Wydział Elektroniki i Technik Informacyjnych PW Algebra liniowa - konspekt wykładu

Wydział Elektroniki i Technik Informacyjnych PW Algebra liniowa - konspekt wykładu Anna Zamojska-Dzienio Spis treści 1 Liczby zespolone 4 11 Postać kanoniczna liczby zespolonej 4 12 Interpretacja geometryczna liczby zespolonej 5 13 Postać trygonometryczna liczby zespolonej 5 14 Pierwiastkowanie liczb zespolonych 6 15 Pierwiastki z jedynki 7 16 Ciała liczbowe 7 17 Wielomiany 7 18 Funkcje wymierne i ułamki proste 9 2 Przestrzenie liniowe 11 21 Podstawowe własności 11 22 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 12 3 Przekształcenia liniowe 14 31 Jądro i obraz przekształcenia liniowego 14 32 Macierze 16 33 Iloczyn macierzy 17 34 Własności działań na macierzach 17 35 Macierz zmiany bazy 18 36 Wyznaczniki 18 37 Macierz odwrotna 21 4 Układy równań liniowych 23 41 Pojęcia wstępne 23 42 Układy Cramera 23 43 Rząd macierzy 24 44 Twierdzenie Kroneckera-Capellego 25 45 Rozwiązywanie układów równań liniowych 26 5 Liniowa geometria analityczna w R 3 28 1

SPIS TREŚCI 2 6 Macierz w postaci kanonicznej Jordana 31 61 Wyznaczanie wektorów własnych odpowiadających wartości własnej λ 0 32 62 Wektory dołączone 33 63 Wielomiany macierzy 35 7 Przestrzeń euklidesowa 38

SPIS TREŚCI 3 Pojęcia wstępne Oznaczenia zbiorów N - zbiór liczb naturalnych Z - zbiór liczb całkowitych Q - zbiór liczb wymiernych R - zbiór liczb rzeczywistych Definicja 01 Iloczynem kartezjańskim zbiorów X i Y (ozn X Y ) nazywamy zbiór: {, gdy X = lub Y = X Y := {(x, y) : x X, y Y }, gdy X i Y Definicja 02 Działaniem dwuargumentowym w zbiorze X (krótko: działaniem) nazywamy każdą funkcję : X X X Oznaczenie: x y := (x, y) Definicja 03 Działanie w zbiorze X jest łączne, jeśli x, y, z X (x y) z = x (y z) przemienne, jeśli x, y X x y = y x Definicja 04 Element e X jest elementem neutralnym działania, jeśli x X x e = e x = x Definicja 05 Niech e będzie elementem neutralnym działania w zbiorze X Element y X jest elementem odwrotnym do elementu x X (w sensie działania ), jeśli x y = y x = e Definicja 06 Parę (G, ) nazywamy grupą, jeśli jest działaniem w zbiorze G oraz 1 działanie jest łączne, 2 istnieje element neutralny działania, 3 dla każdego x G istnieje element odwrotny Uwaga Jeśli działanie jest przemienne, to grupę (G, ) nazywamy grupą przemienną

1 LICZBY ZESPOLONE 4 1 Liczby zespolone Niech C := {(x, y) : x, y R} Definiujemy w tym zbiorze następujące działania: mnożenie przez liczby rzeczywiste: dodawanie: mnożenie: α (x, y) := (αx, αy) := (x, y) α, α R (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) := (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) := (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ) Działania i są przemienne i łączne Liczba (0, 0) jest elementem neutralnym działania Liczba (1, 0) jest elementem neutralnym działania (x, y) = x(1, 0) + (0, 1)y (0, 1) 2 = (1, 0) Oznaczenia (1, 0) = 1, (0, 1) = j, gdzie j 2 = 1, j nazywamy jednostką urojoną 11 Postać kanoniczna liczby zespolonej z = x + j y x - część rzeczywista liczby zespolonej z, ozn x =Re z y - część urojona liczby zespolonej z, ozn y =Im z Uwaga Liczby zespolone z 1 i z 2 są równe wtedy i tylko wtedy, gdy (Re z 1 =Re z 2 i Im z 1 =Im z 2 ) Uwaga Niech z 1 = x 1 + jy 1, z 2 = x 2 + jy 2 Wtedy z 1 + z 2 = (x 1 + x 2 ) + j(y 1 + y 2 ) z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + j(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) Definicja 11 Liczbą sprzężoną z liczbą zespoloną z = x + jy nazywamy liczbę z = x jy Uwaga z 1 + z 2 = z 1 + z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 Dzielenie liczb zespolonych: z 1 z 2 = z 1 z 2 z 2 z 2, dla z 2 0

1 LICZBY ZESPOLONE 5 12 Interpretacja geometryczna liczby zespolonej Imz y (x, y) x + jy x Rez Definicja 12 Liczbę rzeczywistą x 2 + y 2 nazywamy modułem liczby zespolonej z = x + jy i oznaczamy przez z Uwaga Na płaszczyźnie zespolonej: z - odległość punktu z od początku układu O z 1 z 2 - odległość punktów z 1 i z 2 1 z = 0 z = 0 Własności modułu 2 z 1 + z 2 z 1 + z 2 (nierówność trójkąta) 3 z 1 z 2 = z 1 z 2 4 z 1 z 2 = z 1 z 2, dla z 2 0 5 z 2 = z z 6 z = z 13 Postać trygonometryczna liczby zespolonej Imz y z = x + jy z φ x Rez Twierdzenie 13 Dla każdej liczby zespolonej z = x + jy, z 0, istnieje dokładnie jedna liczba φ ( π; π, taka że cos φ = x z i sin φ = y z Liczbę φ nazywamy argumentem głównym liczby zespolonej z, ozn φ = arg z

1 LICZBY ZESPOLONE 6 Każdą liczbę zespoloną z 0 można przedstawić w postaci trygonometrycznej: z = z (cos β + j sin β), gdzie β R Jeśli φ = arg z, to β = φ + 2kπ, gdzie k Z Liczbę β nazywamy argumentem liczby z, ozn β = Argz Uwaga Liczba z = 0 nie posiada argumentu Uwaga arg z = arg z Uwaga Jeśli z 1 = z 1 (cos φ 1 + j sin φ 1 ), z 2 = z 2 (cos φ 2 + j sin φ 2 ), to: z 1 z 2 = z 1 z 2 (cos(φ 1 + φ 2 ) + j sin(φ 1 + φ 2 )) z 1 = z 1 z 2 z 2 (cos(φ 1 φ 2 ) + j sin(φ 1 φ 2 )) Wzór Moivre a: z n = z n (cos nφ + j sin nφ) W szczególności: (cosφ + j sin φ) n = cos nφ + j sin nφ Wzory Eulera: e x+jy := e x e jy e jy := cos y + j sin y Postać wykładnicza liczby zespolonej z = z e jφ 14 Pierwiastkowanie liczb zespolonych Definicja 14 Liczbę zespoloną w nazywamy pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby zespolonej z, jeśli w n = z z = 0 - jedynym pierwiastkiem stopnia n z 0 jest 0 Twierdzenie 15 Dla dowolnej liczby zespolonej z = z (cos φ+j sin φ) i n > 1 istnieje dokładnie n pierwiastków n-tego stopnia z liczby z i wyrażają się one wzorami: w k = n z (cos φ + 2kπ n + j sin φ + 2kπ ), k = 0, 1, n 1 n w 0 = n z (cos φ n + j sin φ n ) - pierwiastek główny z liczby z Uwaga Wszystkie pierwiastki n-tego stopnia z liczby z 0 leżą na okręgu o środku w punkcie (0, 0) i promieniu n z Dzielą one łuk okręgu na n równych części

1 LICZBY ZESPOLONE 7 Uwaga Jeżeli z = a + bj, to pierwiastki drugiego stopnia z liczby z wyrażają się wzorami: a2 a2 + b 2 + a + b 2 a ± ± j 2 gdzie znaki są zgodne, gdy b > 0, a przeciwne gdy b < 0 2, 15 Pierwiastki z jedynki z = 1 w k = cos 2kπ 2kπ n + j sin n, k = 0, 1, n 1 Uwaga Zbiór pierwiastków n-tego stopnia z 1 tworzy grupę ze względu na mnożenie Uwaga Suma wszystkich pierwiastków stopnia n z liczby 1 jest równa 0, dla każdego n 16 Ciała liczbowe Definicja 16 Trójkę (K, +, ), gdzie K jest zbiorem o co najmniej dwóch elementach, a + oraz - działaniami w K, nazywamy ciałem, jeśli 1 (K, +) jest grupą przemienną 2 (K {0}, ) jest grupą przemienną (0 - element neutralny +) 3 x, y, z K x (y + z) = x y + x z (mnożenie jest rozdzielne względem dodawania) Jeśli elementami zbioru K są liczby, to ciało (K, +, ) nazywamy ciałem liczbowym 17 Wielomiany Definicja 17 Wielomianem o współczynnikach z ciała K będziemy nazywać każdą funkcję f : K K określoną wzorem: gdzie a n 0, a 0, a 1, a n K, n N f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n, Liczbę n nazywamy stopniem wielomianu f i oznaczamy stf, n = 0, 1, Wielomiany stopnia 0 (zerowego) to stałe z ciała K Wielomian zerowy: f(x) 0, przyjmujemy dodatkowo, że st0 = Oznaczenie K[x] - zbiór wielomianów o współczynnikach z ciała K

