b jest resztą z dzielenia a przez b. Funkcja []: R Z przyporządkowuje liczbie rzeczywistej x część całkowitą liczby x. (c)

Zadania z algebry liniowej ZESTAW / - Podstawowe zbiory liczbowe, podstawowe pojęcia algebraiczne Podziel z resztą: przez 6, (b) - przez 6, (c) przez -6, (d) - przez -6 Liczba przy dzieleniu z resztą przez pewną liczbę b daje resztę 6 i iloraz q Wyznacz b i q Liczba 7 przy dzieleniu przez pewną liczbę naturalną b daje iloraz q = Wyznacz dzielnik b oraz resztę r Pokazać, że jeśli a i b, (b < a) są liczbami naturalnymi, to a b jest ilorazem natomiast a ab b jest resztą z dzielenia a przez b Funkcja : R Z przyporządkowuje liczbie rzeczywistej x część całkowitą liczby x Rozkładając na czynniki pierwsze liczby a oraz b wyznaczyć NWD(a,b) oraz NWW(a,b), jeśli: a = 6, b =, (b) a =, b = 66, (c) a = 87, b = 6 Wykaż, że: NWD(a, )= a (b) NWD(a,b) = NWD(a kb,b); w szczególności NWD(a,b) = NWD(b, b ) o ile b (c) NWD(ac,bc) = c NWD(a,b) (d) jeśli d = NWD(a,b), to NWD( a d, b d )= (e) c ab, NWD(c,a)= = c b (f) a c, b c, NWD(a,b)= = ab c (g) NWD(a,,a n ) = NWD(NWD(a,,a n ),a n ) Podobnie dla NWW Wskazówka: ad e c ab c bc = c NWD(ab,bc)=b ad f ab ac ab bc = ab NWD(ac, bc)=c 7 Korzystając z algorytmu Euklidesa wyznaczyć NWD(a,b), jeśli: a = 7, b = 87, (b) a = 7, b = 7, (c) a =, b = 8 Pokazać, że dla dowolnych liczb całkowitych a i b zachodzi równość NWD(a,b) = NWD(a + b,a + b) 9 Rozwiąż w liczbach naturalnych następujące układy równań: { x + y = 8 NWD(x,y)= (b) { xy = 7 NWD(x,y)= (c) { xy = 7 NWD(x,y)= Zbiór A ma n elementów Ile działań można określić w zbiorze A? (b) Ile działań przemiennych można określić w zbiorze A? (c) Ile działań z elementem neutralnym można określić w zbiorze A? Zbuduj tabelki dodawania i mnożenia modulo n w zbiorze Z n = {,,,n } dla n =,,,,6,7,8,9, Sprawdź, czy podany układ (w którym + oznacza zwykłe dodawanie liczb) jest grupą: (R, +), (b) (N, +), (c) (Z, +), (d) ({, }, +), (e) ( ; ), +) Sprawdź, czy podany układ (w którym oznacza zwykłe mnożenie liczb) jest grupą: (Z, ), (b) (R, ), (c) ({, }, ), (d) (R +, ), (e) ({a k : k Z}, ) Sprawdź, czy zbiór liczb wymiernych dodatnich Q + wraz z działaniem a b = ab tworzy grupę Niech m > będzie liczbą naturalną Wykaż, że zbiór Z m = {,,, m } wraz z dodawaniem modulo m ( tzn a b =(a + b) m ) jest grupą abelową 6 Niech p będzie liczbą pierwsza Wykaż, że zbiór Z p = {,,p } wraz z mnożeniem modulo p (tzn a b =(ab) p ) jest grupą abelową Zbuduj tabelki działań w grupach Z, Z 7 i Z Wskazówka W celu pokazania istnienia elementu odwrotnego do elementu a rozważ odwzorowanie Z n Z n, x ax, i pokaż, że jest ono wzajemnie jednoznaczne Uwaga Prócz zadań w zestawach - należy poszukać odpowiednich zadań w poleconych zbiorach zadań 7 oraz 8

7 Niech (G, ) będzie grupą Wykaż, że dla każdych a,b,c,g G oraz m,n Z zachodzi: ga = gb a = b oraz ag = bg a = b; (b) (ab) = b a oraz (a ) = a; (c) a = a = a ; (d) a n a m = a n+m oraz (a n ) m = a mn 8 Sprawdzić, czy zbiór R z działaniem x y = x + y + jest grupą 9 W zbiorze R \ { } określamy działanie x y = x + y + xy Sprawdzić, że (R, ) jest grupą Sprawdzić, że dany zbiór ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem liczb jest pierścieniem przemiennym R, (b) Z, (c) Z ={a + b :a, b Z}, (e) Z ={a + b + c :a, b, c Z}, Pokazać, że zbiór Z n = {,,,n } z działaniami dodawania i mnożenia modulo n jest pierścieniem przemiennym Pokazać, że jeśli n jest liczbą pierwszą to pierścień ten jest ciałem Pokaż, że zbiór R z działaniami oraz określonymi nastepująco: x y = x + y +, x y = x + y + xy, jest ciałem Niech K będzie ciałem oraz a, b, c K, n,m N Wykaż, że: a + c = b + c = a = b, (b) ( a)=a, (c) ( ) a = a, o ile a, (d) a =, (e) ab = a = lub b =, (f) a ( b)= ab, (g) ( a)( b)=ab, (h) a(b c)=ab ac (i) ac = bc i c = a = b (j) (a + b)(a b)=a b, (k) (a + b) n = n i= ( n i ) a i b n i (l) a b c d = ac, o ile bd, bd (m) a b + c ad + bc =, o ile bd, d bd (n) na ± ma =(n ± m)a, (o) (na) (mb)=(nm)(aḃ), (p) (n(ma)=(nm)a, (q) (ab) n = a n b n, (r) a n a m = a n+m, (s) (a n )m = a nm Wskazówka Zajrzyj do, rozdz Ułożyć tabelkę funkcji: x x w Z (b) x x w Z Sprawdzić czy istnieją - i wyznaczyć, jeśli istnieją - pierwiastki kwadratowe z w ciele Z p dla p =,,,7,, 6 Wyznaczyć dziedzinę oraz ułożyć tabelkę funkcji x x + x w Z 7 7 Rozwiązać równanie: a) x + x + = wz, b) x + x + = wz, c) x + x + = wz, d) x + x + x = wz 7 8 Wykonać działania: (6 + ) ( 7) w Z 7 oraz w Z 9 Rozwiązać układ równań a) { x + y = x + 9y = w Z iwz 7 b) { x + y = a x + y = b w Z iwz W pierścieniu wielomianów Z X wykonać wskazane działanie: (X + X + X + )+(X + X + X + X + ); (b) (X + X + ) (X + X + X + X); (c) (X + X + )(X + X + );

(d) (X + )(X + ) Podzielić wielomian f z resztą przez wielomian g: f (X)=X + X X 7, g(x)=x + X w RX; (b) f (X)=X + X X, g(x)=x + X w Z X; (c) f (X)=X + Xs+ X X +, g(x)=x + X + w Z 7 X; (d) f (X)=X 7, g(x)=x w QX Dobrać liczby a, b Z, aby wielomian X X +X +ax +b ZX przy dzieleniu przez X dawał resztę, a przy dzieleniu przez X resztę - Wielomian o współczynnikach rzeczywistych przy dzieleniu przez X daje resztę zaś przy dzieleniu przez X daje resztę Jaką resztę daje ten wielomian przy dzieleniu przez (X )(X )? Wielomian o współczynnikach z Z przy dzieleniu przez X + daje resztę, przy dzieleniu przez X + daje resztę zaś przy dzieleniu przez X + daje resztę Jaką resztę daje ten wielomian przy dzieleniu przez (X + )(X + )(X + )?

