WYKŁAD XII METODY NUMERYCZNE W MODELOWANIU PROCESÓW

WYKŁAD XII METODY NUMERYCZNE W MODELOWANIU PROCESÓW Część I WPROWADZENIE Aaltycze metody poszkwaa rozwązań zagadeń mechak ośrodków cągłych wymagaą ak to zostało przedstawoe w rozdzale VII VIII zalezea fkc pól przemeszczeń odkształceń aprężeń które w ogólośc spełaą zwązk kostyttywe rówaa zachowaa masy pęd eerg wark brzegowe Oprócz tych trdośc dochodz dodatkowo geometrycza złożoość obszar które praktycze emożlwaą klasycze rozwązae takch zagadeń lb wymszaą modelowae z tak daleko dącym proszczeam że często zmeaą oe fzykę zawska Oblczea aaltycze są obarczoe wówczas trdym do oszacowaa błędem który podważa warygodość wyków Z tego względ rozwązaa merycze odgrywaą coraz stoteszą rolę w oblczeach żyerskch oraz akowych szczególe że poprzedzoe są gwałtowym rozwoem techk kompterowych włączaąc w to rozwó sprzęt programów arzędzowych do ch stosowaa Dostępość moc oblczeowa kompterów osobstych oraz coraz ższe cey oprogramowaa eksperckego są dalszą zachętą do stosowaa symlac meryczych w mesce klasyczych metod oblczeowych badań eksperymetalych Jedakże otrzymae warygodych wyków oblczeń meryczych wymaga spełea rygorów dotyczących zgodośc model z fzyką zawska obemącą przyęce wymar przestrze cech materałowych sposob przyłożea obcążeń zdefowaa warków podparca tp Następe ależy zadbać o poprawy matematyczy ops problem dotyczący wybor zmeych system współrzędych matematyczego sformłowaa warków brzegowych początkowych oraz stalć zagadee ma być rozwązywae za pomocą rówań różczkowych czy całkowych Staow to podstawę wybor metody merycze która w sposób adogodeszy speł wyże opsae wymog Do wybor est wele metod z których podstawowe aszerze stosowae w mechace ośrodków cągłych to metoda różc skończoych metoda elemetów skończoych metoda elemetów brzegowych Po dokoa wybor metody wykoa oblczeń ależy zbadać czy zachowae zostały wark stea zbeżośc dokładośc rozwązaa meryczego bowem symlace merycze są tylko przyblżeem rzeczywstośc ależy zdawać sobe sprawę z błęd ak powstae w wyk tych oblczeń Zły wybór metody lb emeęte dobrae parametrów oblczeowych p schemat dyskretyzac po czase dłgośc krok czasowego rodza gęstośc satk merycze może prowadzć do admerego średea wyków lb przecwe powstaa ezamerzoych ch oscylac Stąd waża est późesza ocea rezltatów oblczeń pod kątem zgodośc z fzyką zawska Dla przykład merycze rozwązae rówaa przepływ ceczy lepke eścślwe opsae rówaam Navera-Stokesa apotyka a dże trdośc oblczeowe dla dżych lczb Reyoldsa z powod dżego błęd meryczego wykaącego z zastosowaa satk merycze Neszy rozdzał ma za zadae przyblżee stdetem oraz żyerom podstawowe wedzy a temat trzech wymeoych metod meryczych w cel łatwea ch wybor do rozwązaa praktyczych przypadków żyerskch zwązaych z tematyką esze moograf Zdecydowalśmy sę także w tym rozdzale zaprezetować założea metody wrów która staow arzędze do symlowaa przepływów trbletych e wymaga stosowaa satk merycze METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH Metoda różc skończoych est edą z aczęśce stosowaych metod rozwązywaa rówań różczkowych cząstkowych W metodze różc poszke sę rozwązaa poprzez zastąpee rówań różczkowych rówaam różcowym rozwązae których dae przyblżoe wartośc poszkwae fkc w pktach zwaych węzłam Rozwązae przeprowadza sę a satce różcowe dzęk tem zagadee brzegowe lb brzegowo-początkowe sprowadza sę do kład rówań algebraczych

Istee szereg sformłowań MRS które różą sę przede wszystkm typem satk awoścą zastosowaego schemat różcowego Od wybor schemat rodza satk sposob aproksymac pochodych zależy stablość dokładość zbeżość metody merycze Do dyskretyzac rówaa różczkowego o pochodych cząstkowych aczęśce wyberaa est reglara satka kwadratowa (prostokąta) dla zagadeń D lb sześcea (prostopadłoścea) w zagadeach trówymarowych Na rysk przedstawoo przykład satk prostokąte o wymarach oczek x y a które aproksymowaa est fkca ( x y ) Fkca ta będze zależeć od współrzędych dyskretych wyrażoych ako ( y) gdze są meram kolmy wersza Idetyfkąc wartośc fkc ( x y ) w węzłach satk stose sę zwykle ch skrócoy zaps przedstawoy a rysk = x y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 = x y 0 0 = x y 0 0 = x y y 0 0 = x y y 0 0 Rys Prostokąta satka różcowa Bezpośreda metoda tworzea operatorów różc skończoych Klasyczą metodą kostrowaa aalog różcowego est rozwęce w szereg Taylora fkc ( x y) cągłe różczkowale w otocze pkt x 0 : 0 0 0 0! x!! 0 x 0 x0 ( ) ( ) x x y = x y () k gdze x ( x x x ) 0 0 0 0! x!! 0 x 0 x0 ( ) ( ) x x y = x y = 0 0 k () Z rówaa () moża przez odrzcee człoów wyższego rzęd ż perwszy wyprowadzć wzory a perwszą pochodą est to tak zwaa różca przeda: gdze symbol O( ) x0 ( ) ( ) x x y x y ( x) 0 0 0 0 = O () ozacza błąd obcęca wykaący z różcy pomędzy pochodą cząstkową a e różcowym przedstaweem Bład te moża oszacować przymąc ego rząd w proporc do awększego pomętego wyraz w rozwęc Taylora: δ = O ( x) = x ζ x! ζ Na te podstawe możemy woskować że stee dowola dodata stała ε która est ezależa od taka że δ ε x przy założe że 0 Wzór a perwszą pochodą moża także otrzymać z rówaa () est to tak zwaa różca wstecza:

