Geometria Analityczna w Przestrzeni

Podobne dokumenty
Elementy grafiki komputerowej. Elementy geometrii afinicznej

Wektory. Algebra. Aleksander Denisiuk. Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi Gdańsk

Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni

Wprowadzenie do grafiki maszynowej. Wprowadenie do geometrii maszynowej

Krzywe stożkowe. Algebra. Aleksander Denisiuk

Geometria analityczna

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

Prosta i płaszczyzna w przestrzeni

Geometria analityczna

ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,

Elementy geometrii analitycznej w R 3

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

Geometria w R 3. Iloczyn skalarny wektorów

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 6.

Algebra linowa w pigułce

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

1 Geometria analityczna

Zestaw Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach m, n, p jeśli wiadomo, że objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach:

DEFINICJE: Punkt, prosta, płaszczyzna i przestrzeń są pojęciami pierwotnymi przyjmowanymi bez definicji,

Funkcja liniowa i prosta podsumowanie

= [6; 2]. Wyznacz wierzchołki tego równoległoboku.

Geometria analityczna - przykłady

AUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI

R n jako przestrzeń afiniczna

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola

Geometria analityczna

Układy współrzędnych

M10. Własności funkcji liniowej

Iloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X

Układy równań liniowych, macierze, Google

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Grafika komputerowa Wykład 8 Modelowanie obiektów graficznych cz. II

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)

Dwie proste mogą być względem siebie prostopadłe, równoległe albo przecinać się pod kątem innym niż prosty..

WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3

KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami

Blok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x.

Funkcja liniowa -zadania. Funkcja liniowa jest to funkcja postaci y = ax + b dla x R gdzie a, b R oraz

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES

- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe

Skrypt 23. Geometria analityczna. Opracowanie L7

Odległośc w układzie współrzędnych. Środek odcinka.

Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI

PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.

Prosta, płaszczyzna, powierzchnie drugiego. stopnia. stopnia. JJ, IMiF UTP

Wykład z modelowania matematycznego.

Algebra liniowa z geometrią

Elementy geometrii w przestrzeni R 3

1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne

KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI. PRACA KONTROLNA nr 1

Zadania egzaminacyjne

ALGEBRA Tematyka LITERATURA

Matematyka rozszerzona matura 2017

Krzywe stożkowe Lekcja II: Okrąg i jego opis w różnych układach współrzędnych

Aby opisać strukturę krystaliczną, konieczne jest określenie jej części składowych: sieci przestrzennej oraz bazy atomowej.

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:

Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2

- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe

Algebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

O D P O W I E D Z I D O Z A D A Ń T E S T O W Y C H

i = [ 0] j = [ 1] k = [ 0]

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla

(8) Oblicz wyznacznik dowolnie wybranej macierzy stopnia czwartego. (9) Rozwi aż podany układ równań stosuj ac wzory Cramera:

Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

Skrypt 24. Geometria analityczna: Opracowanie L5

Repetytorium z matematyki ćwiczenia

Zad.3. Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek. 14 grudnia 2013

Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011

METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ

KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

Kryteria oceniania z matematyki Klasa III poziom podstawowy

RAMOWY ROZKŁAD MATERIAŁU Z MATEMATYKI DLA KLAS I-III LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO PRZY CKU NR 1

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze

Wykład 5. Komórka elementarna. Sieci Bravais go

Arkusz 4. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni

Transkrypt:

Algebra p. 1/25 Algebra Geometria Analityczna w Przestrzeni Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk

Algebra p. 2/25 Geometria Analityczna w Przestrzeni Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/

Algebra p. 3/25 Afiniczny układ współrzędnych w przestrzeni Wybierzmy dowolny punkt O, poczatek układu Przez ten punkt poprowadźmy trzy niekomplanarne proste: Ox, Oy, Oz, osie współrzędnych Płaszczyzny współrzędnych Oxy, Oxz, Oyz Na osiach wyznaczymy niezerowe wektory: odpowiednio e 1, e 2, e 3 bazę. Dla każdego punktu A wektor OA ma jednoznaczne przedstawienie OX = xe 1 +ye 2 +ze 3 liczby x, y, z współrzędne punktu A układ jest prawym (dodatnim), jeżeli (e 1 e 2 e 3 ) > 0 układ jest lewym (ujemnym), jeżeli (e 1 e 2 e 3 ) < 0 kierunki na osiach, zorientowane zgodnie z wektorami bazy, nazywaja się dodatnimi. Kierunki przeciwne ujemnymi

