Zadanie 1 Pokazać, że dowolne dwie kule w R z metryka sa homeomorficzne Niech ρ be dzie metryka równoważna z, to znaczy wyznaczaja ca topologie na R Czy wynika z tego, że dowolne dwie kule w metryce ρ sa homeomorficzne? (Krzysztof Le cki, Wojciech Suwiński) Zadanie 2 Podzbiór A X nazywa sie retraktem X, jeżeli istnieje cia g le przekszta lcenie r: X A, takie że r A = id A Takie przekszta lcenie nazywa sie retrakcja na zbiór A a) Pokazać, że podzbiór niepusty A X jest retraktem X wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej przestrzeni Y i dowolnego cia g lego przekszta lcenia f: A Y istnieje cia g le przekszta lcenie f: X Y, takie że f A = f b) Udowodnić, że jeżeli X jest przestrzenia Hausdorffa, to każdy jej retrakt jest podzbiorem domknie tym c) Pokazać, że retrakcja jest przekszta lceniem ilorazowym d) Pokazać, że w R n dowolna kula domknie ta D(x, r) = {y R n : d(x, y) r} jest retraktem R n Czy to samo jest prawdziwe dla p laszczyzny R 2 z metryka kolejowa i metryka rzeka? Zadanie 3 Udowodnić, że cze ść wspólna przeliczalnej liczby otwartych ge stych podzbiorów prostej z topologia strza lki jest zbiorem ge stym (Ewa Bieńkowska, Karolina Solnik) Zadanie 4 Pokazać, że w przestrzeni metrycznej każdy zbiór domknie ty jest cze ś- cia wspólna przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych Podać przyk lad przestrzeni topologicznej i takiego jej podzbioru domknie tego, dla którego ten warunek nie jest spe lniony (Paulina Szrubarz i Pawe l Olszewski) Zadanie 5 Niech X be dzie zbiorem nieprzeliczalnym, x 0 X wyróżnionym punktem Niech T = {U X: x 0 / U lub X \ U jest zbiorem skończonym} Zbadać, czy przestrzeń X: a) zawiera nieprzeliczalna podprzestrzeń dyskretna b) jest ośrodkowa c) spe lnia pierwszy aksjomat przeliczalności d) ma przeliczalna baze e) jest metryzowalna f) udowodnić, że x 0 jest jedynym punktem skupienia g) udowodnić, że X jest przestrzenia (Katarzyna Kraszewska, Marta Pa luba) Zadanie 6 Niech C(R) be dzie zbiorem funkcji cia g lych R R, (proste z topologia ) Dla f C(R) i liczby rzeczywistej ɛ > 0 niech V (f, ɛ) = {g C(R): t R g(t) f(t) < ɛ} a) Sprawdzić, że rodzina {V (f, ɛ)} f C(R),ɛ>0 jest baza generowanej przez nia topologii - symbol C(R) be dzie dalej oznacza l te w laśnie przestrzeń topologiczna b) Niech A i B be da podzbiorami z lożonymi z funkcji ograniczonych i nieograniczonych odpowiednio Znaleźć ich domknie cia, wne trza i brzegi