1 LICZBY ZESPOLONE 8 W K[x] definiujemy działania dodawania wielomianów (w zwykły sposób) i mnożenia wielomianów (w zwykły sposób) st(f + g) = max(stf, stg) st(f g) = stf + stg Definicja 18 Wielomian f K[x] jest rozkładalny w K[x], jeśli istnieją wielomiany g, h K[x], stg > 0 i sth > 0, takie że f = g h Wielomian f K[x] jest nierozkładalny w K[x], jeśli g, h K[x] f = g h stg = 0 sth = 0 W zbiorze K[x] jest wykonalne dzielenie z resztą, tzn (f, g K[x], stf stg) p, r K[x] f = p g + r, str < stg W szczególności: g(x) = x a f(x) = p(x) (x a) + r, r K, f(a) = r (tw Bézouta) Twierdzenie 19 (Zasadnicze twierdzenie algebry) Każdy wielomian f C[x], stf 1 ma pierwiastek w C Wniosek 110 Każdy wielomian f C[x] można rozłożyć na iloczyn wielomianów pierwszego stopnia (niekoniecznie różnych): gdzie x i x j dla i j, k i N k i - krotność pierwiastka x i k 1 + + k m = n = stf f(x) = a n (x x 1 ) k1 (x x m ) km, Twierdzenie 111 Jeżeli wszystkie współczynniki wielomianu f C[x] są liczbami rzeczywistymi i f(z 0 ) = 0 dla pewnego z 0 C, to f(z 0 ) = 0 Uwaga W C[x] jedyne wielomiany nierozkładalne to wielomiany stopnia pierwszego W R[x] wielomiany nierozkładalne to wielomiany stopnia pierwszego oraz wielomiany stopnia drugiego, dla których < 0 Uwaga W dziedzinie zespolonej wzory na pierwiastki równania kwadratowego pozostają prawdziwe Uwaga (x z 0 ) (x z 0 ) = (x 2 2Rez 0 x + z 0 2 ) R[x]

1 LICZBY ZESPOLONE 9 18 Funkcje wymierne i ułamki proste Definicja 112 Funkcją wymierną względem ciała K nazywamy funkcję postaci f(x), gdzie f, g K[x], st g > 0 g(x) Funkcję wymierną nazywamy właściwą, jeśli st f < st g Uwaga Dowolną funkcję wymierną można przedstawić jako sumę wielomianu i funkcji wymiernej właściwej: f(x) p(x) g(x) + r(x) = g(x) g(x) = p(x) + r(x), st r < st g g(x) Definicja 113 Funkcję wymierną właściwą względem ciała K nazywamy ułamkiem prostym względem K, gdy jest postaci: f(x), st f < st h, k N, h(x) - wielomian nierozkładalny w K[x] (h(x)) k Ułamki proste względem ciała C: Ułamki proste względem ciała R: 1 pierwszego rodzaju: 2 drugiego rodzaju: A (x z 0 ) k, A, z 0 C A (x a) k, A, a R Ax + B (x 2 + px + q) k, A, B, p, q R, p2 4q < 0 Twierdzenie 114 Każdą funkcję wymierną właściwą można przedstawić jako sumę ułamków prostych i rozkład ten jest jednoznaczny Uwaga Jeżeli w mianowniku funkcji wymiernej występuje czynnik (x a) k, k > 1, to w poszukiwanym rozkładzie odpowiada mu suma składników: A 1 x a + A 2 (x a) 2 + + A k (x a) k Jeżeli w mianowniku funkcji wymiernej występuje czynnik (x 2 +px+q) k, k > 1, to w poszukiwanym rozkładzie odpowiada mu suma składników: A 1 x + B 1 x 2 + px + q + A 2x + B 2 (x 2 + px + q) 2 + + A kx + B k (x 2 + px + q) k Metoda współczynników nieoznaczonych 1 Piszemy rozkład na sumę ułamków prostych przy czym liczniki ułamków są nieoznaczone (nieznane współczynniki, niewiadome)

1 LICZBY ZESPOLONE 10 2 Sprowadzamy wszystkie ułamki do wspólnego mianownika i dodajemy je 3 Licznik powstałego w ten sposób ułamka (z niewiadomymi współczynnikami) przyrównujemy do licznika rozkładanego ułamka współczynniki przy odpowiednich potęgach muszą być równe 4 Rozwiązujemy powstały układ równań Uwaga W szczególnym przypadku, gdy mamy rozkład f(x) g(x) = A 1 + A 2 + + A k, x a 1 x a 2 x a k to f(x) = A 1 (x a 2 ) (x a k ) + A 2 (x a 1 )(x a 3 ) (x a k ) + + A k (x a 1 ) (x a k 1 ) Wstawiając do f(x) kolejne wartości a i otrzymujemy A 1,, A k

2 PRZESTRZENIE LINIOWE 11 2 Przestrzenie liniowe 21 Podstawowe własności Definicja 21 Niech K, V będą zbiorami niepustymi Funkcję φ : K V V nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze V nad zbiorem K Oznaczenie φ(a, x) = a x = ax, gdzie a K, x V Definicja 22 Grupę przemienną (V, +) nazywamy przestrzenią liniową (wektorową) nad ciałem K, jeśli w zbiorze V jest określone działanie zewnętrzne nad K spełniające dla dowolnych a, b K i dla dowolnych X, Y V następujące warunki: 1 a (X + Y ) = a X + a Y 2 (a + b) X = a X + b X 3 (a b) X = a (b X) 4 1 X = X Elementy zbioru V nazywamy wektorami, element neutralny w grupie (V, +) - wektorem zerowym, ozn O Elementy ciała K nazywamy skalarami Działanie zewnętrzne nazywamy mnożeniem wektorów przez skalar Oznaczenie Element przeciwny do X V ozn X, różnica wektorów X Y := X + ( Y ) Definicja 23 Podzbiór W V, gdzie (V, +) jest przestrzenią liniową nad K, nazywamy podprzestrzenią liniową przestrzeni V, jeśli (W, + W ) jest przestrzenią liniową nad K Uwaga W V, (V, +) - przestrzeń liniowa nad K, W jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V 1 X, Y W X + Y W 2 a K X W a X W lub równoważnie: a K X, Y W X + a Y W Kombinacje liniowe wektorów Niech (V, +) - przestrzeń liniowa nad ciałem K Niech α 1, α 2,, α k K, v 1, v 2,, v k V Definicja 24 Wektor α 1 v 1 + α 2 v 2 + + α k v k nazywamy kombinacją liniową wektorów v 1, v 2,, v k o współczynnikach α 1, α 2,, α k

2 PRZESTRZENIE LINIOWE 12 Zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów v 1, v 2,, v k oznaczamy przez Lin(v 1, v 2,, v k ) := {α 1 v 1 + α 2 v 2 + + α k v k : α 1,, α k K} Uwaga Dla dowolnego układu wektorów v 1, v 2,, v k V zbiór Lin(v 1, v 2,, v k ) jest podprzestrzenią liniową przestrzeni (V, +) Nazywamy ją podprzestrzenią rozpiętą na wektorach v 1, v 2,, v k lub podprzestrzenią generowaną przez układ wektorów v 1, v 2,, v k 22 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Niech (V, +) - przestrzeń liniowa nad ciałem K Niech α 1, α 2,, α k K, v 1, v 2,, v k V V jest li- Definicja 25 Skończony niepusty układ wektorów v 1, v 2,, v k niowo niezależny (ozn lnz), jeśli spełniony jest warunek: α 1,, α k K α 1 v 1 +α 2 v 2 + +α k v k = O α 1 = α 2 = = α k = 0 Układ wektorów jest liniowo zależny (ozn lz), jeśli nie jest liniowo niezależny Uwaga Układ wektorów v 1, v 2,, v k V jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z wektorów v i można zapisać jako kombinację liniową pozostałych Uwaga Jeżeli układ wektorów v 1, v 2,, v k V jest liniowo niezależny, to układ wektorów v i1, v i2,, v ik, gdzie 1 i 1 < i 2 < < i j k, jest liniowo niezależny Definicja 26 Układ wektorów B = (v 1, v 2,, v k ) nazywamy bazą (skończoną) przestrzeni V, jeśli 1 układ (v 1, v 2,, v k ) jest liniowo niezależny, 2 Lin(v 1, v 2,, v k ) = V Uwaga Każda przestrzeń liniowa ma bazę (niekoniecznie złożoną ze skończonej liczby wektorów) Nas będą interesowały tylko bazy skończone Twierdzenie 27 Dla dowolnego układu wektorów B = (v 1, v 2,, v k ) przestrzeni V nad ciałem K, następujące warunki są równoważne: 1 B jest bazą 2 B jest maksymalnym układem liniowo niezależnym 3 każdy wektor v V ma jednoznaczne przedstawienie w postaci gdzie α i K, i = 1,, k v = α 1 v 1 + + α k v k,

