3. Rozkład macierzy według wartości szczególnych

Podobne dokumenty
Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

Maciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y

PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

Matematyka stosowana i metody numeryczne

Układy równań liniowych Macierze rzadkie

Metoda sił jest sposobem rozwiązywania układów statycznie niewyznaczalnych, czyli układów o nadliczbowych więzach (zewnętrznych i wewnętrznych).

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:

WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach

Wprowadzenie: Do czego służą wektory?

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

Analiza matematyczna i algebra liniowa

Wyrównanie sieci niwelacyjnej

LISTA02: Projektowanie układów drugiego rzędu Przygotowanie: 1. Jakie własności ma równanie 2-ego rzędu & x &+ bx&

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

Prosta metoda sprawdzania fundamentów ze względu na przebicie

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH

Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

Redukcja układów sił działających na bryły sztywne

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/ Sumy algebraiczne

Wymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad

Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE

Rozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte

Pierwiastek z liczby zespolonej

4. RACHUNEK WEKTOROWY

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne z matematyki

Ekstrakcja cech. PCA (Principal Component Analysis) Analiza składowych głównych. LDA (Linear Discriminant Analysis) Liniowa analiza dyskryminacyjna

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności.

Laboratorium z metod numerycznych.

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016

Laboratorium z metod numerycznych. = ewaluacja (wyliczenie) wyrażenia - wyświetlenie wyniku

Wyznacznik macierzy. - wyznacznik macierzy A

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS /02

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)

Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2016/2017 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody.

N(0, 1) ) = φ( 0, 3) = 1 φ(0, 3) = 1 0, 6179 = 0, 3821 < t α 1 e t dt α > 0. f g = fg. f = e t f = e t. U nas: g = t α 1 g = (α 1)t α 2

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję:

TEORIA PŁYT I POWŁOK (KIRCHHOFFA-LOVE)

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM. Modelowe etapy rozwiązywania zadania

Wszystkim życzę Wesołych Świąt :-)

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

Przekształcenia liniowe

< f g = fg. f = e t f = e t. U nas: e t (α 1)t α 2 dt = 0 + (α 1)Γ(α 1)

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Całkowanie numeryczne. Definicje, twierdzenia, algorytmy

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki oznaczone. lim δ n = 0. σ n = f(ξ i ) x i. (1)

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Pierwiastek z liczby zespolonej

G i m n a z j a l i s t ó w

Całki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju

BADANIE ZALEŻNOŚCI PRZENIKALNOŚCI MAGNETYCZNEJ

Pojęcia Działania na macierzach Wyznacznik macierzy

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera

splajnami splajnu kubicznego

1 klasyfikacja trójkątów twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie

INSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane?

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej

Klasa druga: II TK1, II TK2 Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Funkcja kwadratowa

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. II poziom podstawowy

PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b,

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny KLASA II

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna.

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

WYMAGANIA DLA UCZNIÓW KLAS DRUGICH LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO

Algebra WYKŁAD 6 ALGEBRA 1

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE Ib ZAKRES PODSTAWOWY

Piotr Stefaniak. Materiały uzupełniające do wykładu Matematyka

Modelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

Transkrypt:

Rozkłd mcierzy wedłg wrtości szczególnych Wprowdzenie Przypomnimy podstwowe zleżności związne z zstosowniem metody nmnieszych kwdrtów do proksymci fnkci dyskretne Podstwowe równnie m nstępącą postć: + m n m n m m n n m y y y L L L, gdzie: y i f i, i,,, m est zbiorem znnych wrtości relizownego proces w postci np próbek pomirowych,,,,, n nieznne współczynniki model proces, i błędy proksymci, i fnkce definiące model proces Równnie możn zpisć w skrócone formie mcierzowe: y + Średniokwdrtowe kryterim minimlizci błęd proksymci prowdzi do nstępącego równni normlnego y, n podstwie którego możn określić rozwiąznie: y y +, 4 gdzie: mcierz prostokątn + est nzywn mcierzą psedoodwrotną mcierzą oore -Penrose Rozkłd SVD Rozwiąznie zdni nmnieszych kwdrtów w formie lb 4, tkże w innych podobnych przypdkch może niekiedy prowdzić do dżych błędów ze względ n to, że mcierz może być źle wrnkown 4 W tkim przypdk w miesce mcierzy psedo-odwrotne ogólnione odwrotności mcierzy stose się nstępące przeksztłcenie: 4 Określ to wskźnik wrnkowni, który w tym przypdk est definiowny ko ilorz nwiększych i nmnieszych wrtości szczególnych Ukłd est źle wrnkowny, gdy wskźnik ten przyme dże wrtości []

