Zadae. Zmea losowa (, Y, Z) ma rozkład ormaly z wartoścą oczekwaą E = EY =, EZ = 0 macerzą kowaracj. Oblczyć Var(( Y ) Z). (A) 5 (B) 7 (C) 6
Zadae. Zmee losowe,, K,,K P ( = ) = P( = ) =. Nech S =. Oblcz = S = S 6 dla =,, są ezależe mają rozkład dwupuktowy (,9) P 0 K (A) (B) (C) 0 0 9 0 8 0 7 0 6 0
Zadae. Zmee losowe,, 5, Y, Y, Y są ezależe o tym samym rozkładze z gęstoścą θ gdy x > 0 θ + fθ ( x) = ( + x), 0 gdy x 0 gdze θ > 0 jest ezaym parametrem. Wyzaczoo estymatory ajwększej warogodośc ˆ θ ˆ θ parametru θ : estymator ˆ θ a podstawe próby,, 5 estymator ˆ θ a podstawe próby Y, Y, Y. Wyzaczyć stałe a b, tak aby ˆ θ ˆ θ P < a = = 0,05 ˆ P > b ˆ θ θ A) a = 0,9, b = 6, 56 (B) a = 0,99, b =, 7 (C) a = 0,60, b = 5, 9 a = 0,99, b =, 07 a = 0,6, b =, 7
Zadae. W każdej z trzech ur zajduje sę 5 kul, przy czym w perwszej ure są kule bałe czara, w drugej kule bałe czare, w trzecej bałe czare. Wykoujemy -etapowe dośwadczee: etap: losujemy urę (wylosowae każdej ury jest jedakowo prawdopodobe); etap: z wylosowaej ury cągemy kule bez zwracaa, a astępe dorzucamy do tej ury kulę bałą czarą; etap: z tej samej ury cągemy kulę. Prawdopodobeństwo wycągęca w trzecm etape kul bałej, jeśl w drugm etape wycągęto kule bałe jest rówe (A) (B) (C) 0 0 5 0 0 0 0 8 0
Zadae 5. Nech Nech (A) (B) (C) (, Y ) będze dwuwymarową zmeą losową o fukcj gęstośc gdy y > 0 x + y < f ( x, y) = π 0 w przecwym przypadku. Z = V = + Y. Wtedy + Y zmee Y są ezależe fukcja gęstośc rozkładu brzegowego zmeej V wyraża sę wzorem g( v) = v dla v (0,) fukcja gęstośc rozkładu brzegowego zmeej V wyraża sę wzorem g ( v) = dla v (0,) zmee Z V są zależe fukcja gęstośc rozkładu brzegowego zmeej Z wyraża sę wzorem z h( z) = dla z (, ) z 5
Zadae 6. Rzucamy symetryczą kostka do gry tak długo, aż uzyskamy każdą lczbę oczek. Oblczyć wartość oczekwaą lczby rzutów. (A),5 (B) 8,5 (C),0,7,7 6
Zadae 7. Nech,,, będą ezależym zmeym losowym, przy czym E = m oraz Var m =, =,,,. Nech m ~ będze estymatorem parametru m mmalzującym błąd średokwadratowy w klase estymatorów postac m ˆ = a + a + a + a, gdze a, =,,,, są lczbam rzeczywstym. Wtedy błąd średokwadratowy E ( m ~ m ) jest rówy (A) m (B) m (C) m 5 m 6 m 7
Zadae 8. Nech,, 6 będą ezależym zmeym losowym o tym samym rozkładze o gęstośc θ θx gdy x (0,) fθ ( x) =, 0 gdy x (0,) gdze θ > 0 jest ezaym parametrem. Weryfkujemy hpotezę H : θ = przy alteratywe K : θ > testem jedostaje ajmocejszym a pozome stotośc 0,05. Moc tego testu przy alteratywe θ = jest rówa (A) 0,95 (B) 0, (C) 0,79 0,98 0,65 Uwaga: Może C pomóc wyzaczee rozkładu zmeej l. 8
Zadae 9. Zmee losowe,, K,,K są ezależe o jedakowym rozkładze P ( = 0) = P( = ) = P( = ) = P( = ) =. Nech Y0 = oraz ech dla =,,, Kzachodz Oblcz lm P ( Y ) + gdy = Y = m( Y, ) gdy < (A) (B) (C) 6 9
Zadae 0. Zakładamy, że zależość czyka Y od czyka x (elosowego) opsuje model regresj lowej Y = β 0 + βx + ε, gdze błędy ε są ezależe mają rozkłady ormale o wartośc oczekwaej 0 waracj. Obserwujemy zmee losowe Y, Y, Y przy daych wartoścach x, x, x. Test ajmocejszy dla weryfkacj hpotezy H 0 : β0 = 0 β = przy alteratywe H β = β : 0 = a pozome stotośc 0,05 odrzuca hpotezę ( Y x )( + x ) = (A) >, 65 = ( + x ) ( Y )( + x ) = (B) >, 65 = ( + x ) Y ( + x ) = (C) >, 65 = ( + x ) ( Y x )( + x ) = >, 65 ( + x ) = ( Y )( + x ) = >, 65 ( + x ) = H 0, gdy spełoa jest erówość 0
Egzam dla Aktuaruszy z 5 czerwca 006 r. Prawdopodobeństwo statystyka Arkusz odpowedz * Imę azwsko :...K L U C Z O D P O W I E D Z I... Pesel... Zadae r Odpowedź Puktacja D B D B 5 B 6 E 7 C 8 C 9 E 0 A * Oceae są wyłącze odpowedz umeszczoe w Arkuszu odpowedz. Wypeła Komsja Egzamacyja.