozena oraz praw ewolucj zmennych wewnętrznych zwązanych ze zjawskam neowracalnym rawo płynęca szczególne w przypaku gruntów może ne być stowarzyszone z warunkem plastycznośc Aby zaproponowany moel był konsystentny termoynamczne muszą być spełnone perwsza ruga zasaa termoynamk w postac nerównośc Claususa-Duhema Tę nerówność sprawza sę a posteror oejśce przestawone w pracy usuwa tę neogoność Opera sę ono na poanu wóch potencjałów z których poprzez różnczkowane użyce transformacj Legenre a uzyskuje sę wszystke zwązk potrzebne o opsu własnośc materału etoa pozwala na uwzglęnene nestowarzyszonych praw ewolucj Ogólne sformułowane znajuje sę w [37] jenak celem nnejszej pracy jest uszczegółowene tych relacj la materału sprężysto-plastycznego z uszkozenem opsanym co najwyżej tensorem rugego rzęu (rozzał ) zlustrowane omawanej teor przykłaem - w rozzale przestawono moel opsujący sprzężone sprężystość plastyczność oraz zotropowe uszkozene z warunkem uszkozena/plastycznośc Beltramego-chella oel zgonego termoynamczne materału sprężystoplastycznego z uszkozenem ostawowym założenem termoynamk jest że stan materału jest opsany w pełn przez stan okształcena temperaturę knematyczne zmenne wewnętrzne stosowne w rozpatrywanym procese W pracy uwzglęnono sprężystość plastyczność uszkozene w zakrese małych eformacj Opowenm zmennym opsującym materał są tensor całkowtego okształcena tensor okształcena plastycznego oraz tensor uszkozena który jest tensorem rzęu rugego Zakłaa sę że temperatura ne zmena sę w trakce procesu obcążana oprawność moelu materałowego zetermnowana jest przez wa czynnk: jego kompatyblność z anym ośwaczalnym la wybranego materału zgoność termoynamczną oel uznaje sę za konsystentny termoynamczne gy spełnone są perwsza ruga zasaa termoynamk [7] Aby w pełn opsać zachowane sę materału tj wyznaczyć relację męzy tensoram naprężena okształcena a także poać wartośc skłaowych zmennych wewnętrznych ( oraz ) w anej chwl trwana procesu obcążena przyjmuje sę wa potencjały: potencjał energetyczny oraz potencjał yssypacj Na postawe tych wóch funkcj wyznacza sę wszystke zwązk pomęzy zmennym oraz warunek plastycznośc/uszkozena w sposób opsany ponżej oprzez wybór opowench potencjałów zapewna sę termoynamczną spójność moelu otencjał energetyczny otencjał energetyczny jest jenym z czterech: energa wewnętrzna energa swobona Helmholtza potencjał Gbbsa lub entalpa Wymenone funkcje mają różne argumenty ale są ze sobą ścśle powązane transformacjam Legenre a [3] W sformułowanu ogólnym można użyć owolnego z wymenonych potencjałów rzyjęce energ swobonej Helmholtza umożlwa bezpośrene uzyskane skłaowych tensora naprężena gy ane są skłaowe stanu okształcena co stanow uogonene przy symulacjach ze sterowanem przemeszczenowym Z rugej strony aby uzyskać nektóre z alszych zależnośc trzeba owrócć tę zależność (tj uzyskać okształcene w zależnośc o naprężena) co może być ość trunym zaanem Te zależnośc uzyskuje sę bezpośreno z funkcj Gbbsa [3] Energa swobona Helmholtza jest wypukłą funkcją tensorów okształcena całkowtego plastycznego oraz tensora uszkozena: F F () przy czym la sprężysto-plastycznośc sprężysto-lepkoplastycznośc argumentem jest różnca tensorów okształcena [79] tj: F F () Energa swobona Helmholtza pownna być przyjęta tak aby przy wszystkch argumentach zerowych zerował sę także potencjał ostać F zależy o rozpatrywanego moelu materału W przypaku połączena sprężysto-plastycznośc uszkozena la materału zotropowego często używa sę ogólnej postac [69]: F tr tr tr tr tr (3) tr tr tr gze tr oznacza operację ślau oraz są parametram materałowym przy czym są stałym Lamego otencjał Helmholtza służy o wyznaczena uogólnonych naprężeń tj: AUTOBUSY /8 433
