MECHANIKA 2 Wykład Nr 2 RUCH POSTĘPOWY I OBROTOWY CIAŁA SZTYWNEGO Prowadzący: dr Krzysztof Polko
WSTĘP z r C C(x C,y C,z C ) r C -r B B(x B,y B,z B ) r C -r A r B r B -r A A(x A,y A,z A ) Ciało sztywne - zbiór punktów których wzajemne odległości są stałe. x 0 r A y Ruch ciała sztywnego w przestrzeni jest jednoznacznie określony przez równania ruchu trzech punktów, nie leżących na jednej prostej. Aby punkty A,B,C nie leżały na jednej prostej msi być spełniony warunek:
WSTĘP Ruch ciała sztywnego może być określony wektorowymi równaniami trzech punktów A, B, C. Równania ruchu trzech punktów nie mogą być dobrane dowolnie, gdyż zgodnie z definicją odległości punktów ciała są niezmienne, co można zapisać w postaci trzech równań
W postaci skalarnej otrzymujemy trzy równania zwane równaniami więzów Wynika stąd, że aby określić położenie ciała w przestrzeni wystarczy określić sześć niezależnych współrzędnych - mówimyże ciało w przestrzeni ma sześć stopni swobody.
Gdy na ciało sztywne nałożymy pewne ograniczenia w ruchu tego ciała zmniejszamy jego liczbę stopni swobody. Przykładowo ciało o unieruchomionym 1 punkcie, ma 3 stopnie swobody. Gdy unieruchomimy 2 punkty A i B, - ciało sztywne ma tylko jeden stopień swobody (obrót).
Ruch postępowy ciała sztywnego Najprostszym przypadkiem ruchu ciała sztywnego jest ruch, w którym wszystkie jego punkty doznają tych samych przesunięć. Ruch taki nazywamy ruchem postępowym. Ciało w ruchu postępowym ma trzy stopnie swobody. Położenie punktów A,B,C poruszającego się ruchem postępowym ciała możemy określić za pomocą promieni wektorów Rys. 4 w chwili początkowej t o.
Następnie położenie ciała odpowiada chwili t = t o + t czyli po upływie czasu t, a położenie punktów oznaczamy przez A,B,C. Równania ruchu rozpatrywanych punktów mają postać: u ρ (t) jest przesunięciem jednakowym dla wszystkich punktów ciała.
Różniczkując powyższe równania ruchu względem czasu otrzymamy wektory prędkości punktów A,B,C Stąd wynika, że wektory prędkości wszystkich punktów ciała sztywnego, poruszającego się ruchem postępowym są w danej chwili jednakowe. Pole przyśpieszeń ma postać: a v a v a v
Ruch obrotowy bryły dookoła osi stałej Bryła może obracać się jedynie dookoła osi (przechodzącej przez dwa punkty), zwanej osią obrotu. Chwilowe położenia punktu C a więc i obracającej się bryły określone jest kątem ϕ zawartym między kolejnymi położeniami punktu C. Kąt ten nazywamy kątem obrotu. Punkty leżące na osi obrotu są w spoczynku. Pozostałe punkty poruszają się po okręgach o promieniach r równych odległością tych punktów od osi obrotu.
Równanie ruchu ma postać Pierwsza pochodna kąta obrotu ϕ względem czasu określa moduł wektora prędkości kątowej Kierunek tego wektora pokrywa się z osią obrotu a zwrot wynika z regułyśruby prawoskrętnej.
Drugą pochodną kąta obrotu, czyli pierwszą pochodna prędkości kątowej, nazywamy przyspieszeniem kątowym. Przyspieszenie kątowe jest wektorem związanym z osią obrotu o module Kierunek tego wektora pokrywa się z osią obrotu, a zwrot jest zgodny ze zwrotem wektora prędkości kątowej gdy obrót jest przyspieszony, przeciwny gdy obrót jest opóźniony.
Tor punktów w ruchu obrotowym bryły Tor każdego punktu ciała sztywnego poruszającego się ruchem obrotowym jest okręgiem leżącym w płaszczyźnie prostopadłej do osi obrotu, o środku leżącym na tej osi, i promieniu o długości równej odległości punktu od osi obrotu. Przebyta droga każdego punktu bryły wynosi:
Prędkość liniowa w ruchu obrotowym bryły Prędkość liniowa jest wektorem stycznym do okręgu, zwróconym w stronę obrotu, o module równym : Wektor prędkości liniowej dowolnego punktu bryły w ruchu obrotowym jest równy iloczynowi wektorowemu prędkości kątowej przez promień wektor łączący dowolny punkt na osi z poruszającym się punktem bryły.
