METODY NUMERYCZNE Wykłd 4. Numeryczne rozwązywne równń nelnowych z jedną newdomą dr hb.nż. Ktrzyn Zkrzewsk, pro.agh Met.Numer. Wykłd 4
Rozwązywne równń nelnowych z jedną newdomą Nleży znleźć perwstek równn nelnowego czyl rozwązć równne ( ) 0 Twerdzene: Jeżel unkcj () jest określon cągł w dnym przedzle <,b> unkcj zmen znk n końcch przedzłu ( ) ( b) 0 to w przedzle <,b> znjduje sę przynjmnej jeden pojedynczy perwstek. Przedzł <,b>, w którym znjduje sę pojedynczy perwstek równn nos nzwę przedzłu zolcj perwstk. b Met.Numer. Wykłd 4
Rozwązywne równń nelnowych z jedną newdomą Jeżel unkcj zmen znk n grncch przedzłu, to w tym przedzle może stneć węcej perwstków ( ) ( b) 0 b ( ) 0 Met.Numer. Wykłd 4 3
Rozwązywne równń nelnowych z jedną newdomą ( ) ( b) 0 b b Jeżel unkcj ne zmen znku n grncch przedzłu, to w tym przedzle może stneć perwstek lub ne Met.Numer. Wykłd 4 4
Metody numerycznego rozwązywn równń nelnowych z jedną newdomą Metody: połowen (równego podzłu lub bsekcj) stycznych (Newton) regul-ls (łszywej lnowośc) metod secznych Met.Numer. Wykłd 4 5
Metod bsekcj Przedzł <,b> dzelmy n połowy punktem: + b b Jeżel ( )0, to jest szuknym perwstkem równn. Jeżel ( ) 0 to z dwóch przedzłów <, > <,b> wybermy ten, n końcch którego unkcj () m różne znk, tzn. spełnony jest jeden z wrunków: () ( )<0 lub ( ) (b) <0 Met.Numer. Wykłd 4 6
Metod bsekcj Uzyskny przedzł <, > lub <,b> ponowne dzelmy n połowy punktem: b lub + b + Jeżel ( )0, to jest szuknym perwstkem równn. Jeżel ( ) 0 to wybermy nowy przedzł sprwdzmy znk unkcj n jego końcch. Proces ten powtrzmy tk długo, ż otrzymmy rozwązne dokłdne lub zostne osągnęt wymgn dokłdność rozwązn. Met.Numer. Wykłd 4 7
Metod bsekcj W wynku tkego postępown po pewnej lczbe kroków lbo otrzymmy perwstek dokłdny ( n )0, lbo cąg przedzłów tkch, że: ( ) ( ) < + gdze orz + są odpowedno początkem końcem -tego przedzłu, jego długość: 0 + b Ponewż lewe końce cągu przedzłów tworzą cąg nemlejący ogrnczony z góry, prwe końce cąg nerosnący ogrnczony z dołu węc stneje ch wspóln grnc. Met.Numer. Wykłd 4 8
Algorytm dl metody bsekcj W kżdym kroku oblczmy względny błąd przyblżen gdze: m m m 00 m jest perwstkem znlezonym w poprzednm kroku m jest perwstkem znlezonym w dnym kroku Met.Numer. Wykłd 4 9
Algorytm dl metody bsekcj Porównne błędu proksymcj wcześnej tolerncją s z denowną Czy > s? Tk Ne nowy podzł stop Pownno sę sprwdzć czy lczb tercj ne przekrcz zdnej wcześnej mksymlnej lczby tercj. Jeśl przekrcz, to progrm pownen sę ztrzymć. Met.Numer. Wykłd 4 0
Przykłd metody bsekcj Z prw zyk wynk, że kul będze znurzon do głębokośc tkej, że Pływjąc kul 0 0 0 R ( 0.055) 0. 3 0.65 + 3.993 0 4 0 Met.Numer. Wykłd 4
Przykłd metody bsekcj Zdne: ) Zstosowć metodę bsekcj (połowen) by znleźć głębokość, do której kul jest znurzon w wodze. Przeprowdzć 3 tercje by oszcowć perwstek równn 3 0.65 + 3.993 0 4 0 b) Znleźć względny błąd przyblżen po zkończenu kżdej tercj lczbę cyr znczących poprwnych w odpowedz Met.Numer. Wykłd 4
