7. Drgania i fale. Drgania

7 Drgania i fale Drgania Ruche drgający okresowy nazyway taki ruch w który układ po upływie pewnego czasu nazywanego okrese drgania wraca do stanu wyjściowego Drganie haroniczne proste W ujęciu geoetryczny drganie haroniczne proste to ruch jaki wykonuje rzut punktu poruszającego się po okręgu na średnicę tego okręgu (Rys 71) P A A P A t Rys 71 Ilustracja do definicji geoetrycznej drgania haronicznego prostego Drganie haroniczne proste jest drganie o stałej w czasie aplitudzie Równanie opisujące drganie haroniczne proste przedstawia zależność wychylenia t drgającego punktu P z położenia równowagi od czasu t (Rys 7): t A t (71) cos gdzie: A - aplituda drgania (aksyalne wychylenie z położenia równowagi) / T f - częstość kołowa drgania / T - okres drgania 1/ T f - częstotliwość drgania t t t - faza drgania - faza początkowa drgania t A t T A Rys 7 Zależność wychylenia drgającego punktu z położenia równowagi od czasu w drganiu haroniczny prosty

W ujęciu ateatyczny drganie haroniczne proste to ruch opisany równanie: d (7) dt Rozwiązanie tego równania jest funkcja (71) Z równania (7) wynika fizyczna definicja drgania haronicznego prostego: jest to taki ruch który wykonuje punkt aterialny o asie pod wpływe siły sprężystej (elastycznej) F s proporcjonalnej do wychylenia i przeciwnie do tego wychylenia skierowanej: F s k k (73) gdzie k jest dodatni współczynnikie sprężystości określający częstość kołową oraz okres drgań własnych układu: k T (74) k Energia drgania haronicznego prostego Siły sprężyste są siłai zachowawczyi Energia kinetyczna i potencjalna drgającego układu zieniają się w czasie natoiast całkowita energia echaniczna pozostaje wielkością stałą: 1 1 E kin v A sin ( t ) (75) 1 1 E pot k A cos ( t ) (76) 1 Ec Ekin E pot A const (77) Wahadło fizyczne i wahadło ateatyczne Przy poijalnych stratach energii związanych z tarcie i oporai środowiska wahadło fizyczne i wahadło ateatyczne są przykładai ciał wykonujących drganie haroniczne proste (Rys 73) O l S O l S a Q g b Q g Rys 73 Wahadło fizyczne (a) i wahadło ateatyczne (b) O punkt zawieszenia S - środek asy

Dla ałych wychyleń uownie przyjętych dla 14 okres drgań wahadła fizycznego określa wzór: I o T D gl (78) D gdzie I o jest oente bezwładności bryły względe osi obrotu przechodzącej przez punkt O a D oente kierujący Dla wahadła ateatycznego ( I o l ) otrzyay: l T (79) g Drganie haroniczne tłuione Drganie to powstaje pod wpływe siły sprężystej F s k przedstawionej w równaniu (73) oraz siły tłuiącej która przy względnie ałych prędkościach jest proporcjonalna do prędkości ciała i d przeciwnie do tej prędkości skierowana: F t b Równanie ruchu Newtona opisujące drganie dt tłuione a postać: d d dt dt b k (71) gdzie jest asą drgającego ciała a - współczynnikie tłuienia ośrodka t A t A e A A 1 A A 3 T t Rys 74 Zależność wychylenia drgającego punktu z położenia równowagi od czasu w ruchu haroniczny tłuiony Dla współczynnika tłuienia spełniającego warunek rozwiązanie tego równania jest funkcja: t t A e t cos (711)

gdzie i są odpowiednio częstościai kołowyi drgania tłuionego i drgania swobodnego ( t jest fazą początkową drgania Aplituda drgania tłuionego At A e ) natoiast jest alejącą funkcją czasu a energia drgania ulega rozproszeniu Dekreent logaryticzny tłuienia Dekreent logaryticzny tłuienia określa szybkość zaniku drgań tłuionych i zdefiniowany jest równanie: nt An Ae ln ln T ( n1) T (71) A A e n1 gdzie A n i A n1 są dowolnyi - kolejnyi aplitudai odpowiadającyi dwó oento czasu różniący się o jeden okres T drgania tłuionego Fale Fala jest rozchodzący się w przestrzeni ruche drgający Gdy dowolny punkt środowiska - źródło ruchu falowego - zostanie wytrącony z położenia równowagi i zacznie wykonywać ruch drgający to wskutek istnienia sprężystości lub sztywności postaci środowiska drganie to rozchodzi się we wszystkich ożliwych kierunkach doprowadzając do powstania ruchu drgającego dowolnego innego punktu tego środowiska W ciałach wykazujących sprężystość postaci tj w ciałach stałych cieczach i gazach ożliwe jest rozchodzenie się fal podłużnych w których drgania cząsteczek środowiska zachodzą na kierunku propagacji fali W ciałach stałych które wykazują także sztywność postaci ogą rozchodzić się fale poprzeczne w których drgania cząsteczek środowiska zachodzą na kierunku prostopadły do kierunku propagacji fali Ruch falowy a unikalną zdolność transportu energii bez transportu asy Fala haroniczna płaska z t v A A z Rys 75 Ilustracja do opisu fali haronicznej płaskiej Fala haroniczna płaska to fala o określony kierunku propagacji i stałej aplitudzie której źródłe jest drganie haroniczne proste Równanie opisujące tą falę przedstawia zależność wychylenia dowolnego punktu środowiska z położenia równowagi od położenia i czasu: z z t A t cos (713) v