gze F F jest tensorem naprężena F (4) uogólnonym naprężenem zwązanym z tensorem okształcena plastycznego a jest uogólnonym naprężenem zwązanym z tensorem uszkozena rzykłaowo la moelu jenowymarowego sprężystośc plastycznośc uszkozena często przyjmuje sę []: F E (5) gze jest moułem Younga a skalarnym parametrem uszkozena [478] Na postawe (4) uogólnone naprężena są węc równe: F E E F E F E E Jak wać w tym przypaku uogólnone naprężena zwązane z plastycznoścą są naprężenam nomnalnym a uogólnone naprężena zwązane z parametrem uszkozena są energą sprężystośc materału neuszkozonego (przy ) otencjał yssypacj Jak wzmankowano moel materałowy uznaje sę za konsystentny termoynamczne gy spełnone są perwsza ruga zasaa termoynamk w postac nerównośc Claususa-Duhema [7]: D D DT (7) gze D jest całkowtą yssypacją yssypacją mechanczną a D T D yssypacją termczną W rozpatrywanym zaganenu DT (brak zman pola temperatury) oraz D D Dyssypacja prękość zmany energ wewnętrznej są ze sobą zwązane perwszym prawem termoynamk [] a węc także energa swobona Helmholtza jest zwązana z potencjałem Ta zależność ma postać: D (8) gze jest loczynem skalarnym tensorów Jak wać potencjał yssypacj zwązany jest z uogólnonym naprężenam wynkającym z potencjału Helmholtza Zakłaa sę że jest on funkcją prękośc zmany zmennych wewnętrznych oraz tych zmennych które występują w potencjale energetycznym w tym przypaku : D (6) D D D (9) ostawowym warunkem narzuconym na potencjał yssypacj jest jego neujemność (7) wynkająca z zasa termoynamk onato potencjał yssypacj pownen być funkcją wypukłą [5] w przypaku materałów newrażlwych na prękość obcążena jenoroną stopna perwszego wzglęem tj: D D () gze jest owolnym skalarem oprzez różnczkowane potencjału yssypacj po opowench zmennych otrzymuje sę uogólnone naprężena yssypatywne tj: F F () rzy spełnenu powyższych warunków la funkcj yssypacj stneje transformacja Legenre a Y opsana równanem: D Y () gze jest skalarnym mnożnkem okazana transformacja jest osoblwa [3] wynka z nej: Y (3) co jest szukanym warunkem plastycznośc/uszkozena Jenocześne prawa ewolucj zmennych wewnętrznych mają postać: Y Y (4) ostać (3) warunku plastycznośc/uszkozena uzyskuje sę poprzez wyrugowane z () prękośc zmany parametrów wewnętrznych w sposób pokazany ponżej rzykłaowo: la moelu jenowymarowego można przyjąć następującą postać yssypacj []: D R R (5) gze jest grancą plastycznośc/uszkozena a są współczynnkam bezwymarowym Funkcja jest wypukła jenorona wzglęem prękośc oraz W takm raze uogólnone naprężena yssypatywne są równe: D R R R (6) R D R R Zależnośc (6) po ponesenu stronam o kwaratu wykonanu opowench zeleń sumowanu ają warunek uszkozena/plastycznośc wyrażony w uogólnonych naprężenach yssypatywnych: Y R R (7) Należy zauważyć że funkcję Y można owolne mnożyć przez skalar np w alszym cągu spełna ona zarówno () jak (3) Ze wzoru (7) wynka że w tym przypaku wartość funkcj jest bezwymarowa co z kole ze wzglęu na () powouje że ma jenostkę [a/s] (jest to jenocześne jenostka yssypacj) rawa ewolucj zmennych wewnętrznych zgone z (4) mają postace: Y R (8) Y R Aby znaleźć wartość mnożnka warunek (7) należy uzupełnć o warunek zgonośc ragera (warunek rozwoju plastycznośc egraacj) postac: Y (9) R R 434 AUTOBUSY /8