Ne możn obecne wyśwetlć tego obrzu. Przykłd metody bsekcj Rozwązne Aby zrozumeć problem unkcj () jest pokzn n rysunku 3-4 ( ) 065. + 3993. 0 Met.Numer. Wykłd 4 3
Przykłd metody bsekcj Zkłdmy l u 0.00 0. Sprwdzmy znk unkcj w l u 3 4 4 ( l ) ( 0) ( 0) 0.65( 0) + 3.993 0 3.993 0 3 4 4 ( ) ( 0.) ( 0.) 0.65( 0.) + 3.993 0.66 0 u stąd 4 4 ( ) ( ) ( 0) ( 0.) ( 3.993 0 )(.66 0 ) < 0 l u Istneje przynjmnej jeden perwstek równn pomędzy l u, tj. pomędzy 0 0. Met.Numer. Wykłd 4 4
Przykłd metody bsekcj Met.Numer. Wykłd 4 5
Przykłd metody bsekcj Itercj Nowy perwstek m + l u 3 ( ) ( 0.055) ( 0.055) 0.65( 0.055) m 0 + 0. 0.055 + 3.993 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4 )( 5 0 0.055 3.993 0 6.655 0 ) > 0 l m 4 6.655 0 5 Stąd perwstek leży pomędzy m u, czyl pomędzy 0.055 0.. Dltego nowe grnce przedzłu są: l 0.055, u 0. W tym momence, względny błąd przyblżen ne może być oblczony, bo jest to perwszy krok Met.Numer. Wykłd 4 6
Przykłd metody bsekcj Po perwszej tercj Met.Numer. Wykłd 4 7
Przykłd metody bsekcj Itercj Nowy perwstek m + l u 0.055 + 0. 0.085 3 ( ) ( 0.085) ( 0.085) 0.65( 0.085) m + 3.993 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5 )( 4 0.055 0.085 6.655 0.6 0 ) < 0 l m 4.6 0 4 Stąd nowy perwstek leży pomędzy l m, tj. pomędzy 0.055 0.085. Górn doln grnc perwstk: u l 0.055, 0.085 Met.Numer. Wykłd 4 8
Przykłd metody bsekcj Po drugej tercj Met.Numer. Wykłd 4 9
Przykłd metody bsekcj Błąd względny przyblżen po drugej tercj wynos m m m 00 0.085 0.055 0.085 33.333% 00 Żdn z cyr znczących ne jest poprwn w wynku m 0.085 gdyż błąd względny jest wększy od 5%. ε 0.5 0 m Met.Numer. Wykłd 4 0
Przykłd metody bsekcj Itercj 3 Nowy perwstek m + l u 0.055 + 0.085 0.06875 3 ( ) ( 0.06875) ( 0.06875) 0.65( 0.06875) m + 3.993 0 5 5 ( ) ( ) ( 0.055) ( 0.06875) ( 6.655 0 )( 5.563 0 ) < 0 l m 4 5.563 0 5 Stąd perwstek leży pomędzy l m, tj. pomędzy 0.055 0.06875. Stąd grnce wynoszą: u l 0.055, 0.06875 Met.Numer. Wykłd 4
Przykłd metody bsekcj Po trzecej tercj Met.Numer. Wykłd 4
Przykłd metody bsekcj Błąd względny przyblżen po trzecej tercj wynos m m m 00 0.06875 0.085 0.06875 0% 00 Żdn z cyr znczących ne jest poprwn w wynku m 0.06875 gdyż błąd względny jest wększy od 5%. Met.Numer. Wykłd 4 3
Przykłd metody bsekcj Anlz błędu cyr znczących Itercj l u m % ( m ) 0.00000 0. 0.055 ---------- 6.655 0 5 0.055 0. 0.085 33.33.6 0 4 3 0.055 0.085 0.06875 0.00 5.563 0 5 4 0.055 0.06875 0.0688. 4.484 0 6 5 0.0688 0.06875 0.0653 5.63.593 0 5 6 0.0688 0.0653 0.06359.70.0804 0 5 7 0.0688 0.06359 0.0673.370 3.76 0 6 8 0.0688 0.0673 0.063 0.6897 6.497 0 7 9 0.063 0.0673 0.065 0.3436.65 0 6 0 0.063 0.065 0.064 0.7 3.0768 0 7 Met.Numer. Wykłd 4 4