gdzie: z t - wychylenie drgającego punktu z środowiska z położenia równowagi w oencie t Czas t jest całkowity czase drgania źródła ruchu falowego zlokalizowanego tutaj w położeniu z A - aplituda fali równa aplitudzie drgania haronicznego prostego / T f - częstość kołowa fali równa częstości kołowej drgania haronicznego prostego o okresie T i częstotliwości f v - prędkość fazowa fali z t - faza fali v - faza początkowa fali Prędkość fazowa fali Jest to prędkość rozprzestrzeniania się fazy fali tj prędkość z jaką usiałby poruszać się obserwator by natrafić na tą saą fazę fali i rejestrować niezienne wychylenie drgających cząsteczek środowiska z położenia równowagi Prędkość fazową fali określa warunek: z t const (714) v z którego po zróżniczkowaniu wynika naturalny wniosek że sprężystej określa wzór Newtona: dz v Prędkość rozchodzenia się fali dt M v (715) gdzie M jest odułe ściśliwości (fala podłużna) lub odułe sztywności (fala poprzeczna) a jest gęstością środowiska Długość fali Długością fali określay dystans pokonany przez czoło fali w czasie jednego pełnego okresu: vt Równoważna definicja określa długość fali jako odległość iędzy dwoa drgającyi punktai środowiska różniącyi się w fazie o : tz t z z (716) 1 z 1 Zasada superpozycji Zasada superpozycji głosi że jeżeli do jakiegoś punktu środowiska dociera kilka ciągów fal to punkt ten doznaje wychylenia będącego suą wychyleń pochodzących od poszczególnych ciągów fal Interferencja fal Interferencja fal powstaje w wyniku nakładania się ciągów fal spójnych (koherentnych) tj takich ciągów fal których różnica faz nie zależy od czasu Jeżeli różnica faz nakładających się ciągów fal zależy od czasu to powstały obraz nie jest obraze interferencyjny

S 1 z 1 P S z Rys 76 Ilustracja do interferencji fal haronicznych kolistych Najprostszy przypadkie interferencji jest nakładanie się dwóch fal haronicznych o tych saych aplitudach A i tych saych częstościach kołowych Przy początkowych fazach równych zeru fale te opisane są przez równania równania: z 1 1 A cos t z A cos t (717) v v gdzie z 1 i z są odległościai iejsca interferencji P od źródeł ruchu falowego S 1 i S (Rys 76) Falę wypadkową powstałą w wyniku nałożenia się obydwu ciągów fal opisuje równanie: gdzie z1 z 1 Acos t (718) v z z1 A A cos (719) jest niezależną od czasu aplitudą fali wypadkowej Wielkość tej aplitudy zależy tylko od różnicy dróg przebytych przez obydwa ciągi fal Maksyalną wartość aplitudy A A (aksyalne wzocnienie) rejestrujey gdy z z 1 n n 13 (7) co odpowiada sytuacji w której ciągi fal spotykają się w zgodnych fazach Aplituda drgania wypadkowego równa jest zeru (wygaszenie) gdy spełniony jest warunek: z z n 13 (71) 1 n 1 opisujący przypadek nakładania się ciągów fal o przeciwnych fazach