dx x0 ( ) ( ) x y x x y ( x) 0 0 0 0 = O (4) Z odęca rówań () (4) otrzyme sę różcę cetralą: dx x0 ( ) ( ) x x y x x y ( x) 0 0 0 0 = O (5) Grafczą terpretacę różcy przede wstecze cetrale przedstawoo a rysk 9 Jak wdać z rysk awększą dokładość aproksymac perwsze pochode zyske sę z różcy cetrale zgode z omówoym wyże rzędem błęd obcęca (x) różca przeda różca cetrala stycza w A x 0 Rys Iterpretaca grafcza różcy przede wstecze cetrale W podoby sposób ale poprzez dodae rówań () (4) moża otrzymać aproksymacę drge pochode: dx ( ) ( ) ( ) x x y x y x x y = O 0 0 0 0 0 0 x0 ( x) (6) Korzystaąc z rów (6) ozaczeń ak a rysk moża zapsać operator Laplace`a dla fkc ( x y) dla prostokąte satk przedstawoe a rysk : lb prośce różca wstecza (x 0 ) x 0 = A (x 0 ) x 0 ( ) 4 - - y x y (x 0 ) ( ) 4 y x y 0 4 = x α ta α = x x 0 (7) (8)

Rys Gwazda pęcopktowa o środk w węźle Występącą a rysk grpę węzłów azywa sę gwazdą pęcopktową o środk w węźle Rozwęce w szereg Taylora est abardze zaym sposobem wyprowadzaa aologów różcowych Istee edakże szereg ych metod a edą z ch est wyrażee pochode fkc przez smę wartośc fkc w sąsedch węzłach satk przemożoych przez ezae współczyk [Szymkewcz 00]: gdze m ( ) = a b c O m a b c współczyk które ależy określć O( x ) (9) dokładość przyętego schemat aproksymac Dla przykład oblczmy tym sposobem wartość aalog dla perwsze pochode Rozwamy w szereg Taylora fkcę w otocze pkt ( ) otrzymąc odpowede wyrażea dla oraz a astępe podstawamy e do wzor (9) porządkemy : = x x ( a b c) ( c a) x ( c a) ( c a) x x x 6 x (0) Z porówaa ob stro rówaa (0) wyka atychmast że ( a b c) ( c a) x ( c a) = 0 = = 0 z których wyzaczamy wartośc poszczególych parametrów: a = b = 0 c = Podstawaąc otrzymay wyk do rów (0) otrzymemy zae ż wyrażee a różcę cetralą: = () dx 6 wraz z oszacowaem błęd obcęca rzęd O ( x ) Opsaą procedrę moża stosować z powodzeem do wyzaczaa aalogów różcowych pochodych wyższych rzędów oraz do bardze złożoych schematów ż dw- trzypktowe Podstawaąc do wzor (9) rozwęca fkc w węzłach ( ) oraz ( ) otrzyma sę aalog esymetryczy perwsze pochode:

5 05 = dx x x x posadaący błąd oszacowaa róweż rzęd O ( x ) () Tego typ aalog wykorzystywae są do wyzaczaa wartośc brzegowych a podstawe pktów z wętrza obszar oblczeowego Ie żytecze aalog różcowe dla perwszych wyższych pochodych zostały zestawoe w tabel Tabela Wybrae schematy aproksymac operatorów rożczkowaa różcam skończoym Pochoda Aproksymaca Błąd obcęca 4 O ( x ) 4 4 y y y y 8 8 6 0 6 4 5 5 4 5 8 4 4 4 4 6 4 y 4 y y y 4 O O O O O O O O 4 ( x ) ( x ) 4 ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) O( x y) O ( x y ) ( ) O x y ( ) O x y Do te pory rozważalśmy aalog różcowe bdowae a podstawe satk prostakąte edakże czasem ezbęde może być zastosowae ych schematów ż prostokąty Poże omówmy klka takch przypadków Dla węzłów leżących w poblż brzeg ak pokazao a rys4 wzór gwazdy pęcopktowe (7) ms lec modyfkac