Przykłd metody bsekcj Lczb poprwnych cyr znczących m w wynku wynos: tk węc log 0.7 0.344 0 ( 0.344) m 0.5 0 0.5 0 m m m log m m ( 0.344). 463 Lczb poprwnych cyr znczących w wynku 0.064 po 0-tej tercj wynos. Met.Numer. Wykłd 4 5
Zlety bsekcj metod jest zwsze zbeżn przedzł, w którym znjduje sę perwstek jest zwsze połowony Wdy bsekcj metod jest wolnozbeżn jeżel perwstek odgdnęty jest blsk rzeczywstemu to szybkość mleje Met.Numer. Wykłd 4 6
Wdy metody bsekcj Jeżel unkcj () jest tk, że dotyk os OX to ne możn znleźć perwstk metodą bsekcj ( ) Met.Numer. Wykłd 4 7
Wdy metody bsekcj unkcj zmen znk le ne m perwstk ( ) Met.Numer. Wykłd 4 8
Metod regul-ls Złożen: regul ln; lsus- łszywy Metod zwn jest metodą łszywego złożen lnowośc unkcj w przedzle <,b> równne ()0 m dokłdne jeden perwstek jest to perwstek pojedynczy ()(b)<0 () jest n przedzle <,b> unkcją klsy C d/d d /d mją stły znk w tym przedzle potrzebne do ustlen błędu stłego punktu tercj Met.Numer. Wykłd 4 9
Metod regul-ls Przy tkch złożench możlwe są jedyne nstępujące przypdk: Metod t m punkt stły, jest nm punkt, w którym spełnony jest wrunek: '' > 0 Met.Numer. Wykłd 4 30
Met.Numer. Wykłd 4 3 Metod regul-ls Rozwżmy przypdek: Przez punkty A(, ()) B(b, (b)) prowdzmy cęcwę (seczną) o równnu: ) ( ) ( ) ( ) ( b b y Punkt, w którym cęcw przecn oś OX jest perwszym przyblżenem szuknego perwstk. ) ( ) ( ) ( ) ( b b
Metod regul-ls Jeżel ( )0, to jest szuknym perwstkem. Jeżel otrzymne w ten sposób przyblżene jest z mło dokłdne, to przez punkty C(, ( )) orz przez ten z punktów A B, którego rzędn m znk przecwny nż ( ) prowdzmy nstępną cęcwę. Punkt, w którym cęcw przetne oś OX jest kolejnym przyblżenem. Proces tercyjny kończymy, gdy uzyskmy rozwązne z zdną dokłdnoścą. Tworzymy cąg:,, n ( k ) k k ( b k ) k,,..., n ( b) ( ) 0 0 + k Met.Numer. Wykłd 4 3
Metod regul-ls Możn wykzć, że przy przyjętych złożench cąg,, n jest rosnący ogrnczony węc zbeżny. Jego grncą jest szukny perwstek α czyl (α)0 Błąd n-tego przyblżen możn ocenć n podstwe: ( ) ( α) '( c)( α) n n gdze c jest zwrte w przedzle od n do α n m α n <, b> ( m n ) '( ) Met.Numer. Wykłd 4 33
Metod regul-ls Przykłd: Znleźć dodtn perwstek równn: 3 ( ) + 3 3 w przedzle (,) ocenć błąd przyblżen. Sprwdzmy złożen: '( ) 3 + 3 ''( ) 6 + '( ) > 0 ''( ) > 0 dl > ( ) 4 () 3 Met.Numer. Wykłd 4 34
Metod regul-ls Równne cęcwy przechodzącej przez punkty A(,-4) B(,3) Aby y0,,574 3 + 4 y + 4 ( ) Znjdujemy ( )-.36449. Ponewż ( )<0, to cęcwę prowdzmy przez punkty B(,3) C(,574,-,36449) W drugm przyblżenu,70540 Ocen błędu przyblżen w przykłdze: m n, < b> '( ) Met.Numer. Wykłd 4 35
Metod regul-ls Ocen błędu przyblżen w przykłdze: m n <, b> '( ) m n <,> 3 + 3 ( )-0,4784 n α < 0,4784 < 0,4 Ponewż cąg przyblżeń jest rosnący, węc,70540 < α <,894 Met.Numer. Wykłd 4 36