Fala stojąca Fala stojąca jest szczególny przypadkie nakładania się dwóch ciągów fal które ają te sae aplitudy i częstości lecz rozchodzą się w przeciwnych kierunkach Przy początkowych fazach równych zeru fale te opisują równania: z 1 A cos t v z A cos t (7) v Superpozycja obydwu ciągów fal prowadzi do powstania fali stojącej opisanej równanie: 1 Acos t (73) z A A cos (74) Rozwiązanie to nie zawiera członu falowego i opisuje drganie haroniczne proste o częstości i zieniającej się przestrzennie aplitudzie A Maksyalne wartości aplitud A A powstają w strzałkach określonych przez warunek: z n n 13 (75) Aplitudy są równe zeru w węzłach fali stojącej spełniających warunek: z n n 13 (76) 1 4 Fali stojącej nie towarzyszy transport energii Az A / 3 / z A Rys 77 Strzałki i węzły fali stojącej Przykłady Przykład 71 Klocek sześcienny o boku l 3c pływa zanurzony do /3 w wodzie Pokazać że całkowicie zanurzony a następnie swobodnie puszczony klocek zacznie wykonywać drgania haroniczne Wyznaczyć: częstość i okres drgań wypadkową siłę działająca na klocek w dowolny oencie czasu oraz całkowitą energię drgań W zadaniu poinąć zjawiska związane z lepkością 3 wody Gęstość wody w 1g/c przyspieszenie zieskie g 981 /s

Rozwiązanie: W W l 3 Q W l 3 Q W Gdy klocek pływa swobodnie zanurzony do /3 w wodzie siła wyporu W klocka Q : równoważy ciężar 3 3 W Q l w g l k g 3 Równanie to pozwala wyznaczyć nieznaną gęstość klocka: k w / 3 Gdy klocek zostanie zanurzony na dodatkową głębokość w stosunku do poziou równowagi działająca na klocek siła wyporu będzie większa od jego ciężaru i powstanie wypadkowa siła o wartości 3 F W Q l l wg l k g l wg 3 Siła ta jest proporcjonalna do przyrostu zanurzenia i jest zorientowana do niego przeciwnie: F k k l g Porównując otrzyane wyrażenie z równanie (73) widziy że działająca na klocek siła a foralną postać siły sprężystej Swobodnie puszczony klocek zacznie więc wykonywać drgania haroniczne a przyrost zanurzenia w funkcji czasu będzie opisany równanie (71): t A cos t A 1 3 l w gdzie częstość kołowa oraz okres drgań klocka odpowiednio wynoszą 1/ 1/ 1/ k l wg 3g 3 l l k 1/ l 3 T g Wartość aplitudy A oraz fazy początkowej wynika z przyjętego założenia że w uowny oencie t przyrost zanurzenia klocka wynosił t l / 3 Poszukiwaną wypadkową siłę działająca na klocek w dowolny oencie czasu opisuje funkcja:

1/ 1 3 3g F k wgl cos t 889cos7 t 3 l Całkowitą energię drgań klocka przedstawia równanie (77): E c 1 1 4 A wgl 6 Uwzględniając dane liczbowe otrzyay: 7 rad/s T 9 s E c 13 J Przykład 7 Dwie sprężyny o stałych sprężystości k 1 13 N/ i k 7N/ połączone są z blokie o asie kg Przy napiętych sprężynach blok przesunięto z położenia równowagi o 15c i w chwili t swobodnie puszczono Za poocą przyrządu poiarowego stwierdzono że aplituda drgań zalała do połowy w ciągu czasu równego n 75 pierwszy okreso drgania Obliczyć: a) stałą sprężystości sprężyny częstość kołową i okres drgań swobodnych (nietłuionych) b) częstość kołową i okres drgań tłuionych oraz współczynnik tłuienia c) wypadkową siłę działająca na blok w dowolny oencie czasu d) energię rozpraszaną w ciągu jednego okresu drgania Rozwiązanie: k1 k F 1 F a) W dowolny położeniu bloku ziana długości każdej sprężyny jest taka saa a obydwie siły działające na blok są zorientowane zgodnie i w przeciwny kierunku do jego wychylenia z położenia równowagi Ruch bloku odbywa się więc pod wpływe wypadkowej siły F F k k k k F 1 1 1 Wypadkowa siła F jest również siłą sprężystą a stała sprężystości sprężyny k k 1 k Częstość kołową i okres drgań swobodnych T wyznacza relacja (74): 1/ 1/ k k1 k 1/ T k1 k Po podstawieniu danych liczbowych znajdziey: 1 k N/ 3163 T 199 s s