Rozkłd mcierzy wedłg wrtości szczególnych 9 + VW U gdzie mcierze po prwe stronie równni są elementmi rozkłd mcierzy wedłg wrtości szczególnych: UWV 6 przy czym, mcierz W est tworzon z wrtości szczególnych mcierzy Rozptrzmy bliże ten rozkłd Nleży zwżyć, że mcierz est symetryczn, e wrtości włsne λ,,,, n są rzeczywiste i nieemne [] Pierwistki tych wrtości włsnych nzywne są wrtościmi szczególnymi mcierzy : λ,,,, n 7 Niezerowe wrtości szczególne > spełnią nstępące równni [6]: orz,,,, r, r min m, n rząd mcierzy 8 gdzie: i, i,,, m normowne wektory włsne mcierzy ;,,,, n normowne wektory włsne mcierzy Wektory tworzą mcierz ortogonlną m m: [ L ] U, 9 m ntomist z wektorów i tworzon est ortogonln mcierz n n: [ L ] V n Poniewż obie powyższe mcierze są ortogonlne, więc: U U V V VV I Włściwość t est spełnion tkże dl przypdk, gdy mcierz est zespolon i wówczs mcierze U orz V są nitrne [] Podobnie est z tworzącymi e wektormi: i i I dl wszystkich wrtości i orz cierz W m n, 6 est nstępąc: Σ W Rząd mcierzy r est nwiększą liczbą niezleżnych wierszy lb kolmn mcierzy

etody nmeryczne w technice gdzie: Σ, r rząd mcierzy 4 L r Przez mcierz odwrotną W - nleży rozmieć mcierz o nstępące strktrze: Σ W, gdzie: / / Σ L / r Zleżność 6 est nzywn rozkłdem mcierzy wedłg wrtości szczególnych ng SVD Singlr Vle Decomposition W ogólnym przypdk mcierz m wymir m n, co ozncz, że mcierze rozkłd wedłg wrtości szczególnych mą wymiry k n rys U W V m n m m m n n n U W V b m n m n n n n n Rys Rozmiry mcierzy rozkłd wedłg wrtości szczególnych: kłd podstwowy, b kłd oszczędny ożn zwżyć, że mcierz W w dolne części poczynąc od wiersz n+-go zwier zer, co ozncz, że kolmny mcierzy U dl tych smych nmerów mogą być pominięte W ten sposób otrzymemy kłd mcierzy k n rys b Nleży tylko zgodnić, które części mcierzy U orz V mogą być pominięte W tym cel

Rozkłd mcierzy wedłg wrtości szczególnych możn npierw obliczyć wrtości włsne i wektory włsne mcierzy orz mcierz modlną V, nstępnie zstosowć zleżność 8 do obliczeni wektorów włsnych mcierzy orz mcierzy modlne U 9: 6 Zwżmy, że wrtości włsne i związne z nimi wektory włsne nie mszą być t porządkowne wedłg mleących wrtości [6], chociż zbieg tki est dokonywny w różnych progrmch profesonlnych Dotyczy to tkże mcierzy Σ 4 Osttecznie, mcierze rozkłd oszczędnego rys b wedłg wrtości szczególnych są obliczne zgodnie z nstępącym lgorytmem Utworzyć mcierz A i obliczyć e wrtości włsne λ orz związne z nimi wektory włsne,,,, n Przeprowdzić normlizcę wektorów: :,,,n i tworzyć mcierz V n n [,, n ] Obliczyć wrtości szczególne mcierzy : λ >,,,, r dl dodtnich wrtości włsnych λ, r rząd mcierzy Określić wektory włsne mcierzy : i, i,,, n zgodnie z 6 orz tworzyć mcierz U m n [,, n ] 4 Utworzyć mcierz W r r Σ 4 W przypdk rozkłd podstwowego pełnego, U est mcierzą kwdrtową m m i w p nleży zpełnić tę mcierz wektormi, które są normowne i są prmi ortogonlne z pozostłymi wektormi tworzącymi mcierz 6 Jeśli m>n, to w p 4 nleży zpełnić zermi dolne wiersze mcierzy W, któr m terz wymir m n W przeciwnym przypdk m<n, zer nleży wstwić w wolnych prwych kolmnch mcierzy W Przykłd Dl podne mcierzy określić rozkłd wedłg wrtości szczególnych Złożyć, że mcierze rozkłd mą kłd oszczędny A Procedrę obliczni rozkłd wedłg wrtości szczególnych prowdzimy zgodnie z podnym lgorytmem 4 B A A 8 8 8 9 Korzystąc z fnkci ALAB obliczmy wrtości włsne i znormlizowną mcierz V: 6 kie wektory tworzą bzę ortonormlną []