Metod regul-ls metod secznych Wdą metody jest jej stosunkowo powoln zbeżność. Metodę regul-ls możn znczne ulepszyć tzn. poprwć jej zbeżność, jeżel zrezygnujemy z żądn, by unkcj () mł w punktch wytyczjących nstępną cęcwę różne znk (z wyjątkem perwszej tercj). Jest to metod secznych Met.Numer. Wykłd 4 37
Metod secznych W celu oblczen przyblżen + korzystmy z dwóch wcześnej wyznczonych punktów: -.Wzórokreśljący cąg przyblżeń jest nstępujący: + ( ( )( ) ( ) ) Wdą metody secznych jest to, że może ne być zbeżn do perwstk (np. gdy początkowe przyblżen ne leżą dość blsko perwstk). Dodtkowo cąg przyblżeń pownen być mlejący (jeżel odległość pomędzy kolejnym przyblżenm jest tego smego rzędu co oszcowne błędu, jkm jest obrczon, to nstępne przyblżene może być cłkowce błędne). Met.Numer. Wykłd 4 38
Metod stycznych metod Newton-Rphson Zkłdmy, że () m różne znk n końcch przedzłu <,b> orz () () mją stły znk. Jko perwsze przyblżene perwstk przyjmujemy ten konec przedzłu, w którym unkcj jej drug pochodn mją ten sm znk, tzn. gdy ( 0 ) ( 0 ) 0, gdze 0 lub 0 b. Met.Numer. Wykłd 4 39
Metod stycznych metod Newton-Rphson Z wybrnego końc prowdzmy styczną do wykresu unkcj y (). Punkt, będący punktem przecęc stycznej z osą OX jest kolejnym przyblżenem perwstk. Jeżel otrzymne w ten sposób przyblżene jest z mło dokłdne, to z punktu o współrzędnych (, ( )) prowdzmy nstępną styczną. Punkt, w którym styczn przecn sę z osą OX jest kolejnym przyblżenem. Proces tercyjny kończymy, gdy uzyskmy rozwązne z zdną dokłdnoścą. y ( b) '( b)( b) b ( b) ( b) Met.Numer. Wykłd 4 40
Wzór określjący kolejne przyblżen szuknego rozwązn: + Metod stycznych metod Newton-Rphson ( ) ( ) Jest to zbeżny cąg przyblżeń mlejący ( n+ < n ) lub rosnący ( n+ > n ) ogrnczony z dołu lub z góry. Błąd n-tego przyblżen możn ocenć podobne jk w metodze regul-ls: n+ α ( '( Met.Numer. Wykłd 4 4 n n ) )
Metod stycznych metod Newton-Rphson Znnym przykłdem zstosown metody stycznych jest lgorytm oblczn perwstk kwdrtowego. Perwstek kwdrtowy z lczby dodtnej c jest dodtnm perwstkem równn: Oblczen: Stosując metodę stycznych: c ( ) c '( ) n+ n 0 ( n ) n n ( n ) n c Otrzymujemy: n+ n + c n Met.Numer. Wykłd 4 4
Metod kolejnych przyblżeń (tercj) Dne jest równne ()0 gdze () jest unkcją cągłą. Nleży wyznczyć perwstk rzeczywste tego równn. Równne to sprowdzmy do równn równowżnego: ϕ() Grczn nterpretcj oprt jest n wykresch unkcj: y y ϕ() Metod tercj jest zbeżn gdy ϕ' ( ) < Met.Numer. Wykłd 4 43
Metod kolejnych przyblżeń (tercj) Przypdk gdy metod jest zbeżn: Met.Numer. Wykłd 4 44
Metod kolejnych przyblżeń (tercj) Przypdk gdy metod jest rozbeżn: Met.Numer. Wykłd 4 45
Metod kolejnych przyblżeń (tercj) Zdne domowe: 3 Znleźć perwstek równn: 4.5 0 w przedzle [,] metodą tercj Równne ()0 możn sprowdzć do równn równowżnego φ() w różny sposób: ) 3 4.5 4.5 b) + c) d) + 4.5 + 4.5 Sprwdzć, który sposób zpewn zbeżność metody e) + 4. 3 5 Met.Numer. Wykłd 4 46