Rys 4 Schemat terpolacyy do oblczeń dla węzłów leżących a brzeg Rozwaąc fkcę ( x y ) w szereg Taylora w otocze pkt 0 wzdłż kerk os y możemy apsać: oraz Elmąc z powyższych rówań A ( ) ξ y ξ y = 0! y! y y! y! y y = 0 y () (4) otrzymemy wzór a drgą pochodą względem y w pkce 0 A 0 = y ξ ξ y y ξ y (5) ( ) ( ξ ) Wyprowadzaąc aalogcze drgą pochodą w kerk x całkowte wyrażee różcowe dla operatora Laplace'a przedstawa sę astępąco: (6) A B x y ξ ( ξ ) y η ( η ) x ( η ) x ( ξ ) y ξ y η 0 0 = Rozważmy astępe przykład satk zagęszczoe w kerk os y ak to zostalo przedstawoe a schemace obok Stosąc tą samą procedrę co poprzedo otrzymamy astępący aalog różcowy [Aderso 984]: y" y ' = O ( y ) (7) y y y y y y y ' " ' " " ' W zagadeach ze złożoym geometrycze brzegem eedorodym ośrodkem w którym poszkemy rozwązaa rówaa różczkowego możemy zastosować satkę ereglarą lb o ym ż prostokąta kształce Przykłady takch satek zostały przedstawoych a rys5

Rys 5 Płaske satk różcowe: a) trókąta b)heksagoala c)lokale zagęszczoa d) ereglara e) kołowa Różcowe aalog dla satek o dowolych kształtach moża wyprowadzć korzystaąc z metody aproksymac welomaam odpowedego stopa zaweraących N ezaych parametrów Parametry weloma określa sę z wark zgodośc fkc aproksymące poszkwae w poszczególych węzłach satk różcowe Dla przedstawea tego sposob przymmy prostokątą satkę różcową oraz weloma aproksymący o postac: ( x) = a bx cx (8) Wartośc poszkwae fkc zadae są w pktach Stąd przymąc dla wygody początek kład współrzędych w p-ce otrzymemy: = a ( ) ( ) = a b x c = a b x c (9) Rozwąząc te kład rówań zademy że : a = - b = c = (0) Olczaąc astępe perwszą drgą pochodą rówaa (8) otrzymemy wyrażea: = = = x= 0 ( b cx) b ()

= c = x () Wyk oblczeń est zgody z rówaam (5) (6) otrzymaym z rozwęć Taylora Uogólaąc powyższe rozważaa moża stwerdzć ż eśl operator różczkowy est w postac: L = a a a a4 a 5 a6 x y y y () to dla dostatecze gładke fkc ( x y ) moża ą rozwąć w szereg potęgowy w otocze pkt ( ) x y satk ereglare: 0 0 ( x y) = b b ( x xo ) b ( y yo ) b4 ( x xo ) (4) b 5 ( x x o ) ( y yo ) b6 ( y yo ) Następe podstawaąc w mesce x y w rówa (4) kolee współrzęde x y pktów gwazdy dla satk ereglare zbdować kład rówań algebraczych którego rozwązaem będze B = b b b N poszkway wektor parametrów [ ] Jako przykład określmy postać aalog różcowego dla operatora Laplace a dla elemet satk heksagoale Oblczaąc laplasa z wyrażea (4) otrzymemy: L ( x y) = = b b y 4 6 (5) Przymąc ozaczea kład współrzędych zgode z ryskem 6 zapsemy rówaa dla poszczególych węzłów satk: Rys 6 Nmeraca wspórzęde węzłów satk heksagoale o bok h

= b 0 = b hb h b4 h = b hb b h b4 h b5 h b6 8 4 8 h = b hb b h b4 h b5 h b6 8 4 8 4 = b hb h b4 h 5 = b hb b h b4 h b5 h b6 8 4 8 h 6 = b hb b h b4 h b5 h b6 8 4 8 (6) Dodaąc stroam wszystke rówaa poza perwszym otrzymemy wyrażee: 4 5 6 = 6b h b4 h b6 (7) a po względe że 0 = b podstawe do (5) otrzymemy wzór różcowy dla operatora Laplace a dla satk heksagoale z błędem oszacowaa O ( h ) : 4 5 6 60 L ( x0 y0 ) = (8) h Isteą także e sposoby formłowaa rówań różcowych take ak metoda całkowa oraz metoda macrzowa których ops moża zaleźć w lteratrze [Aderso984] [Szymkewcz 000 00] [Forta 005] Przykład Rozwążmy zadae dopływ do wykop ograczoego poowym ścakam szczelym przez edorode zotropowe podłoże grtowe przedstawoe a rysk 97 azom woda grtowa graca obszar ścaka szczela wykop do wykop graca obszar oś symetr Rys 7 Schemat zagadea dopływ wody do wykop

Postawoe zadae staow zagadee płaskego przepływ potecalego który dla rch staloego opsay est rówaem Laplace a: h h y = 0 Z warkam brzegowym Drchleta Nemaa w postac : h = h a Γ h = 0 a Γ N gdze: H - wysokość pezometrycza zwercadła wody Γ - azom oraz do wykop D D (9) (0) Γ N - grace obszar ścaka szczela Z wag a symetrę zadae moża rozwązywać do os symetr zakładaąc wzdłż te os róweż warek Nemaa Schemat oblczeowy przedstawoo a rysk 8 4 5 4 5 6 7 pozom odesea 4 5 6 7 4 4 4 44 45 46 47 Y 5 5 5 54 55 56 57 X Rys 8 Satka oblczeowa zagadea dopływ wody do wykop Korzystaąc z własośc gwazdy pęcopktowe (8) dla satk kwadratowe będzemy wyprowadzać rówaa dla poszczególych węzłów obszar W przypadk gwazdy które wszystke węzły leżą wewątrz obszar laplasa wyraża sę astępąco: 4 =a ( h h h h ) y=a h h 4h0 4 = 0 = 0 y a h h h h 4h0 = 0 () 4 0 Jeśl węzły gwazdy będą częścowo ależeć do brzeg postać rówaa różcowego ms lec modyfkac Dla przykład rozważmy węzeł leżący a lewym brzeg a którym założoy est warek = 0 Ze wzor różcy cetrale dla te pochode określamy że H = H co pozwala am zmodyfkować rówae (8) astępąco: 4 h h h 4h0 = 0 () Podobe możemy zapsać dla brzeg prawego: dla brzeg dolego: dla brzeg górego: h h h 4h0 = 0 () 4 h h h 4h0 = 0 (4) 4