b) Zależność czasową aplitudy A określa wyrażenie: t A t A e gdzie jest współczynnikie tłuienia środowiska Z warunków zadania wynika że nt nt e A t n T ln gdzie T jest okrese drgania tłuionego Równanie to wraz z relacją (711) na częstość kołową drgania tłuionego T uożliwia wyznaczenie poszukiwanych wielkości T : 1/ k1 k n ln 4 n 1 ln T n 1 4 n k k 1/ 1/ 1 ln ln k k 4 n Uwzględniając dane liczbowe otrzyay: 3163 s T 199 s 465 s W przypadku bardzo słabego tłuienia zdefiniowanego przez warunek T 1 T T W oawiany zadaniu T 91 i obliczone wartości i T są w obrębie stosowanej dokładności obliczeń takie sae jak odpowiednie wartości i T dla drgania nietłuionego c) Siłę działającą na blok określa równanie: F 1 t kt k k e t cos t Z warunków zadania wynika że w chwili Po podstawieniu danych liczbowych otrzyay: F 1 t wychylenie bloku t 465t t 3e cos3163t 1 więc faza początkowa d) W odróżnieniu od drgania swobodnego energia układu wykonującego drganie tłuione w sposób ciągły aleje z czase Miarą rozproszonej w ciągu jednego okresu energii oże być różnica energii potencjalnych w oentach t n nt i t n 1 n 1T odpowiadających czasowo najbliższy oento aksyalnego i zgodnego co do kierunku wychylenia układu z położenia równowagi W oentach tych energia kinetyczna jest równa zeru a całkowita energia układu równa jest jego

energii potencjalnej Energia potencjalna w oencie t n nt równa jest pracy wykonanej przeciwko sile sprężystej na drodze od położenia równowagi do An : V n n n a Uwzględniając że ep nt A n A A 1 F d k1 k d k1 k An znajdziey: V n nt a 1 k1 k e Względne rozproszenie energii drgania tłuionego opisuje równanie: n n n1 Va Va Va T n n 1 e V V a a Paraetr jest taki sa dla każdego okresu i zależy tylko od dekreentu logaryticznego tłuienia T Identyczny rezultat otrzyay przeprowadzając podobne obliczenia uwzględniające różnicę aksyalnych energii kinetycznych W rozważany przypadku 18 tj w każdy okresie układ traci 18% energii aksyalnej z początkowego oentu t n tego okresu Przykład 73 Dwa ciągi fal spójnych o tej saej aplitudzie A 5 i tej saej częstotliwości f 15Hz przeieszczają się w jedny kierunku z tą saą prędkością fazową v 335/s Faza początkowa jednego ciągu fal wynosi 1 a drugiego / 3 Wyprowadzić równanie opisujące falę wypadkową Z jaką aplitudą będą drgały cząsteczki środowiska w iejscu interferencji oraz jaka będzie odległość dzieląca dwa sąsiadujące bezpośrednio punkty drgające z aksyalną aplitudą? Zadanie rozwiązać także w sytuacji gdy fale przeieszczają się w przeciwnych kierunkach Rozwiązanie: Każda z fal opisana jest równanie (713) W przypadku fal poruszających się w ty say kierunku równania te ają postać: Wykorzystując znany trygonoetryczny wzór: z z t A cos f t 1 v z z t A cos f t v 3 1 cos cos cos cos oraz stosując zasadę superpozycji otrzyay równanie fali wypadkowej: z z t A cos cos f t 1 6 v 6

Cząsteczki środowiska będą drgały z aplitudą A A cos / 6 A 5 a odległość dzieląca dwa sąsiadujące bezpośrednio punkty drgające z aksyalną aplitudą będzie równa długości fali v / f 3 c W przypadku gdy jedna z fal np pierwsza porusza się w kierunku przeciwny jej równanie falowe będzie iało postać: a fala wypadkowa będzie opisana równanie: z z t A cos f t 1 v z z t 1 A cos f cos ft v 6 6 Równanie to przedstawia falę stojącą o przestrzennie zieniającej się niezależnej od czasu aplitudzie z A z A cos f v 6 Maksyalne wartości aplitudy wynoszą A a ich położenie z wyznacza warunek: z 6 1 f n z n n n 13 v 6 1 Odległość dzieląca dwa sąsiadujące bezpośrednio punkty drgające z aksyalną aplitudą będzie równa z / 11 c n1 z n Zadania 71 Punkt zatacza w czasie T s okrąg o proieniu r 1c Przy jakiej fazie przyśpieszenie rzutu tego punktu na średnicę pozioą okręgu wynosi była równa zeru a 5c/s W chwili t faza początkowa 7 Jakie będzie wychylenie ciała drgającego ruche haroniczny prosty z położenia równowagi po upływie t 1s? Okres drgania i aplituda wynoszą odpowiednio T 1s i A 5 W chwili t ciało znajdowało się w położeniu równowagi 73 Punkt aterialny wykonuje drgania haroniczne o okresie T s i aplitudzie A 1 Znaleźć prędkość punktu w chwili gdy jego wychylenie z położenia równowagi wynosi 5 Faza początkowa drgań π/ 74 Jaki jest okres drgania haronicznego prostego o aplitudzie A i fazie początkowej jeżeli po czasie t 1s wychylenie drgającego punktu z położenia równowagi wynosiło /? 75 Punkt drgający ruche haroniczny prosty a w pewnej chwili prędkość v c/s Obliczyć przyśpieszenie tego punktu w tej chwili jeżeli okres drgań T s i aplituda A 1 c A