etody nmeryczne w technice B[4 ; 8-8; -8 9]; [V,L]eigB; skąd otrzymemy:,8746,4,4,86 V,9,9,94, L 8,6,7,9,9 4,99 Pierwistki elementów z przekątne mcierzy L są wrtościmi szczególnymi mcierzy A, więc:,964 Σ,96 6 Widć, że rząd mcierzy r n Wektory tworzące mcierz U obliczmy zgodnie z 6:,649,8746 A /,9 /, 964,967 i podobnie:,686,7,877,799,4 A / 6, A /,97,484,476, 98,84 Osttecznie, otrzymemy mcierz U:,649,799,4 U [ ],967,6,97,686,484,476 877,98,84 ożn sprwdzić, że dl obliczonych mcierzy zleżność 6 est spełnion ożn tkże porównć zyskne wyniki z rezlttmi otrzymnymi wedłg procedr progrm ALAB W tym przypdk nleży wykonć nstępący progrm: A[ ; ; ; -]; [U,S,V]sdA,; Powyższ procedr sd oblicz wrtości szczególne w odwrotne koleności, przez co mogą wystąpić różnice w koleności wektorów włsnych w mcierzy U orz ich znków, ednk relce, 6 pozostą w mocy Koleny przykłd [6] pokze przypdek, gdy rząd mcierzy r< n, poszkiwne są mcierze pełnego rozkłd Przykłd Określić mcierze pełnego rozkłd wedłg wrtości szczególnych podne mcierzy A A,6,,6,8

Rozkłd mcierzy wedłg wrtości szczególnych Łtwo zwżyć, że rząd mcierzy r, gdyż nwiększ podmcierz o niezerowym wyzncznik m rozmir Obliczmy mcierz A A:,6,6 B A A,,8,6, 4,6,8 Wielomin chrkterystyczny tworzymy n podstwie wyzncznik mcierzy: detb λi λ4 λ λ Przymemy nstępącą koleność wrtości włsnych: λ, λ 4, λ, z których wyniką wrtości szczególne mcierzy A ko ich pierwistki dodtnie:,, e osttnie definią mcierz Σ: Σ orz mcierz W 4 dl pełnego rozkłd: Σ W worzymy wektory włsne powiązne z obliczonymi wrtościmi włsnymi: B λ I, skąd:,, może być dowolne t i podobnie dl pozostłych wrtości włsnych Osttecznie, wektory włsne mcierzy B są nstępące: [ ], [ ], [ ] nie są określone ednozncznie Stąd otrzymemy: V [ ] cierz U określmy zgodnie z 6:,6,6,6,,8 A / /`,8 i podobnie:,6,6,8,,8 A / /`,6 Wektor nie może być wyznczony w podobny sposób, gdyż cierz U tworzą wektory, w osttnich dwóch kolmnch dopełnimy mcierz wektormi: [ ], [ 4 ] innymi wektormi mcierzy:, które mą normę i pozostą prmi ortogonlne z