Algebra p. 4/25 Układ współrzędnych kartezjańskich Układ współrzędnych nazywa się kartezjańskim, jeżeli osie sa wzajemnie prostopadłe wektory e 1, e 2, e 3 sa jednostkowe (maja jednostkowa długość). Dalej w prezentacji prawie zawsze układ będzie prawym kartezjańskim układem Dla wektorów bazy układu kartezjańskiego czasami stosuje się oznaczenia i, j, k

Algebra p. 5/25 Podział odcinka w danym stosunku Dane sa dwa punkty A 1 (x 1,y 1,z 1 ) oraz A 2 (x 2,y 2,z 2 ) Znaleźć punkt A(x,y,z), który dzieli odcinek A 1 A 2 w stosunku λ 1 : λ 2 λ 2A1 A λ 1AA2 = 0 OA = λ 2OA 1 +λ 1OA2 λ 1 +λ 2 x = λ 2x 1 +λ 1 x 2 λ 1 +λ 2, y = λ 2y 1 +λ 1 y 2 λ 1 +λ 2, z = λ 2z 1 +λ 1 z 2 λ 1 +λ 2. wzory sa prawidłowe w każdym układzie

Algebra p. 6/25 Odległość między punktami Dane sa dwa punkty A 1 (x 1,y 1,z 1 ) oraz A 2 (x 2,y 2,z 2 ) A 1 A 2 2 = A 1 A 2 2 = (x 1 x 2 ) 2 +(y 1 y 2 ) 2 +(z 1 z 2 ) 2 wzory sa prawidłowe tylko w układzie kartezjańskim

Algebra p. 7/25 Pole trójkata Dane sa trzy punkty A 1 (x 1,y 1,0), A 2 (x 2,y 2,0) oraz A 3 (x 3,y 3,0) A 1 A 2 A 1 A 3 = x 2 x 1 y 2 y 2 x 3 x 1 y 3 y 1 k P(A 1 A 2 A 3 ) = 1 2 x 2 x 1 y 2 y 2 x 3 x 1 y 3 y 1

Algebra p. 8/25 Objętość czworościanu Dane sa cztery punkty A 1 (x 1,y 1,z 1 ), A 2 (x 2,y 2,z 2 ), A 3 (x 3,y 3,z 3 ) oraz A 4 (x 4,y 4,z 4 ) x 2 x 1 y 2 y 2 z 2 z 1 P(A 1 A 2 A 3 ) = 1 6 x 3 x 1 y 3 y 1 z 2 z 1 x 4 x 1 y 4 y 1 z 4 z 1

Algebra p. 9/25 Równanie powierzchni f(x,y,z) = 0 równanie niejawne x = f 1 (u,v), y = f 2 (u,v), równanie parametryczne z = f 3 (u,v) Sfera (x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2 +(z z 0 ) 2 = R 2 Walec: x = Rcosu y = Rsinu, z = v x 2 +y 2 = R 2

Algebra p. 10/25 Równanie krzywej { f 1 (x,y,z) = 0, f 2 (x,y,z) = 0 x = f 1 (t), y = f 2 (t), z = f 3 (t) Okrag równanie niejawne równanie parametryczne { (x a 1 ) 2 +(y b 1 ) 2 +(z c 1 ) 2 R 2 1 = 0, (x a 2 ) 2 +(y b 2 ) 2 +(z c 2 ) 2 R 2 2 = 0. Punkty przecięcia rozwiazania układów równań

Algebra p. 11/25 Zmiana układu współrzędnych Niech dane będa dwa ogólne układy współrzędnych: (O,e 1,e 2,e 3 ) oraz (O,e 1,e 2,e 3 ) Punkt A ma współrzędne (x,y,z) względem jednego układu oraz (z,y,z ) względem drugiego. Wektory (e 1,e 2,e 3 ) maja jednoznaczne rozłożenie po e 1 = a 11 e 1 +a 12e 2 +a 13e 3, bazie (e 1,e 2,e 3 ): e 2 = a 21 e 1 +a 22e 2 +a 23e 3, e 2 = a 31 e 1 +a 32e 2 +a 33e 3. Punkt O w nowym układzie ma współrzędne (x 0,y 0,z 0 ). x = a 11 x+a 21 y +a 31 z +x 0, Wówczas y = a 12 x+a 22 y +a 32 z +y 0, z = a 13 x+a 23 y +a 33 z +z 0.