Zadania z algebry liniowej ZESTAW - Ciało liczb zespolonych Wyznaczyć wszystkie pary liczb rzeczywistych x, y spełniające równość: a) ( + i)x +( i)y = i, b) ( + i)x +( i)y = 6 i, c) ( i)x +( + i)y = 7 i, d) + i ( ) i i x + y = + i i Rozwiązać { układ równań: { ( + i)z +( i)w = ( i)z +( + i)w = + 6i a) c) ; b) ( i)z ( + i)w = + i z i + w + i = z ( i) + w ( + i) = ( + i)z ( + i)w = + i Obliczyć: a) ( + i) 6, b) ( + i) 7 +( i) 7, c) ( + i) +( i) Rozwiązać równania: a) zz +(z z)= + i, b) i(z + z)+i(z z)=i Rozwiązać równania: a) z + z + + i =, b) z +( + i)z ( + i)=, c) z + z( + i)+i =, d) ( i)z ( + i)z ( + i)= 6 Rozwiązać równania: a) z + z + =, b) z +( + 7i)z + 8 =, c) z (8 + i)z + 77 6i = 7 Rozwiązać równania: a) ( + i)z ( + 7i)z + i = ; b) ( + i)z ( + 8i)z +( + i)=; c) ( + i)z ( + 7i)z +( + 6i)=; d) ( + i)z ( + i)z +( + 6i)=; e) ( i)z (7 + i)z + i = ; f) ( i)z ( + 7i)z +(7 + i)=; g) ( + i)z ( + i)z +( + i)=; 8 Wykonać działania: a) + itgα a + bi, b) itgα a bi, c) ( + i) ( i) ( + i) ( + i), d) ( i) ( + i) + 9 Wykazać nierówności: a) z + z z + z, b) z z z z Znaleźć wszystkie pierwiastki wielomianu x 6x + x 6x + wiedząc, że jednym z nich jest + i Wykazać równość z + z + z z = z + z i podać jej interpretację geometryczną Jakie twory na płaszczyźnie zespolonej określają równania i nierówności: a) z <, b) z =, c) z i, d) < z <, z e), z + f) z c + z + c = a, g) π < Arg(z) π, h) z i = z + i, z i i) arg z + i = π, j) arg(z z )=φ, φ dane, k) Re(iz), l) Re(z ) > Interpretację geometryczną liczb zespolonych odkrył C Wessel w 799 r, a potem niezależnie J R Argand w 86 r ;

Przedstawić w postaci trygonometrycznej następujące liczby zespolone:,, i, i, + i, i, + i, + i, i, i, 6 + + i( 6 ), cos π + isin π 6, cos π + isin π Przedstawić w postaci trygonometrycznej następujące liczby zespolone: cosα isinα, sinα + icosα, sinα icosα, + itgα Dla dowolnej liczby całkowitej n Z obliczyć: a) i n ( + i) n, b) ( i) n, c) ( + i)n 6 Obliczyć: a) ( + i ) 76 + ( i) 7, b) ( i ) + ( + i) 7 7 Wyznaczyć: i, 8i, i, + 8i, i, + 6i, 8i, 8 + 6i 8 Obliczyć (podając dokładne wartości części rzeczywistej i urojonej): ( i) ( i), (b) ( i ) ( + i), (c) ( + i ) 6 ( i) 8 ( + i), (d) ( + i), (e) ( i) 8 ( + i), ( + i) (f) ( + i), (g) ( i) 8 8 ( i ) 9 Narysować na płaszczyźnie zespolonej pierwiastki z stopni,,,6,7 i 8 Korzystając z postaci trygonometrycznej liczb zespolonych wyprowadzić wzory wyrażające sinx i cosx poprzez sinx i cosx

Zadania z algebry liniowej ZESTAW - Układy równań liniowych Rozwiązać nad ciałem R liczb rzeczywistych następujące układy równań: x + y 8z = 8 x y + z + 7t = x + y 9z = 9 a) x 6y + z + t = ; b) ; x + y z = 7 x y z t = x + 8y 7z = x + y + z + t = x y + z + t = c) 6x + 8y + z + t = 7 ; d) 7x y + z + t = ; 9x + y + z + t = x + 7y z 6t = 8x + 6y + z + t = x y + z + t = x + y + z +t = e) 6x y + z + t = ; f) x + y + z +t = 8 ; 9x 6y + z + t = x + y + z +t = 7x + y + z + t = 8 Następujące układy rozwiązać nad Q oraz nad Z p : x + 7y + z +t = 6 a) x + y + z + t =, p = ; b) 9x + y + z + 7t = 6x + y + z + t + w = x + y + z + t + w = c), p = d) x + y + z + t + w = x + y + 7z + t + w = e) x + y + z t + w = x + 6y + z t + w = x + y + 7z t + w = x + y + z t + w = 6 9x y + z + 6t = 9x y + z + 6t = x y + z + t = 8, p = f), p = ; x y + z 7t = 6x y + z t = 7 x y + z t = 8 x + y + z + t = x + y + z + t = 9x + y + z t = x + y + z + t = 7x + y + 6z t = 7, p = 7, p = 7 Każdy z następujących układów rozwiązać w ciałach Z, Z 7, Z : x + y + z = x + y + z = a) x + y + z =, b) x + y + z = x + y + z = x + z = Rozwiązać nad ciałem C następujące układy równań: ( + i)x + iy z = + i ( + i)x + y iz = i a) ( + i)x +( i)y + z = 6 + i, b) x + iy +( i)z = 6 + i x + y iz = ( + i)x + y + z = 6 + 6i x + y + 6z + 6t = Dla jakiego parametru λ Z 7 układ równań x + y + z + t = nad ciałem Z 7 ma rozwiązanie? Rozwiązać ten układ, gdy jest to możliwe x + y + 6z +t = λ 6 W zależności od parametru a R rozwiązać układ równań: x + y z = x y + z = x + y + z = x y + z =, (b) ax y + z =, (c) x + ay + z = x + y z = a x + y + z = x + y + az = 7 W zależności od parametru λ Q rozwiązać układy równań: 8x + 6y + z + t = x y + z + t = x y z + t = 6 x y + z + 6t = 7 a), b) x + y + z + t = 6x y + 7z + 8t = 9 λx + y + z + t = λx y + 9z + t = 8 Pokazać, że układ równań x + y + z = x + y z = x y + z =, c) λx + y + z +t = x + λy + z +t = x + y + λz +t = x + y + z + λt = jest sprzeczny w ciele Z p wtedy i tylko wtedy, gdy p = Do rozwiazywania układów równań stosujemy jedynie metodę eliminacji Gaussa 6

Zadania z algebry liniowej ZESTAW - Działania na macierzach Obliczyć iloczyny macierzy:, (b) 6, (c) 7 9 (d), (e) T, (f) T, (g) T Dla A = i B = obliczyć: 8 A + AB + B i (A + B) ; (b) A AB + B i (A B) ; (c) A B, (A B)(A + B) i (A + B)(A B) Pokazać, że dla dowolnej liczby naturalnej m zachodzą równości: m a a m m a ma = b b m, (b) =, m m cosα sinα cosmα sinmα a a (c) =, (d) = ma m sinα cosα sinmα cosmα a a m, (e) m = m m(m ) m A D Jeśli A Kn n, B Km m, C Kn m, D Km, n to macierz nazywamy macierzą klatkową o klatkach A,D,C,B C B Sprawdzić, że A D A D A A = + D C A D + D B C B C B C A + B C C D + B B Znaleźć wszystkie takie macierze A K, że A = A, (b) A (d) A =, (e) A = =, (c) A = 6 Niech E ir oznacza macierz kwadratową stopnia n, której element o wskaźnikach i,r równy jest, a pozostałe elementy są równe Obliczyć: E ir E lk, (b) A E ir, (c) E ir A, (d) A (I n + ae ir ), i r, (e) (I n + be ir ) A, i r, (f) (I n + ae ir )(I n + be ir ), i r, gdzie A K n n, a,b K Zinterpretować (d) oraz (e) w języku operacji elementarnych wykonanych na A, 7

Zadania z algebry liniowej ZESTAW 6 - Wyznaczniki i ich zastosowanie Obliczyć wyznaczniki następujących macierzy:, (b), (c) 6, (d) 6 7 8 9 (e) a b c sinα cosα b c a, (f) sinβ cosβ gdzie α,β,γ są miarami kątów trójkąta, c a b sinγ cosγ ε ε (g) ε ε, gdzie ε = ε ε + i, (h) ε ε, gdzie ε = cos π ε ε + isin π, Obliczyć następujące wyznaczniki (nad R): 7 6 9, (b) 6 6, (c), 9 8 8 7 9 8 7 (d), (e), (f) 7, 7 6 6 7 9 7 6 (g) 999, (h), (i), 998 999 6 6 7 9 6 6 (j) 6 66 6 6 6, (k) 6 76 7 6 7 76 Obliczyć: 7 6 nad Z 7, (b) 6 6 nad Z, (c) 7 8 9 6 nad Z 8 7 9 Obliczyć wyznaczniki następujących macierzystopnia n :, (b), (c), a a a a a a (d) a, (e), a a a, 8