2 PRZESTRZENIE LINIOWE 13 Uwaga Jeżeli przestrzeń liniowa V nad ciałem K ma skończoną bazę liczącą n wektorów, to każda baza tej przestrzeni liczy n wektorów Definicja 28 Liczbę elementów bazy B przestrzeni liniowej V nad ciałem K nazywamy wymiarem przestrzeni V i oznaczamy przez dimv Jeżeli przestrzeń liniowa V nie ma skończonej bazy, to przyjmujemy dimv = Uwaga dim{o} = 0 Twierdzenie 29 Jeżeli W jest podprzestrzenią liniową skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej V, to 1 dimw dimv 2 dimw =dimv W = V Definicja 210 Niech B = (v 1, v 2,, v k ) będzie bazą przestrzeni liniowej V nad ciałem K i niech v V Skalary α 1, α 2,, α k K nazywamy współrzędnymi wektora v w bazie B, gdy v = α 1 v 1 + α 2 v 2 + + α k v k Oznaczenie v = (α 1, α 2,, α k ) B Uwaga Współrzędne wektora v w bazie B są wyznaczone jednoznacznie Definicja 211 Dla przestrzeni liniowej K n nad ciałem K określamy bazę kanoniczną jako układ E = (e 1, e 2,, e n ), gdzie e 1 = (1, 0,, 0), e 2 = (0, 1, 0,, 0),, e n = (0, 0,, 0, 1)

3 PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE 14 3 Przekształcenia liniowe 31 Jądro i obraz przekształcenia liniowego Niech (V, +), (W, ) będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem K Definicja 31 Przekształcenie φ : V W nazywamy przekształceniem liniowym, jeśli spełnione są warunki: 1 u, v V φ(u + v) = φ(u) φ(v) 2 α K v V φ(α V v) = α W φ(v) Uwaga Superpozycja przekształceń liniowych jest przekształceniem liniowym Własności przekształceń liniowych (V, +), (W, ) - przestrzenie liniowe nad tym samym ciałem K, φ : V W - przekształcenie liniowe 1 α 1,, α n K v 1,, v n V φ(α 1 v 1 + + α n v n ) = α 1 φ(v 1 ) α n φ(v n ) 2 φ(o V ) = O W, gdzie O V, O W - wektory zerowe odpowiednich przestrzeni 3 φ( v) = φ(v) Uwaga Jeżeli w = α 1 v 1 + + α n v n, α i K, v i V, dla i = 1,, n i układ wektorów {v 1,, v n } jest lnz, to α i są wyznaczone jednoznacznie, czyli α 1 v 1 + + α n v n = β 1 v 1 + + β n v n α i = β i, i = 1,, n Twierdzenie 32 Jeżeli dimv = n i {v 1,, v n } - baza V, to dla każdej przestrzeni liniowej W i wektorów w 1,, w n W istnieje dokładnie jedno przekształcenie liniowe φ : V W, takie że φ(v i ) = w i dla i = 1,, n Wniosek 33 Jeżeli dimv = n i {v 1,, v n } - baza V oraz istnieją przekształcenia liniowe φ : V W, ψ : V W, takie że φ(v i ) = ψ(v i ) dla każdego i = 1,, n, to φ = ψ 4 Jeżeli V 1 jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V i φ : V W - przekształcenie liniowe, to φ(v 1 ) = {φ(v) : v V 1 } jest podprzestrzenią liniową przestrzeni W 5 Jeżeli W 1 jest podprzestrzenią liniową przestrzeni W, to φ 1 (W 1 ) = {v V : φ(v) W 1 } jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V W szczególności:

3 PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE 15 (a) {O W } - podprzestrzeń liniowa przestrzeni W, stąd φ 1 ({O W }) = {v V : φ(v) = O W } jest podprzestrzenią przestrzeni V, nazywamy ją jądrem przekształcenia liniowego φ, ozn ker φ (b) φ(v ) = {φ(v) : v V } jest podprzestrzenią przestrzeni W, nazywamy ją obrazem przekształcenia liniowego φ, ozn Imφ Uwaga Niech φ : V W przekształcenie liniowe Jeśli φ(v 1 ) = φ(v 2 ) dla v 1, v 2 V, to v 1 v 2 ker φ Uwaga O V ker φ dla dowolnego przekształcenia liniowego φ : V W Twierdzenie 34 Przekształcenie liniowe φ : V W jest różnowartościowe wtedy i tylko wtedy, gdy ker φ = {O V } Twierdzenie 35 Jeżeli φ : V W jest przekształceniem liniowym, dimv <, to dimv = dim ker φ + dimimφ Definicja 36 Liczbę dimimφ nazywamy rzędem przekształcenia φ i oznaczamy r(φ) Definicja 37 Przekształcenie liniowe różnowartościowe nazywamy przekształceniem nieosobliwym Wniosek 38 Przekształcenie liniowe φ : V W jest nieosobliwe ker φ = {O V } r(φ) = dimv Definicja 39 Przekształcenie liniowe nieosobliwe φ : V W nazywamy izomorfizmem, jeśli jest na, tzn Imφ = W V i W nazywamy wtedy przestrzeniami izomorficznymi Uwaga Jeżeli przestrzenie liniowe V i W są izomorficzne, to dimv =dimw (Jeśli φ : V W - izomorfizm przestrzeni liniowych i {v 1,, v n } - baza przestrzeni V, to {φ(v 1 ),, φ(v n )} - baza przestrzeni W ) Uwaga Jeżeli dimv =dimw < (przestrzenie skończonego wymiaru), to dla każdego przekształcenia liniowego φ : V W następujące warunki są równoważne: 1 φ jest nieosobliwe, 2 φ jest izomorfizmem Twierdzenie 310 Każda przestrzeń liniowa wymiaru n nad ciałem K jest izomorficzna z przestrzenią K n

3 PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE 16 32 Macierze Niech V, W - przestrzenie liniowe skończonego wymiaru nad tym samym ciałem K {v 1,, v n } - baza V, {w 1,, w m } - baza W φ : V W - dowolne przekształcenie liniowe, jest ono wyznaczone (jednoznacznie) przez φ(v 1 ),, φ(v n ) Każdy z wektorów φ(v i ) W jest kombinacją liniową wektorów z bazy W : φ(v 1 ) = a 11 w 1 a 21 w 2 a m1 w m φ(v 2 ) = a 12 w 1 a 22 w 2 a m2 w m φ(v n ) = a 1n w 1 a 2n w 2 a mn w m Ze współczynników a ij tworzymy tablicę prostokatną o m wierszach i n kolumnach: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Nazywamy ją macierzą przekształcenia φ w bazach A = {v 1,, v n } i B = {w 1,, w m }, ozn MB A(φ) Kolumny macierzy M B A (φ) są złożone ze współrzędnych wektorów φ(v i ) w bazie B Definicja 311 Macierzą o m wierszach i n kolumnach o elementach z ciała K nazywamy funkcję A : {1,, m} {1,, n} K, (i, j) a ij Oznaczenie Macierz wymiaru m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] m n = [a ij ] i = 1,, m a m1 a m2 a mn j = 1,, n Jeśli m = n, to A macierz kwadratowa stopnia n Macierz zerowa: a ij = 0, i = 1,, m j = 1,, n Określamy działania na macierzach tak, aby odpowiadały działaniom na przekształceniach liniowych Definicja 312 Sumą macierzy A = [a ij ] m n i B = [b ij ] m n nazywamy macierz A + B = [a ij + b ij ] m n