76 Maksyalna prędkość punktu drgającego ruche haroniczny wynosi v /s a aksyalne przyspieszenie a 4 /s Jak zienia się wychylenie drgającego punktu od czasu t? Faza początkowa 77 Punkt drgający a dla fazy / 3 prędkość v c/s Aplituda drgania A 1 c Obliczyć okres drgań tego punktu 78 Punkt wykonuje drgania o okresie T s i aplitudzie A 1 c Obliczyć prędkość i przyspieszenie punktu w oencie jego aksyalnego wychylenia Faza początkowa / 3 79 Ciało drgając haronicznie przebiega poiędzy skrajnyi położeniai drogę l 4 c i osiąga aksyalną prędkość v 1c/s Jaki jest okres częstość i częstotliwość tych drgań? Jaka jest aplituda częstość częstotliwość i faza początkowa tego drgania? Obliczyć prędkość oraz przyspieszenie tego ciała w piątej sekundzie ruchu? 71 Ciało drga haronicznie zgodnie z równanie: 1 sin3t 711 Ruch punktu opisuje równanie: A t sin W pewnej chwili wychylenie punktu z położenia równowagi wynosiło 5 c prędkość v 1c/s a przyspieszenie a 4c/s Obliczyć aplitudę drgań częstość fazę początkową oraz fazę w rozpatrywany oencie czasu 71 Punkt aterialny o asie wykonuje drgania haroniczne o częstości Obliczyć całkowitą energię drgającego punktu aterialnego jeżeli w pewnej chwili jego wychylenie z położenia równowagi i prędkość wynosiły odpowiednio i v 713 Ciało o asie 1g zostało wytrącone w oencie t z położenia równowagi i zaczęło wykonywać drgania haroniczne o aplitudzie A 1 c i częstotliwości f 5 Hz Obliczyć wartości aksyalne: siły sprężystej energii kinetycznej oraz energii potencjalnej Obliczyć wychylenie prędkość i przyspieszenie tego ciała w 5 i sekundzie ruchu 714 Ciała o asie 1 kg wykonuje drgania haroniczne proste opisane równanie: t 1cos 5t / 3 Jaka jest całkowita energia echaniczna drgającego ciała? 715 Całkowita energia echaniczna ciała wykonującego drgania haroniczne o aplitudzie A wynosi E Ile razy energia kinetyczna tego ciała w punkcie położony w odległości A / od położenia równowagi będzie niejsza od aksyalnej wartości energii kinetycznej ciała? Ile razy niejsza będzie energia potencjalna ciała w ty położeniu od jego aksyalnej energii potencjalnej? 716 Całkowita energia echaniczna ciała wykonującego drgania haroniczne o aplitudzie A 5c wynosi E J Jaka będzie energia kinetyczna i potencjalna tego ciała w punkcie odległy o A / od położenia równowagi? 3 717 Całkowita energia ciała o asie drgającego ruche haroniczny prosty wynosi E Napisać równanie ruchu tego ciała jeżeli siła działająca na ciało w jego skrajny położeniu wynosi F W chwili t ciało znajdowało się w położeniu równowagi 718 Obliczyć aplitudę i częstotliwość drgań haronicznych punktu aterialnego o asie kg jeżeli jego całkowita energia echaniczna E 4J a działająca na nie siła przy wychyleniu do połowy aplitudy a wartość F N