(f) n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n, (g) a b a b a a b b a Niech A =a ij, a ij Z, będzie macierzą kwadratową stopnia n Pokazać, że deta jest liczbą całkowitą Załóżmy dodatkowo, że a ij = ±k, gdzie k jest ustaloną liczbą całkowitą Pokazać, że n k n dzieli deta 6 Pokazać, że jeśli A jest macierzą antysymetryczną (tzn A T = A) stopnia nieparzystego nad R, to jest ona osobliwa, czyli deta = 6 7 7 Liczby 6, 7, 7, 97 i 89 dzielą się przez 7 Pokazać (bez obliczania), że wyznacznik 7 9 7 8 9 również dzieli się przez 7 8 Załóżmy, że A Kn n, B Km m, D Km n udowodnić wzór na wyznacznik macierzy klatkowo-trójkątnej A det = detadetb D B Wskazówka Zastosować indukcję względem stopnia klatki B Zob też Przykład 67 ze stron 8-9 z książki ABiałynickiego-Biruli, Algebra liniowa z geometria 9 Wyznacznikiem Vandermonde a (stopnia n nad ciałem K) nazywamy wyznacznik postaci x x x n x x x n V n (x,,x n )= x n xn xn n Obliczyć wartość wyznacznika Vandermonde a Rozwiazanie: Wyprowadzimy najpierw wzór rekurencyjny Postępujemy następująco: od n-tej kolumny odejmujemy (n )-szą pomnożoną przez x n, od (n )-szej kolumny odejmujemy (n )-gą pomnożoną przez x n, od drugiej kolumny odejmujemy pierwsz a pomnożoną przez x n Jako wynik otrzymujemy równość x x n x (x x n ) x n (x x n ) x x n x (x x n ) x n (x x n ) V n (x,,x n )= x n x n x n (x n x n ) xn n (x n x n ) Po rozwinięciu względem ostatniego wiersza oraz wyłączeniu z każdego wiersza odpowiedniego czynnika przed wyznacznik otrzymujemy w wyniku V n (x,,x n )=( ) n+ (x x n ) (x n x n )V n (x,,x n ) =(x n x ) (x n x n )V n (x,,x n ) Prosty dowód indukcyjny daje w rezultacie wzór V n (x,,x n )= (x k x l ) k>l (b) Wykazać, że V n (x,,x n ) wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie x,, x n są parami różne Rozwiązać za pomocą wzorów Cramera następujące układy równań nad ciałem Q: (c) x y z = x + y z = x y + z = x + y + z = x + y + z = 9 x y + z =, (b), (d) x + y + z = x y + z = x + y + z = x + y + z + t = x y z t = x + y z t = 6 x + y + z t =,, 9

y z + t = x z + t = (e) x + y z = x + y z = Sprawdzić, czy następujące macierze są odwracalne oraz w przypadku pozytywnej odpowiedzi obliczyć macierz odwrotną:, (b), (c) (d) (e) Rozwiązać następujące równania macierzowe: 6 X (b) (c) X (d) X = X = 6 =,, =, 7 Rozwiązać układy równań macierzowych: 8 X + Y =, 9 X + Y = X + Y = (b) X + Y = Obliczyć (I + ae ir ), i r Obliczyć macierze odwrotne do macierzy: (b) (c) (d), (e), (f)

A D 6 Obliczyć macierze odwrotne do macierzy klatkowych: B następujących macierzy: A, C B Obliczyć macierze odwrotne do

Zadania z algebry liniowej ZESTAW 7 - Przestrzenie liniowe Niech A będzie niepustym zbiorem oraz niech K będzie dowolnym ciałem Oznaczmy symbolem K A zbiór wszystkich funkcji A K Sumą funkcji f : A K oraz funkcji g : A K nazywamy funkcję f + g : A K taką, że ( f +g)= f +g dla każdego a A Iloczynem funkcji f : A K przez skalar x z ciała K nazywamy funkcję x f : A K taką, że (x f) =x f dla każdego a A Pokazać, że tak zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią liniową nad ciałem K Oznaczmy symbolem KX zbiór wszystkich wielomianów zmiennej X o współczynnikach z ciała K Sprawdzić, że z działaniami dodawania wielomianów i mnożenia wielomianu przez elementy ciała K, zbiór KX jest przestrzenią wektorową nad ciałem K Załóżmy, że K i L są ciałami oraz K L Sprawdzić, że zbiór L z dodawaniem elementów ciała L i operacją mnożenia elementów ciała L przez elementy ciała K jest przestrzenią wektorową nad ciałem K Niech K będzie dowolnym ciałem oraz niech V = K (zbiór wszystkich nieskończonych ciągów elementów ciała K) Określmy działania dodawania wektorów oraz mnożenia wektorów przez skalary z ciała K następująco: a,a,+b,b, :=a + b,a + b,, a a,a, :=aa,aa, Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem K Wykazać,że Kn m z działaniami dodawania macierzy i mnożenia macierzy przez element ciała K jest przestrzenią wektorową nad K 6 Niech A będzie niepustym zbiorem oraz niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K Oznaczmy symbolem V A zbiór wszystkich funkcji A V Sumą funkcji f : A V oraz funkcji g : A V nazywamy funkcję f +g : A V taką, że ( f +g)= f +g dla każdego a A Iloczynem funkcji f : A K przez skalar x z ciała K nazywamy funkcję xf : A V taką, że (xf)=xf dla każdego a A Pokazać, że tak zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią liniową nad ciałem K 7 Niech n N oraz V, V,,V n niech będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem K W zbiorze V V V n określamy dodawanie następująco: (α, α,α n )+(β, β,β n )=(α + β, α + β,,α n + β n ) zaś mnożenie przez elementy ciała K w następujący sposób: x(α, α,α n )=(xα, xα,xα n ) Wykaż, że tak otrzymana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem K 8 Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z,v) z v := z v jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb zespolonych C 9 Załóżmy, że V jest przestrzenią wektorową nad ciałem K, α, β, γ V oraz x, y K Udowodnić, że: α + β = α + γ = β = γ, (b) xα = θ x = lub α = θ, (c) xα = xβ i x = α = β, (d) xα = yα i α θ = x = y, (e) ( α)=α, (f) α (β + γ)=(α β) γ, α (β γ)=(α β)+γ, (g) ( )α = α, ( x)α = xα, ( x)( α)=xα, (h) x(α β)=xα xβ, (x y)α = xα yα, Niech K będzie ciałem Oznaczmy symbolem KX m zbiór wszystkich wielomianów należących do KX, stopnia nie większego od m Sprawdzić, że KX m jest podprzestrzenią przestrzeni wektorowej KX Macierz S =s ij Kn n nazywamy macierzą symetryczna, gdy jej elementy s ij spełniają warunki: s ij = s ji dla każdych i, j Macierz A =a ij Kn n nazywamy macierzą antysymetryczna, gdy jej elementy a ij spełniają warunki: a ij = a ji dla każdych i, j Sprawdzić, że każdy ze zbiorów: zbiór S n wszystkich macierzy symetrycznych należcych do Kn n i zbiór A n wszystkich macierzy antysymetrycznych należących do Kn n, są podprzestrzeniami przestrzeni liniowej Kn n Zbadać, które z następujących podzbiorów przestrzeni K są podprzestrzeniami wektorowymi: U = {t,t +,, : t K}, (b) U = {t,u,t + u,t u : t,u K}, (c) U = {tu,u,t, : t,u K},

(d) U = {x,y,z,t : x + y z = }, (e) U = {x,y,z,t : x + y z = i x + y = }, (f) U = {x,y,z,t : xy = }, (g) U = {t,,,+u,,, : t,u K} Zbadać, które z następujących podzbiorów przestrzeni R są podprzestrzeniami liniowymi: U = {t,u,t + u,t u : t u}, (b) U = {t,u,t, : tu }, (c) U = {x,y,z,t : x,y,z,t Q} Zbadać, które z następujących podzbiorów przestrzeni R są podprzestrzeniami liniowymi: a b U = { : a,b K}, b a a b (b) U = { : a + b + c = }, c a (c) U = { : ab = }, b Niech R będzie przestrzenią ciągów elementów ciała R (zob zadanie z poprzedniego zestawu ) Zbadać, które spośród następujących zbiorów są podprzestrzeniami wektorowymi przestrzeni R : U = {a,a, : a i+ = a i + a i dla każdego i =,,}; (b) U = {a,a, : a i = (a i + a i+ ) dla każdego i =,,}; (c) zbiór wszystkich ciągów a,a,, których prawie wszystkie wyrazy (wszystkie wyrazy z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby) są równe zero; (d) zbiór wszystkich ciągów ograniczonych 6 Zbadać, które z następujących podzbiorów przestrzeni R R są podprzestrzeniami liniowymi: zbiór wszystkich funkcji parzystych; (b) zbiór wszystkich funkcji nieparzystych; (c) zbiór wszystkich funkcji rosnących; (d) zbiór wszystkich funkcji monotonicznych; (e) U = { f R R : f ()= f ()}; (f) U = { f R R : f (x)= dla każdego x, } 7 Sprawdzić, które z określonych podzbiorów przestrzeni wielomianów KX nad ciałem K są podprzestrzeniami wektorowymi: U = {F KX : F( )=}, (b) U = {F KX : F() F()=}, (c) KX = {F KX : stf }, (d) U = {F KX : stf = } 8 Zbadać, które z następujących podzbiorów przestrzeni Z są podprzestrzeniami liniowymi: U = {,,,,,}, (b) U = {,,,,,}, (c) U = {,,,,,} 9 Wyznaczyć wszystkie podprzestrzenie przestrzeni a) Z ; b) Z ; c) Z Zbadać, które z następujących podzbiorów przestrzeni C nad R są podprzestrzeniami liniowymi: U = {z C : Rez = }, (b) U = {z C : z = }, (c) U = {z C : Rez = Imz} Który z powyższych podzbiorów jest podprzestrzenią przestrzeni linowej C nad C? Zbadać, które z następujących podzbiorów przestrzeni R nad Q są podprzestrzeniami liniowymi: Q( )={a + b :a,b Q}, (b) U = {x R : x }, (c) U = {x R : x Q} Który z powyższych podzbiorów jest podprzestrzenią przestrzeni linowej R nad R? Załóżmy, że U jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V, α, β V oraz x K Wykazać, że:

jeśli α + β U i α U, to β U, (b) jeśli xα U i x, to α U Pokazać, że jeśli U oraz W są podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V, to U W jest podprzestrzenią przestrzeni V wtedy i tylko wtedy, gdy U W lub W U Niech W, W, W będą podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni V Wykazać że: W W W +W ; (b) W +W = W +W ; (c) (W +W )+W = W +(W +W ); (d) W +W = W ; (e) W W i W W = W +W W ; (f) W W = W (W +W )=(W W )+(W W ); (g) W W = W +(W W )=(W +W ) W