3 Hpoteza ortogonalnośc warunek plastycznośc/uszkozena zapsany w uogólnonych naprężenach Uzyskano warunek plastycznośc/uszkozena w uogólnonych naprężenach yssypatywnych jenak celem jest otrzymane zależnośc wyrażonych w uogólnonych naprężenach uzyskanych na postawe energ Helmholtza Jak powezano yssypacja energa swobona są ze sobą powązane prawam termoynamk poprzez zależność (8) Jenocześne założono że potencjał yssypacj jest funkcją jenoroną prękośc zmany zmennych wewnętrznych () a węc na postawe twerzena Eulera efncj () uzyskuje sę: F F D () orównując (8) () otrzymuje sę: () Równość () jest prawzwa zawsze jeśl uogólnone naprężena yssypatywne są równe naprężenom uogólnonym tj gy: oraz () Zależnośc () nazywa sę hpotezą ortogonalnośc (hpotezą Zeglera [33]) Jest ona słabsza nż () tzn ne wyczerpuje wszystkch możlwych rozwązań tego równana jenak jest opowena la pewnej klasy materałów [3] Ze wzglęu na () warunek plastycznośc/uszkozena (3) można zapsać jako Y (3) a opowene prawa ewolucj to: Y Y (4) Kontynuując przykła jenowymarowy z poprzench porozzałów na postawe wzorów (6) oraz (7) warunek plastycznośc/uszkozena można zapsać jako: Y R R R R (5) Z kole prawa ewolucj (8) oraz warunek zgonośc (9) przy założenu R R sprowazają sę o postac: 4E R R oprzez zelene (6) oraz (6) elmnuje sę : (6) R (7) R E Aby uzyskać okształcene plastyczne parametr uszkozena w funkcj czasu (przy anym naprężenu) należy scałkować ukła równań różnczkowych (6)3 (7) rzykła materału sprężysto-plastycznego z uszkozenem przy warunku Beltramego-chella W celu zlustrowana proceury znalezena wartośc wszystkch parametrów stanu założono następującą energę swoboną Helmholtza: ( ) tr tr F K G e e (8) przy czym oraz są ewatoram opoweno tensora okształcena okształcena plastycznego a K G to mouł ścślwośc mouł Krchhoffa rzyjęto że okształcene jest zotropowe tzn gze jest tensorem jenostkowym a parametrem uszkozena ostać potencjału yssypacj określono uogólnając funkcję la przypaku jenowymarowego (5) por także [] rzyjęto: e e R D R A p B q k (9) przy czym zastosowano oznaczena: k są parametram materałowym za- oraz choz: AB p tr 3 q e e 3K 4G A B F tr R R tr e e R R ( ) (3) (3) (9) jest funkcją neujemną oraz wypukłą [5] jenoroną wzglęem Jak wać występuje sprzężene plastycznośc egraacj - bęą one występowały jenocześne każa zmana parametru uszkozena bęze pocągać za sobą zmanę skłaowych tensora okształcena plastycznego na owrót W alszych rachunkach pomnęto argumenty funkcj ze wzglęu na ługość zapsu Zgone ze wzorem (4) znalezono uogólnone naprężena z potencjału energ swobonej (8): F ( ) K tr G e e F F tr tr F K G e e Doatkowo znalezono relację męzy ślaam tensorów okształcena naprężena oraz normam ch ewatorów: tr 3( K ) tr 3 r s s G tr e e (3) (33) gze s jest ewatorem tensora naprężena Kolejnym krokem jest pozyskane relacj opsujących uogólnone naprężena yssypatywne () na postawe (9) tj: D R A p D R B e (34) D 3 Dk Znalezene potencjału plastycznego/uszkozena wymaga elmnacj prękośc z równań (34) W tym celu okonuje sę pełnego nasunęca częśc kulstych ewatorowych : R A p A R tr tr 3 3 D s s B R R B q D (35) AUTOBUSY /8 435