Metod kolejnych przyblżeń (tercj) Zdne domowe: 3 Znleźć perwstek równn: 4.5 0 w przedzle [,] metodą tercj Równne ()0 możn sprowdzć do równn równowżnego φ() w różny sposób: ) 3 4.5 4.5 b) + c) d) + 4.5 + 4.5 Sprwdzć, który sposób zpewn zbeżność metody e) + 4. 3 5 Met.Numer. Wykłd 4 47
Poszukwne mnmów unkcj jednej zmennej Zdne znjdown mnmum unkcj () możn sprowdzć do rozwązn równn ()0 Wyznczene pochodnej unkcj może być zbyt trudne lub unkcj może nebyć różnczkowln. Jeżel unkcj jest dostteczne regulrn możn ją loklne przyblżyć welomnm nskego rzędu to możn zstosowć metody proksymcyjne. Jeżel włsnośc unkcj ne są znne to bezpecznejsze są metody podzłu. Met.Numer. Wykłd 4 48
Metody podzłu Złożen: () m mnmum w punkce α nleżącym do przedzłu [,b], () jest mlejąc w przedzle [, α] rosnąc w [α,b] czyl jest unmodln. Lemt: Aby zloklzowć punkt α w przedzle [,b ] o mnejszej długośc nż przedzł [,b], wystrczy oblczyć wrtość unkcj w dwu punktch wewnątrz przedzłu [,b]. <t <t <b Jeżel (t ) (t ), to α [,t ] Jeżel (t )>(t ), to α [ t,b] Met.Numer. Wykłd 4 49 t α t b
Metody podzłu Metod podzłu n 3 równe częśc Przyjmujemy punkty podzłu przedzłu [,b]: t + 3 b b 3 t + 3 3 Wkżdej tercj nstępuje zmnejszene przedzłu 3/rzy Po I tercjch uzyskujemy przedzł odługośc: b 3 I ( (0) (0) b ) Wrtość unkcj oblczono I rzy Met.Numer. Wykłd 4 50
Metody podzłu Metod połowen Przyjmujemy punkty podzłu n cztery częśc przedzłu [,b]: t 3 + 4 b b 4 t + W kżdej tercj nstępuje zmnejszene przedzłu rzy Po I tercjch uzyskujemy przedzł o długośc: b ( (0) (0) b ) Met.Numer. Wykłd 4 5 Wrtość unkcj oblczono I+ rzy Jest to metod brdzej ekonomczn I t 3 3 + 4 b 4
Metod optymlnych podzłów Metod Johnson Njmnejszej lczby oblczeń unkcj wymg metod korzystjąc z cągu lczb bonccego. 0 3 3 4 5 5 8 0 + Ops lgorytmu: Denujemy pożądną dokłdność ρ wyznczen położen mnmum α., tzn. chcemy uzyskć tk punkt t, by 6 3 7 α [ t ρ, t + ρ] Met.Numer. Wykłd 4 5
Metod optymlnych podzłów.nech: c (0) ρ (0). Znjdujemy tke N, by 3. Określmy:,,..., N- Ops lgorytmu w metodze Johnson: b t t N < ( b ) N + N ( b ) N + c N N + + Met.Numer. Wykłd 4 53
Metod optymlnych podzłów Ops lgorytmu w metodze Johnson: 4. W kżdej tercj oblczmy nowe punkty,b w nstępujący sposób: Jeżel: (t ) (t ), to pozostje bez zmn, bt () Jeżel: (t )>(t ), to b pozostje bez zmn, t () Po -tej tercj długość przedzłu [,b] zostje zmnejszon N N + rzy bez względu n to, któr nerówność jest spełnon Met.Numer. Wykłd 4 54
Metod optymlnych podzłów Ops lgorytmu w metodze Johnson: Po (N-) tercjch długość przedzłu zostje zmnejszon do wrtośc ( b ) N N (0) (0) N (0) (0) b... ( b ) N 3 N ρ Wykonno łączne N- oblczeń wrtośc unkcj Met.Numer. Wykłd 4 55
Metod optymlnych podzłów Przykłd: Znleźć mnmum unkcj () zloklzowne n przedzle [-4,4]. Pożądn dokłdność ρ. () Metod połowen 3 t ( 4) + 4 4 4 t ( 4) + 4 3 t3 ( 4) + 4 4 4 Sprwdzmy: (-)>(0) ()>(0); możemy zwęzć przedzł do: [-,] 0 Met.Numer. Wykłd 4 56