Zadania z algebry liniowej ZESTAW 8 - Kombinacje liniowe wektorów W przestrzeni V wyznaczyć kombinację liniową wektorów α,,α n o współczynnikach odpowiednio a,,a n, gdzie: V = R, n =, α =,,, α =,,, α =,,, a =, a =, a = ; (b) V = Z, n =, α =,,,, α =,,,, α =,,,, a =, a =, a = ; (c) V = Q, n =, α = α =, a =, a = ; (d) V = Z X, n =, α = X + X +, α = X + X, α = X +, α = X + a =, a =, a =, a = W przestrzeni liniowej V wyznaczyć wszystkie kombinacje liniowe wektorów α,,α n, gdzie: V = Z, n =, α =,,, α =,,, α =,, ; (b) V = Z, n =, α =,,, α =,, ; (c) V =(Z ), n =, α = α = Sprawdzić,czy wektor β jest kombinacją liniową wektorów α,,α n przestrzeni V, jeśli: V = R, n =, α =,,, α =,,, α =,,, β =,, ; (b) V = Z, n =, α =,,, α =,,, α =,,, β =,, ; (c) V = QX, n =, α =, α = X, α =(X ), α =(X ), β = X + X + X + Wyznaczyć wszystkie wartości parametrów a R, dla których wektor β jest kombinacją liniową wektorów α,α,α przestrzeni R, gdzie: α =,,, α =, 7, 8, α =, 6,, β =7,, a; (b) α =,,, α =7,,, α =,, 6, β =, 9, a; (c) α =,,, α =,, 7, α =, 6, a, β =,, ; (d) α =,, 6, α =,,, α =7,, 9, β =a,, Dla jakiej liczby zespolonej c C wektor, i, i jest kombinacją liniową wektorów c, + i, + i, i,, c przestrzeni C? 6 Sprawdzić, czy wektory α oraz β są kombinacjami liniowymi układu A wektorów przestrzeni R, jeżeli 9 9 a) A =( ), α = 6 β = 6 b) A =( ), α = 9 6 β = Czy zapis wektora α w postaci kombinacji liniowej układu A jest jednoznaczny? 7 Sprawdzić, że każda kombinacja x, x, x, x liniowa wektorów,,,,,,,,,,, przestrzeni Z spełnia równanie X + X + X + X = 8 Dla danych podzbiorów U, A przestrzeni liniowej V sprawdzić, że U jest podprzestrzenią przestrzeni V oraz lin(a) U V = R, U = {x, x, x :x x + x = }, A = {,,,,,,,, }; { (b) V = Z X + X X =, U = Sol( ), A = {,,,,,,,,,,, }; X X = (c) V = C (nadr), U = {z C : Im z = Re z}, A = { + i, 6i} 9 Niech A, B będą podzbiorami przestrzeni liniowej V Pokazać, że: A B = lin(a) lin(b), (b) A = B = lin(a)=lin(b), (c) A < V lin(a)=a, (d) lin(lin(b)) = lin(b), (e) lin(a B)=lin(A)+lin(B) 9 6

Pokazać, że β lin(α,,α n ) lin(α,,α n )=lin(β,α,,α n ), (b) dla dowolnych i, j =,,n, i j oraz x K, zachodzi równość lin(α,α,,α n )=lin(α,α,,α i,α i + xα j,α i+,,α n ), (c) dla dowolnego i =,,n, oraz x K, x, zachodzi równość lin(α,α,,α n )=lin(α,α,,α i,xα i,α i+,,α n ), (d) Dla dowolnej permutacji (i,,i n ) zbioru {,,n} zachodzi równość lin(α,,α n )=lin(α i,,α in ) Każdą z powyższych równości udowodnić dwoma sposobami: () wykorzystując określenie podprzestrzeni generowanej przez zbiór, () wykorzystując fakt, że podprzestrzeń generowana przez zbiór A jest zbiorem wszystkich kombinacji liniowych zbioru A Wskazać skończony zbiór A rozpinający podprzestrzeń U przestrzeni liniowej V, gdzie: V = R, U = R ; (b) V = R, U = {t + u, u, t, t u : t,u R}; (c) V = Z, U = Sol(X + X X = ); (d) V = Q, U = Sol( { X + X X = X X + X X = (e) V = C (nadr), U = {z C : Re z = Im z}; (f) V = RX, U = RX Wykorzystując zadanie wybrać z podanego zbioru rozpinającego podprzestrzeń U przestrzeni liniowej V minimalny zbiór rozpinający U, gdzie: V = R, U = lin(,, 7,,,,,, ); (b) V = Z, U = lin(,,,,,,,,,,,,,,, ); (c) V =(Z ), U = lin(,, ) Wykonując przekształcenia elementarne na zbiorze rozpinającym, znaleźć minimalny zbiór rozpinający podprzestrzeń U przestrzeni liniowej V, gdzie: V = R, U = lin(,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 6); (b) V = Z 7, U = lin(,,,,,,,,,,, ); (c) V = Q, U = lin(,,,,,,,,,,,, 6,, ) Przedstawić wektor α V w postaci sumy wektora z podprzestrzeni U i wektora z podprzestrzeni W, jeśli: V = R, U = lin(,,,,, ), W = lin(,,), α =,, ; (b) V = Z, U = lin(,,,,, ), W = lin(,,,,, ), α =,, ; (c) V = R, U = lin(,, ), W = Sol(X + X X = ), α =,, ; Pokazać, że R = U U, jeżeli U = Sol(x + x + x + x = ), natomiast U = lin( ) { x + x (b) U = Sol( x + x = x + x + x = ); ), natomiast U = lin( 6 Pokazać, że R =U +U, lecz R U U, jeżeli U = Sol(x x +x +x = ), zaś U = lin( Do równania definiującego U dołożyć jeszcze jedno równanie tak, aby nowa podprzestrzeń rozwiązań U spełniała warunek R = U U ) ) 6

7 Uzasadnić, że R = lin(, ) lin( )=lin(, ) lin( ) = lin(, ) lin( ) W przypadku każdej sumy prostej przedstawić wektor w postaci sumy wektora z pierwszego składnika sumy prostej i wektora z drugiego składnika sumy prostej 8 Niech V = R R (zob zadanie z poprzedniego zestawu) Zbiór funkcji nieparzystych oznaczymy literą N, natomiast zbiór funkcji parzystych - literą P Pokazać, że N oraz P są podprzestrzeniami przestrzeni V oraz że V = N P Przedstawić funkcję f daną wzorem f (x)=a n x n + + a x + a w postaci sumy funkcji parzystej i funkcji nieparzystej 9 Pokazać, że jeśli U = lin(α,α,,α k ), U = lin(β,β,,β l ), to U +U = lin(α,α,,α k,β,β,,β l ) Udowodnić, że podzbiór U jest podprzstrzenią przestrzeni liniowej V oraz wyznaczyć wszystkie warstwy przestrzeni V względem podprzestrzeni U, jesli: V =(Z ), U = {,,,,, }; (b) V =(Z ), U = {,,,,, } (c) V =(Z ), U = Sol(X + X + X = ) Niech K będzie ciałem skończonym oraz U niech będzie podprzestrzenią przestrzeni K n Wykazać, że wszystkie warstwy przestrzeni K n względem podprzestrzeni U składają się z tej samej liczby elementów Sprawdzić, czy układ (α,,α n ) wektorów przestrzeni R jest liniowo niezależny, gdzie: α =,,, α =, 6, 7; (b) α =,, 6, α =6,, 9; (c) α =,,, α =,,, α =,, ; (d) α =,,, α =,,, α =,,, α =,,; Sprawdzić, czy układ wektorów (α,,a n ) przestrzeni K jest liniowo zależny, jeżeli: K = Z 7, α = (b) K = R, α = (c) K = C, α = (d) K = Z, α = i i α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = + i + i 6 α = α = Jeżeli to możliwe, przedstawić jeden z wektorów tego układu jako kombinację liniową pozostałych Sprawdzić, czy układ (α,,α n ) wektorów przestrzeni K jest liniowo niezależny, gdzie: K = R, α =, α = (b) K = Z, α =, α =, α = i i 7