dla lewego górego aroża: dla lewego dolego aroża: h h h 4h0 = 0 (5) 4 h h 4h0 = 0 (6) h h 4h0 = 0 (7) 4 0 ścaka szczela Wyrażea różcowe dla pozostałych aroży wyzacza sę aalogcze Rówae różcowe a końc ścak szczele wyprowadza sę korzystaąc z zależośc () () (5) względaąc osobo węzeł węzeł aby astępe oblczyć ch średą arytmetyczą ' '' h h h 4 h0 h h 0 0 h h h h h h a y a y a co prowadz do rówaa: ' '' ( ) 4 4 0 h h h h h h = 0 (8) Poszczególe rówaa dla rozważaego przykład zostały zestawoe dla wszystkch węzłów obszar: : h h h 4h = 0 : h h h h 4h = 0 : h h h h 4h = 0 4 : h h h 4h = 0 4 4 4 4 : h h h 4h = 0 : h h h h 4h = 0 4 4 : h h4 h4 h 4h = 0 4 : h4 h h44 4h4 = 0 5: h h h 4h = 0 6 : h h h h 4h = 0 5 6 45 5 6 7 46 5 6 7 : h h h 4h = 0 4: h h h 4h = 0 7 6 47 7 4 5 4 4 : h h h h 4h = 0 4: h h h h 4h = 0 4 5 4 4 44 5 4 4 46 : h6 h47 h56 h44 4h46 = 0 47 : h7 h46 h57 4h47 = 0 5: h h 4h = 0 5 : h h h 4h = 0 4 5 5 4 5 5 5 5: h h h 4h = 0 54 : h h h 4h = 0 4 54 5 5 44 56 5 54 56 : h h h 4h = 0 57 : h h 4h = 0 46 57 54 56 47 56 57 h4 h5 h46 h54 h4 4h44 = 0 44 : 05 05 Uwzględaąc zależośc wykaące z warków brzegowych: h = h = h = h = 4 h = h = h = 0 h h 5 6 7 = h 44 45 = h 54 55 Moża kład rówań różcowych przedstawć w postac macerzowe A H = b : -4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h - -4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h - 0-4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h - 0 0-4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h4-0 0 0-4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h 0

0 0 0-4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h 0 0 0 0 0-4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h 0 0 0 0 0 0-4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h4 0 0 0 0 0 0 0 0 0-4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h5 0 0 0 0 0 0 0 0 0-4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h7 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-4 0 0 0 0 0 0 0 0 h4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-4 0 0 0 0 0 0 0 h4 0 0 0 0 0 0 0 0 05 05 0 0 0 0-4 0 0 0 0 0 0 h44 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-4 0 0 0 0 0 h46 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-4 0 0 0 0 0 h47 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-4 0 0 0 0 h5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-4 0 0 0 h5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-4 0 0 h5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-4 0 h54 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-4 h56 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-4 h57 0 Macerz tego kład est rzadka moża ą bez trd rozwązać dowolą metodą meryczą Po rozwąza tego kład rówań otrzymemy wektor wartośc cśeń pezometryczych w węzłach satk: h h h h4 h h h h4 h5 h6 h7 h4 0896 089 08784 08674 0808 0790 07548 078 00 0696 0545 0744 h4 h4 h44 h46 h47 h5 h5 h5 h54 h56 h57 07 0679 0474 007 0788 0704 0686 0604 04797 060 095 Wyk zostały przedstawoe róweż a rysk 9 w postac l ekwpotecalych 0 - - - 0 4 5 Rys 9 Obraz l ekwpotecalych oblczoych MRS Rozwązywae rówaa dyfz MRS Rówae dyfz pod względem klasyfkac rówań różczkowych est rówaem parabolczym opse szereg procesów fzyczych m estaloy przepływ fltracyy oraz przepływ cepła Rozważmy a początek edowymarowe rówae przepływ fltracyego przez ośrodek edorody o postac: = D t (9)