Metod optymlnych podzłów Przykłd: Dokonujemy nowego podzłu n 4 równe częśc () 3 t ( ) + 4 4 () t ( ) + 0 () 3 t3 ( ) + 4 4 Sprwdzmy: (-)>(0) ()>(0); możemy zwęzć przedzł do: [-,] le wtedy t0; (t)0 Wykonno łączne 5 oblczeń wrtośc unkcj Met.Numer. Wykłd 4 57
Met.Numer. Wykłd 4 58 Metod optymlnych podzłów Znleźć mnmum unkcj () zloklzowne n przedzle [-4,4]. Pożądn dokłdność ρ. Przykłd: (b) Metod Johnson ztem N5 8 4) ( 4 (0) (0) ρ b c 8 8 5 5 4 < < c c N N 4 8 8 3 4) ( 4)) ( (4 ) ( 5 5 () + + + + b t N N 4 8 8 5 4) ( 4)) ( (4 ) ( 5 5 () + + + + b t N N
Met.Numer. Wykłd 4 59 Metod optymlnych podzłów Jeżel: (t ) (t ), to pozostje bez zmn, bt () Szukmy nowych grnc przedzłu,b Oblczmy nowe punkty podzłu: ; () () t t le (-)(), czyl -4 b 4 5 5 4) ( 4)) ( ( ) ( 5 5 () + + + + b t N N 4 5 5 3 4) ( 4)) ( ( ) ( 5 5 () + + + + b t N N
Met.Numer. Wykłd 4 60 Metod optymlnych podzłów Szukmy nowych grnc przedzłu,b Oblczmy nowe punkty podzłu: ; () () t t le (-)>(-), czyl - b 3 3 ) ( )) ( ( ) ( 3 5 3 5 (3) + + + + b t N N 0 3 3 ) ( )) ( ( ) ( 3 5 3 5 (3) + + + + b t N N Jeżel: (t )>(t ), to b pozostje bez zmn, t ()
Metod optymlnych podzłów (3) (3) t ; t 0 Szukmy nowych grnc przedzłu,b Jeżel: (t )>(t ), to b pozostje bez zmn, t () le (-)>(0), czyl - b [, b] [,] t 0 ( t) 0 Wykonno łączne 4 oblczen wrtośc unkcj Met.Numer. Wykłd 4 6
Metod optymlnych podzłów Metod złotego podzłu Poleg n tkm wyborze punktów podzłu t ( )t ( ), by przedzł [,b] zmnejszł swą długość po kżdej tercj tyle smo rzy po wyznczenu punktów nowego podzłu, tzn. t (+) t (+),jeden z tych punktów pokrywł sę z wyznczonym punktem podzłu w poprzednej tercj. M to n celu zmnejszene lczby oblczeń wrtośc unkcj, gdyż jedyne w perwszej tercj oblczmy dwe wrtośc unkcj, w nstępnych zś już tylko jedną wrtość unkcj. Tę cechę mł omówony poprzedno lgorytm optymlny Met.Numer. Wykłd 4 6
Metod optymlnych podzłów Metod złotego podzłu Wymgn te spełn lgorytm, w którym: ( ) ( ) t b t τ ( b ), τ (0,) b t ( ) τ ( b t ( ) ) Stąd: τ +τ 0 czyl: τ 5 0,6 Lczb τ jest stosunkem boków prostokąt nzywnego przez strożytnych Greków złotym Met.Numer. Wykłd 4 63
Metod optymlnych podzłów Metod złotego podzłu Punkty podzłu oblczmy ze wzoru: () t + ( τ )( b ) () t b ( τ )( b ) Przyjęto mnożnk: τ by zmnejszyć błędy zokrągleń przy wyzncznu kolejnych punktów podzłu Met.Numer. Wykłd 4 64
Metod optymlnych podzłów Metod złotego podzłu Nowe punkty,b powstją w nstępujący sposób: Jeżel: (t ) (t ), to pozostje bez zmn, bt () t ( + ) ( ) t t ( + ) + ( τ )( b ) Jeżel: (t )>(t ), to b pozostje bez zmn, t () t ( + ) ( ) t t ( + ) b ( τ )( b ),,,3,... Aby wyznczyć t metodą złotego podzłu z dokłdnoścą ne gorszą nż metodą Johnson, potrzeb co njwyżej jednego dodtkowego oblczen wrtośc unkcj. Met.Numer. Wykłd 4 65