Algebra p. 12/25 Zmiana kartezjańskiego układu współrzędnych Jeżeli obydwa układy sa kartezjańskie, to współczynniki a ij spełniaj a warunki a 2 11 +a2 12 +a2 13 = 1, a 11a 21 +a 12 a 22 +a 13 a 23 = 0, a 2 21 +a2 22 +a2 23 = 1, a 11a 31 +a 12 a 32 +a 13 a 33 = 0, a 2 31 +a2 32 +a2 33 = 1, a 21a 31 +a 22 a 32 +a 23 a 33 = 0. I odwrotnie

Algebra p. 13/25 Równanie płaszczyzny Niech dany będzie kartezjański układ współrzędnych. Niech A(x 0,y 0,z 0 ) będzie punktem na płaszczyźnie. Niech n = (n 1,n 2,n 3 ) będzie wektorem, prostopadłym do płaszczyzny Wtedy każdy punkt płaszczyzny spełnia równanie n 1 (x x 0 )+n 2 (y y 0 )+n 3 (z z 0 ) = 0 W każdem układzie współrzędnych równanie płaszczyzny jest liniowe: ax+by +cz +d = 0 Odwrotnie: każde liniowe równanie (a 2 +b 2 +c 2 0) określa płaszczyznę.

Algebra p. 14/25 Położenie względem układu współrzędnych a = b = 0 równoległa do Oxy (zgadza się przy d = 0). b = c = 0 równoległa do Oyz (zgadza się przy d = 0). a = c = 0 równoległa do Oxz (zgadza się przy d = 0). a = 0, b 0, c 0 równoległa do Ox (przechodzi przez Ox przy d = 0). a 0, b = 0, c 0 równoległa do Oy (przechodzi przez Oy przy d = 0). a 0, b 0, c = 0 równoległa do Oz (przechodzi przez Oz przy d = 0). d = 0 przechodzi przez poczatek układu współrzędnych d 0 x α + y β + z γ = 1

Algebra p. 15/25 Równanie normalne płaszczyzny Punkt A 0 (x 0,y 0,z 0 ) należy do płaszczyzny ax 0 +by 0 +cz 0 +d = 0 Niech punkt nie należy do płaszczyzny. Niech A 1 (x 1,y 1,z 1 ) będzie podstawa prostopadłej, poprowadzonej z A 0 na płaszczyznę ax 0 +by 0 +cz 0 +d = a(x 0 x 1 )+b(y 0 y 1 )+c(z 0 z 1 )+d = n A 1 A 0 = ± n δ, n = (a,b,c) jest normala do płaszczyzny δ jest odległościa płaszczyzny od punktu ax 0 +by 0 +cz 0 +d ma znak plus po jednej stronie od płaszczyzny i minus po drugiej δ = ax 0+by 0 +cz 0 +d a2 +b 2 +c 2 Jeśli a 2 +b 2 +c 2 = 1, równanie płaszczyzny nazywa się normalnym

Algebra p. 16/25 Wzjaemne położenie dwóch płaszczyzn Niech dane będa dwie płaszczyzny: a 1 x+b 1 y +c 1 z +d 1 = 0 oraz a 2 x+b 2 y +c 2 z +d 2 = 0 Płaszczyzny sa równoległe (lub się pokrywaja) a 1 a 2 = b 1 b 2 = c 1 c 2 Płaszczyzny sa prostopadłe a 1 a 2 +b 1 b 2 +c 1 c 2 = 0 Niech θ będzie katem między płaszczyznami. Wtedy a cosθ = 1 a 2 +b 1 b 2 +c 1 c 2 a 2 1 +b 2 1+c 2 1 a 2 2 +b 2 2+c 2 2

Algebra p. 17/25 Wzjaemne położenie trzech płaszczyzn Niech dane będa trzy płaszczyzny: a 1 x+b 1 y +c 1 +d 1 = 0, a 2 x+b 2 y +c 2 +d 2 = 0 oraz a 3 x+b 3 y +c 3 +d 3 = 0 Płaszczyzny maja jeden wspólny punkt a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 0 a 3 b 3 c 3 a 1 b 1 c 1 jeżeli a 2 b 2 c 2 = 0, to płaszczyzny sa równowegłe do a 3 b 3 c 3 niektórej prostej.

Algebra p. 18/25 Równanie prostej Prosta jest przecięciem dwóch płaszczyzn { a 1 x+b 1 y +c 1 z +d 1 = 0 a 2 x+b 2 y +c 2 z +d 2 = 0 (1) Niech dany będzie punkt A 0 (x 0,y 0,z 0 ) na prostej, oraz niezerowy wektor e = (k,l,m), równoległy prostej. Wtedy dla dowolnego punktu A(x,y,z) wektory e oraz A 0 A będa równoległe: x x 0 k = y y 0 l = z z 0 m równanie kanoniczne prostej równanie kanoniczne jest szczególowym przypadkiem równania 1 równanie kanoniczne nie jest określono jednoznacznie Równanie prostej ma taka postać w dowolnym afinicznym układzie współrzędnych

Algebra p. 19/25 Równanie parametryczne prostej x x 0 k = y y 0 l = z z 0 m x = x 0 +kt, y = y 0 +lt, z = z 0 +mt.