719 Ciało o asie 1kg wykonuje drganie haronicznie Aplituda drgania A 5 c a okres T 16s W jaki położeniu ciała oraz w jakiej chwili jego energia kinetyczna jest równa energii potencjalnej? Ile wynoszą wówczas wartości tych energii? 7 W kabinie windy wisi wahadło Gdy kabina porusza się ze stały przyspieszenie skierowany do Ziei to okres drgań wahadła wynosi T 1 1 s gdy zaś ze stałą prędkością to okres T 3 s Obliczyć przyspieszenie kabiny 71 Wahadło ateatyczne w iejscowości A wykonuje n 1 5 wahnięć a w iejscowości B w ty say czasie wahadło wykonuje n 499 wahnięć Przyśpieszenie zieskie w iejscowości B wynosi g 978c/s Obliczyć przyśpieszenie zieskie w iejscowości A 7 Obliczyć okres drgań wahadła ateatycznego wiedząc że wahadło cztery razy krótsze wykonuje w jednej sekundzie o cztery wahnięcia więcej 73 Wahadło zrobione z cienkiego drutu żelaznego i ciężkiej kuli jest w teperaturze t C wahadłe sekundowy O ile zieni się okres drgań tego wahadła w teperaturze t 3 C? 6 1 K Współczynnik rozszerzalności liniowej żelaza 15 1 1 74 Jaka jest długość jednorodnego pręta etalowego który zawieszony swobodnie na jedny ze swoich końców wykonuje drgania o okresie T 7 s? 75 Cienka obręcz o proieniu r 5c i asie 5 kg zawieszona jest na pozioy nieważki pręcie Wychylając obręcz z położenia równowagi ożna zapoczątkować jej ruch drgający Obliczyć okres tych drgań 76 Cienka płytka prostokątna o krawędziach a i b oże wahać się wokół osi równoległej do krawędzi a i leżącej w płaszczyźnie płytki Obliczyć: a) okres wahań płytki jeżeli oś obrotu przebiega wzdłuż górnej krawędzi płytki b) odległość osi od środka asy płytki przy której okres drgań jest najniejszy oraz wartość tego okresu 77 Bryła o asie 5 kg zawieszona jest na pozioej nieważkiej osi i wykonuje wraz z nią drgania z okrese T 1 1 s Na osi tej osadzono sztywno dodatkową tarczę stalową o asie 5 kg i proieniu r 5c tak że oś przechodzi przez środek tarczy i jest do niej prostopadła Okres drgań bryły z dodatkową tarczą wzrósł do T s Obliczyć oent bezwładności bryły względe osi 78 Pod wpływe podwieszonej asy 1kg sprężyna wagi wydłużyła się o 7c Jaka będzie częstość kołowa drgań sprężyny jeżeli na szalkę wagi położyy ciężar o asie 4kg? 79 Sprężyna z podwieszony ciężarkie wykonuje drgania z okrese T 8 s Jaka będzie aksyalna prędkość i przyspieszenie ciężarka jeżeli zostanie on odciągnięty o 8 c w stosunku do położenia równowagi i swobodnie puszczony? 73 Szalka wagi sprężynowej obciążona odważnikai wykonuje drgania swobodne z okrese T O ile powinna wydłużyć się sprężyna wagi pod wpływe dodatkowego obciążenia aby okres drgań zienił się o 5 %?

731 Ciężarek Q 5 N zawieszony na wadze sprężynowej wykonuje drgania haroniczne Obliczyć okres drgań wiedząc że kreska podziałki odpowiadająca ciężarowi P 1N oddalona jest od jej kreski zerowej na odległość d 6 73 Gładka tarcza wykonuje w płaszczyźnie pozioej n 7obr/in W środku tarczy uocowano jeden koniec sprężynki o długości l 8 c a na drugi końcu sprężynki uocowano gładką kulkę o asie 1 g Pod wpływe siły P 196N sprężynka rozciąga się o 1 1 c O ile rozciągnie się ta sprężynka wskutek wirowego ruchu tarczy? 733 Blok o asie M 1kg połączony jest ze ścianą sprężyną o stałej sprężystości k 5 kn/ W blok uderza pocisk o asie kg z prędkością v 1 /s i po zderzeniu grzęźnie w ni Obliczyć prędkość bloku tuż po zderzeniu oraz częstość i aplitudę drgań haronicznych bloku Tarcie bloku o podłoże poinąć v M k 734 Dwie sprężyny o stałych sprężystości k 1 1 N/ i k N/ połączone są z blokie o asie 1kg Ile wynosi stała sprężystości sprężyny która ogłaby zastąpić układ tych dwóch sprężyn jeżeli są one połączone tak jak na rysunku (a) (b) i (c)? (a) k 1 (b) k 1 k k (c) k 1 k 735 Obliczyć częstość drgań układów z poprzedniego zadania gdy obydwie sprężyny ają taką saą stałą sprężystości k 1N/ a ciężarek a asę 1kg 736 Ciało o asie 5 kg znajduje się na końcu sprężyny W chwili t rozciągnięto sprężynę o 5 c i puszczono Gdy wydłużenie sprężyny wynosi 3 c działa na nią siła F 75 N a) Ile wynosi stała sprężystości k sprężyny? b) Obliczyć częstość częstotliwość i okres drgań c) Ile wynosi aksyalne wychylenie prędkość i przyspieszenie ciała? Jaka jest aksyalna wartość działającej siły? d) Obliczyć całkowitą energię układu e) Obliczyć wychylenie prędkość przyspieszenie działającą siłę oraz energię potencjalną kinetyczną i całkowitą w przedziale czasu od t do t T co t T / 8 737 Na układ z poprzedniego zadania działa dodatkowo siła tarcia Ile wynosi stała tłuienia częstość drgań i jego okres jeżeli aplituda spadła do A 1c po upływie czasu: (a) t 1 1 s (b) t s (c) t 3 3 s (d) t 4 5 s (e) t 5 1 s (f) t 6 s Jak zienia się częstość drgań i okres drgań tłuionych w stosunku do drgań swobodnych?