gze jest ewatorem a następne ponos o kwaratu (34)3 zapsuje opoweną sumę aby uzyskać warunek plastycznośc/uszkozena w przestrzen uogólnonych naprężeń yssypatywnych: tr 3 3tr k Y s s (36) R A RB R Korzystając z hpotezy ortogonalnośc () oraz zwązków (33) można otrzymać następujące relacje: tr 3 3tr s r 4 6K 4G s s r (37) w zwązku z czym warunek plastycznośc/uszkozena po uwzglęnenu (3) przybera postać: r r Y (38) R R A B A B rawa ewolucj (4) sprowazają sę o zależnośc: R s 3 A B R r (39) 6K 4G Stałe można wyznaczyć z (38) znając grancę uszkozena/plastycznośc przy rozcąganu oraz przy czystym ścnanu V A A B (lub we nne owolne wybrane grance): V gy 3 V B V (4) 3 V Aby znterpretować parametry oraz przeprowazono oblczena numeryczne la eksperymentu rozcągana jenoosowego rzy tensorze naprężena jak ponżej z (3) otrzymuje sę skłaowe : B B B B (4) przy czym: E (4) R R B B gze jest współczynnkem ossona W alszej częśc ne analzowano okształceń bocznych poneważ ne są one nezbęne o nterpretacj parametrów można je łatwo wyrazć poprzez okształcena w kerunku rozcągana Korzystając z (3)3 uzyskuje sę naprężena uogólnone: r (43) 6K 4G Warunek plastycznośc (38) sprowaza sę o: Y (44) a prawo płynęca skłaowej okształcena plastycznego w kerunku rozcągana prawo ewolucj parametru uszkozena mają postace: 4E (45) R R Dzeląc stronam (45) (45) oraz wykorzystując warunek zgonośc (9) otrzymuje sę następujący ukła równań różnczkowych z szukanym funkcjam oraz : t t R R E (46) 4E R R R Nech test bęze sterowany przemeszczenowo z okształcenem osowym opsanym funkcją lnową czasu: t H t (47) Wtey rozwązanem ukłau (46) jest: HR () t t t E H Rt R (48) E H R t t t () przy t E H Rt R EH Aby zobrazować wynk przyjęto wartośc: E Ga a Wykresy krzywych pokazano la różnych wartośc parametrów R R Na Rys przestawono krzywe sprężystego ocążena w wybranych chwlach czasu okazują one egraację moułu Younga oraz stopnowy wzrost okształceń plastycznych W marę zwększana okształcena całkowtego okształcene plastyczne H / s rośne lnowo por (48) a parametr uszkozena zwększa sę nelnowo ążąc o grancznej wartośc (całkowte znszczene) por Rys Rys Krzywa przy R R Rys Rozwój parametru uszkozena w procese obcążana przy R R 436 AUTOBUSY /8
arametry R R mogą sę zmenać w zakrese R są połączone zależnoścą (3) Jak pokazano na Rys3 la przestaje ochozć o uplastycznena tj materał sprężysty ulega jeyne egraacj wocznej jako zmnejszene sę moułu Younga W przecwnym przypaku tzn ne ochoz o uszkozena roste ocążena są o sebe równoległe Oznacza to ż m mnejsze tym wększą rolę w moelu gra egraacja przecwne m mnejsze R R R tym wększe znaczene ma plastyczność por Rys 4 Zatem współczynnk mogą być nterpretowane jako wag wpływu każej zmennej wewnętrznej na zmanę własnośc materału Rys 3 Krzywa różne śceżk ocążena przy zmenających sę wartoścach parametrów Rys 4 Rozwój okształcena plastycznego w zależnośc o parametru uszkozena przy zmenających sę W przestawonym rozwązanu ne uwzglęnono możlwych zman grancy plastycznośc Ewentualne wzmocnene lub R R męknęce można opsać np funkcją którą należy wprowazć o równań (46) R R R R osumowane W artykule przestawono w sposób skrócony postawy moelowana konstytutywnego materałów sprężysto-plastycznych z uszkozenem opsanym co najwyżej tensorem rugego rzęu w zakrese małych eformacj Celem Autorów ne była wyczerpująca charakterystyka zaganeń teoretycznych a jeyne wyorębnene postawowych elementów służących o rozwązana konkretnych zaganeń Ops ogólny można znaleźć w poanych pozycjach bblograf Newątplwą zaletą przestawonej metoy uzyskana relacj wążących zmenne knematyczne statyczne jest spełnene a pror zasa termoynamk poprzez opowen obór potencjałów Wykorzystane potencjałów aje też nazeję na uowonene ogólnych twerzeń opartych na zasaach ekstremalnych [3] Omawany sposób otyczy ość welu materałów a jego ogranczenem jest stosowalność hpotezy ortogonalnośc W zakrese przestawonego sformułowana można uzyskać nestowarzyszone prawa płynęca co jest stotne szczególne w moelowanu gruntów betonu Waą jest mało klarowny sposób uzyskana warunku plastycznośc ze wzglęu na osoblwość transformacj Legenre a Bblografa: Collns F Houlsby GT Applcaton of thermomechancal prncples to the moellng of geotechncal materals roceengs of Royal Socety A 997 Vol 453 Enav Houlsby GT Nguyen GD Couple amage an plastcty moels erve from energy an sspaton potentals nternatonal Journal of Sols an Structures 7 Vol 44 3 Houlsby GT uzrn A A thermomechancal framework for consttutve moels for rate-nepenent sspatve materals nternatonal Journal of lastcty Vol 6 4 Kachanov L ntroucton to contnuum amage mechancs Sprnger 986 5 Kamńska Szwe A O baanu wypukłośc skalarnej funkcj zależnej o nezmennków walcowych symetrycznego tensora rugego rzęu Sprężystość lepkosprężystość małych okształceń Warszawa 7 6 Kono D Welemane H Cormery F Basc concepts an moels n contnuum amage mechancs Revue Europeenne e Gene Cvl 7 Vol 7 Lematre J A Course on Damage echancs Sprnger 996 8 urakam S Contnuum Damage echancs Sprnger 9 urakam S Kamya K Consttutve an amage evoluton equatons of elastc-brttle materals base on rreversble thermoynamcs nternatonal Journal of echancal Scences 997 Vol 39 Ottosen NS Rstnmaa The echancs of Consttutve oelng Elsever 5 Szwe A oel konstytutywny ścślwego materału ealne plastycznego Technka Transportu Szynowego: koleje tramwaje metro Nr 9 Vu VD r A Nguyen GD Shekh AH A thermoynamcsbase formulaton for consttutve moellng usng amage mechancs an plastcty theory Engneerng Structures 7 Vol 43 3 Zegler H roof of an Orthogonalty rncple n rreversble Thermoynamcs Zetschrft für angewante athematk un hysk ZA 97 Vol Thermomechancal framework for moellng elastoplastc amage materals n the paper a thermomechancal framework for moellng elastoplastc amage materals s presente Basc assumptons an concepts are gven leang to formulaton of consttutve equatons usng two potentals only: Helmholtz free energy an sspaton potental Consecutve steps of the proceure are shown for smplfe one-mensonal case followe by three-mensonal example concernng Beltram-chell falure conton Keywors: amage plastcty consttutve relatons thermoynamcs sspaton potental Helmholtz free energy generalze stress Autorzy: mgr nż nez Kamńska oltechnka Warszawska Wyzał nżyner Ląowej e-mal: kam@lpweupl r nż Aleksaner Szwe oltechnka Warszawska Wyzał nżyner Ląowej e-mal: aszwe@lpweupl AUTOBUSY /8 437