c) Pokazać, że każdy przeliczalny podzbiór C(R) jest nigdziege sty d) Udowodnić, że C(R) nie ma bazy przeliczalnej e) Zbadać, czy C(R) jest spójna i lukowo spójna (Micha l Matusiak, Dariusz Pukas) Zadanie 7 Na p laszczyźnie R 2 z metryka dana jest prosta L = {(0, x): x R} Niech R 2 /L oznacza przestrzeń ilorazowa powsta la przez zgniecenie L do punktu (to znaczy, R 2 /L jest zbiorem klas abstrakcji relacji x y x = y lub x, y L) (a) Udowodnić, że R 2 /L nie spe lnia I aksjomatu przeliczalności (b) Sprawdzić, czy odwzorowanie ilorazowe R 2 R 2 /L jest domknie te (otwarte) (c) Sprawdzić, czy R 2 /L ma w lasność Hausdorffa (d) Zbadać, czy R 2 /L jest przestrzenia ośrodkowa (Iwona Majewska, Michalina Pacholska) Zadanie 8 Niech X = i N R i gdzie R i = R z topologia Niech A = {(x i ) i N : (x i ) i N jest zbieżny} a) Znaleźć cl(a) oraz int(a) w X b) Zbadać, czy funkcja f: A R, f((x i ) i N ) = lim(x i ) jest cia g la (Emilia Kulesza, Magda Piastowska) Zadanie 9 Niech grupa G dzia la na przestrzeni topologicznej X Rozpatrujemy zbiór orbit tego dzia lania z topologia ilorazowa zadana przez naturalne przekszta lcenie π: X X/G Udowodnić, że: (a) odwzorowanie X X/G jest zawsze otwarte (b) jeżeli G jest grupa skończona, to odwzorowanie X X/G jest także domknie te (c) jeżeli G jest grupa skończona, zaś X jest przestrzenia Hausdorffa, to X/G jest przestrzenia Hausdorffa (Micha l Lemańczyk, Pawe l Seta) Zadanie 10 Niech GL(n, R) oznacza zbiór odwracalnych macierzy n n o wspó lczynnikach rzeczywistych z topologia podprzestrzeni M(n n, R) = R n2 a) Udowodnić, że GL(n, R) M(n n, R) jest podzbiorem otwartym b) Znaleźć domknie cie GL(n, R) w M(n n, R) c) Udowodnić, że GL(n, R) ma dwie homeomorficzne sk ladowe spójne, które sa jednocześnie sk ladowymi lukowej spójności Zadanie 11 Niech Y = i=1 X i, gdzie X i jest skończona przestrzenia dyskretna Udowodnić, że przestrzeń Y jest homeomorficzna ze zbiorem Cantora (Magda Suchodolska, Bazyli Szymański) Zadanie 12 Niech L be dzie zbiorem prostych na p laszczyźnie euklidesowej Przez I(a, b) oznaczamy odcinek na p laszczyźnie o końcach w punktach a i b odpowiednio Dla prostej K L i liczby rzeczywistej ɛ > 0 niech (K ɛ, K + ɛ) = {x + K: x ( ɛ, ɛ)} L, innymi s lowy (K ɛ, K + ɛ jest zbiorem prostych leża cych w pasku o średnicy ɛ wokó l prostej K Dla prostej L, punktów a, b L i ɛ > 0 niech V (L, a, b, ɛ) = {K L: I(a, b) (K ɛ, K + ɛ)}
a) Udowodnić, że rodzina {V (L, a, b, ɛ)} a,b L,L L,ɛ>0 jest baza topologii w zbiorze L generowanej przez te rodzine b) Udowodnić, że otrzymana przestrzeń topologiczna jest homeomorficzna z wste ga Möbiusa (bez brzegu) (Kamil Matysiak,?)