Przyspieszenie w ruchu obrotowym bryły Przyspieszenie styczne i przyspieszenie normalne dowolnego punktu ciała sztywnego leżącego w odległości r od osi obrotu otrzymujemy różniczkując względem czasu wzór na prędkość liniową otrzymując: Rys. 8
W zapisie wektorowym prędkość kątową określa wektor, którego moduł równa się prędkości kątowej, a kierunek jest określony wersorem e ρ leżącym na osi obrotu, o zwrocie zgodnym z regułą śruby prawoskrętnej Rys. 9 Wektor przyspieszenia kątowego zapiszemy jako pochodną wektora prędkości kątowej względem czasu:
Wektor prędkości liniowej v ρ jest prostopadły zarówno do wektora ω ρ, jak i promienia wektora R ρ (t) Wektor przyspieszenia liniowego otrzymujemy, różniczkując wektor prędkości liniowej względem czasu
Pierwszy człon prawej strony równania przyspieszenia liniowego ρ ρ ε R ρ ε R ρ jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny utworzonej przez wektory i, jest więc wektorem stycznym do toru. Moduł tego wektora wynosi Drugi człon prawej strony równania przyspieszenia liniowego jest wektorem prostopadłym do osi obrotu oraz do kierunku stycznego do toru oznaczonego wersorem, jest więc wektorem działającym w kierunku promienia r opisanego wersorem. τ ρ n ρ ρ ( ) ρ ω ω R ρ
Przekładnia Przekładnią nazywamy urządzenie, w którym ruch jednego elementu powoduje ruch drugiego.
Reguły przekładni 1. Przekładnia zębata v ρ 1 ρ ρ v 1 = v 2 r 1 r 2 v ρ 2 v ρ 1 ω ρ ω ρ 2 1 v ρ 2 v ρ 2 v ρ 1 Prędkości liniowe wszystkich punktów na brzegu przekładni zębatej mają równe wartości.
Reguły przekładni 2. Ruch kołka wbitego w walec v ρ v ρ v ρ 1 2 v ρ 2 1 r 1 ω ρ ω ρ 2 r 2 v ρ 1 2 v ρ 1 v ρ 2 Prędkości i przyspieszenia kątowe obu walców mają równe wartości. v ρ 1
Reguły przekładni 3. Koła połączone cięgnem v ρ v ρ v ρ v ρ Cięgno traktujemy jako ciało sztywne, więc prędkości liniowe wszystkich punktów cięgna mają równe wartości. v ρ
Przykład 1 Policzyć przekładnię. Polecenie równoważne: Przy danym równaniu ruchu postępowego bloczka 1 wyznaczyć: ω 2, ε 2, v M, a tm, a nm, a M, ω 3, ε 3, ω 4, ε 4, v N, a tn, a nn, a N. 2 s1 ( t) = 2t + 5
Rozwiązanie Prędkość i przyspieszenie bloczka: Walec 2:
Walec 4: Rozwiązanie Walec 3:
Przykład 2 Koło napędowe o promieniu r 1 =1m przekładni ciernej wprawia w ruch koło o promieniu r 2 =0,25m. Przy założeniu, że rozruch koła napędowego odbywa się ruchem przyspieszonym z przyspieszeniem kątowym ε 1 =0,25πt rad/s 2 obliczyć, po jakim czasie t prędkość obrotowa koła napędzanego będzie równa n 2 =480 obr/min. (Rys. 10) Rys. 10
Rozwiązanie Prędkości liniowe punktów leżących na obwodach obydwu kół wynoszą: Prędkości liniowe punktów styczności obu kół muszą być sobie równe Po podstawieniu stąd
Prędkość kątowa koła napędowego wynosi Ponieważ przyspieszenie kątowe ε 1 =0,2πt, możemy zapisać stąd Po scałkowaniu tego równania, przy założeniu,że dla t 0 = 0, czyli Stąd wyznaczamy czas
Przykład 3 Jaką prędkość liniową v 1 należy nadać pedałowi roweru, aby koło zębate 3 wykonywało n 3 obr/min? Dane: n 3, r 1, r 2, r 3 Szukane: v 1 =? 2 1 3 r 1 v ρ 1 ω ρ 2 r 2 ω ρ 3 r 3
Rozwiązanie 3 v 3 2 1 ω ρ 2 ω 1 v ρ 1 r 2 ω ρ 3 r 3 v 2
Przykład 4 Zegar wskazuje godzinę szóstą. Napisać równanie ruchu dla wskazówki minutowej (1) i godzinowej (2) licząc, że początek układu jest na cyfrze 12 zegarka. Po jakim czasie wskazówka minutowa (1) dogoni wskazówkę godzinową (2)? (1) (2)
Rozwiązanie Kluczem jest wyznaczenie prędkości kątowych obu wskazówek: (1) ω 1 ω 2 φ 0 (2)
Obliczymy czas t 0, po którym wskazówka (1) dogoni wskazówkę (2). Równanie wyjściowe: (1) ω 1 ω 2 φ 0 (2)
Rozwiązanie Obliczymy czas t 0, po którym wskazówka (1) dogoni wskazówkę (2). Równanie wyjściowe: Odp.: (1) φ 0 (2)
Przykład 5 Dany jest układ czterech kół zębatych o promieniach: r 1, r 2, r 3, r 4. Koło I wykonuje n 1 obr/min. Obliczyć prędkość obrotową koła IV oraz stosunek prędkości kątowych koła IV do koła I.
Rozwiązanie
Wniosek! Prędkości liniowe v 1,2, v 2,3, v 3,4 są równe.