Algebra p. 20/25 Położenie prostej względem układu współrzędnych x = x 0 +kt, y = y 0 +lt, z = z 0 +mt. k = 0 równoległa do płaszczyzny Oyz l = 0 równoległa do płaszczyzny Oxz m = 0 równoległa do płaszczyzny Oxy k = l = 0 równoległa do Osi Oz k = m = 0 równoległa do Osi Oy l = m = 0 równoległa do Osi Ox

Algebra p. 21/25 Wzajemne położenie prostej i płaszczyzny ax+by +cz +d = 0 x x 0 k = y y 0 l = z z 0 m równoległe ak +bl+cm = 0 jeżeli ponadto ax 0 +by 0 +cz 0 +d = 0, to prosta leży na płaszczyźnie prostopadłe a k = b l = c m { a 1 x+b 2 y +c 1 z +d 1 = 0, a 2 x+b 2 y +c 2 z +d 2 = 0, k = b 1 c 1 b 2 c 2, l = a 1 c 1 a 2 c 2, m = a 1 b 1 a 2 b 2.

Algebra p. 22/25 Wzajemne położenie dwóch prostych x x 0 k = y y 0 l = z z 0 m x x 0 k = y y 0 l = z z 0 m równoległe k k = l l jeżeli ponadto x 0 x 0 pokrywaja = m m k = y 0 y 0 l = z 0 z 0 m prostopadłe kk +ll +mm = 0 kat między prostymi:, to proste się cosθ = kk +ll +mm k 2 +l 2 +m 2 k 2 +l 2 +m 2

Algebra p. 23/25 Podstawowe zadania na prosta i płasczyznę Płaszczyzna przechodzaca przez punkt (x 0,y 0,z 0 ): a(x x 0 )+b(y y 0 )+c(z z 0 ) = 0 Prosta przechodzaca przez punkt (x 0,y 0,z 0 ): x x 0 k = y y 0 l = z z 0 m Prosta przechodzaca przez dwa punkty (x 0,y 0,z 0 ) x x oraz (x 1,y 1,z 1 ): 0 x 1 x 0 = y y 0 y 1 y 0 = z z 0 z 1 z 0 Płaszczyzna przechodzaca przez trzy punkty (x 0,y 0,z 0 ), (x 1,y 1,z 1 ) oraz (x 2,y 2,z 2 ): x x 0 y y 0 z z 0 x 1 x 0 y 1 y 0 z 1 z 0 = 0 x 2 x 0 y 2 y 0 z 2 z 0

Algebra p. 24/25 Podstawowe zadania na prosta i płasczyznę, cd Płaszczyzna przechodzaca przez punkt (x 0,y 0,z 0 ) i równoległa do danej płaszczyzny ax + by + cz + d = 0: a(x x 0 )+b(y y 0 )+c(z z 0 ) = 0 Prosta przechodzaca przez punkt (x 0,y 0,z 0 ) i równoległa do danej prostej x x 0 k = y y 0 l = z z 0 m : x x 0 k = y y 0 l = z z 0 m Prosta przechodzaca przez punkt (x 0,y 0,z 0 ) i prostopadła do danej płaszczyzny ax+by +c+d = 0: x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c Płaszczyzna przechodzaca punkt (x 0,y 0,z 0 ) i prostopadła do danej prostej x x 0 k = y y 0 l = z z 0 m : k(x x 0 )+l(y y 0 )+m(z z 0 ) = 0

Algebra p. 25/25 Płaszczyzna rónoległa do dwóch prostych Płaszczyzna przechodzaca przez punkt (x 0,y 0,z 0 ) i równoległa do danych prostych x x 0 x x 0 k 2 = y y 0 l 2 = z z 0 m 2 : k 1 = y y 0 l 1 = z z 0 m 1 oraz l 1 m 1 (x x 0 ) l 2 m 2 (y y k 1 m 1 0) k 2 m 2 +(z z k 1 l 1 0) k 2 l 2 = 0 czyli x x 0 y y 0 z z 0 k 1 l 1 m 1 k 2 l 2 m 2 = 0