(c) K = Z, α =, α =, α =, α = Sprawdzić, czy układ (α,,α n ) wektorów przestrzeni KX jest liniowo niezależny, gdzie: K = R, α = X +, α = X, α =(X + ) ; (b) K = Z, α =, α = X, α =(X ) 6 Sprawdzić, czy f, f, f są liniowo niezależne w R R, jeżeli f (x)=, f (x)=sinx, f (x)=sinx dla x R, (b) f (x)=, f (x)=sin x, f (x)=cosx dla x R 7 Sprawdzić, czy, X, X,,X n są liniowo niezależne w przestrzeni wektorowej KX Sprawdzić, czy dla danego a K, wielomiany, X a, (X a),,(x a) n są liniowo niezależne w tej samej przestrzeni 8 Sprawdzić, czy f, f,, f n są liniowo niezależne w R R, jeżeli f i (x) = x x x i dla x R, i =,,n 9 Sprawdzić, czy układ (α,,α n ) wektorów przestrzeni C nad R jest liniowo niezależny, gdzie: α = + i, α = i, (b) α = i, α = i, α = i Sprawdzić, że,, są liniowo niezależnymi wektorami przestrzeni R nad Q Wyznaczyć wszystkie wartości parametru a K dla których układ wektorów (α,,α n ) przestrzeni K jest liniowo zależny, jeśli: K = Z 7, α =, α =, α = a, (b) K = R, α =, α =, α =, α = (c) K = C, α = i, α = i a Wykazać, że liniowo zależny jest każdy układ wektorów zawierający wektor zerowy, (b) zawierający dwa wektory równe, (c) zawierający podukład liniowo zależny Wykazać, że jeśli wektory α,, α n są liniowo niezależne, a wektory α,, α n, β są liniowo zależne, to wektor β jest kombinacją liniową wektorów α,, α n Załóżmy, że układ wektorów (α,, α n ) jest liniowo niezależny Udowodnić, że każdy z następujących układów wektorów jest liniowo niezależny: (α,, α i, xα i, α i+,, α n ), gdzie x, (b) (α,, α i, xα i + α j, α i+,, α n ), gdzie x Załóżmy, że w przestrzeni liniowej nad ciałem R układ wektorów (α, α, α, α ) jest liniowo niezależny Sprawdzić, czy liniowo niezależny jest układ wektorów β = α + α + α + α, β = α + α + α + α, β = α + α + α + α 6 Załóżmy, że w przestrzeni liniowej nad ciałem R układ wektorów (α, α, α, α, α ) jest liniowo niezależny Sprawdzić, czy liniowo niezależny jest układ wektorów β = α + α α α + α, β = 8α + 7α α + α α, β = α α + 8α α + α 7 Załóżmy, że w przestrzeni liniowej nad ciałem R układ wektorów (α, α,, α n ) jest liniowo niezależny Sprawdzić, czy liniowo niezależny jest układ wektorów β = α, β = α + α, β = α + α + α,, β n = α + α + + α n ; (b) β = α + α, β = α + α,, β n = α n + α n, β n = α n + α 8 Wykazać, że wektory α,α,α n są linowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych skalarów a,a,a n i b,b,,b n z równości a α +a α + +a n α n = b α +b α + +b n α n wynika, że a = b, a = b,, a n = b n 9 Pokazać, że niezerowe wektory α,α,α n są liniowo niezależne wtedy i tylko, gdy lin(α,,α n )=lin(α ) lin(α n ) Pokazać, że jeśli niezerowe wektory α,α,α n są liniowo niezależne, to dla każdego k < n, lin(α, α,,α n )=lin(α, α,,α k ) lin(α k+,,α n ) a 8

Zadania z algebry liniowej ZESTAW 9 - Baza przestrzeni liniowej Pokazać, że wektory α,,α n tworzą bazę przestrzeni V i znaleźć współrzędne wektora β w tej bazie, jeżeli V = R, α =,,, α =,,, α =,,, β =,,, (b) V = Z, α =,,, α =,,, α =,,, β =,,, (c) V = R, α =, α =, α =, α =, β =, (d) V = C, α =, i, α =i,, β = + i, i; (e) V = RX, α =, α = X, α =(X ), α =(X ), β = X + X + X, (f) V = C, nad R, α = + i, α = i, (g) V = Q( ), nad Q α =, α = +, β = Pokazać, że wektory α,,α n tworzą bazę przestrzeni Q n i znaleźć współrzędne wektora β w tej bazie, jeżeli n = ; α = α = α =, β = 6 9 (b) n = ; α = α =, α = β = 6 7 (c) n = ; α = α = α = α = β = Wyznaczyć bazę i wymiar podprzestrzeni lin(α,α,,a n ) przestrzeni Q gdy: α = α = α = α = ; (b) α = (c) α = α = α = α = α = 8 α = α = 7 6 9 α = α = 7 6 7 Wybrać bazę podprzestrzeni lin(α,α,,a n ) Z m 7 spośród wektorów α,α,,a n, jeżeli α = α = α = 6 ; (b) α = (c) α = (d) α = α = α =, α = α = α =, α = 6 6 α = α =, α = 6 ; α =, α = Znaleźć dowolne bazy podprzestrzeni z poprzedniego zadania, stosując przekształcenia elementarne na zbiorze rozpinającym 6 Znaleźć bazę podprzestrzeni U przestrzeni V, gdzie: 9 6 ; 7 ;

V = R, U = {u, t, u t + s, u s : u,t,s R}, (b) V = Z, U = {x, x, x, x : x + x x = i x x + x = }, (c) V = R, U = Sol(X X + X X = ), a b (d) V = Q U = { : a,b Q}, b a (e) V = C, nad R, U = {z C, : z + z = } 7 Wyznaczyć bazy podprzestrzeni rozwiązań następujących układów równań (nad R): x + x + x = x + x x = x x + x = (b) x x + x x = x x + x = x x + 6x + x = 8 Czy można znaleźć bazę przestrzeni K złożonąz wektorów postaci: x x x x ; x + x + x + x =, (b) x x ; x + x + x + x = x x 9 Pokazać, że jeśli wektory α,α,,α n tworzą bazę przestrzeni wektorowej V nad ciałem K, to dla dowolnych i, j =,,n,i j, wektory: α,α,,α i,α i + xα j,a i+,,a n dla x K, (b) α,α,,α i,xα i,a i+,,a n dla x K, x również tworzą bazę przestrzeni V Pokazać, że jeśli wektory α,α,,α n tworzą bazę przestrzeni wektorowej V nad ciałem K to wektory α, α + α,, α + α + + α n, (b) α, α α, α α,,α α n również tworzą bazę przestrzeni V Załóżmy, że wektory α,α,α tworzą bazę przestrzeni V nad Z Sprawdzić czy wektory α + α + α, α + α + α, α + α + α, (b) α + α + α, α + α + α, α + α + α, tworzą bazę przestrzeni V Znaleźć bazę przestrzeni R, w której wektor ε ma współrzędne (,,) oraz bazę, w której wektor ten ma współrzędne (,,), a wektor ε + ε współrzędne (,,) Niech (β,β,,β n ) będzie układem niezerowych wektorów przestrzeni V Pokazać, że układ (β,β,,β n ) jest bazą przestrzenią V wtedy i tylko wtedy, gdy V = lin(β ) lin(β ) lin(β n ) Załóżmy, że (α,α,,α n ) jest bazą przestrzeni V Pokazać, że V = lin(α,,α k ) lin(α k+,,α n ) dla każdego k < n Znaleźć bazę podprzestrzeni U i W przestrzeni Z oraz bazę sumy U +W jak i bazę części wspólnej U W, gdzie: U = lin(,,,,,,,, ), W = Sol(X + X + X = ), (b) U = lin(,,,,,,,, ), W = lin(,,,,,,,, ), { X X + X = (c) U = Sol(X + X + X = ), W = Sol( ) X + X = 6 Znaleźć bazę każdej z niżej wypisanych podprzestrzeni przestrzeni R oraz bazę sumy algebraicznej U i +U j, jak i części wspólnej U i U j każdej pary podprzestrzeni: x U = lin( ), U = { x x R : x + x x + x = } (b) U = lin( U = { x x x x x ), U = lin( R : x x + x + x = } ),