Seria II Zadanie 1 Udowodnić, że jeżeli f : X X jest przekszta lceniem zwartej przestrzeni metrycznej (X, d), takim że dla dowolnych punktów x, y X, d(f(x), f(y)) d(x, y), to f jest izometria ( to znaczy dla każdych dwóch punktów x, y X, d(f(x), f(y)) = d(x, y)) oraz f(x) = X Zadanie 2 Udowodnić, że jeżeli f : X X jest przekszta lceniem zwartej przestrzeni metrycznej (X, d), takim że f(x) = X i dla dowolnych punktów x, y X, d(f(x), f(y)) d(x, y), to f jest izometria Zadanie 3 Niech R be dzie zbiorem cigów liczb rzeczywistych (x 1, x 2, ) o prawie wszystkich (tzn wszystkich, poza skończenie wieloma) wspó lrze dnych równych zeru Be dziemy identyfikować R n ze zbiorem punktów (x 1,, x n, 0, 0, ) w R Przestrzeń R jest suma podprzestrzeni R R 2 R n i niech T n be dzie topologia w (R n, d e ) Niech T = {U R : U R n T n, dla n = 1, 2, } a) Pokazać, że R nie posiada przeliczalnej bazy w żadnym punkcie b) Zbadać ośrodkowość R c) Udowodnić, że jeżeli A R i A jest przestrzenia, to istnieje n N dla którego a R n Zadanie 4 Niech f : X Y be dzie przekszta lceniem domknie tym i niech X be dzie przestrzenia Hausdorffa Pokazać, że jeżeli dla każdego y Y, f 1 (y) jest zbiorem zwartym, to Y jest przestrzenia Hausdorffa Zadanie 5 BCPP 222 i 224 Zadanie 6 BCPP 224 i 225 Zadanie 7 BCPP 337 i 338 Zadanie 8 BCPP 318 Zadanie 9 [Rozmaitości jednowymiarowe] Niech (X, T ) be dzie spójna przestrzenia Hausdorffa posiadaja ca przeliczalna baze oraz niech każdy punkt x X posiada otoczenie homeomorficzne z prosta R Wtedy (X, T ) jest homeomorficzna z prosta R lub z okre giem S 1 na p laszczyźnie euklidesowej Zadanie 10 Niech A X be dzie w laściwym podzbiorem przestrzeni topologicznej X Symbolem X/A oznaczamy zbiór klas abstrakcji relacji x y x = y lub x, y A z topologia ilorazowa a) Podać przyk lad A X takich, że X \ A nie jest homeomorficzne z X/A \ {[A]} b) Udowodnić, że jeżeli A jest domknie ty lub A jest otwarty, to X \ A jest homeomorficzne z X/A \ {[A]}
Zadanie 11 Definicja Przestrzeń topologiczna X nazywa sie lokalnie zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu x X i każdego otoczenia x U istnieje otoczenie x V, takie że V jest zwarte i x V V U a) Czy p laszczyzna R 2 z metryka kolejowa jest lokalnie zwarta? b) Udowodnić, że przestrzeń lokalnie zwarta ma w lasność Baire a Zadanie 12 Definicja Przestrzeń topologiczna X nazywa sie lokalnie spójna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu x X i każdego otoczenia x U istnieje otoczenie x V, takie że V jest spójne i x V U Na p laszczyźnie euklidesowej R 2 dany jest podzbiór A = {(x, y) R 2 : x R \ Q i y 0} {(x, y) R 2 : x Q i y < 0} Pokazać, że A jest przestrzenia spójna, ale nie jest przestrzenia lokalnie spójna i nie jest przestrzenia lukowo spójna Wskazać sk ladowe lukowe przestrzeni A Zadanie 13 Niech p N be dzie liczba pierwsza Jeżeli r Q \ 0, to r = p m k l, m Z i p k, p l Definiujemy r p = p m, 0 p = 0 d p (r 1, r 2 ) = r 1 r 2 p a) Udowodnić, że d p jest metryka (zwana meryka p adyczna ), która spe lnia warunek d p (r 1, r 3 ) max(d p (r 1, r 2 ), d p (r 2, r 3 ) dla dowolnych r 1, r 2, r 3 Q b) Wskazać cia g Cauchyego w metryce d p, który nie jest zbieżny Niech Q p oznacza uzupe lnienie Q w metryce p adycznej Metryke i norme w Q p oznaczamy tymi symbolami Pokazać, że: c) Q p jest cia lem; d) dwie kule w Q p sa roz la czne lub jedna jest zawarta w drugiej; e) kule w Q p sa otwarto - domknie te; f) Q p jest ca lkowicie niespójna; g) jeżeli Z p = {x Q p : x p 1}, to Z Z p i N Z p sa podzbiorami ge stymi h) Z p jest przestrzenia Zadanie 14 BCPP 66