gdze: ( ) WYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ x t ozacza wysokość pezometryczą ceczy D est współczykem dyfz który w rówa fltrac est zależy od współczyka fltrac porowatośc efektywe Załóżmy poadto że wartość tego współczyka est stała Do rozwązaa tego zagadea potrzebe est zdefowae warków początkowych brzegowych: Metoda awa ( ) ( ) ( ) A ( ) ( ) ( ) x0 = f x x x x (40) 0 t = t dla t 0 l t = t dla t 0 Schemat awy est aprostszym sposobem zaps rówaa (9) w postac różcowe: B O t x z błędem obcęca perwszego rzęd ( ) spełoy est warek: gdze: = D A B (4) (4) Schemat te est stably warkowo tz eśl 0 r (4) D r = (44) x x t dla t > 0 w Należy zaważyć [Aderso 984] że tą metodą moża wyzaczyć wartośc ( ) pktach wewątrz obszar (rys0) bez koeczośc korzystaa z warków brzegowych Śwadczy to o słabe aproksymac rówaa dyfz tą metodą bowem rozwązae dla każdego pkt obszar powo stote zależeć od warków brzegowych Rys 0 Schemat oblczeń wartośc fkc w pce P wykaące z wark początkowego W metodze awe e moża także stosować aproksymac pochode po czase za pomocą różcy cetrale (metoda Rchardsoa) bowem te schemat est bezwarkowo estably dla wszystkch t Dlatego do rozwązaa zagadea dyfz powszeche stosoway est schemat eawy staowący podstawę różych metod oblczeowych z których klka zostae omówoych w astępym pkce Metody eawe W prostym sformłowa metody eawe prawa stroa rówaa (4) zależeć będze od wartośc a pror ezaych w krok czasowym : = D (45)

Schemat te prowadz do tworzea kład rówań algebraczych względem ezaych wartośc x t w węzłach satk a daym pozome czasowym Metoda ta est bezwarkowo fkc ( ) stabla z błędem obcęca perwszego rzęd O( t x ) Macerz kład est tródagoala stąd może być rozwązywaa za pomocą szybkch algorytmów p metodą rozkład a macerz trókątą górą dolą lb metodą teracyą p Gassa-Sedela [Forta 005] Zaletą te metody est możlwość stosowaa stoskowo dżych kroków czasowych bez traty zbeżośc rozwązaa Odmey algorytm metody eawe został zapropooway przez Craka Ncolsoa w 947 rok W ch metodze został zastosoway astępący schemat różcowy: = D (46) którego prawa stroa wyraża średą arytmetyczą drge pochode po współrzęde x z pozomów czasowych Schemat te est bezwarkowo stably a ego zaletą est wyższa dokładość O t x wykaąca z błęd oszacowaa ( ) Z pośród wel metod różc skończoych dla rozwązaa edowymarowego rówaa dyfz wartą odotowaa est metoda Rchtmyer a Mortoa w które pochoda po czase est aproksymowaa a trzech pozomach czasowych: = O t x ( θ ) z błędem obcęca wyoszącym ( ) est wyższa a maowce: θ θ D θ = dla które błąd obcęca est rówy O ( t x ) = D t (47) poza dwoma wartoścam θ dla których dokładość dla które błąd obcęca est rówy O 4 ( t x ) Rozwązywae dwwymarowego rówaa dyfz MRS Rówae dwwymarowe est dae wzorem: = D t y (48) Zastosowae metody awe wymagać będze spełea wark zbeżośc daego wzorem (4) rówocześe dla ob składowych x y Dla satk kwadratowe ozacza to że 0 r co 4 wymszać będze bardzo mały krok czasowy oblczea tą metodą staą sę mało praktycze Prosty schemat eawy day est wzorem: = D y który moża przekształcć dla satk kwadratowe x = y = h do postac: gdze: ( 4) (49) C = C (50) h C = (5) D t est odwrotoścą tzw dyfzye lczby Corata Schemat te est stably prowadz do powstaa kład rówań algebraczych z macerzą pasmową Szerokość pasma est zależa od geometr obszar sposob merowaa węzłów

Schemat Craka Ncolsoa est ak w przypadk rówaa edowymarowego bezwarkowo stably przedstawa sę wzorem: = D = y (5) Wzór te moża zmodyfkować astępąco: a = b (5) h h gdze: a = C 4 = 4 b = 4 D D Dzęk take postac moża w prosty sposób kostrować kład rówań algebraczych Przymmy obszar rozwązaa w postac kwadrat o bokach 6x6 ak a rysk 9 z warkam brzegowym Drchleta w postac: ( ) ( ) x y t = x y t dla x y Ω t 0 (54) Rys Obszar oblczeowy dla rówaa (5) Zapsąc po kole werszam rówaa dla każdego węzła wewętrzego otrzymamy kład rówań z 6 ewadomym którego macerz została przedstawoa poże:

a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b 0 a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 b4 4 0 0 a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 b 0 0 0 a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 a 0 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 a 0 0 0 0 0 0 0 4 b4 0 0 0 0 0 a 0 0 0 0 0 0 0 5 b5 6 0 0 0 0 0 0 0 a 0 0 0 0 0 = 4 b4 4 0 0 0 0 0 0 0 a 0 0 0 0 4 b4 0 0 0 0 0 0 0 0 a 0 0 0 44 b44 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a 0 0 0 54 b54 64 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a 0 0 5 b 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a 0 5 b5 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a 45 b45 46 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a 55 b 5 5 6 5 5 6 56 65 56 Otrzymaa macerz est pasmowa z szerokoścą pasma składaącego sę z 9 elemetów Układ te moża rozwązać dowolą metodą edakże w rzeczywstych oblczeach przy dżych macerzach zwykle stose sę metodę teracyą Peacema Rachford Doglas opracowal w 955 rok metodę dla zadań dwwymarowych która posada zaletę metody edowymarowe t tródagolaą macerz est bezwarkowo stabla Metoda ta rozwąze zagadee dyfz w dwóch krokach w perwszym a pozome czasowym rozwązae odbywa sę po ede współrzęde przestrzee p po y aby w krok drgm a pozome czasowym rozwązać to samo zagadee ale w kerk drge współrzęde w tym przypadk x Algorytm te został azway w skróce ADI (alteratg-drecto mplcte) przedstawa sę astępąco: Krok : / y Krok : = D / y Procedrę oblczeową przedstawoo a rysk = D (55) (56)