(c) U = { x x x x U = lin( (d) U = lin( R :x x + x x = }, ) ), U = lin( 7 Określić wymiar podprzestrzeni U przestrzeni V, gdzie: V = R, U = {u, s t, t + u, u + s t : u,s,t R}, (b) V = R 7, U = Sol(X + X 7 = ), (c) V = Z, U = lin(,,,,,,,,,,,,,, ), ({ ) (d) V = Z X + X =, U = Sol X + X X + X =, (e) V = RX, U = lin((x ), (X + ), X), (f) V = C, U = {z C : z z = } 8 Podany układ A wektorów przestrzeni K n dopełnić do bazy B wektorami bazy kanonicznej (ε,, ε n ), gdzie: K = Q, n =, A = (,,,,,,, ), (b) K = Z 7, n =, A = (,,,,,,, ), (c) K = C, n =, A = (, i,, i,, ) 9 Załóżmy, że A =(α,,α n ) jest bazą przestrzeni liniowej V nad ciałem K oraz B =(β,,β m ) jest bazą przestrzeni liniowej V nad ciałem K Wykazać, że układ wektorów C = ((α, θ),,(α n, θ), (θ, β ),,(θ, β m )) jest bazą przestrzeni liniowej V V Jaki jest wymiar przestrzeni V V? Udowodnić, że jeśli V jest przestrzenią liniową o n wymiarową, to dla każdej liczby naturalnej k n przestrzeń V zawiera podprzestrzeń o wymiarze k Udowodnić, że jeśli V jest przestrzenią liniową skończenie wymiarową, to dla każdej podprzestrzeni U przestrzeni V istnieje podprzestrzeń W taka, że V = U W Podprzestrzeń W nazywamy podprzestrzenia dopełniajac a W dla danej podprzestrzeni U przestrzeni V znaleźć podprzestrzeń dopełniającą, gdzie: V = R, U = Sol(X X = ), (b) V = Z, U = lin(,,,,,,,,,,,,,,, ), Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi nierówność dim(w + +W n ) dimw + + dimw n Wykazać, że jeśli K jest ciałem nieskończonym, to każda niezerowa przestrzeń liniowa nad ciałem K jest nieskończona Dla jakiej wartości parametru a R podany układ wektorów jest bazą przestrzeni R : (,,,,,,,, a), (b) (,,, a,,,,, ) Dla jakiej wartości parametru a R podany układ wektorów jest bazą przestrzeni Z : (,,,,,, a,, ), (b) (,,, a,,,,, ) )

Zadania z algebry liniowej ZESTAW - Struktura zbioru rozwiązań układu równań liniowych Obliczyć rząd wierszowy i rząd kolumnowy macierzy 7 nad R, (b) nad Z, 9 Obliczyć rzędy następujących macierzy (nad ciałem R liczb rzeczywistych): (d) (g) 7 7 9 7, (b) (h) 9 8 7 8 (e) 7 7 (f) (c), (i) 9 7 6 (j) Obliczyć rzędy następujących macierzy stopnia n nad ciałem R liczb rzeczywistych:, (b), (c) a a a (d) a, (e) a n n n n n n n n n n n n (f), (g) n n n n n n n n n n W zależności od parametru λ R wyznaczyć rząd macierzy: 7 λ 6 9 λ λ, (b) a a a a a a b a b a a b b a λ λ λ λ 8 7 8 9 7 7 8 7 7 7 6 6 7, (c), a a a a a,

λ (c) λ λ λ Obliczyć rzędy następujących macierzy: nad Z 7, (b) (d) 7 7 λ 6 9 8 6 Obliczyć rzędy następujących macierzy zespolonych: + i + i i i + i + i, (b) i i i i + i i i + i (c) + i i + i + i i + i i i i + 8i + i, (d) (e) nad Z,, + i i + i i 7 i 7i i i i + i 7 i + 7i (c) λ λ 6 nad Z 7 Wykazać, że r(a + B) r(a)+r(b) 8 Wykazać, że jeśli A oraz B są macierzami o tej samej liczbie wierszy, to r(a B) r(a)+r(b) 9 Wykazać, że jeśli A oraz B są macierzami rzeczywistymi o tej samej liczbie wierszy, to A B r( )=r(a)+r(b) To samo nad Z A B, Z i nad Z 7 A Wykazać, że rząd macierzy klatkowej postaci jest równy sumie rzędów macierzy A i B B Obliczając rząd odpowiedniej macierzy sprawdzić liniową niezależność układów wektorów (α,,α n ) występujących w zadaniu z zestawu 8 Wyznaczyć wszystkie liczby rzeczywiste x,y,z,t dla których: x + y + z + t = x 6y z t = y y + z + 6t = z y z t = t, (b) x + y + z + t = x 6y z t = y y + z + 6t = z y z t = t, (c) t =, (d) x = y Znaleźć bazę podprzestrzeni rozwiązań każdego z powyższych układów równań Znaleźć bazę przestrzeni rozwiązań układu równańon-niewiadomych nad ciałem K: { X + X X = X X =, n =, K = Q; (b) X + X X + X X = (c) X X + X =, n =, K = Z X X = { X + X X = X X =, n = 7, K = Q; W zależności od parametru a wyznacz wymiar przestrzeni rozwiązań układu równań liniowych o n niewiadomych nad ciałem K X + X + X = X + X + X + X = X + X + X =, n =, K = Z ; (b) X + ax + X + X =, n =, K = Z X + X + ax = X + X + X + X = Rozwiązać nad ciałem R liczb rzeczywistych następujące układy równań Przedstawić zbiór rozwiązań każdego układu niesprzecznego w postaci warstwy w odpowiedniej przestrzeni oraz znaleźć układ fundamentalny (tzn bazę przestrzeni kierunkowej zbioru rozwiązań) x y + z + 7t = x 6y + z + t = x y z t = ; (b) x + y 8z = 8 x + y 9z = 9 x + y z = 7 x + 8y 7z = ;

x + y + z + t = (c) 6x + 8y + z + t = 7 9x + y + z + t = (e) x y + z + t = 6x y + z + t = 9x 6y + z + t = x + y + z t + w = x + y + z t + w = (g) x + y + z t + w = x + y + 8z t + 9w = 6x + y + z + t + w = x + y + z +t + w = (i) x + y z +t = 7 9x + 6y + z + t + w = ; (d) ; (f) ; (h) x y + z + t = 7x y + z + t = x + 7y z 6t = 8x + 6y + z + t = x + y + z +t = x + y + z +t = 8 x + y + z +t = 7x + y + z + t = 8 x y + z + t + w = 6x y + z + t + w = 6x y + z + 8t + w = 9 x y + z +t + w = ; ; ; 6 Rozwiązać nad ciałem Q oraz nad Z p następujące układy równań Przedstawić zbiór rozwiązań każdego układu niesprzecznego w postaci warstwy w odpowiedniej przestrzeni oraz znaleźć układ fundamentalny (tzn bazę przestrzeni kierunkowej zbioru rozwiązań) (c) (e) (g) x + 7y + z +t = 6 x + y + z + t = 9x + y + z + 7t = 6x + y + z + t + w = x + y + z + t + w = x + y + z + t + w = x + y + 7z + t + w = x + y + z t + w = x + 6y + z t + w = x + y + 7z t + w = x + y + z t + w = 6 x + y + z + t = x + y + z +t = x + y + z + t = x + y + z +t = x 7y z + t = 7, p = ; (b), p = (d), p = (f), p = 7 9x y + z + 6t = 9x y + z + 6t = x y + z + t = 8 x y + z 7t = 6x y + z t = 7 x y + z t = 8 x + y + z + t = x + y + z + t = 9x + y + z t = x + y + z + t = 7x + y + 6z t = 7, p = ;, p = 7, p = 7 7 Każdy z następujących układów rozwiązać w ciałach Z, Z 7, Z Przedstawić zbiór rozwiązań każdego układu niesprzecznego w postaci warstwy w odpowiedniej przestrzeni oraz znaleźć układ fundamentalny (tzn bazę przestrzeni kierunkowej zbioru rozwiązań) x + y + z = x + y + z = x + y + z = 8 Pokazać, że układ równań, (b) x + y + z = x + y z = x y + z = 9 Rozwiązać nad ciałem C następujące układy równań: ( + i)x + iy z = + i ( + i)x +( i)y + z = 6 + i x + y iz = x + y + z = x + y + z = x + z = jest sprzeczny w ciele Z p wtedy i tylko wtedy, gdy p =, (b) x + y + 6z + 6t = Dla jakiego parametru λ Z 7 układ równań x + y + z + t = x + y + 6z +t = λ ten układ, gdy jest to możliwe ( + i)x + y iz = i x + iy +( i)z = 6 + i ( + i)x + y + z = 6 + 6i nad ciałem Z 7 ma rozwiązanie? Rozwiązać