3 PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE 17 Definicja 313 Iloczynem macierzy A = [a ij ] m n nazywamy macierz α A = [α a ij ] m n przez element α K Uwaga Zbiór macierzy wymiaru m n o elementach z ciała K (ozn M m n (K)) z dodawaniem i mnożeniem przez skalar zdefiniowanymi jak wyżej jest przestrzenią liniową nad ciałem K 33 Iloczyn macierzy Mnożenie macierzy definiujemy tak, aby było zgodne z superpozycją przekształceń liniowych Definicja 314 Iloczynem macierzy B = [b ij ] p m i A = [a ij ] m n nazywamy macierz m C = B A = [c ij ] p n, c ij = b ik a kj Uwaga Elementy i-tego wiersza macierzy B mnożymy odpowiednio przez elementy j-tej kolumny macierzy A i dodajemy do siebie - dostajemy element c ij Uwaga Iloczyn B A jest określony, gdy macierz B ma tyle kolumn, ile wierszy ma macierz A Niech V, W, U - skończenie wymiarowe przestrzenie liniowe nad ciałem K, niech φ : V W, ψ : W U - przekształcenia liniowe Wtedy ψ φ : V U też jest przekształceniem liniowym i zachodzi: k=1 M A C (ψ φ) = M B C (ψ) M A B (φ), gdzie A - baza V, B - baza W, C - baza U 34 Własności działań na macierzach Zakładamy, że macierze A, B, C są takie, że działania są określone 1 A + B = B + A 2 (A + B) + C = A + (B + C) 3 (A B) C = A (B C) 4 A (B + C) = A B + A C, (B + C) A = B A + C A 5 α (B + C) = α B + α C, α K 6 mnożenie macierzy nie jest przemienne tzn istnieją macierze A i B takie, że A B B A

3 PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE 18 { 1, i = j; Macierz jednostkowa stopnia n: E n = [e ij ] n n, e ij = 0, i j E n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy (dla wszystkich macierzy, dla których to mnożenie jest określone) Twierdzenie 315 Niech φ : V W - przekształcenie liniowe, A - baza V, B - baza W Niech v V, w W Wtedy φ(v) = w M A B (φ) v A = w B Oznaczenie v A - wektor v z V zapisany w bazie A 35 Macierz zmiany bazy Uwaga Nazewnictwo jak w podręczniku Algebra dla studentów JKlukowskiego i I Nabiałka Niech id : V V - przekształcenie (liniowe) identycznościowe, A, B - bazy przestrzeni liniowej V Wtedy macierz MA B (id) nazywamy macierzą przejścia od bazy A do bazy B (lub macierzą zmiany bazy z A na B) Czyli wektory z bazy B wyrażamy przez wektory z bazy A Uwaga M B A (id) v B = v A Uwaga id W φ id V V id V V φ W id W W A 2 A 1 B 1 B 2 M A2 B 2 (φ) = M B1 B 2 (id W ) M A1 B 1 (φ) M A2 A 1 (id V ) 36 Wyznaczniki Definicja 316 Dowolną funkcję różnowartościową σ : {1, 2,, n} {1, 2,, n} nazywamy permutacją zbioru {1, 2,, n} Oznaczenie σ = ( 1 2 n σ(1) σ(2) σ(n) Uwaga Dla zbioru n-elementowego istnieje dokładnie n! permutacji Zbiór permutacji zbioru n-elementowego oznaczamy przez S n ) Definicja 317 Permutacja σ tworzy inwersję elementów k, m, gdy k < m i σ(k) > σ(m)

3 PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE 19 Permutacja identycznościowa: σ(k) = k k = 1, 2,, n Jest to jedyna permutacja, która nie tworzy żadnej inwersji Definicja 318 Permutację nazywamy parzystą, gdy jest identycznością lub tworzy parzystą liczbę inwersji, a nieparzystą, gdy tworzy nieparzystą liczbę inwersji { 1, σ - parzysta; Znak permutacji: sgnσ = 1, σ - nieparzysta Dla każdego n N, n 2 mamy 1 2 n! permutacji parzystych i 1 2n! permutacji nieparzystych Definicja 319 Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A = [a ij ] n n, a ij K, nazywamy element ciała K zdefiniowany następująco σ S n sgnσ a 1σ(1) a 2σ(2) a nσ(n) Oznaczenie det A, A, a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn Uwaga Suma w wyznaczniku składa się z n! składników, połowa jest ze znakiem +, połowa ze znakiem Każdy iloczyn składa się z n czynników, po jednym z każdego wiersza i z każdej kolumny Dodatkowo przyjmuje się, że dla n = 1, A = [a], det A = a 1 n = 2 a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 2 n = 3 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 Metoda Sarrusa - NIE działa dla macierzy kwadratowych stopnia innego niż 3 Definicja 320 Dopełnieniem algebraicznym elementu a ij macierzy kwadratowej A = [a ij ] n n nazywamy liczbę (element ciała) A ij = ( 1) i+j det M ij, gdzie M ij jest macierzą powstałą z A przez wykreślenie i-tego wiersza oraz j-tej kolumny

3 PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE 20 Twierdzenie 321 (Laplace a) Dla dowolnej macierzy kwadratowej stopnia n zachodzi: det A = a i1 A i1 + a i2 A i2 + + a in A in, i = 1, 2,, n (rozwinięcie względem i-tego wiersza), det A = a 1j A 1j +a 2j A 2j + +a nj A nj, j = 1, 2,, n (rozwinięcie względem j-tej kolumny) Własności wyznaczników dla kolumn (dla wierszy analogicznie) 1 λ K, a 11 λ a 1j a 1n a 21 λ a 2j a 2n a n1 λ a nj a nn = λ a 11 a 1j a 1n a 21 a 2j a 2n a n1 a nj a nn 2 Jeżeli macierz zawiera kolumnę samych zer, to jej wyznacznik jest równy zero 3 Jeżeli zamienimy ze sobą miejscami dwie kolumny, to zmieni się znak wyznacznika na przeciwny 4 Jeżeli macierz ma dwie takie same kolumny, to jej wyznacznik jest równy zero 5 Jeżeli macierz ma dwie proporcjonalne kolumny, to jej wyznacznik jest równy zero 6 a 11 a 1j + b 1j a 1n a 21 a 2j + b 2j a 2n a n1 a nj + b nj a nn = a 11 a 1j a 1n a 21 a 2j a 2n a n1 a nj a nn + a 11 b 1j a 1n a 21 b 2j a 2n a n1 b nj a nn 7 Jeżeli do ustalonej kolumny macierzy dodamy kombinację liniową jej innych kolumn, to wyznacznik się nie zmieni Definicja 322 Macierzą transponowaną macierzy A = [a ij ] m n nazywamy macierz A T = [b ij ] n m, gdzie b ij = a ji Uwaga Macierz transponowana A T jest to macierz, której kolumnami są wiersze macierzy A, natomiast wierszami - kolumny macierzy A Twierdzenie 323 Dla dowolnej macierzy kwadratowej A det A = det A T

3 PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE 21 Twierdzenie 324 (Cauchy ego) Dla dowolnych macierzy kwadratowych A, B stopnia n det (A B) = det A det B Definicja 325 Macierz kwadratową A nazywamy macierzą nieosobliwą, gdy det A 0 W przeciwnym wypadku A nazywamy macierzą osobliwą 37 Macierz odwrotna Definicja 326 Niech A M n n (K) Macierzą odwrotną do macierzy A nazywamy taką macierz B M n n (K), że A B = B A = E n Uwaga Macierz odwrotna do A, jeśli istnieje, jest wyznaczona jednoznacznie Oznaczamy ją przez A 1 Uwaga (A 1 ) 1 = A Definicja 327 Macierzą dołączoną macierzy A = [a ij ] n n nazywamy macierz [A ij ] T n n Uwaga Macierz dołączoną macierzy A oznaczamy przez A D Jest to transponowana macierz dopełnień algebraicznych Uwaga Dla dowolnej macierzy kwadratowej A zachodzi A A D = A D A = (det A) E Twierdzenie 328 Jeżeli det A 0, to macierz odwrotna do A istnieje i Uwaga det (A 1 ) = 1 det A Odwracanie macierzy - sposób drugi Niech A M n n (K), det A 0 A 1 = 1 det A AD Tworzymy macierz [A E n ] M n 2n (K) (pierwsze n kolumn to kolumny macierzy A, kolejne to kolumny macierzy jednostkowej E n ) Przeprowadzamy operacje na wierszach macierzy [A E n ]: 1 dodawanie wiersza pomnożonego przez stałą do innego wiersza, 2 zmiana kolejności wierszy,