738 Przez Zieię o proieniu R Z wykopany został tunel przebiegający przez jej środek Pokazać że siła działająca na cząstkę uieszczoną w ty tunelu jest siłą haroniczną Obliczyć: a) siłę działającą na kulę o asie 1kg znajdująca się w odległości r1 RZ i r RZ / od środka Ziei b) częstość i okres drgań kuli w tunelu c) całkowitą energię poruszającej się kuli d) iejsce w który wartość energii kinetycznej jest równa wartości energii potencjalnej kuli W oencie t kula rozpoczęła swobodny spadek z położenia r1 RZ 739 Areoetr o asie g i średnicy d 1c pływa w cieczy o nieznanej gęstości Gdy areoetr zostanie zanurzony w cieczy i puszczony zaczyna wykonywać drgania haroniczne o okresie T 35 s Obliczyć gęstość cieczy W obliczeniach poinąć tarcie związane z lepkością cieczy 74 W rurce wygiętej w kształcie litery "U" i polu przekroju S znajduje się pewna objętość cieczy V W wyniku zakłócenia warunku równowagi pozio cieczy w jedny raieniu rurki podniósł się a w drugi obniżył i słup cieczy zaczął wykonywać ruch drgający Dowieść że drgania te są haroniczne i obliczyć okres drgań słupa cieczy Tarcie związane z lepkością cieczy poinąć 741 Ciało leży na pozioej platforie która wykonuje pozioe drgania haroniczne proste o częstotliwości f 5 Hz i aplitudzie A c Jaki powinien być najniejszy współczynnik tarcia statycznego iędzy ciałe a powierzchnią platfory aby ciało nie ślizgało się po jej powierzchni? 74 Pozioa platfora wykonuje na kierunku pionowy do swojej powierzchni drgania haroniczne proste o aplitudzie A 5 c Jaka oże być aksyalna częstość drgań platfory aby leżące na niej ciało od niej się nie odrywało? 743 Dwa drgania haroniczne odbywające się wzdłuż tej saej prostej dają wypadkowe drganie o równaniu: y 5sin t / 6c Wiedząc że faza początkowa pierwszego z drgań składowych jest równa zeru 1 zapisać równania drgań składowych 744 Punkt bierze udział w dwóch drganiach równoległych o jednakowych częstościach kołowych lecz różnych aplitudach i różnych fazach początkowych Drgania te opisane są równaniai: 1 A1 cos t 1 A cos t Obliczyć aplitudę i fazę początkową drgania wypadkowego jeżeli wiadoo że drganie wypadkowe jest także drganie haroniczny prosty o częstości kołowej równej częstościo kołowy drgań składowych 745 Ciało o asie 5g wykonuje drganie haroniczne tłuione Współczynnik sprężystości k 5 N/ a paraetr b 1kg/s Obliczyć: a) okres drgań tłuionych Porównać ten okres drgań z okrese drgań nietłuionych oscylatora b) czas w jaki aplituda zaleje do połowy wartości początkowej c) czas w który energia całkowita zaleje do połowy wartości początkowej 746 Ciało wykonuje ruch drgający tłuiony Obliczyć ile razy zniejszy się aplituda tego drgania po n 1 pełnych wahnięciach jeżeli logaryticzny dekreent tłuienia 5? 747 Doświadczalnie określono okres drgań tłuionych T 5 s oraz dekreent logaryticzny tłuienia 15 Wyprowadzić równanie opisujące wychylenie układu z położenia równowagi w funkcji czasu W oencie t wychylenie ciała z położenia równowagi wynosiło 5 c a jego prędkość była równa zeru