W zależności od parametru λ Q rozwiązać układy równań: 8x + 6y + z + t = x y z + t = 6, (b) x + y + z + t = λx + y + z + t = W zależności od parametrów a,b R rozwiązać układy równań: x + y + z = x y + z = x + ay + z = b, (b) x y + z + t = x y + z + 6t = 7 6x y + 7z + 8t = 9 λx y + 9z + t =, (c) ax + y + z +t = x + ay + z +t = x + y + z +t = b λx + y + z +t = x + λy + z +t = x + y + λz +t = x + y + z + λt = W zależności od parametru a Z 7 wyznaczyć wymiary podprzestrzeni rozwiązań układów równań: x + y + az +t = x + y + 6z + at = x + y + t =, (b) { x + ay + z + t = ay + z +t = Dla jakich parametrów a,b Z 7, układy równań liniowych U oraz U (nad ciałem Z 7 ) mają równe zbiory rozwiązań, jeżeli { x + y + 6z + t = U : x + y + z +t = { x + ay + t = U : x + y + bz = W zależności od parametrów a,b R rozwiązać układy równań: ax + y + z = x + ay + z = a, (b) x + y + az = a ax + y + z = x + by + z = x + by + z =, (c) ax + by + z = x + aby + z = b x + by + az = 6 Dla jakich parametrów a,b,c,d R każdy układ równań z danymi lewymi stronami ma rozwiązanie? ax + by + cz + dt bx ay + dz ct cx dy az + bt dx+ cy bz at, (b) a x + ay + az + at ax +(b )y +(b + )z +(b + )t ax +(b + )y +(c + )z +(c + 7)t ax +(b + )y +(c + 7)+(d + )t Jak zmieni się odpowiedź, jeżeli dopuścić a,b,c,d C? Podać wzory na rozwiązanie układu oraz b) (przy dowolnych prawych stronach równań) 7 Dla jakiego a K wektor α należy do podprzestrzeni przestrzeni K n generowanej przez wektory α,,α k, jeżeli K = Q, α = a α = (b) K = C, α = i, α = (c) K = Z 7, α = α = a α = a + i + i 6 a α = α = a i a α = 8 W zależności od parametru a Z wyznacz wymiar podprzestrzeni przestrzeni Z generowanej przez wektory a a a ; (b) a a a 9 Jeśli α,β,γ, są wektorami przestrzeni współrzędnych K n, to symbolem α,β,γ, oznaczamy macierz, której kolumny są utworzone ze współrzędnych wektorów α,β,γ, Dla k n : a

Sprawdzić, że wektory α,α,,α k są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki podzbiór {i,i,,i n k } zbioru {,,,n}, że detα,α,,α k,ε i,ε i,,ε in k (b) Sprawdzić, że wektory α,α,,α k są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego podzbioru {i,i,,i n k } zbioru {,,,n} zachodzi równość detα,α,,α k,ε i,ε i,,ε in k = (c) Zapisać oba warunki za pomocą wzorów, w których występują tylko współrzędne wektorów α,α,,α k Przypuśćmy, że α,α,α,,α k K n oraz że wektory α,α,,α k są liniowo niezależne Oznaczmy ξ :=x,x,,x n Niech ε i,ε i,,ε in k będą takie, że detα,α,,α k,ε i,ε i,,ε in k Pokazać, że warstwa α + lin(α,,α k ) przestrzeni K n jest zbiorem rozwiązań układu równań detα,α,,α k,ξ α,ε i,,ε in k = detα,α,,α k,ε i,ξ α,,ε in k = detα,α,,α k,ε i,ε i,,ξ α= Znaleźć układ równań liniowych nad Z, którego zbiorem rozwiązań jest podprzestrzeń: lin(,,,,,,,,,,,,,,, ), (b) lin(,,,,,,,,,,,,,,, ) Znaleźć układ równań liniowych nad R, którego zbiorem rozwiązań jest: (c) + lin( ), + lin( ), (d) (b) + lin(, + lin( ), ) 6

Zadania z algebry liniowej ZESTAW - Przekształcenia liniowe Które z podanych niżej przekształceń ϕ : K n K m są przekształceniami liniowymi: n = m =, ϕ( x x + z y )= x + z, (b) n = m =, ϕ( x y )= x y + z x y + z z z + x + y x + z, (d) n = m =, ϕ( x y )= x y + z z z z y (c) n = m =, ϕ( x y )= z x (e) n =, m =, ϕ( y z )= t (f) n =, m =, ϕ( (g) n = m =, ϕ( (h) n = m =, ϕ( x y z t x y z t x y z t )= )= )= x y + t x + y + z t x + z t x y + t x y + z t x z t x + y t x + y + z y +t y + z x + y t x + y + z y t x + y + z t x + z xz,, (i) n = m =, ϕ( x y )= z x y + z W przypadku, gdy przekształcenie ϕ jest przekształceniem liniowym, zbadać czy jest to monomorfizm, epimorfizm Wykazać, że jeżeli ϕ : K K jest przekształceniem liniowym, to istnieje a K takie, że ϕ(v)=av dla każdego v K Dla jakich a przekształcenie dane takim wzorem jest monomorfizmem, epimorfizmem? Ciało C liczb zespolonych można rozpatrywać jako przestrzeń wektorową nad ciałem C (ozn C ) oraz jako przestrzeń wektorową nad ciałem R liczb rzeczywistych (ozn C R ) Wykazać, że f : C C, f (z)=z, jest endomorfizmem przestrzeni C R, ale nie jest endomorfizmem przestrzeni C Sprawdzić, czy odwzorowanie ślad macierzy tr : Kn n K określone wzorem a a a n a a a n n tr = i= a n a n a nn jest przekształceniem liniowym Sprawdzić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a,b, a < b odwzorowanie C (a,b) R przestrzeni funkcji a ii,, ciągłych określone wzorem f b a f (x)dx jest przekształceniem liniowym 6 Symbolem C n (a,b) oznaczamy przestrzeń funkcji rzeczywistych określonych na przedziale (a,b) i mających pochodne ciągłe do rzędu n włącznie Sprawdzić, że dla każdego n > odwzorowanie C n (a,b) C n (a,b) określone wzorem f f jest przekształceniem liniowym Czy jest ono epimorfizmem? monomorfizmem? 7 Przypuśćmy, że V,W,W s ą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K Funkcję f : V W W można zapisać przy pomocy pary funkcji f : V W oraz f : V W wzorem f (v) = ( f (v), f (v)) Wykazać, że f jest przekształceniem liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy f i f są przekształceniami liniowymi 8 Wykazać, że: jeśli V = V V, to V = V V, (b) jeśli V = V V n, to V = V Vn 9 Znaleźć jądra i obrazy przekształceń liniowych z zadania 7

Znaleźć jądro i obraz symetrii (rzutu) względem V (na V ) wzdłuż V x + y x Przekształcenie liniowe ϕ : K K dane jest wzorem ϕ( )= x y Wyznaczyć: y y x obrazy podprzestrzeni: K, lin( ), lin( ), lin( ), { K y :x + y = }; (b) przeciwobrazy podprzestrzeni: K, { }, lin( ), lin( ), lin(, ), { x y K : x + y + z = } z Przypuśćmy, że ϕ : V W jest przekształceniem liniowym, X jest podprzestrzenią przestrzeni V, ay jest podprzestrzenią przestrzeni W Wykazać, że ϕ (ϕ(x)) = X+Kerϕ, (b) ϕ(ϕ (Y )) = Y Imϕ Wiadomo, że przekształcenie liniowe ϕ : V W spełnia warunki: ϕ(α )=β + β + β, ϕ(α )=β + β + 6β, ϕ(α )=7β + 8β + 9β gdzie (α,α,α ) jest bazą V, zaś (β,β,β ) jest bazą W Obliczyć wymiar obrazu i wymiar jądra przekształcenia ϕ Niech ϕ i ψ będą odwzorowaniami K K takimi, że: ϕ((a,a,a,)) = (,a,a,a,), ψ((a,a,a,)) = (a,a,a,) Sprawdzić, że ϕ i ψ są endomorfizmami przestrzeni K (b) Obliczyć ϕ ψ i ψ ϕ (c) Sprawdzić, czy ϕ lub ψ jest monomorfizmem, epimorfizmem, izomorfizmem Czy istnieje przekształcenie liniowe ϕ : R R spełniające warunki: ϕ( )=, ϕ( )=, ϕ( )=, ϕ( )= ; (b) ϕ( )=, ϕ( )=, ϕ( )= ; (c) ϕ( )=, ϕ( )=, ϕ( )= ; (d) ϕ( )=, ϕ( )=? W przypadku pozytywnej odpowiedzi przeanalizować liczbę rozwiązań i znaleźć wzór przynajmniej jednego takiego przekształcenia liniowego 6 Skonstruować przekształcenie liniowe τ : R R spełniające warunki: τ( )=, τ( )=, τ τ = id R Wyznaczyć wzór analityczny przekształcenia τ 8