3 PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE 22 3 pomnożenie wiersza przez stałą, tak aby uzyskać macierz [E n B] Wtedy B = A 1 Zastosowanie macierzy odwrotnych do macierzy zmiany bazy Niech V, W, U - skończenie wymiarowe przestrzenie liniowe nad ciałem K, niech φ : V W, ψ : W U - przekształcenia liniowe Wtedy ψ φ : V U też jest przekształceniem liniowym i zachodzi: M A C (ψ φ) = M B C (ψ) M A B (φ), gdzie A - baza V, B - baza W, C - baza U Wniosek W szczególności, gdy V = U = W i ψ = φ = id: M B C (id) M A B (id) = M A C (id), gdzie A, B, C - bazy przestrzeni liniowej V Wniosek M A B (id) = (M B A (id)) 1

4 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 23 4 Układy równań liniowych 41 Pojęcia wstępne Dany jest układ m równań liniowych z n niewiadomymi x 1, x 2,, x n, o współczynnikach z ciała K: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 ( ), a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m gdzie a ij, b i K, i = 1,, m, j = 1,, n Rozwiązaniem układu ( ) nazywamy każdy ciąg elementów (x 1,, x n ) K n spełniający ten układ Oznaczenia A = [a ij ] m n - macierz współczynników układu, b 1 B = - wektor (kolumna) wyrazów wolnych b m Definicja 41 Układ ( ) nazywamy układem jednorodnym, jeśli B - macierz zerowa, a układem niejednorodnym w przeciwnym przypadku Uwaga Każdy układ jednorodny posiada co najmniej jedno rozwiązanie: x 1 = x 2 = = x n = 0 Uwaga Niech X = macierzowemu ( ) A X = B x 1 x n 42 Układy Cramera Wówczas układ ( ) jest równoważny równaniu Dany jest układ n równań liniowych z n niewiadomymi x 1, x 2,, x n, o współczynnikach z ciała K: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 ( ), a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a nn x n = b n gdzie a ij, b i K, i = 1,, n, j = 1,, n Lub równoważnie: ( ) A X = B, gdzie A = [a ij ] n n, B = [b 1,, b n ] T, X = [x 1,, x n ] T

4 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 24 Definicja 42 Układ ( ) ( ( )) nazywamy układem Cramera, jeśli det A 0 Twierdzenie 43 Układ Cramera posiada dokładnie jedno rozwiązanie Może ono być wyznaczone przy pomocy wzorów Cramera: x 1 = det A (1) det A, x 2 = det A (2) det A,, x n = det A (n) det A, gdzie A (i) oznacza macierz powstałą z A przez zastąpienie i-tej kolumny macierzą B Twierdzenie 44 Jeżeli ( ) jest układem Cramera, to X = A 1 B (metoda macierzowa) Zastosowanie do macierzy zmiany bazy Oznaczenie A = [A 1, A 2,, A n ], A i = a 1i a ni (i-ta kolumna macierzy A) Twierdzenie 45 Układ wektorów (A 1, A 2,, A n ) jest bazą przestrzeni K n wtedy i tylko wtedy, gdy det [A 1, A 2,, A n ] 0 43 Rząd macierzy a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a ij K a m1 a m2 a mn Kolumny macierzy A można traktować jako wektory z przestrzeni liniowej K m, a wiersze jako wektory z K n Oznaczenie A = [A 1, A 2,, A n ], A i = a 1i a mi (i-ta kolumna macierzy A) lub: A = [A 1, A 2,, A m ] T, A j = [a j1,, a jn ] (j-ty wiersz macierzy A) Definicja 46 Rzędem kolumnowym macierzy A nazywamy dim Lin(A 1,, A n ) (maksymalną liczbę liniowo niezależnych kolumn macierzy A) Rzędem wierszowym macierzy A nazywamy dim Lin(A 1,, A m ) (maksymalną liczbę liniowo niezależnych wierszy macierzy A) Uwaga Rząd kolumnowy macierzy A jest równy jej rzędowi wierszowemu Definicja 47 Rzędem macierzy A nazywamy jej rząd kolumnowy (lub wierszowy)

4 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 25 Oznaczenie r(a), R(A), rz(a) Uwaga Rząd macierzy nieosobliwej stopnia n jest równy n Twierdzenie 48 Jeżeli MB A (φ) jest macierzą przekształcenia liniowego φ : V W w dowolnie ustalonych bazach A, B to r(m A B (φ)) = r(φ) = dimimφ Definicja 49 Minorem stopnia k macierzy A = [a ij ] m n nazywamy wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia k powstałej z macierzy A przez wykreślenie m k wierszy i n k kolumn Uwaga Rząd macierzy jest równy najwyższemu stopniowi niezerowego minora tej macierzy Uwaga Rząd macierzy nie zmieni się, gdy 1 skreślimy wiersz zerowy, 2 skreślimy jeden z dwóch proporcjonalnych wierszy, 3 dodamy do wiersza kombinację liniową innych wierszy, 4 przestawimy wiersze, 5 wykonamy analogiczne operacje na kolumnach Uwaga Macierz nazywamy schodkową (trapezową), gdy pierwsze niezerowe elementy (tzw schodki) w kolejnych niezerowych wierszach znajdują się w kolumnach o rosnących numerach Rząd macierzy schodkowej jest równy liczbie jej schodków 44 Twierdzenie Kroneckera-Capellego Rozpatrujemy dwa układy równań: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 (I), (II) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m gdzie a ij, b i K, i = 1,, m, j = 1,, n a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = 0, Uwaga Zbiór rozwiązań układu (II) jest niepusty i tworzy podprzestrzeń liniową przestrzeni K n Uwaga Każde rozwiązanie równania macierzowego A X = O ( układu (II)) jest wektorem należącym do jądra przekształcenia liniowego φ, którego macierzą

4 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 26 przekształcenia jest macierz A Uwaga Każde rozwiązanie układu (I) jest postaci X B + X 0, gdzie X B - jakiekolwiek rozwiązanie szczególne układu (I) i X 0 - pewne rozwiązanie układu (II) X 0 można przedstawić jako kombinację liniową wektorów z bazy przestrzeni kerφ ( wektorów z bazy przestrzeni rozwiązań układu (II)) Definicja 410 Układem fundamentalnym rozwiązań układu (II) nazywamy dowolną bazę przestrzeni rozwiązań tego układu Definicja 411 A X = B Macierzą rozszerzoną układu (I) nazywamy macierz [A B] = [A 1, A 2,, A n, B] Twierdzenie 412 (Kroneckera-Capellego) 1 Układ równań (I): A X = B posiada rozwiązanie r(a) = r(a B) 2 Jeśli r(a) = r(a B) = n to układ (I) posiada dokładnie jedno rozwiązanie 3 Jeśli r(a) = r(a B) = k < n to układ (I) posiada nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n k parametrów, które mogą przyjmować dowolne wartości z K Wniosek 413 Układ jednorodny z n niewiadomymi ma niezerowe rozwiązanie r(a) < n 45 Rozwiązywanie układów równań liniowych Metoda wyznacznikowa rozwiązania układu (I) Jeżeli r(a) = r(a B) = k < n, to usuwamy z układu (I) te równania, w których współczynniki przy niewiadomych nie wchodzą do niezerowego minora stopnia k (ustalony minor) Następnie po lewej stronie pozostawiamy te zmienne, których współczynniki weszły do tego ustalonego niezerowego minora Pozostałe składniki przenosimy na prawą stronę Ze względu na zmienne po lewej stronie układ jest układem Cramera Pozostałe zmienne (jest ich n k) traktujemy jako parametry Uwaga Następujące operacje wierszowe nie zmieniają rozwiązania: 1 zamiana wierszy miejscami 2 mnożenie wiersza przez skalar różny od O 3 dodanie do wiersza kombinacji liniowej pozostałych wierszy

4 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 27 Uwaga Układ (I) można także rozwiązać znajdując układ fundamentalny rozwiązań odpowiadającego mu układu jednorodnego oraz jedno rozwiązanie szczególne układu (I) (np można je zgadnąć) Wykorzystujemy tu Uwagę powyżej: Każde rozwiązanie układu (I) jest postaci X B + X 0, gdzie X B - jakiekolwiek rozwiązanie szczególne układu (I) i X 0 - pewne rozwiązanie układu (II) X 0 można przedstawić jako kombinację liniową wektorów z bazy przestrzeni kerφ ( wektorów z bazy przestrzeni rozwiązań układu (II)) Metoda eliminacji Gaussa Przez operacje wierszowe doprowadzamy macierz rozszerzoną układu [A B] do postaci schodkowej (trapezowej) Jeżeli istnieje wiersz, w którym są same zera oprócz ostatniej kolumny, to układ jest sprzeczny W przeciwnym przypadku niewiadome odpowiadające kolumnom wiodącym (czyli tym, w których są schodki) wyrażamy przez pozostałe, które traktujemy jako parametry Wyznaczamy niewiadome począwszy od ostatniego równania, wstawiając już wyznaczone do pozostałych równań