Rys Schemat oblczeń w metodze ADI Moża ą Metoda ADI posada dokładość drgego rzęd z błędem obcęca O( t x y ) rozcągąć a zagadea D a wówczas rozwązae przebegałoby w trzech krokach a astępących pozomach czasowych - [Aderso 984] Zagadea stablośc schematów różcowych Rozwązae rówań różczkowych metodą meryczą zawsze będze różć sę od rozwązaa dokładego o błąd wykaący z zaokrągleń meryczych przy operacach arytmetyczych oraz w przypadk metody różc skończoych błąd obcęca wykaący z pomęca wyższych człoów rozwęca Taylora przy aproksymowa pochode Posłgąc sę metodą meryczą oczekemy że okaże sę oa zbeża co ozacza że różca w każdym pkce obszar pomędzy rozwązaem dokładym a przyblżoym będze malała wraz ze zmeszaem sę krok czasowego przestrzeego Wark zbeżośc rozwązaa metodą różc skończoych zostały sformłowae przez Laxa [Szymkewcz 00] [Wlls 987] w postac stwerdzea że warkem koeczym wystarczaącym zbeżośc est aby zagadee początkowo-brzegowe było poprawe postawoe oraz zachowaa była zgodość stablość schemat różcowego Problem poprawośc zagadea początkowego-brzegowego moża w sposób bardzo ogóly określć ako ewrażlwość rozwązaa rówaa różczkowego a ewelke zabrzee daych weścowych Zgodość est rozmaa ako prześce schemat różcowego w rówae różczkowe w gracy przy 0 [Szymkewcz 00] Rozważmy to a przykładze rówaa dyfz (9) daego schematem różcowym awym (4) : = D Rozwaąc w szereg Taylora wyrażea a podstawaąc e astępe do schemat różcowego (4) otrzymemy:

t t t t 4 4 x x 4 x 6 4 x x D 4 4 x 4 x x 6 4 x x D = 4 = D 4 t t co przy prześc do gracy przy 0 = (57) prowadz do poprawe postac rówaa różczkowego dyfz dla każdego węzła obszar pozom czasowego a zatem schemat te est zgody Zagadee stablośc metody est aalzą wzrost lb zmeszaa sę błędów w procese rozwązywaa metodą różc skończoych Naczęśce do badaa stablośc stose sę aalzę Nemaa [Szymkewcz 000 00] [Gryboś989] [Aderso 984] [Wlls 987] która polega a przedstawe błęd obcęca w postac rozwęca w szereg Forera a astępe podstawea go do schemat różcowego Procedrę tę możemy prześledzć róweż a przykładze edowymarowego rówaa dyfz (9) Jeśl założyć że wartość oblczoa róż sę od wartośc dokłade U o ε to możemy rówae (4) zapsać astępąco: U ε U ε U ε U ε U ε = D (58) Poeważ rozwązae dokłade ms spełać powyższe rówae to schemat różcowy ms być róweż prawdzwy dla błęd: Przedstawmy błąd ako szereg Forera: ε ε ε ε ε = D mk m m gdze: = k est lczbą falową daą wzorem: zaweraących sę w dłgośc fal λ (59) ε = A e (60) π k = M est lczbą przedzałów x λ A est ampltdą fal dla m -tego czło szereg pozom m czasowego Poeważ rówae (59) est lowe obowąze zasada sperpozyc możemy aalzować zachowae poedyczego czło szereg opsaego rówaem (60) Dla czło perwszego m = otrzymamy: ε = A e ϕ (6) π gdze: ϕ = k x = M Po podstawe (6) do rówaa (59) otrzymamy:

gdze: ( ) ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ A e = A e r A e A e A e (6) D r = a po podzele ob stro przez x A e ϕ względe że cos ϕ e ϕ e ϕ = : A A ( ε ε ) ( ϕ ) = = = (6) ϕ ϕ ϕ r r cos 4r s A Wyraz po lewe stroe rówaa określa sę ako współczyk wzmocea ampltdy G = dla A prześca z pozom czasowego a Z zaps tego wyka że stablość rozwązaa est zapewoa eśl dla każdego czyka szereg Forera G Moża węc warek stablośc zapsać astępąco: ϕ ϕ ϕ 4r s 4r s > 0 4r s Perwszy warek est spełoy zawsze gdyż r > 0 drg spełoy będze tylko gdy że D (64) r co ozacza est to ograczee dłgośc krok czasowego przy zadae wartośc przedzał satk Jeżel wykoamy podobą aalzę ale dla schemat eawego daego wzorem (45): to otrzymamy astępący warek: A = = 4 s (65) A A A r ( ε ϕ ε ϕ ) r ϕ G ϕ ϕ = 4r s 4r s (66) który est zawsze spełoy ezależe od stosk krok czasowego do przestrzeego W przedstawoych rozważaach e względalśmy warków początkowych brzegowych ale zakłada sę że oe są zawsze dokłade a zatem błąd ch est rówy zer Powyższe aalzy moża przeprowadzć dla ych typów rówań różczkowych rówań dw trzywymarowych oraz kładów rówań Isteą także e metody badaa stablośc schematów różcowych których szczegółowy ops moża zaleźć w lteratrze [Forta 005] [Szymkewcz 000 00] [Aderso 984] Collatz 960] 4 Schematy różcowe dla rówań ceczy lepke eścślwe 4 Rozwązae zagadea Stokesa W wel zagadeach przepływ wykorzyste sę rówae Stokesa opsące przepływ lepk z pomęcem sł bezwładośc Rówae Stokesa wykorzystywae są do rozwązywaa zagadeń przepływów "pełzaących kedy lczba Reyoldsa est relatywe mała sły bezwładośc moża pomąć wobec przewag sł lepkośc Rówaa te stose sę także w modelowa przepływów przez ośrodk porowate przy wykorzystywa teor homogezac ak to zostało opsae w roz VI Rozpatre sę wówczas zagadee brzegowe ośrodka wypełoego ceczą w skal ego por opsae rówaam: µ p = f ρ w Ω µ >0 (67) = 0 w Ω (68)