etody nmeryczne w technice 4 U,8 8,6,6, ożemy sprwdzić, że:,8,,6,6,8 8,6,6, UWV A Obliczenie mcierzy pełnego rozkłd wedłg wrtości szczególnych możn zyskć w progrmie ALAB z pomocą nstępące procedry: A[ -6 6; 8; ; ]; [U,S,V]sdA; Otrzymmy nstępące mcierze: U,6 8,6,8,, S, V Widć, że odpowiednie mcierze zyskne wedłg ob zstosownych procedr nieco się różnią, co wynik z dże dowolności przymowni różnych złożeń, ednk w ob przypdkch zyske się poprwne rozwiązni Podny lgorytm możn tkże stosowć w odniesieni do mcierzy A w przypdk, gdy m n Przykłd Określić mcierze pełnego rozkłd wedłg wrtości szczególnych podne mcierzy A A Widć, że rząd mcierzy r, gdyż nwiększ podmcierz o niezerowym wyzncznik m rozmir Obliczmy mcierz A A: B A A 9 Łtwo sprwdzić, że różne od zer wrtości włsne są nstępące: λ, λ 9, dl których wrtości szczególne mcierzy A mą nstępące wrtości:,, pondto: e osttnie definią mcierz Σ: Σ orz mcierz W 4 dl pełnego rozkłd:

Rozkłd mcierzy wedłg wrtości szczególnych Σ W worzymy wektory włsne powiązne z obliczonymi wrtościmi włsnymi: 6 4 I B λ, skąd: może być dowolne t,,, 4 i podobnie dl pozostłych wrtości włsnych Osttecznie, wektory włsne mcierzy B są nstępące: [ ], [ ], [ ], [ ] 4 Stąd otrzymemy: [ ] 4 V cierz U określmy zgodnie z 6: / A /` i podobnie: / A /` Wektor nie może być wyznczony w podobny sposób, gdyż cierz U tworzą wektory więc, w osttnie kolmnie dopełnimy mcierz wektorem: [ ], który m normę i pozoste prmi ortogonlny z innymi wektormi mcierzy: U ożemy sprwdzić, że: UWV A Obliczenie mcierzy pełnego rozkłd wedłg wrtości szczególnych możn zyskć w progrmie ALAB z pomocą nstępącego progrm: A[ ; ; ]; [U,S,V]sdA; ym rzem otrzymmy tkie sme mcierze, k powyże

6 etody nmeryczne w technice Jednym z zstosowń rozkłd mcierzy wedłg wrtości szczególnych est rozwiązywnie problemów proksymci z pomocą metody nmnieszych kwdrtów Wówczs w równni określącym współczynniki fnkci proksymące 4 nleży podstwić mcierz psedo-odwrotną określoną wedłg Przy tym, zleżność 4 przybier nstępącą formę: VW U y, 7 gdzie: A VW U + est psedoodwrotnością mcierzy A [6] Koleny przykłd ilstre tkie włśnie zstosownie rozkłd SVD Przykłd 4 Dn est fnkc dyskretn f i y i w przedzile, : y,,, 9, Określić fnkcę g, któr proksyme podną fnkcę w sensie NK Przyąć, że est to fnkc w postci wielomin II stopni Formemy model związny z postwionym zdniem: i + i + yi, i,,,, co możn zpisć w postci nstępącego równni: y, gdzie:, 4 nieznny wektor,, y 9 9 cierze rozkłd mcierzy wedłg wrtości szczególnych określimy z pomocą progrm ALAB Dl kłd oszczędnego progrm est nstępący: A[ ; ;4 ;9 ]; [U,S,V]sdA,; Po wykonni procedry otrzymemy:,9,94,77,64 U,,688,8, S, 464,67,48,8,,8947,8,6,9,986, 68, 66 V, 44,66, 8644, 77,89,4 Po wykonni 7 otrzymmy:,8,4, ztem fnkc proksymąc m nstępącą postć:, g,8,4 +, N rys pokzne są przebiegi ob tych fnkci

Rozkłd mcierzy wedłg wrtości szczególnych 7 Rys Przebiegi fnkci dyskretne y orz proksymące g Zdni Określić mcierze rozkłd podnych mcierzy wedłg wrtości szczególnych A, b A c A d A Określić psedoodwrotności podnych mcierzy n podstwie rozkłd mcierzy wedłg wrtości szczególnych 9 4 A, b A c A d A Obserwowny proces est modelowny z pomocą nstępące zleżności liniowe: g + Określić współczynniki model n podstwie dokonnych pomirów proces:, y {,,,,,, } b, y {,,,,,, 4, } c, y {,,,, 4, -} d, y {,,,,,, 4, -} Nrysowć przebieg proksymące fnkci n tle rezlttów pomir