5 LINIOWA GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3 28 5 Liniowa geometria analityczna w R 3 Definicja 51 Wektorem zaczepionym P 1 P 2 nazywamy uporządkowaną parę punktów (P 1, P 2 ) P 1 nazywamy początkiem wektora lub punktem zaczepienia, P 2 - końcem wektora Wprowadzamy relację równoważności w zbiorze wektorów zaczepionych: wektory zaczepione P Q i ST są w relacji wtedy i tylko wtedy, gdy (Q x P x, Q y P y, Q z P z ) = (T x S x, T y S y, T z S z ), gdzie T x - współrzędna x-owa punktu T Definicja 52 Wektor swobodny jest to klasa abstrakcji relacji : [a, b, c] = [(0, 0, 0), (a, b, c)] Uwaga Wektory swobodne a i b są równe jeśli ich współrzędne są równe: a = b ax = b x a y = b y a z = b z Oznaczenia a - długość wektora, a = a 2 x + a 2 y + a 2 z Definicja 53 Wektor a nazywamy wersorem, gdy a = 1 Kąt między niezerowymi wektorami a i b : Jeśli a = [ P 1 P 2 ] i b = [ P 1 P 3 ], to kąt między wektorami a i b (ozn ( a, b )) jest to mniejszy z kątów utworzonych przez półproste P 1 P 2 i P 1 P 3 Jeśli półproste P 1 P 2 i P 1 P 3 pokrywają się, to ( a, b ) = 0 Jeśli P 2 i P 3 leżą na jednej prostej po przeciwnych stronach P 1, to ( a, b ) = π Działania: [a x, a y, a z ]+α [b x, b y, b z ] = [a x +α b x, a y +α b y, a z +α b z ], α R Definicja 54 Iloczyn skalarny niezerowych wektorów a i b jest to liczba rzeczywista (ozn a b ) równa: a b cos ( a, b ) Jeśli a = 0 lub b = 0, to przyjmujemy a b = 0 Własności iloczynu skalarnego 1 a b a b 2 a b = b a 3 ( a + b ) c = a c + b c 4 (λ a ) b = λ ( a b ) 5 a a 0, a a = 0 a = 0

5 LINIOWA GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3 29 6 jeśli a = [a x, a y, a z ], b = [b x, b y, b z ], to a b = a x b x + a y b y + a z b z Definicja 55 Wektory a i b są ortogonalne, jeśli a b = 0 Uwaga Jeśli a 0 i b 0, to a i b są ortogonalne wtedy i tylko wtedy, gdy są prostopadłe Definicja 56 Iloczynem wektorowym niezerowych wektorów a i b nazywamy wektor c taki, że 1 c = a b sin ( a, b ) 2 c jest ortogonalny do a i do b 3 jeżeli c a x b x c x 0, to a y b y c y a z b z c z > 0, tzn układ ( a, b, c ) ma orientację zgodną z układem OXY Z Jeśli a = 0 lub b = 0, to przyjmuje się c = 0 Oznaczenie a b - iloczyn wektorowy Uwaga a b sin ( a, b ) to pole równoległoboku rozpiętego na wektorach a i b Własności iloczynu wektorowego 1 a b = 0 dla a 0 i b 0 wektory a i b są kolinearne (tzn a = λ b ) 2 a b = b a 3 ( a + b ) c = a c + b c 4 (λ a ) b = λ ( a b ) 5 jeśli a = [a x, a y, a z ], b = [b x, b y, b z ], to a [ a b = y a z b y b z, a x a z b x b z i j k = a x a y a z b x b y b, gdzie i, j, k - wersory osi (odpowiednio) OX, OY, z OZ, a x b x a y b y ] = Definicja 57 Iloczynem mieszanym wektorów a, b, c nazywamy liczbę ( a b ) c : ( a b ) a x a y a z c = b x b y b z c x c y c z

5 LINIOWA GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3 30 Uwaga ( a b ) c - objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach a, b, c Płaszczyzna w R 3 Ax + By + Cz + D = 0 - równanie ogólne płaszczyzny, gdzie A 2 + B 2 + C 2 > 0 i n = [A, B, C] - wektor normalny płaszczyzny (wektor prostopadły do płaszczyzny) Odległość punktu P 0 (x 0, y 0, z 0 ) od płaszczyzny π : Ax + By + Cz + D = 0: d(p 0, π) = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2 Położenie dwóch płaszczyzn: Wzajemne położenie dwóch płaszczyzn π 1 i π 2 o równaniach: A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 badamy korzystając z twierdzenia Kroneckera-Capellego: [ ] [ ] A1 B 1 π 1 i π 2 są równoległe (i różne), gdy r 1 C 1 A1 B = 1 i r 1 C 1 D 1 = A 2 B 2 C 2 A 2 B 2 C 2 D 2 2 [ A1 B 2 π 1 i π 2 pokrywają się, gdy r 1 C 1 D 1 = 1 A 2 B 2 C 2 D 2 ] [ ] A1 B 3 π 1 i π 2 są nierównoległe, gdy r 1 C 1 A 2 B 2 C { 2 A1 x + B wzdłuż prostej l : 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 prostej = 2 Wtedy przecinają się - równanie krawędziowe Pęk płaszczyzn { A1 x + B Dana jest prosta l : 1 y + C 1 z + D 1 = 0 Przez prostą l przechodzą A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 inne płaszczyzny (pęk płaszczyzn) Można je opisać równaniem: λ (A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 ) + µ (A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 ) = 0, gdzie λ 2 + µ 2 > 0 Prosta w R 3 Równanie parametryczne prostej l przechodzącej przez punkt P 0 (x 0, y 0, z 0 ) i równoległej do wektora v = [v x, v y, v z ] x = x 0 + t v x l : y = y 0 + t v y, t R z = z 0 + t v z

6 MACIERZ W POSTACI KANONICZNEJ JORDANA 31 6 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A = 0 0 a nn a k 11 0 0 0 a k 22 0 0 0 a k nn Niech B = N A N 1, wtedy B k = N A k N 1, to Ak = Jeśli powyższa macierz A jest macierzą przekształcenia liniowego φ : V V w bazie A = (v 1, v 2,, v n ) (czyli A = M A A (φ)), to φ(v 1) = a 11 v 1, φ(v 2 ) = a 22 v 2,, φ(v n ) = a nn v n, a więc φ(lin(v i )) Lin(v i ) dla każdego i = 1,, n Definicja 61 Podprzestrzeń U przestrzeni liniowej V nad ciałem K nazywamy podprzestrzenią niezmienniczą względem przekształcenia liniowego φ : V V, gdy φ(u) U, (czyli u U φ(u) U) Uwaga Jeżeli U jest podprzestrzenią niezmienniczą przestrzeni V względem przekształcenia liniowego φ : V V i (v 1, v k ) - baza U oraz A = (v 1,, v k, v k+1,, v n ) - baza V, to macierz przekształcenia φ w bazie A ma postać: [ ] MA A A1 A (φ) = 3, 0 A 2 gdzie A 1 - macierz kwadratowa stopnia k, A 2 - macierz kwadratowa stopnia n k, 0 - macierz zerowa Rozważmy i-tą kolumnę tej macierzy, i k Zawiera ona współczynniki wektora φ(v i ) Ponieważ φ(v i ) U, to współczynniki przy v k+1,, v n są zerami Gdyby dodatkowo przestrzeń W = Lin(v k+1,, v n ) była podprzestrzenią niezmienniczą względem φ, to macierz przekształcenia miałaby postać: [ ] MA A A1 0 (φ) = 0 A 2 Wtedy V = U W i U W = {O} Definicja 62 Wektor v V, v O, nazywamy wektorem własnym przekształcenia φ : V V, jeśli istnieje λ K, takie że φ(v) = λ v Wtedy λ nazywamy wartością własną przekształcenia φ, a v - wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej λ

