Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12
Egzamin Termin: 28.01, godz. 10.15-11.45, sala 309 3 pytania teoretyczne 2 zadania wybór pytań i wybór zadań (na podstawie obecności na wykładzie)
Przypomnienie całka oznaczona Definicja podziału odcinka Podziałem P odcinka < a, b > na n części nazywamy zbiór odcinków < x 0, x 1 >, < x 1, x 2 >,, < x n 1, x n >, gdzie a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n 1 < x n = b ; długość k-tego przedziału, tj. liczbę x k x k 1, oznaczamy przez k. Największą spośród liczb k nazywamy średnicą podziału P i oznaczamy przez δ(p). Dla podziału P określa się także zbiór punktów pośrednich: {x 1, x 2,, x n }, przy czym x k < x k 1, x k >. Pole trapezu krzywoliniowego Niech f będzie funkcją ciągłą i nieujemną określoną na przedziale < a, b >. Chcemy obliczyć pole trapezu krzywoliniowego, tj. pole pod wykresem funkcji. Aby znaleźć pole trapezu krzywoliniowego należy aproksymować ten trapez prostokątami. Zgodne z intuicją to pole powinno być równe granicy lim δ(p) 0 n k=1 D k = lim δ(p) 0 n k=1 f(x k ) k Oczywiście δ(p) 0 oznacza, że n ; nie mamy pewności, czy ta granica istnieje, a obliczenie tej granicy w ogólnym przypadku jest trudne.
Definicja całki oznaczonej Riemanna Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale < a, b >. Całką z funkcji f na < a, b > nazywamy liczbę, którą oznaczamy symbolem i definiujemy wzorem a b f x dx b a f x dx = lim δ(p) 0 f x k k, n k=1 o ile po prawej stronie znaku równości granica istnieje, tzn. nie zależy od wyboru podziału P ani od sposobu wyboru punktów pośrednich x 1, x 2,, x n.
Twierdzenie (podstawowe twierdzenie rachunku całkowego) Jeśli funkcja f jest ciągła na przedziale < a, b >, to b f x dx = F b F a, a gdzie F jest funkcją pierwotną funkcji f na tym przedziale. Uwaga. Zamiast F b F a używa się także oznaczeń F x b a, [F x ] a b.
Zastosowania całek oznaczonych Przykład 1 geometria Obliczymy pole obszaru ograniczonego wykresami funkcji f x = x 2, g x = 2x + 3. Rysunek 3 Obliczenia: pole = ((2x + 3) x 2 )dx = 1 = 32/3.
Przykład 2 Wykażemy, że pole koła o promieniu r wynosi πr 2. Rysunek Obliczenia: r Pole = 4 r 2 x 2 dx = x = r sin t, dx = r cos t dt = π 2 0 4 r cos t cos t 0 = 4r 2 0 π 2 dt = 1 4 sin 2t π 2 0 1 + cos 2t dt = πr 2 + 2 = πr 2 0 π 2 1 cos 2t 2
Przykład 2 w szkole średniej
Długość krzywej Twierdzenie Jeśli funkcja f ma ciągłą pochodną na przedziale < a, b >, to długość krzywej (wykresu funkcji) { x, f x : x < a, b >} wyraża się wzorem Rysunek Uzasadnienie a b 1 + (f x ) 2 dx.
Długość okręgu Rysunek Obliczenia: r długość okręgu = 2 1 + r 2 x 2 2 r = 2πr dx =
Kolokwium wyniki i komentarz 3:3 f x = log 2 ( x 2 + 5x 4) f x = arcsin x + π/2 lim n 1+2+ +n n 2 n+1 Hm:
Kolokwium wyniki i komentarz lim x 0 +xln x Hm: e x > 1 + x dla x > 0
Kolokwium wyniki i komentarz e x > 1 + x dla x > 0
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Ćwiczenia 12
Całka nieoznaczona Dokończ: f x dx = F x + c oznacza, że Oblicz następujące całki nieoznaczone (w przykładzie d) sprawdź poprawność): a) x 2 x x 4 dx b) 3 x dx c) x x xdx d) tan 2 x dx e) e 3x 1 e x 1 dx
Całkowanie przez części Wzór: Całkując przez części oblicz następujące całki (w przykładzie d) sprawdź poprawność): a) x cos x dx b) xe x dx c) arctgx d) xlnxdx e) e x cos x dx
Całkowanie przez podstawienie Wzór: Stosując odpowiednie podstawienie, oblicz następujące całki oznaczone (w przykładzie d) sprawdź poprawność): a) e 3x dx b) x x 3dx c) cos lnx 1+e 6x x d) x x 2 + 1 dx e) e x dx dx
Całkowanie funkcji wymiernych Twierdzenie Każdą funkcję wymierną można przedstawić jednoznacznie w postaci sumy ułamków prostych pierwszego lub drugiego rodzaju. Funkcja wymierna daje się zapisać w postaci (x x 1 ) k 1 x xn k n P(x) x 2 + p 1 x + q 1 l 1 x 2 + p m x + q m m którą możemy zapisać jako sumę sum postaci: A 1 A 2 + x x i B 1 x + C 1 x + p j x + q j + A s (x x i ) 2 + + (x x i ) s B 2 x + C 2 (x + p j x + q j ) 2 + + B t x + C t (x + p j x + q j ) t
Całkowanie funkcji wymiernych Oblicz poniższe całki z funkcji wymiernych (w przykładzie e) sprawdź poprawność): x a) 2 5x+9 dx b) x x 2 +5x+6 (x+2) 2 dx c) x dx d) x dx e) dx (x 2 +2) 2 x 3 +1 x(x+1) 2
Kolokwium poprawkowe 23 stycznia 16.00 17.30 sala 210