warek perodyczośc = a brzeg Γ (69) p = p x= 0 x= l p = p y= 0 y= l S a brzeg Γ F (70) gdze: = ( v) - prędkość ceczy w R p ozacza cśee µ est współczykem lepkośc kematycze grtowego) Γ S ozacza brzeg stacoary eprzepszczaly (p ależący do szkelet Γ est brzegem ależącym do ceczy f est wektorem sł masowych F Rozwązaa zagadea przepływ staloego przez komórkę w skal mkro powodą trdośc oblczeowe wykaące z perodyczośc warków brzegowych założea o eścślwośc ceczy Moża powyższy kład rozwązywać teracye aż do osągęca zadae welkośc błęd rozwązaa albo założyć że rozwązemy zagadee przepływ estacoarego: = p µ f (7) t z warkem początkowym : est początkowym rozkładem prędkośc w chwl t 0 = 0 = dla t = 0 w Ω (7) 0 gdze 0 Pozostałe wark brzegowe rówae cągłośc przepływ pozostaą w mocy Ta komplkaca rówaa okaze sę być korzysta z pkt wdzea stablośc rozwązaa Zaważmy że dla odpowedo dżych wartośc t rozwązae zblżać sę będze do poszkwaego rozwązaa przepływ stacoarego Jed z procedr opartych a metodze rożc skończoych którym moża rozwązać to zagadee została opsaa w pracy [Hrta 975] polega a prowadze oblczeń a dwóch przesętych satkach osobo dla prędkośc osobo dla cśea Elemetarą komórkę take satk przedstawoo a rys9 a którym dla przerzystośc zapsao deksy zmeych a satce przesęte w postac łamkowe: Rys Rozmeszczee zmeych w poedycze komórce Składowe prędkośc pozome poowe moża wylczyć z astępących formł różcowych: = ( P P ) f x x µ ( ) ( ) x y (7)

( v = v P P ) f y y µ ( v v v ) ( v v v ) y (74) Rówae cągłośc (68) w postac dyskrete: ( ) ( v v ) = 0 y (75) W rówaach tych wprowadzoo kematyczą postać cśea ceczy P = p ρ Prędkość oblczoa z rówań (7)-(74) e będze spełać wark zakaa dwegrec prędkośc (75) W prezetowae metodze warek cągłośc zostae wprowadzay przez korekcę cśea w każde komórce Na przykład gdy dywergeca komórk est ema co ozacza przyrost strmea masy cśee lega zwększa aby zapobec tem przyrostow Poeważ w każde komórce est eda wartość cśea to dywergeca dla każde komórk może być w te sposób sprowadzoa do zera Proces te ms być teracyy bowem zmaa w ede komórce oddzaływe a sąsede Oblczea prędkośc ze wzor (7)-(74) moża wykoywać przebegaąc po całym obszarze a przykład rzędam zaczyaąc od skrae lewe komórk w aższym rzędze Algorytm przewde astępe oblczee dywergec całego obszar z rówaa (75) którą tta ozaczymy przez D : D = v v y ( ) ( ) (76) Korekca cśea wymagaa dla spełea rówaa cągłośc będze rówa P P gdze: D P = t y (77) owe wartośc prędkośc dla każde komórk wykaące z te korelac przedstawaą sę astępąco: v v P x P x P v x P v x (78) Oblczea kończą sę gdy wartość dywergec speła warek dla wszystkch : D ε (79) gdze ε - est założoą wartoścą błęd którą zwykle przyme sę meszą ż 0 - Warek brzegowy (69) wprowadza sę w każdym krok oblczeowym Na brzegach stacoarych eprzepszczalych będze to zwykle warek adhez - zerowaa składowych prędkośc stycze ormale Wówczas wartośc prędkośc a tym brzeg ależy przymować zgode z Rys 5 wprowadzać e do program w każym krok oblczeowym