6 MACIERZ W POSTACI KANONICZNEJ JORDANA 32 Uwaga Wektor v V, v O, jest wektorem własnym przekształcenia φ wtedy i tylko wtedy, gdy Lin(v) jest jednowymiarową podprzestrzenią przestrzeni V niezmienniczą względem przekształcenia φ a 11 a 12 a 1n Niech A = MA A(φ) = a 21 a 22 a 2n będzie macierzą przekształcenia φ : V V w pewnej bazie A Wówczas, jeśli v jest wektorem własnym a m1 a m2 a mn przekształcenia φ, to φ(v) = A v = λ v (A λ E) v = O - to równanie ma niezerowe rozwiązania det(a λ E) = 0 a 11 λ a 12 a 1n a 21 a 22 λ a 2n det(a λ E) = jest wielomianem stopnia a n1 a n2 a nn λ n zmiennej λ Nazywamy go wielomianem charakterystycznym przekształcenia φ lub wielomianem charakterystycznym macierzy A Niech C będzie macierzą przekształcenia φ w bazie B: C = M B B (φ) = M A B (id) M A A (φ) M B A (id) = B 1 A B, det(c λ E) = det(a λ E) Wniosek 63 Wielomian charakterystyczny nie zależy od macierzy przekształcenia, tylko od samego przekształcenia Uwaga Wartości własne przekształcenia φ są pierwiastkami wielomianu charakterystycznego Uwaga det(a λ E) = ( 1) n λ n +( 1) n 1 λ n 1 A 1 + +( 1)λ A n 1 +A n, gdzie A k jest sumą minorów głównych k-tego stopnia macierzy A 61 Wyznaczanie wektorów własnych odpowiadających wartości własnej λ 0 1 Zbiór wektorów własnych odpowiadających wartości własnej λ 0 uzupełniony o wektor O tworzy podprzestrzeń przestrzeni V, ozn N (1) λ 0 2 Macierz [A λ 0 E] jest macierzą pewnego przekształcenia liniowego ψ : V V Wtedy N (1) λ 0 = kerψ i dimn (1) λ 0 = dimv r[a λ 0 E] Uwaga 1 1 dimn (1) λ 0 k, gdzie k - krotność pierwiastka λ 0 w wielomianie charakterystycznym

6 MACIERZ W POSTACI KANONICZNEJ JORDANA 33 2 N (1) λ 0 jest podprzestrzenią niezmienniczą względem φ 3 Jeśli λ 1 λ 2 - wartości własne, to N (1) λ 1 N (1) λ 2 = {O} Twierdzenie 64 Wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym tego samego przekształcenia są liniowo niezależne Wniosek 65 Niech V - przestrzeń liniowa nad ciałem K, dimv = n, φ : V V - przekształcenie liniowe Jeśli φ ma n różnych wartości własnych λ 1, λ 2,, λ n, to odpowiadające im wektory własne (v 1, v 2,, v n ) tworzą bazę B przestrzeni V i macierz przekształcenia φ w tej bazie jest macierzą diagonalną i ma postać λ 1 0 0 MB B 0 λ 2 0 (φ) = 0 0 λ n Twierdzenie 66 Jeśli λ 1,, λ k - różne wartości własne i dimn (1) λ i = k i, gdzie k i - krotność pierwiastka λ i w wielomianie charakterystycznym, to macierz przekształcenia φ w bazie utworzonej z wektorów własnych jest diagonalna Twierdzenie 67 (Jordana) Jeżeli V jest n-wymiarową przestrzenią liniową nad C, a φ : V V - przekształceniem liniowym, to istnieje baza przestrzeni V, w której macierz przekształcenia φ ma tzw postać kanoniczną Jordana: K 1 0 0 λ i 1 0 0 K 2 0, gdzie K i = 0 λ i 1 1 lub K i = [λ i ], 0 0 K p 0 0 λ i λ i - wartości własne przekształcenia φ, K i - klatka Jordana 62 Wektory dołączone Niech λ - wartość własna o krotności k > 1, dimn (1) λ < k n =dimv Macierze A λ E, (A λ E) 2, (A λ E) 3, są macierzami pewnych przekształceń liniowych z V w V - zbiór wektorów własnych odpowiadających wartości własnej λ uzupełniony o wektor O tworzy podprzestrzeń niezmienniczą przestrzeni V, N (1) λ = ker(a λ E) N (1) λ Definiujemy ciąg podprzestrzeni niezmienniczych przekształcenia φ : V V : N (2) λ = ker(a λ E) 2

6 MACIERZ W POSTACI KANONICZNEJ JORDANA 34 N (l) λ = ker(a λ E)l N (1) λ N (2) λ N (l) λ V Ten ciąg musi się stabilizować, bo dimv <, czyli istnieje takie l, że N (l) N (l+1) λ λ) = = V Można pokazać, że dimn (l) λ λ = k (krotność wartości własnej Rozważamy elementy zbioru N (2) λ N (1) λ czyli wektory dołączone rzędu pierwszego przekształcenia φ odpowiadające wartości własnej λ v N (2) λ N (1) λ ((A λ E) 2 v = O (A λ E) v O) (A λ E) v jest wektorem własnym przekształcenia φ Zauważmy, że φ(v) = A v = (A λ E + λ E) v = (A λ E) v + λ v Ogólnie: N (m) λ N (m 1) λ - zbiór wektorów dołączonych rzędu (m 1) przekształcenia φ odpowiadających wartości własnej λ v N (m) λ N (m 1) λ (A λ E) (m 1) v jest wektorem własnym przekształcenia φ Rozważamy układ wektorów ( ) {(A λ E) (l 1) v, (A λ E) (l 2) v,, (A λ E) v, v}, gdzie (A λ E) (l 1) v - wektor własny, (A λ E) (l 2) v - wektor dołączony I rzędu,, v - wektor dołączony rzędu (l 1) Jeśli v s jest s-tym wektorem w tym ciągu, to φ(v s ) = v s 1 + λ v s Uwaga Jeżeli w 1,, w s - wektory dołączone rzędu m są liniowo niezależne oraz (A λ E) w 1,, (A λ E) w s - wektory dołączone rzędu (m 1) są liniowo niezależne, to wektory w 1,, w s, (A λ E) w 1,, (A λ E) w s są liniowo niezależne Wniosek 68 Układ ( ) jest liniowo niezależny Jeśli {(A λ E) (l 1) v, (A λ E) (l 2) v,, (A λ E) v, v, u 1, u 2, u n l } jest bazą przestrzeni liniowej V, dimv =n, to macierz przekształcenia φ w takiej bazie ma postać λ 1 0 0 0 λ 1 0 λ 1 0 0 λ

6 MACIERZ W POSTACI KANONICZNEJ JORDANA 35 63 Wielomiany macierzy Definicja 69 Niech K - ciało, a i K dla i = 0,, m Funkcję ψ : M n n (K) M n n (K), ψ(a) = a m A m + a m 1 A m 1 + + a 1 A + a 0 E nazywamy wielomianem macierzy Uwaga Można traktować ψ(a) jako wartość zwykłego wielomianu dla macierzy A ψ(x) = a m x m + a m 1 x m 1 + + a 1 x + a 0 Definicja 610 Pochodną wielomianu nazywamy wielomian ψ(a) = a m A m + a m 1 A m 1 + + a 1 A + a 0 E ψ (A) = m a m A m 1 + (m 1) a m 1 A m 2 + + 2 a 2 A + a 1 E Uwaga Podobnie definiujemy pochodne wyższych rzędów Wiadomo, że dla wielomianu stopnia m prawdziwy jest wzór Taylora (x 0 R): f(x) = f(x 0 )+ f (x 0 ) 1! (x x 0 )+ + f (m 1) (x 0 ) (m 1)! (x x 0 ) m 1 + f (m) (x 0 ) (x x 0 ) m m! Podobny wzór jest prawdziwy dla macierzy kwadratowej A M n n (K): f(a) = f(t) E+ f (t) [A t E]+ + f (m 1) (t) 1! (m 1)! [A t E]m 1 + f (m) (t) [A t E] m, m! gdzie t K Definicja 611 Macierze kwadratowe stopnia n są podobne, jeśli istnieje macierz nieosobliwa C stopnia n, taka że A = C B C 1 ( B = C 1 A C) Uwaga Macierze przekształcenia liniowego w różnych bazach są podobne Wniosek 612 Jeżeli J jest postacią kanoniczną Jordana macierzy A, to macierze A i J są podobne Twierdzenie 613 Jeżeli macierze A i B są podobne, to dla dowolnego wielomianu f macierze f(a) i f(b) są podobne Wniosek 614 Jeżeli J jest postacią kanoniczną Jordana macierzy A, a f - dowolnym wielomianem, to f(a) = C f(j) C 1