748 Ile razy zniejszy się energia całkowita drgań tłuionych wahadła ateatycznego o długości l 7c po upływie czasu t 5 in jeżeli logaryticzny dekreent tłuienia wynosi 31? 749 Okres drgań nietłuionych wahadła wynosi T 1 s W środowisku tłuiący aplituda drgań wahadła w czasie jednego okresu zniejszyła się o 1% O ile zniejszy się okres drgań tłuionych wahadła? 75 Aplituda drgań tłuionych wahadła zalała w ciągu czasu t 1 1 in o połowę Ile razy aplituda ta zaleje w czasie t 3 in? 751 Równanie fali określa zależność: 1sin 1t 1z gdzie i z wyrażone są w centyetrach a czas t w sekundach Jaka jest aplituda częstość kołowa częstotliwość okres prędkość fazowa i faza początkowa fali? 75 Fala ultradźwiękowa przechodząc ze stali do iedzi zienia swoja długość Obliczyć względną zianę długości fali jeżeli fala jest falą podłużną o częstotliwości f 1MHz Moduły Younga i gęstości dla stali i iedzi wynoszą odpowiednio: -3 9 gc Y GPa s -3 78 gc Y 13GPa 753 Dwa punkty środowiska drgają w fazach różniących się o π Udowodnić że odległość iędzy tyi punktai równa jest długości fali 754 W pewny środowisku rozchodzi się fala podłużna o aplitudzie A 5 i długości 8 Prędkość fali v 1 /s Jaka jest aksyalna prędkość drgających cząsteczek środowiska? 755 W ośrodku rozchodzi się z prędkością v 5 /s fala haroniczna płaska o częstotliwości f 3Hz Po upływie czasu t 1 1 s od rozpoczęcia drgań w źródle w odległości z 1 5 od tego źródła wychylenie cząsteczki ośrodka było równe 1 1 c Jakie było w ty czasie wychylenie cząsteczki ośrodka znajdującej się w odległości z 55 od źródła fali? s 756 Obliczyć częstotliwość fali echanicznej w ośrodku sprężysty jeżeli różnica faz drgań dwóch cząsteczek ośrodka odległych od siebie o d 1c wynosi π/3 a prędkość fazowa fali v 15/s 757 Dwie fale haroniczne płaskie o tej saej częstości poruszają się w jedny kierunku Aplitudy obydwu fal wynoszą A 1 i A a ich fazy początkowe 1 Napisać równanie fali wypadkowej wiedząc że fala wypadkowa jest także falą haroniczną płaską o częstości kołowej równej częstościo kołowy fal składowych 758 Dwa źródła eitują fale o tych saych aplitudach tych saych długościach 1 i tych saych fazach początkowych W pewny punkcie odległy o d 1 1 od pierwszego źródła cząsteczki środowiska drgają z niezienną aplitudą równą aplitudo każdego z ciągów fal Co ożna powiedzieć o odległości d tego punktu od drugiego źródła fal? 759 Biegnące naprzeciwko siebie fale o prędkościach v 4 /s i częstotliwościach f Hz utworzyły falę stojącą Jaka jest odległość iędzy sąsiednii węzłai powstałej fali?

76 Na napiętej strunie wytworzyła się fala stojąca Odległość od punku P w który aplituda drgań wynosi A 1c od sąsiednich punktów o takiej saej aplitudzie wynosi: l1 c - w lewą stronę i l 5 c - w prawą stronę Jaka jest długość tej fali stojącej oraz jej aplituda w strzałce? 761 Falę stojącą opisuje równanie: z t 4cos5 zcos4 t gdzie wielkości z i t wyrażone są odpowiednio w etrach i sekundach a) Określić położenie wszystkich strzałek w obszarze z 1 b) Z jaką częstotliwością drga każdy punkt środowiska? c) Napisać równania fal składowych które nakładając się utworzyły oawianą falę stojącą 76 Fala dźwiękowa wpadając do półotwartej rury o długości l 9c nakłada się na falę odbitą od jej zakniętego końca co prowadzi do powstania fali stojącej Jaka jest częstotliwość fali jeżeli w wyniku interferencji w obrębie rury powstała fala stojąca o n 5 strzałkach i takiej saej liczbie węzłów? Jaka jest relacja iędzy odległością dzielącą sąsiadujące strzałki fali stojącej a długością fali? Napisać równanie powstałej fali stojącej paiętając że fala odbijając się od denka rury zienia w stosunku do fali padającej swoją fazę o π? Prędkość dźwięku w powietrzu v 33/s 763 Przy poocy półotwartej rury o długości l 9c ożna wygenerować dźwięk o częstotliwości f 75Hz Jaka liczba węzłów i jaka liczba strzałek powstaje w rurze przy wytwarzaniu dźwięku o takiej częstotliwości? Prędkość dźwięku w powietrzu v 33/s