7 Znaleźć wzór analityczny: symetrii przestrzeni R względem lin( ) i wzdłuż lin( ); (b) symetrii przestrzeni R względem lin(, ) i wzdłuż lin( ); (c) rzutu przestrzeni R na lin( ) wzdłuż lin( ); (d) rzutu przestrzeni R na lin( ) wzdłuż lin(, ) 8 Podać wzór analityczny przekształcenia liniowego ψ : R R, o którym wiadomo, że Kerψ = lin(, ) oraz Imψ = lin( ) Czy rozwiązanie jest jedyne? 9 W przestrzeni K wybrano bazy A =(,, ) oraz B =(, natomiast wprzestrzeni K wybrano bazy A =( ) oraz B =( ) Znaleźć macierz przekształcenia liniowego ϕ : K n K m w bazach A n oraz B m (A n oraz A m ; B n oraz B m ; B n oraz A m ), jeżeli: n = m =, ϕ( x x + z y )= x + z, (b) n = m =, ϕ( x y )= x y + z y, z x y + z z z x x (c) n =,m =, ϕ( y x y + t z )= x + y + z t, (d) n =,m =, ϕ( y z )= x y + t x y + z, x + z t x z t t t (e) n =,m =, ϕ( x x + y z y )= x + y + z y (f) n =,m =, ϕ( x x + y z y )= x + y + z y z z z y + z x + y + z Niech V = RX n, natomiast przekształcenie δ : V V niech przyporządkowuje wielomianowi jego pochodną Pokazać, że δ jest endomorfizmem przestrzeni V oraz znaleźć macierz δ w bazie: (,X,X,,X n ), (X c) (X c)n (b) (, X c,,, ), gdzie c jest ustaloną liczbą rzeczywistą! n! Niech V będzie podprzestrzenią przestrzeni C (R) wszystkich funkcji rzeczywistych ciągłych rozpiętą przez cosx oraz sinx, a przekształcenie δ niech będzie przekształceniem, przypisującym funkcji jej pochodną Sprawdzić, że δ jest endomorfizmem przestrzeni V oraz znaleźć jego macierz względem bazy (cosx, sinx) a b Wybierzmy A = K c d i określmy odwzorowanie ψ : K K wzorem ψ(b) =BA dla B K Wykazać, że ψ jest endomorfizmem przestrzeni K i znaleźć macierz tego endomorfizmu względem bazy (E,E,E,E ), ), 9

Niech ϕ : K V będzie rzutem, a ψ : K K symetrią względem V i wzdłuż V, gdzie: V = lin(ε,ε ), V = lin(ε + ε ), (b) V = lin(ε,ε ), V = lin(ε + ε ), (c) V = lin(ε + ε,ε ), V = lin(ε + ε ) W każdym przypadku znaleźć macierz ϕ w bazach (ε,ε,ε ) przestrzeni K oraz (ε,ε ) przestrzeni V Znaleźć macierz ψ w bazach (ε,ε,ε ) oraz (ε,ε,ε + ε ) przestrzeni K Zwrócić uwagę, że ψ jest endomorfizmem przestrzeni K i znaleźć macierz tego endomorfizmu w bazie (ε,ε,ε ) Przekształcenie liniowe ϕ : K K względem baz (, ) oraz (,, ) ma macierz x Znaleźć wzór (analityczny) na ϕ( ) y Endomorfizm ψ przestrzeni K ma w bazie (ε,ε,ε + ε ) macierz opisujący ψ 6 Endomorfizm ψ przestrzeni R ma w bazie (ε ε,ε,ε + ε ) macierz bazę obrazu przekształcenia ψ Czy wektor 7 Endomorfizm γ przestrzeni R ma względem bazy standardowej macierz względem bazy: (ε,ε,ε,ε ), (b) (ε,ε + ε,ε + ε + ε,ε + ε + ε + ε ) należy do jądra ψ? Jaki jest obraz wektora Znaleźć wzór analityczny Znaleźć bazę jądra i? Znaleźć macierz γ 8 Endomorfizm λ przestrzeni V nazywamy homotetia, jeżeli istnieje skalar a taki, że λ(v)=av dla każdego v V Wykazać, że λ jest homotetią λ ϕ = ϕ λ dla każdego ϕ End(V ), (b) λ jest homotetią λ ma taką samą macierz względem każdej bazy V 9 Macierz przekształcenia ϕ : K K w bazie (ε,ε,ε ) ma postać, (b), (c) Jakie własności przekształcenia ϕ można stąd odczytać? Udowodnić, że macierz przekształcenia ϕ : K n K n w bazie (ε,ε,,ε n ) A C ma postać dla pewnej macierzy A stopnia k ϕ(lin(ε B,ε,,ε k )) lin(ε,ε,,ε k ); A (b) ma postać dla pewnej macierzy A stopnia k i pewnej macierzy B stopnia n k ϕ(lin(ε B,ε,,ε k )) lin(ε,ε,,ε k ) i ϕ(lin(ε k+,,ε n )) lin(ε k+,,ε n ) W przestrzeni R n dane są bazy A oraz B Oznaczmy przez E bazę standardową (ε,ε,,ε n ) Znaleźć macierze przejścia od E do A, od E do B, od A do E oraz od A do B, gdy: n =, A =(, ), B =(, ); 6 (b) n =, A =( 8 6, 6 7, 9 ), B =(,, ); 7 7 (c) n =, A =( ), B =( )

W każdym z powyższych przypadków zapisać wektor x ε + + x n ε n jako kombinację liniową wektorów bazy A Niech A =(α,α,α ), B =(β,β,β ) będą bazami przestrzeni C Znaleźć macierz symetrii względem V = lin(α,α ) i wzdłuż V = lin(α ) w bazie B, gdy α =,α =,α =, β =,β = C C ),β = Obliczyć współrzędne wektora Podobnie dla rzutu na V wzdłuż V ( potraktowanego jako odwzorowanie przestrzeni K jeśli charakterystyka ciała K jest różna od i od w bazie ( Napisać wzory na zmianę współrzędnych wektorów przy przejściu od bazy ( ) do bazy ( ) przestrzeni K jeśli charakterystyka ciała K jest różna od Korzystając z wzoru na zmianę macierzy endomorfizmu przy zmianie bazy znaleźć macierz przekształcenia ϕ : K K w bazie (ε,ε + ε,ε + ε ) wiedząc, że macierzą przekształcenia ϕ w bazie (ε,ε,ε ), (b) (ε + ε,ε,ε ) jest macierz )

Endomorfizm ϕ End(C ) ma w bazie A =( Zadania z algebry liniowej ZESTAW - Wektory i wartości własne, ) macierz i ; (b) Znaleźć wartości własne i wektory własne endomorfizmu ϕ Jakie będzie rozwiązanie, jeżeli założymy, że A jest bazą standardową? Jakie będzie rozwiązanie, jeżeli założymy, że ϕ End(R )? Macierz A jest macierzą endomorfizmu ϕ End(C n ) w bazie standardowej Obliczyć wartości oraz wektory własne endomorfizmu ϕ Skonstruować (o ile to możliwe) bazę przestrzeni C n złożoną z wektorów własnych ϕ Znaleźć (o ile to możliwe) macierz C GL(n,C) taką, że macierz C AC jest macierzą diagonalną n = : A = ; (b) A = ; (c) A = n = : (e) A = ; (f) A = ; (g) A = n = : (h) A = ; (i) A = ; (j) A = ; (d) A = 8 (k) A = ; (l) A = ; (m) A = 6 7 Obliczyć wielomian charakterystyczny endomorfizmu, który w pewnej bazie ma macierz postaci a n a n a a a a a ; (b) a n Czy każdy wielomian unormowany, z dokładnością do znaku, może być wielomianem charakterystycznym jakiegoś endomorfizmu? Pokazać, że odwzorowanie ϕ : RX RX określone wzorem ϕ( f (X)) = f (X + ), jest przekształceniem liniowym Znaleźć wszystkie wartości własne endomorfizmu ϕ Pokazać, że odwzorowanie ϕ : RX RX określone wzorem ϕ( f (X)) = f (X), jest przekształceniem liniowym Znaleźć wszystkie wartości własne endomorfizmu ϕ 6 Znaleźć wartości własne oraz odpowiadające im podprzestrzenie wektorów własnych endomorfizmów liniowych rzeczywistych przestrzeni współrzędnych o następujących macierzach w bazie kanonicznej ; (b) ; (c) ; (d) ; (e) 6 ; (f) ; (g) 7 Znaleźć wartości własne oraz odpowiadające im podprzestrzenie wektorów własnych endomorfizmów liniowych zespolonych przestrzeni współrzędnych o następujących macierzach w bazie kanonicznej: i a ; (b) dla a R; (c) i a 8 Znaleźć wzór na elementy macierzy A n, jeżeli A = ; (b) ; (c) W każdym z przypadków obliczyć A ; (d), ;