6 MACIERZ W POSTACI KANONICZNEJ JORDANA 36 K 1 0 0 0 K 2 0 Uwaga Jeżeli J =, to dla każdego m N J m = 0 0 K p K m 1 0 0 0 K2 m 0 0 0 Kp m λ 1 0 Twierdzenie 615 Dla dowolnej klatki Jordana K = 0 λ 1 1 stopnia p i dowolnego wielomianu f: 0 0 λ f(λ) f f (λ) (λ) f 2! (p 1) (λ) (p 1)! 0 f(λ) f f (λ) (p 2) (λ) (p 2)! f(k) = 0 0 f(λ) f (λ) 0 f(λ) Twierdzenie 616 (Hamiltona-Cayleya) Jeśli f jest wielomianem charakterystycznym macierzy A, to f(a) = [0] n n Funkcje macierzy (nie obowiązują na egzaminie) Definiujemy f(a), gdy f niekoniecznie jest wielomianem Założenie Funkcja f jest funkcją zmiennej rzeczywistej rozwijalną w szereg Taylora w otoczeniu punktu x 0, czyli f (k) (x 0 ) f(x) = (x x 0 ) k k! k=0 Jeżeli zamiast x wstawimy klatkę Jordana K stopnia p, to dla m p gdzie λ - wartość własna (K λ E) m = [0] n n, Definicja 617 Funkcją f klatki Jordana K stopnia p odpowiadającej wartości własnej λ nazywamy macierz f(λ) f f (λ) (λ) f 2! (p 1) (λ) (p 1)! p 1 f (i) (λ) 0 f(λ) f f (λ) (p 2) (λ) f(k) = (K λ E) i (p 2)! = i! i=0 0 0 f(λ) f (λ) 0 f(λ)

6 MACIERZ W POSTACI KANONICZNEJ JORDANA 37 K 1 0 0 f(k 1 ) 0 0 0 K 2 0 0 f(k 2 ) 0 Jeśli J =, to f(j) = 0 0 K s 0 0 f(k s ) a jeśli A = C J C 1, to f(a) = C f(j) C 1,

7 PRZESTRZEŃ EUKLIDESOWA 38 7 Przestrzeń euklidesowa V - przestrzeń liniowa nad R Definicja 71 W przestrzeni V określony jest iloczyn skalarny, jeśli każdej parze wektorów u, v V przyporządkowana jest liczba rzeczywista, ozn (u, v), przy czym spełnione są warunki: 1 (u, v) = (v, u), u, v V 2 (λ u, v) = λ(u, v), u, v V, λ R 3 (u 1 + u 2, v) = (u 1, v) + (u 2, v), u 1, u 2, v V 4 (u, u) 0, u V, (u, u) = 0 u = O Przestrzeń liniową, w której określony jest iloczyn skalarny nazywamy przestrzenią euklidesową Przykłady 1 W przestrzeni liniowej R 3 nad ciałem R, określamy funkcję (X, Y ) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3, gdzie X = (x 1, x 2, x 3 ), Y = (y 1, y 2, y 3 ) Jest to iloczyn skalarny 2 Niech C a,b będzie przestrzenią liniową funkcji rzeczywistych ciągłych na przedziale domkniętym a, b (nad ciałem R) Na zbiorze C a,b C a,b określamy funkcję: Jest to iloczyn skalarny (f, g) = b a f(x) g(x)dx Uwaga Niech A M n n (R), A = A T (macierz symetryczna), X R n (wektor zapisany kolumnowo) Funkcję f : R n R, f(x) = X T A X nazywamy formą kwadratową, macierz A - macierzą formy kwadratowej Forma kwadratowa f jest dodatnio określona, gdy X R n f(x) 0 i f(x) = 0 X = O Twierdzenie 72 Forma kwadratowa f jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy macierz tej formy A = [a ij ] spełnia warunek: det a 11 a 1j > 0 dla j = 1,, n a j1 a jj Twierdzenie 73 Niech A - macierz stopnia n formy kwadratowej f dodatnio określonej, X, Y R n (wektory zapisane kolumnowo) Funkcja (X, Y ) = X T A Y jest iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n

7 PRZESTRZEŃ EUKLIDESOWA 39 Długość (norma) wektora u z przestrzeni euklidesowej V wyraża się wzorem u = (u, u) Własności (u, v V ) 1 (u, v) u v (nierówność Cauchy ego-buniakowskiego) 2 u + v u + v (nierówność trójkąta) 3 u + v 2 = u 2 + v 2 (u, v) = 0 (twierdzenie Pitagorasa dla przestrzeni euklidesowych) Definicja 74 Wektory u i v są ortogonalne wtedy i tylko wtedy, gdy (u, v) = 0 Niech V - n-wymiarowa przestrzeń euklidesowa Definicja 75 Układ niezerowych wektorów {v 1, v 2,, v n } V nazywamy bazą ortogonalną, jeśli (v i, v j ) = 0 dla i j Jeśli dodatkowo v i = 1 dla każdego i = 1,, n, to bazę ortogonalną nazywamy bazą ortonormalną Uwaga Każda baza ortogonalna {v 1, v 2,, v n } V jest bazą V Uwaga W każdej przestrzeni euklidesowej skończonego wymiaru istnieje baza ortogonalna (baza ortonormalna) Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta Niech (v 1,, v n ) - dowolna baza w V (dimv = n) Tworzymy bazę ortogonalną (e 1,, e n ): e 1 := v 1, e 2 = v 2 + α e 1, przy czym współczynnik α dobieramy w ten sposób, aby (e 1, e 2 ) = 0 Otrzymujemy α = (v2,e1) (e Jeżeli e 1,e 1) 1,, e k 1 są już wyznaczone, to e k wyznaczamy następująco: e k = v k + α 1 e 1 + + α k 1 e k 1 i (e k, e i ) = 0 dla i = 1,, k 1 Dostajemy α i = (v k,e i) (e i,e i) dla i = 1,, k 1 Rzut ortogonalny wektora na podprzestrzeń W V, W - podprzestrzeń V, dimw = m < n =dimv Uwaga Jeśli wektor v jest ortogonalny do każdego z wektorów v 1,, v k, to jest ortogonalny do dowolnej kombinacji liniowej tych wektorów Definicja 76 Wektor v V jest ortogonalny do podprzestrzeni W, jeśli jest ortogonalny do każdego wektora tej podprzestrzeni Uwaga Wektor v jest ortogonalny do podprzestrzeni W istnieje baza podprzestrzeni W, taka że wektor v jest ortogonalny do każdego wektora z tej bazy

7 PRZESTRZEŃ EUKLIDESOWA 40 Pytanie: Jak wyznaczyć rzut ortogonalny wektora v na podprzestrzeń W? Czyli jak znaleźć wektor u W, taki że wektor v u jest ortogonalny do W? Uwaga Jeżeli u jest rzutem ortogonalnym v na W, to dla każdego wektora w W, w u zachodzi v u < v w Przykład Dana jest przestrzeń euklidesowa C π;π z iloczynem skalarnym (f, g) = π f(x)g(x)dx Znaleźć rzut ortogonalny danej funkcji f(x) na podprzestrzeń U = Lin(1, cos x, cos 2x,, cos nx, sin x, sin nx) wielomianów try- π gonometrycznych rzędu n W ten sposób znajdziemy najlepszą aproksymację funkcji f wielomianem trygonometrycznym Wyznaczanie rzutu ortogonalnego wektora v na podprzestrzeń W Niech (v 1,, v m ) - baza W, u = α 1 v 1 + + α m v m, u - rzut ortogonalny v na W Współczynniki α i wyznaczymy z warunku (v u, v i ) = 0 dla i = 1,, m Dostajemy układ m równań z m niewiadomymi: α 1 (v 1, v 1 ) + α 2 (v 2, v 1 ) + + α m (v m, v 1 ) = (v, v 1 ) α 1 (v 1, v 2 ) + α 2 (v 2, v 2 ) + + α m (v m, v 2 ) = (v, v 2 ) α 1 (v 1, v m ) + α 2 (v 2, v m ) + + α m (v m, v m ) = (v, v m ) Ma on dokładnie jedno rozwiązanie (jest układem Cramera) (v 1, v 1 ) (v m, v 1 ) 0 (v 1, v m ) (v m, v m ) (wyznacznik Grama dla wektorów v 1,, v m ) Jeżeli (v 1,, v m ) jest bazą ortogonalną, to wyznacznik Grama jest równy (v 1, v 1 ) (v 2, v 2 ) (v m, v m ) oraz α 1 = (v, v 1) (v 1, v 1 ), α 2 = (v, v 2) (v 2, v 2 ),, α m = (v, v m) (v m, v m ) Metoda najmniejszych kwadratów 1 Dany jest sprzeczny układ równań a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m