Rys 4 Warek prędkośc a brzeg stacoarym Warek perodyczośc (70) p dla brzeg lewego prawego realze sę przez podstawee w każdym krok oblczeowym: = N = N p v = p N = v N Stablość rozwązaa opsae wyże procedry oblczeowe wyka z zastosowaego schemat różcowego est zapewoa gdy spełoe są astępące wark ałożoe a krok czasowy: y t < m v y µ t < x y ( ) Wark te zapewaą ż zarówo zmaa prędkośc ak tesywość proces dyfz e będą obemowały węce ż komórkę w krok czasowym 4 Rozwązae rówaa Navera-Stokesa W zgadeach merycze hydrogeolog a w szczególośc w teor homogezac może zaść koeczość modelowaa przepływ ceczy toowske który opsay est rówaem Navera-Stokesa oraz rówaem zachowaa masy Dla potrzeb eszych rozważań załóżmy że cecz est eścślwa będzemy rozważać przepływ płask w obszarze Ω R ograczoym brzegem Γ : ( ) µ (80) t ρ = p w Ω = 0 (8) Ogóle sformłowae problem brzegowo-początkowego przedstawa sę ako: = a brzeg Γ (8) D = q a brzeg Γ N (8) = dla t = 0 (84) 0

gdze: est wektorem prędkośc P cśeem kematyczym tz podzeloym przez gęstość ceczy µ - współczykem lepkośc kematycze Γ Γ są odckam brzeg a których spełoy est warek Drchleta Nemaa D N Rówae gradet cśea może być wyprowadzoe a podstawe przekształcee rówaa Navera-Stokesa edakże taka postać rówaa est edogoda z wag a trdośc w osągęc zbeżośc rozwązaa Bardzo często zamast tego wykorzyste sę rówae Possoa dla cśea które moża wyprowadzć przez zastosowae operatora dywergec do rów (80): D Γ = Γ Γ oraz ΓD Γ N = N P = µ (85) t Zaważmy że eżel skorzystamy z tożsamośc matematycze: ( ) = rówaa (8) oraz fakt że dywergeca rotac dowolego pola wektorowego zaka to perwszy ostat czło po prawe stroe rówaa (85) będze rówy zer: = 0 oraz µ ( ) = 0 (86) t rówae (85) lege zaczem proszcze: ( ) P = (87) Rówae (87) razem z rów (80) staową kład rówań który bywa często stosoway do rozwązaa zagadea przepływ ceczy lepke Jedakże ak podae [Gresho 987] w rozwązaach meryczych take podeśce obarczoe est wększym błędem oblczeowym ż gdy rozwązyway est kład składaący sę rówań: (80) (8) (85) W zwązk z tym przymemy kład tych trzech rówań do zbdowaa odpowedch aalogów różcowych Rówae Possoa ms być dla brzeg stacoarego zpełoe warkem brzegowym adhez (brzeg e est ślsk) który w tym przypadk staow zagadee Nemaa dla cśea: P µ f = 0 a Γ N (88) gdze: est wektorem ormalym do brzeg skeroway a zewątrz [N 995 998] [Matyka 00] Jeśl zae są wartośc cśea w obszarze (p a wloce rozkład hydrostatyczy cśea cśee atmosferycze dla zwercadła swobodego) to ależy przyąć dodatkowy warek Drchleta Wedłg ych atorów [Gresho 987] [Petersso 00] ależy stosować bardze złożoe formły warków brzegowych których t e przytaczamy a które wykaą wprost z rówaa Navera-Stokesa Podstawą do wyprowadzea schemat różcowego est zachowawcza postać rówaa różczkowego W rówa Navera-Stokesa występe czło elowy zwązay z kowekcą pęd który ależy przekształcć tak aby wektor prędkośc występował pod zakem pochode W tym cel moża skorzystać z tożsamośc : (89) x x oraz rówaa (8) zyskąc astępącą różczkową postać tych rówań: v P = µ f x t y y (90) v v v P v v = µ f y t y y y Zależośc te ależy zpełć rówaem zachowaa masy rówaem Possoa: v = 0 (9) y P P v v v v = µ y t y y y y (9)

Przymąc schemat satk różcowe ak a rysk ozaczaąc D = moża powyższy kład rówań zastąpć różcam skończoym [Matyka 00]: = ( ) ( ) ( v) ( v) y ( P P ) µ t ( ) ( ) f x y v = ( v ) ( v ) ( v) ( v) y v y ( P P ) µ t ( v v v ) ( v v v ) f y y (9) (94) Rówae cągłośc (68) w postac różcowe wyraża sę ako: ( ) ( v v ) = 0 y Schemat różcowy dla rówaa Possoa ma postać: (95) P P P P P P D = y = ( ) ( ) ( ) ( v ) ( v ) ( v ) y ( v) ( v) ( v) ( v) y ( ) ( ) x y µ t D D D D D D Warek brzegowy a cśee dla komórek w kerk os x [Matyka 00]: µ P P ( ) x f = x gdze: D ozacza dywergecę wektora prędkośc w postac dyskrete ze wzor (76) (96) (97) Wyzaczee cśea wedłg podaych w tym pkce wzorów wymaga zastosowaa procedry teracye bowem po lewe stroe wyrażea (96) z wag a operator Laplace a cśee e występe w sposób awy Iterace stose sę oblczaąc koleo wartośc cśea dla wszystkch węzłów satk przy zadaych warkach brzegowych oraz wylczoych wartoścach prędkośc z poprzedego krok czasowego Procedrę powtarza sę do zyskaa zadae dokładość wyzaczea cśea w każdym węźle obszar Rozwązaa rówań Navera-Stokesa moża dokoywać dla ych ż prędkość cśee zmeych a maowce poprzez odpowede przekształcea otrzyme sę kład rówań Helmholza dla zmeych

wrowośc fkc prąd Szersze omówee wykorzystaa tych rówań do aalzy przepływ metodą różc skończoych moża zaleźć m w pracy [Gryboś 989]